Aulas de Cálculo II do Stewart 1.1

Aulas de Cálculo II do Stewart 1.1

(Parte 1 de 4)

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Capítulo 14 Derivadas Parciais

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14.2 Limites e Continuidade

Nesta seção, aprenderemos sobre:

Limites e continuidade de vários tipos de funções.

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Vamos comparar o comportamento das funções quando x e y se aproximam de 0 [e, portanto, o ponto (x, y) se aproxima da origem].

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de

As tabelas a seguir mostram valores f (x, y) e g(x, y), com precisão de três casas decimais, para pontos (x, y) próximos da origem.

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Essa tabela mostra valores de f(x, y).

LIMITES E CONTINUIDADE Tabela 1

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Essa tabela mostra valores de g(x, y).

LIMITES E CONTINUIDADE Tabela 2

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Observe que nenhuma das funções está definida na origem.

Pareceque, quando(x, y) se aproximade (0, 0), osvaloresde f (x, y) se aproximamde 1, aopasso queosvaloresde g(x, y) nãose aproximamde valor algum.

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Essa nossa observação baseada em evidências numéricas está correta, e podemos escrever e não existe.

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Em geral, usamos a notação para indicar que:

Os valoresde f (x, y) se aproximamdo númeroL quandoo ponto(x, y) se aproximado ponto(a, b) ao longo de qualquer caminho contido no domínio da função f.

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Em outras palavras, podemos tornar os valores de f (x, y) tão próximos de L quanto quisermos tomando pontos (x, y) suficientemente próximos do ponto (a, b), mas não iguais a (a, b).

Uma definição mais precisa éa seguinte:

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LIMITE DE UMA FUNÇÃO Definição 1

Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D contém pontos arbitrariamente próximos de (a, b).

Dizemos que o limite de f(x, y) quando

(x, y) tende a (a, b) é L.

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Escrevemos se:

Para todonúmeroε> 0, existeum número correspondente δ> 0 talque, se

LIMITE DE UMA FUNÇÃO Definição 1

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Outras notações para o limite da Definição 1 são

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Observe que:

corresponde à distância entre os

;

númerosf (x, y) e L

éa distânciaentre o ponto(x, y)

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Assim, a Definição 1 diz que a distância entre f (x, y) e L pode ser feita arbitrariamente pequena se tomarmos a distância de (x, y) a (a, b) suficientemente pequena (mas não nula).

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A figura ilustra a Definição 1 por meio de um diagrama de setas.

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Se nos for dado um pequeno intervalo (L – ε, L + ε) em torno de L, então podemos determinar uma bola aberta D com centro em (a, b) e raio δ > 0 tal que f leve todos os pontos de D δ [exceto possivelmente (a, b)] no intervalo (L – ε, L + ε).

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Outra ilustração da

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