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SISTEMAS LINEARES:

  1. EQUAÇÃO LINEAR:

Chama-se de equação linear, nas incógnitas x1; x2; x3; ...; xn toda equação do tipo:

a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b

Onde: a1; a2; ...; an são os coeficientes das incógnitas;

x1; x2; ...; xn são as incógnitas;

b é o termo independente.

OBS: O expoente das incógnitas deve ser um.

Exemplos:

São equações lineares:

a) 5x + 3y = 6

b) x - y - z + t + p = 4

c) 5x - 4y = 0

d) 3a + 4b - 5c = 6

Não são equações lineares:

a) x + 4y - 3zw = 0 (produto de duas incógnitas)

b) 1/x + 4/y - z = 3 (0 expoente de x e de y é -1)

c) 3a - 4b - = 3 (o expoente da variável c é 1/2)

  1. SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR:

Uma equação linear admite infinitas soluções.

Exemplo: Seja a equação linear x - 2y = 4. Esta equação admite como solução os pares: (6,1); (0,-2); (4,0), ...; e infinitos outros que obedeçam a relação: x = 4 + 2y. Portanto a cada novo valor atribuído a y temos o correspondente x. A solução que representa as infinitas soluções pode ser representada da forma: S = {(4 + 2y; y)}. Y é dito, neste caso variável livre.

  1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES:

É o conjunto de m (m  1) equações lineares, nas incógnitas x1, x2, x3, ..., xn.

OBS:

Todo sistema linear pode ser escrito na forma matricial.

Portanto as operações elementares sobre linhas das matrizes, serão utilizadas para a resolução de sistemas lineares.

EXEMPLO:

Seja o sistema linear:

FORMA MATRICIAL: . =

MATRIZ INCOMPLETA:

MATRIZ COMPLETA (ou Matriz Ampliada):

Onde a primeira coluna é formada pelos coeficientes da variável x, a segunda coluna pelos coeficientes da variável y; a terceira pelos coeficientes da variável z e, a quarta coluna são os termos independentes.

TEOREMA: Toda matriz Amxn é linha-equivalente a uma única matriz-linha reduzida à forma escada.

DEFINIÇÃO: Dada uma matriz Amxn, seja Bmxn a matriz-linha reduzida à forma escada equivalente a A. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B. Este número é o posto de A. A nulidade é a diferença entre colunas de A e o posto.

TEOREMA:

  1. Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes.

  2. Se duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n, a solução será única.

  3. Se as duas matrizes têm o mesmo posto e p < n, podemos escolher n-p incógnitas, e as outras p incógnitas serão dadas em função destas. (Diz-se que o grau de liberdade do sistema é n - p)

OBS: Denotaremos pc = posto da matriz dos coeficientes (incompleta) e pa = posto da matriz ampliada.

MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES:

Quando queremos resolver um sistema linear pelo método de Gauss, do escalonamento, podemos trabalhar com a matriz completa do sistema, realizando sobre as linhas as operações, dadas abaixo, que faríamos sobre as equações do sistema.

OPERAÇÕES:

  1. Permuta de linhas; (li  lj)

  2. Multiplicar uma linha por um número real não nulo; (kli)

  3. Somar a uma linha uma outra linha da matriz previamente multiplicada por um número real. (li  klj + li)

REGRA DE CRAMER (PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES)

  1. Só pode ser utilizado se o número de equaçoes igual ao número de incógnitas;

  2. Se o sistema é SPI, por esse método só podemos classificar o sistema (não é possível escrever a expressão que representa o conjunto solução do sistema;

  3. Será utilizado para discussão do sistemas lineares.

TEOREMA DE CRAMER:

Seja S um sistema linear com número de equações igual ao número de incógnitas.

Se o determinante da matriz incompleta do sistema for diferente de zero (D  0), então a sistema será possível e terá solução única (1, 2, ..., n), tal que:

i =  i  {1, 2, ..., n}

Onde Di é o Determinante da Matriz obtida de A, substituindo-se a i’ésima coluna pela coluna dos termos independentes das equações do Sistema.

Ou seja, para um sistema de 3 equações a 3 variáveis temos:

CLASSIFICAÇÃO DO SISTEMA SEGUNDO CRAMER:

Se o Sistema:

  1.   0SPD (Solução Única: O sistema é dito Possível e determinado)

  2. = 0 e todo i = 0SPI (Infinitas soluções: Sistema Possível e indeterminado devemos escrever a expressão algébrica que representa o conjunto solução).

  1. = 0e pelo menos um i 0SI (Sem Solução: O sistema é dito impossível).

EXEMPLO:

  1. Um sitiante dividirá uma área de 28 alqueires paulista (24.200 m2) em duas partes: numa plantará arroz e na outra milho. Expresse os informações dadas na forma de uma equação. Que área poderá destinar a cada uma destas plantações?

  1. Um sitiante dividirá uma área de 28 alqueires paulista em duas partes: numa plantará arroz e na outra milho. Ele espera vender a produção de cada alqueire de arroz por R$ 4.000,00 e, no caso do milho, por R$ 3.000,00 o alqueire. Por precaução, o sitiante deseja que os valores das vendas totais do arroz e do milho sejam iguais entre si. Que área deverá destinar a cada uma destas plantações?

  1. Um sitiante dividirá uma área de 28 alqueires em duas partes: numa plantará arroz e na outra milho. Ele espera vender a produção de cada alqueire de arroz por R$ 4.000,00 e, no caso do milho, por R$ 3.000,00 o alqueire. Por precaução, o sitiante deseja que os valores das vendas totais do arroz e do milho sejam iguais entre si. Além disso, ele deseja que o valor investido no plantio do arroz supere em R$ 30.000,00 o investido no milho. Se cada alqueire de arroz exige investimento de R$ 30.000,00 e, no caso do milho, de R$ 20.000,00; que área o sitiante deverá destinar a cada plantio?

O exemplo anterior nos mostra que as exigências de um problema podem ser insuficientes para determinar sua resposta; permitindo o aparecimento de inúmeras delas (Sistema SPI); podem ser adequadas, caso em que o problema terá única solução (sistema SPD); ou ainda, podem ser exageradas, impossibilitando a solução do mesmo (Sistema SI).

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (1):

  1. Determinada confecção produziu 3 tipos de camisas, sendo que: no primeiro dia produziu cinco unidades do tipo Esporte; dez unidades do tipo Passeio e cinco unidades do tipo Social. No segundo dia produziu quatro unidades do tipo Esporte, oito unidades do tipo Passeio e seis unidades do tipo Social. No terceiro dia produziu oito do tipo Esporte, onze do tipo Passeio e três do tipo Social. Sabendo que os custos totais de cada dia foram respectivamente, R$ 200,00; R$ 184,00 e R$ 210,00; determine o custo unitário de cada camisa. Resolva utilizando sistemas lineares.

  1. Uma florista quer comprar 450 unidades de flores entre rosas (R$ 2,50 a unidade), cravos (R$ 2,00 a unidade) e margaridas (R$ 1,50 a unidade). Se o capital que deve gastar é de R$ 2.500,00, quantas peças deve comprar de cada tipo de flor?

  1. Uma fábrica de refrigerante possui 270 litros de um xarope I e 180 litros de um xarope II. Cada unidade de um refrigerante A contem 500 ml do xarope I e 200 ml do xarope II e cada unidade de um refrigerante B contém 300 ml do xarope I e 300 ml do xarope II. Quantas unidades de A e B podem ser produzidas se for usado todo o estoque dos xaropes I e II? (300 de A e 400 de B)

  1. Um negociante trabalha com as mercadorias A, B e C, de cada uma tem um pequeno estoque não nulo. Se vender cada unidade de A por R$ 2,00, cada unidade de B por R$ 3,00 e cada unidade de C por R$ 4,00 obtém como receita R$ 50,00. Mas se vender cada unidade respectivamente por R$ 2,00; R$ 6,00 e R$ 3,00 a receita será de R$ 60,00. Calcular, utilizando sistemas lineares, o número de unidades que possui de cada uma das mercadorias.

  1. Uma máquina A produz x parafusos por minuto e uma outra máquina B produz y parafusos por minuto. Se A funcionar durante 3 minutos e B durante 2 minutos, serão produzidos 12.200 parafusos. Se A funcionar durante 2 minutos e B funcionar durante 3 minutos, serão produzidos 11.300 parafusos. Determine as taxas de produção x e y.

  1. Num laboratório, certas cobaias são submetidas a uma determinada dieta alimentar, na qual cada animal dever receber 20 gramas de proteína e 6 gramas de gordura. Os técnicos do laboratório elaboraram duas misturas com as seguintes composições:

MISTURA

PROTEÍNAS(g)

GORDURA(g)

A

10

6

B

20

2

Quantos gramas de cada mistura devem ser utilizados para se obter a dieta correta para um animal?

  1. Três ligas metálicas têm composições de massas de acordo com as seguintes porcentagens:

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