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o b j e t i v o s

Pré-requisitos

Meta da aula

O caso estacionário em uma dimensão

Aplicar o formalismo quântico no caso de o potencial ser independente do tempo.

• verificar que, no caso de o potencial ser independente do tempo, a equação de Schrödinger tem uma forma mais simples;

• calcular o valor esperado de operadores quânticos, em particular da energia;

• definir os conceitos de autovalor e autofunção de operadores quânticos;

Para uma melhor compreensão desta aula, é importante que você revise a Aula 5 desta disciplina, o conceito de equações diferenciais ordinárias (visto no curso de Cálculo), o conceito de hamiltoniano (Aula 7 de Mecânica) e o oscilador harmônico simples (Aula 3 de Mecânica).

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Note, porém, que há muitos outros casos, igualmente importantes, em que o potencial depende do tempo. Por exemplo, no caso de um campo elétrico oscilante devido a uma onda eletromagnética. Entretanto, como é usual, vamos iniciar nossos estudos com o caso mais simples.

Nas próximas aulas, vamos estudar alguns exemplos simples de sistemas quânticos unidimensionais sob o efeito de potenciais independentes do tempo. Esses sistemas são chamados de estacionários. Este é um caso muito comum em Física: por exemplo, um campo gravitacional e um campo elétrico estáticos produzem uma energia potencial que não depende do tempo, ou seja, em lugar da energia potencial V(x, t), devemos usar, na equação de Schrödinger, a forma mais simples V(x).

Nosso objetivo imediato será o de adquirir familiaridade com a resolução da equação de Schrödinger. No entanto, ao mesmo tempo, vamos analisar vários fenômenos interessantes que aparecem na teoria quântica. O interesse no caso estacionário unidimensional se deve não apenas porque, em muitas ocasiões, o fenômeno físico ocorre, efetivamente, em uma dimensão, mas também porque muitos outros problemas mais complexos podem ser reduzidos à solução de equações análogas à equação de Schrödinger em uma dimensão.

Mas antes de entrar em cada um desses problemas, vamos analisar a teoria quântica para o caso específico de o potencial ser independente do tempo. Se considerarmos uma partícula de massa m que se movimenta sobre o eixo x sob a influência de um potencial V(x), a equação de Schrödinger terá esta forma:

(6.1)

Nesse caso, em que o potencial é independente do tempo, podemos procurar soluções da Equação (6.1) que separam as partes dependentes de x e de t. Trata-se da conhecida técnica de separação de variáveis, muito comum no estudo de equações diferenciais parciais. Assim, propomos uma solução que tem a seguinte forma:

i x,t t m x,t

V x x,th

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Substituindo esta expressão parana equação de Schrödinger,

obtemos:

(6.3)
e chegarmos, assim, ao seguinte resultado:
(6.4)

Podemos, agora, dividir ambos os lados da equação por

Note que o lado esquerdo dessa equação depende apenas da variável tempo (t), enquanto o lado direito depende apenas da variável posição (x). Obviamente, uma igualdade como essa só pode ser verdadeira, para todo tempo t e valor da coordenada espacial x, se ambos os lados forem iguais a uma constante, que chamaremos de E. Assim, nossa equação a derivadas parciais se torna duas equações diferenciais ordinárias, com as variáveis t e x separadas:

A primeira equação é simples de ser resolvida, tendo como solução

, (6.6) em que A é uma constante arbitrária. Assim, mostramos que a solução geral para Ψ(x, t) tem esta forma:

,(6.7)

em que a constante A foi incorporada à função ψ(x).

i t d t dt m x d x

V x h hφ φ ψ ψ ( ) i t x t m x x t V x x t i x h dt m t x i d t dt E t m d x dx V x x E x h h φ φ

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Vejamos o que ocorre com a densidade de probabilidade no caso estacionário. Usando a Equação (4.3) da Aula 4 desta disciplina e substituindo a função de onda dada pela Equação (6.7), obtemos o seguinte:

, (6.8)
ou seja,se torna independente do tempo. Portanto,
(6.9)

a probabilidade de encontrarmos a partícula em uma região [a, b], com a < b, é dada por:

(6.10)

Do mesmo modo, se Ψ(x, t) estiver normalizada, ψ(x) o estará automaticamente:

Qual é a interpretação física da constante E? Até agora, parece que ela surgiu apenas como um artifício matemático. Mas, na verdade, veremos a seguir que E é nada menos que a energia total da partícula!

(6.7), na expressão para o valor esperado da energia,

1. Substituindo a função de onda Ψ(x, t), dada pela Equação , verifi que que a constante E efe- tivamente corresponde ao valor esperado da energia do sistema.

RESPOSTA COMENTADA Fazendo a substituição sugerida, obtemos:

No último passo, usamos a condição de normalização para ψ(x).

P a,b x dx a

E i x,t x,t

E i x,t x,t dx i x e x d e e dx E x x dx EiEt iEt h

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Vamos agora olhar com mais atenção para a segunda das equações (6.5), que deve ser satisfeita pela função de onda ψ(x):

(6.1)

Essa é uma equação diferencial ordinária conhecida como equação de Schrödinger independente do tempo. A função de onda ψ(x) é sempre uma função contínua e, sempre que o potencial V(x) for finito, com derivada também contínua. A equação de Schrödinger independente do tempo tem um papel de grande importância prática na Física Quântica: ela aparece com muito mais freqüência no dia-a-dia dos físicos do que a própria equação de Schrödinger dependente do tempo. Isso porque, como dissemos antes, as situações em que a energia potencial é independente do tempo são muito freqüentes. A grande maioria dos exemplos tratados nesta disciplina envolvem resolver essa equação.

A equação de Schrödinger independente do tempo (6.1) pode ser escrita da seguinte forma:

,, (6.12)
(6.13)

onde é o operador hamiltoniano. Note que, em analogia com a

Mecânica Clássica, o operador hamiltoniano é dado pela soma dos operadores energia cinética e energia potencial (lembre-se da Aula 7 da disciplina Mecânica). Utilizando a Equação (5.4) da Aula 5, verificamos que o primeiro termo da Equação (6.13) pode ser associado à energia cinética p2/ 2m.

geral, uma equação de autovalores tem a forma, em que O é

A Equação (6.12) é um exemplo de equação de autovalores. Em um operador e λ é um número, conhecido como autovalor do operador. A função ψ que satisfaz à equação de autovalores é conhecida como autofunção do operador. No nosso caso específico, dizemos que a

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