Aulas de Cálculo II do Stewart 1.0

Aulas de Cálculo II do Stewart 1.0

(Parte 1 de 4)

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Capítulo 14 Derivadas Parciais

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Até aqui tratamos o cálculo de funções de uma única variável.

No entanto, no mundo real, quantidades físicas frequentemente dependem de duas ou mais variáveis.

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Então, neste capítulo, nós:

focalizaremos nossa atenção e mfunções de várias variáveis;

estenderemos nossas ideias básicas do cálculo diferencial para tais funções.

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14.1 Funções de Várias Variáveis

Nesta seção, aprenderemos sobre:

Funções de duas ou mais variáveis e como produzir seus gráficos.

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Nesta seção estudaremos as funções de duas ou mais variáveis sob quatro pontos de vista diferentes:

verbalmente (pela descrição em palavras) numericamente (por uma tabela de valores)

algebricamente (por uma fórmula explícita)

visualmente (por um gráfico ou curvas de nível)

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A temperatura

T em um ponto da superfície da Terra em dado instante de tempo depende da longitude x e da latitude y do ponto.

PodemospensaremT comoumafunçãode duas variáveisx e y, oucomoumafunçãodo par (x, y).

Indicamos essa dependência funcional escrevendo T = f(x, y).

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O volume V de um cilindro circular depende de seu raio r e de sua altura h.

PodemosdizerqueV éumafunçãode r e de h.

EscrevemosV(r, h) = πr 2 h.

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Uma função f de duas variáveis éuma regra que associa a cada par ordenado de números reais (x, y) de um conjunto D um único valor real, denotado por f (x, y).

O conjuntoD éo domíniode f.

Suaimageméo conjuntode valorespossíveisde f, ouseja,

{f(x, y) | (x, y) ∈ D}

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Frequentemente escrevemos z = f(x, y) para tornar explícitos os valores tomados por f em um ponto genérico (x, y).

As variáveisx e y sãovariáveisindependentes; z éa variável dependente;

Compare com a notaçãoy =f(x) paraas funções de uma única variável.

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Uma função de duas variáveis é simplesmente aquela :

cujaimageméum subconjuntode R.

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Uma maneira de visualizar essa função é pelo diagrama de setas, no qual o domínio

D é representado como um subconjunto do plano xy.

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Se a função f é dada por uma fórmula e seu domínio não é especificado, fica subtendido que:

ƒo domíniode f éo conjuntode todosospares

(x, y) paraosquaisa expressãodada forneceum número real bem definido.

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Para cada uma das seguintes funções, calcule f (3, 2) e encontre o domínio.

x y fx y

FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS EXEMPLO 1

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