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O Degrau de Potencial: Partícula com Energia Maior que a Altura, Notas de aula de Física

Este documento discute o caso em que uma partícula quântica com energia superior à altura de um degrau de potencial pode ser refletida ou transmitida. Utiliza-se as regras da mecânica quântica para calcular as probabilidades de transmissão e reflexão. Recomenda-se a revir aula 8 e aula 6 de física 4a para melhor compreensão.

Tipologia: Notas de aula

2010

Compartilhado em 16/05/2010

caio-br-4
caio-br-4 🇧🇷

4.8

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Baixe O Degrau de Potencial: Partícula com Energia Maior que a Altura e outras Notas de aula em PDF para Física, somente na Docsity! ob je tiv os 9AULA Pré-requisitos Meta da aula O degrau de potencial. Caso II: energia maior que o degrau Aplicar o formalismo quântico ao caso de uma partícula quântica que incide sobre o degrau de potencial, definido na Aula 8. Vamos considerar agora o caso em que a energia da partícula é maior que a altura do degrau. Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: • verificar que, no caso de a energia E da partícula ser maior do que a altura do degrau (V0), a partícula poderá passar (ser transmitida) pelo degrau ou ser refletida por ele; • usar as regras da mecânica quântica para calcular as probabilidades de transmissão e reflexão. Para uma melhor compreensão desta aula, é importante que você revise a Aula 8 desta disciplina e, também, os conceitos de reflexão e transmissão de ondas na interface entre duas regiões com índices de refração diferentes (Aula 6 de Física 4A). 96 C E D E R J Introdução à Mecânica Quântica | O degrau de potencial. Caso II: energia maior que o degrau C E D E R J 97 A U LA 9 M Ó D U LO 1 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER NO CASO E > V0 Dando seqüência ao nosso estudo sobre o degrau de potencial, iniciado na Aula 8, vamos agora analisar a situação em que uma partícula quântica de massa m, vinda da esquerda, incide sobre o degrau de potencial com energia maior que a altura do degrau (E > V0). Esta situação está mostrada na Figura 9.1: Figura 9.1: Uma partícula quântica de massa m que incide sobre um degrau de potencial com energia maior que a altura do degrau (E > V0). O que deveríamos esperar nesse caso, se valessem as leis da Física Clássica? A resposta é simples: na ausência de atrito ou de outras forças, a partícula deveria simplesmente vencer a barreira de potencial e continuar seu movimento para a direita, até o infinito. Certamente, haveria uma redução em sua velocidade, que poderíamos calcular através da conservação da energia. Mas a partícula nunca poderia inverter o sentido de seu movimento, retornando para a esquerda, ou seja, a probabilidade de ser “refletida” seria nula. Veremos, mais uma vez, que na Mecânica Quântica as coisas são diferentes. Como fizemos na aula anterior, vamos encontrar as soluções da equação de Schrödinger. Do lado esquerdo do degrau (x < 0), a função de onda terá a mesma forma que no caso E < V0: (9.1)ψ( ) ,x Ae Be xikx -ikx= + < 0 V0 V E m x 98 C E D E R J Introdução à Mecânica Quântica | O degrau de potencial. Caso II: energia maior que o degrau C E D E R J 99 A U LA 9 M Ó D U LO 1 Figura 9.2: Densidade de probabilidade para uma partícula sob ação do degrau potencial, para o caso especial . Podemos agora fazer um esboço desse resultado: Perceba que a densidade de probabilidade é constante na região x > 0. Já na região x < 0, ela mostra oscilações resultantes da interferência das ondas incidente e refl etida. No entanto, note que essas oscilações nunca levam a densidade de probabilidade a se anular nessa região. Isso ocorre porque as amplitudes das ondas incidente e refl etida não são iguais. Podemos também calcular as densidades de corrente de probabilidade, como fi zemos na aula passada, obtendo (9.8) em que a velocidade de grupo , do lado esquerdo, e do lado direito. 2. Substituindo a Equação (9.7) na Equação (9.8), mostre que a densidade de corrente de probabilidade tem o mesmo valor para x < 0 e x > 0. _______________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ RESPOSTA COMENTADA Fazendo a substituição sugerida, obtemos, para x < 0: ATIVIDADE k k= ′2 j v A B x j v’ C x g g = −( ) < = > 2 2 2 0 0 , , 4/9 |A|2 16/9 |A|2 p(x) v k mg = h / v’ k’ mg = h / j k m A k - k k + k k k m k + k A= − ′ ′             = ′ ′ h h2 2 2 2 2 1 4 ( ) . 100 C E D E R J Introdução à Mecânica Quântica | O degrau de potencial. Caso II: energia maior que o degrau C E D E R J 101 A U LA 9 M Ó D U LO 1 ATIVIDADE Já para x > 0, obtemos: como queríamos demonstrar. 3. Mostre que R + T = 1. ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ RESPOSTA COMENTADA Usando as Equações (9.9) e (9.10), obtemos: R+T V E V E V E V E V E V = − −  + − + −  = − − + −( ) + − 1 1 4 1 1 1 1 2 1 1 4 1 0 2 0 0 2 0 0 0 E V E V E V1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 2 0 2+ −  = + −  + −  = E O coefi ciente de refl exão R, defi nido anteriormente como a razão entre as densidades de corrente de probabilidade das ondas refl etida e incidente (veja a Equação (8.11) da Aula 8), terá, neste caso, o valor: . (9.9) Podemos também calcular o coefi ciente de transmissão T , defi nido como a razão entre as densidades de corrente de probabilidade das ondas transmitida e incidente, ou seja, . (9.10) T v’ C v A kk k + k V E V E g g = = ( ) = − + −  2 2 2 0 0 2 4 4 1 1 1 ’ ’ / / R A B k - k k + k V E V E = = ( ) ( ) = − −  + −  2 2 2 2 0 2 0 2 1 1 1 1 ’ ’ / / j k m A k k + k k k m k + k A= ′ ′     = ′ ′ h h2 2 2 2 22 4 ( ) , 100 C E D E R J Introdução à Mecânica Quântica | O degrau de potencial. Caso II: energia maior que o degrau C E D E R J 101 A U LA 9 M Ó D U LO 1 A condição R + T = 1 aparece também na ótica ondulatória clássica, no contexto da reflexão e da transmissão (refração) de uma onda luminosa pela interface entre dois meios. Na física clássica, essa condição expressa a conservação da energia, ou seja, não há acúmulo de energia na interface entre os dois meios, de modo que a intensidade da luz incidente deve ser a soma das intensidades refletida e transmitida. Já na Física Quântica, como estamos lidando com correntes de probabilidade, essa mesma condição expressa a conservação da probabilidade, ou seja, como não há aumento de probabilidade de se encontrar a partícula em x = 0, o fluxo de probabilidade incidente deve ser igual à soma dos fluxos refletido e transmitido. Na Figura 9.3, mostramos o comportamento dos coeficientes de reflexão e transmissão como função de E/V0. A região E/V0 < 1 corresponde à situação que estudamos na aula passada, em que a energia da partícula incidente é menor que a altura do degrau. Naquele caso, obtivemos reflexão completa, ou seja, R = 1 e T = 0. Para E/V0 > 1, o coeficiente de reflexão R diminui e o coeficiente de transmissão T aumenta. Isto ocorre gradativamente, de modo que, no limite de energias muito altas, o coeficiente de trasmissão aproxima-se do valor assintótico igual a 1. Figura 9.3: Coeficientes de reflexão e transmissão de uma partícula quântica que incide sobre um degrau de potencial, em função da energia da mesma. R ou T 1 0 R T 1 E / V0
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