Conjuntos

A forca quem ovea invencao matematica nao eor aciocınio, mas sim a imaginacao.

Augustus De Morgan Augustus De Morgan

(1806–1871) foi um matematico ingles que deu contribuicao importante a logica matematica. Foi ele quem introduziu o termo “inducao matematica” e deu base ao processo de inducao.

De Morgan foi tambem autor de varios livros de Matematica e de mais de 700 artigos de divulgacao.

Estudaremos logica matematica nas aulas 26a3 0.

Objetivos

Conceituar conjuntos e subconjuntos. Estudar as relacoes de igualdade e inclusao entre conjuntos e de pertinencia entre elementos e conjuntos. Conceituar conjunto universo.

An ocao de conjunto desempenha um papel central na Matematica, bemc omoe ms uas inumeras aplicacoes.

O estudo matematico da teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg

Cantor no seculo XIX, a partir de suas pesquisas sobre a teoria das series trigonometricas.

Atribuiremos ao termo conjunto o sentido usual de colecao de objetos ou elementos, sem defini-lo a partir de outros conceitos matematicos.

Um conjunto e sempre definido por uma propriedade que o caracteriza. A recıproca, no entanto, nem sempre e verdadeira. Em outras palavras, ep ossıvel enunciar uma propriedade que nao determine um conjunto. O famoso “exemplo do barbeiro”, a seguir, ilustra essa ideia.

Exemplo 1

Numa cidade, um barbeiro so fazia a barba de quem nao fazia a propria barba. Quem fazia a barba do barbeiro?

Se voce pensar um pouquinho, ira concluir que ESSE BARBEIRO NAO

EXISTE!!! (Basta considerar o que aconteceria em cada uma das duas unicas alternativas possıveis: ele fazer ou naoap ropria barba.)

Entao, foi dada uma propriedade: “fazer a barba apenas de quem nao faz a propria barba”e, no entanto, nao conseguimos determinar um conjunto de barbeiros que corresponda a essa propriedade.

Vocev era que, para evitar esse tipo de problema, iremos definir con-

DISCRETADISCRETA MATEMTICA Conjuntos junto universo e trabalhar apenas com subconjuntos desse conjunto.

As ideias fundamentais da teoria dos conjuntos foram desenvolvidas pelo matematico Georg Cantor (1845 –1918).

Muitas de suas ideias geniais nao foram aceitas inicialmente por outros matematicos. No entanto, tiveram uma influencia profunda na Matematica do seculo X.

Podemos representar um conjunto listando seus elementos entre chaves, como no exemplo a seguir:

Exemplo 2 A e o conjunto das 3 primeiras letras do alfabeto:

ciaspara indicar continuacao.

Para nao listarmos todos os elementos de um conjunto, usamos reticen-

Exemplo 3

B = {2, 4, 6,, 20} .

B e o conjunto dos numeros pares maiores ou iguais a 2 e menores ou iguais a 20:

C = {a,b,c,,x,y ,z } e o conjunto de todas as letras do alfabeto.

Exemplo 4

Outra maneira de descrevermos um conjunto e, em vez de listar seus elementos, indicar a propriedade que caracteriza aquele conjunto. Neste caso, descrevemos o conjunto por:

{x | x satisfaz propriedade P} .

A expressao {x | satisfaz propriedade P} deve ser lida: “o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P”.

Assim, o conjunto C = {a,b,c,,x,y ,z } pode ser descrito por:

Note que muitas vezes sabemos a propriedade que define o conjunto, mas nao sabemos quem sao todos os elementos do conjunto, como em:

Exemplo 5 1. A = {x | x e dia da semana} eom esmo que

A = {segunda-feira,terca-feira,,sabado,domingo} .
2. E = {1,2,3,,9} eo mesmo que

Os elementos de um conjunto sao listados apenas uma vez. Desta forma, o conjunto das letras da palavra ARARA e {A,R}.

Se x e lemento deu m conjunto A, dizemos que x pertence a A,e escrevemos x ∈ A.S e x nao e elemento do conjunto A,e ntao dizemos que x nao pertence a A e screvemos x 6∈ A.

Ar elacao entre elementos e conjuntos definida acima e denominada relacao de pertinencia.

Exemplo 6

1 ∈{ x | x ei nteiro} le-se: “um pertence ao conjunto dos elementos x tal que x ei nteiro” gato ∈{ x | x e felino} le-se: “gato pertence ao conjunto dos elementos x tal que x e felino”

2 6∈ {x | x ei nteiro ımpar} le-se: “dois nao pertence ao conjunto dos elementos x tal que x ei nteiro ımpar”

Dois conjuntos A e B sao iguais se, e somente se, tem exatamente os mesmos elementos. Quando este e o caso, escrevemos A = B.S e A e B nao sao iguais, escrevemos A 6= B.

Exemplo 7

entao, A = B, mas A 6= C.

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Subconjuntos

Se todo elemento de um conjunto A tambem e lemento deu m conjunto B,e ntao dizemos que A e subconjunto de B e screvemos A ⊂ B.

Ar elacao entre dois conjuntos definida acima e denominada relacao de inclusao.

Se A ⊂ B dizemos tambem que A estac ontido em B. Assim, as expressoes “A estac ontido em B”e “A e subconjunto de B”t em o mesmo significado.

Dizer que dois conjuntos A e B sao iguais equivale a dizer que A ⊂ B e B ⊂ A.

Se A nao e subconjunto de B,e ntao escrevemos A 6⊂ B. Portanto,

A 6⊂ B se o conjunto A possui algum elemento que nao pertence ao conjunto B.

Quando A 6⊂ B dizemos tambem que A nao estac ontido em B.

Exemplo 8 1. {x | x ei nteiro par }⊂ {x | x ei nteiro} .

2. {1,2,3,4,5}⊂ {1,2,3,,9,10}⊂ {x | x en umero natural} .

3. {gato, leao, pato}6 ⊂ {felinos} pois, embora gato e leao sejam felinos, o pato nao e um felino.

Note que todo conjunto e subconjunto de si mesmo, isto e, vale para qualquer conjunto A que A ⊂ A.

Se A ⊂ B,m as A 6= B,e ntao dizemos que Ae subconjunto proprio de B.

Portanto, A e subconjunto proprio de B se todo elemento de A e tambem elemento de B (A ⊂ B), mas existe algum elemento de B que nao pertence a A.

Assim, A e subconjunto proprio de B se

An ocao de subconjunto proprio traduz a ideia de que A e subconjunto de B,m as e“ menor” que B.

Exemplo 9

1. O conjunto {segunda-feira, quarta-feira} e subconjunto proprio do conjunto {x | x e dia da semana}.

Tambem escrevemos B ⊃ A,q ue se le“ B contem A”, quando A ⊂ B.

Note que quando comparamos conjuntos e subconjuntos, usamos os sımbolos ⊂ e ⊃, enquanto que quando relacionamos elementos e conjuntos usamos os sımbolos ∈ e 6∈.

a) 1 ∈ A.O numero 1 e elemento do conjunto A. b) {1}⊂ A. O conjunto {1} e subconjunto do conjunto A.

Um conjunto que nao possui elementos e chamado conjunto vazio e denotado por ∅.

Exemplo 1 Os seguintes conjuntos sao vazios:

Um conjunto com apenas um elemento e chamado conjunto unitario.

Exemplo 12 Os seguintes conjuntos sao unitarios:

1. Conjuntos dos paıses de lıngua portuguesa da America do Sul. 2. {x | x ea nimal mamıfero voador} = {morcego}.

Dado um conjunto A qualquer, quantos subconjuntos ele possui? Quais sao eles? Voltaremos a este problema mais tarde. Por ora, vamos observar o seguinte:

DISCRETADISCRETA MATEMTICA Conjuntos

• Todo conjunto e subconjunto de si mesmo: para qualquer conjunto A, vale que A ⊂ A.

• O conjunto vazio ∅ e subconjunto de qualquer conjunto: para qualquer conjunto A,v aleq ue ∅⊂ A.

Exemplo 13 Seja A = {a,b,c}. Os subconjuntos de A sao os seguintes:

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto A e chamado conjunto das partes de A e denotado P(A).

Portanto, X ∈P (A)s ees omente se X ⊂ A

Veremos que se o conjunto A tem n elementos, entao A possui 2n subconjuntos, isto e, P(A)t em 2n elementos.

Na aula 10 aprenderemos a calcular o numero de subconjuntos de um conjunto A.

No exemplo 13, o conjunto A tem 3 elementos, portanto possui 23 =8 subconjuntos, isto e P(A) possui 8 elementos.

Uma maneira simples de definir o subconjunto de um conjunto A que possui certa propriedade P eas eguinte:

E o que acontece quando dizemos: o conjunto dos peixes no mar. Nao estamos listando todos os elementos deste conjunto, mas indicando uma propriedade que os caracteriza.

Na verdade, a notacao que estamos usando, {x | x tem propriedade P}, envolve a nocao de conjunto universo,q ue e o conjunto de todos os elementos interessantes para o problema em questao.

Quando escrevemos {x | x tem propriedade P} estamos realmente definindo o subconjunto de um certo conjunto universo, formado pelos elementos que possuem a propriedade P.

Assim sendo, o conjunto {x | x em amıfero} eom esmo que:

Neste caso, o conjunto universo U e o conjunto de todos os animais. O conjunto universo varia de problema para problema. Em um determinado problema, o conjunto universo pode ser o conjunto de todos os animais, enquanto que em outro, o conjunto universo pode ser o conjunto dos inteiros positivos.

Ai deia de conjunto universo vem de Augustus De Morgan e foi usada por John Venn, que criou diagramas para representar conjuntos.

Na aula seguinte estudaremos a representacao de conjuntos por meio dos diagramas de Venn e estudaremos as operacoes entre conjuntos.

Resumo

Esta foi a primeira aula sobre conjuntos. Nela estudamos conjuntos e subconjuntos, relacoes de inclusao entre conjuntos e de pertinencia entre elementos e conjuntos. Vimos tambem conjunto universo.

Exercıcios

1. Correlacione os conjuntos descritos por enumeracao dos elementos com os conjuntos descritos por uma propriedade:

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(a) {0, 2, 4, 6, 8,}
(b) {2, 3, 5, 7, 1, 13,}
(c) {Botafogo, Flamengo, Fluminense, Vasco, Bangu,}
(d) {Niteroi, Nova Iguacu, Nova Friburgo, Nilopolis,}

2. Escreva os conjuntos abaixo, na forma {x | x tem propriedade P} . 3. Liste os elementos dos conjuntos abaixo:

4. Seja A = {a,b,c,d,e}. Determine se as sentencas, abaixo, sao verdadeiras ou falsas:

5. Determine quais sentencas, abaixo, sao verdadeiras para qualquer conjunto A.

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