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o b j e t i v o s

Pré-requisitos

Metas da aula

Operadores momento e energia e o Princípio da Incerteza

Definir os operadores quânticos do momento linear e da energia e enunciar o Princípio da Incerteza de Heisenberg.

• calcular grandezas associadas aos operadores momento linear e energia;

Para uma melhor compreensão desta aula, é importante que você revise a Aula 4 desta disciplina e o fenômeno de difração da luz (Aula 8 de Física 4A).

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Vimos, na Aula 4 desta disciplina, que devemos associar um operador quântico a cada grandeza física. Observamos também que o conhecimento da função de onda nos permite calcular o valor esperado (ou valor médio) de um conjunto muito grande de medidas dessa grandeza física. O momento linear (ou quantidade de movimento) e a energia de um sistema são duas quantidades de importância fundamental na Mecânica Clássica e isto não é diferente na Mecânica Quântica. Então, quais são os operadores quânticos associados a essas grandezas?

Podemos reescrever a equação de Schrödinger, Equação (4.2), de uma forma um pouco diferente:

(5.1)

Note que, como esta equação deve ser válida para qualquer solução Ψ(x,t), ela é equivalente à relação entre operadores diferenciais:

(5.2)
,(5.3)

Se compararmos esta relação com a relação clássica vemos que podemos associar as quantidades clássicas energia E e momento linear p aos seguintes operadores diferenciais:

(5.4)

Portanto, postular a equação de Schrödinger, como fizemos na

Aula 4, é equivalente a postular a associação entre as quantidades clássicas e as quânticas (5.4).

i t x,t m x

V x,t x,th i t m

V x,th

E p p i x

O procedimento baseado na associação entre as quantidades clássicas e as quânticas (5.4) foi, essencialmente, o seguido por Schrödinger para derivar a sua equação.

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A partir da defi nição do operador momento linear, primeira das associações da Equação (5.4), podemos calcular o valor esperado do momento, utilizando a receita prescrita na Equação (4.9):

Da mesma forma, podemos calcular o valor esperado da energia, (5.6)

1. Considere mais uma vez a função de onda do estado fundamental do poço infi nito, descrita na Aula 4.

a. Calcule o valor esperado do momento linear p e interprete seu resultado.

b. Calcule o desvio-padrão ou incertezapara o

estado fundamental do poço infi nito.

RESPOSTA COMENTADA a. O valor esperado do momento linear é dado por:

a x a e i x a x a e dx ia iEt cos ( ) cos π π h h h ππ π πa xa x a

1. Considere mais uma vez a função de onda do estado fundamental do poço infi nito, descrita na Aula 4.

a. Calcule o valor esperado do momento linear resultado.

b. Calcule o desvio-padrão ou incertezapara o

E x,t E x,t dx x,t i t x,t dx

E i p x,t p x,t dx x,t i x x,t dx i x,t x,t

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Mais uma vez, podemos entender este resultado por argumentos de simetria. Como o poço é simétrico, há a mesma probabilidade de se encontrar a partícula com velocidade (ou momento) para a direita ou para a esquerda, de modo que o valor esperado do momento é nulo.

b. A incerteza no momento linear é obtida por:

Como já dissemos anteriormente, conheceremos o estado de uma partícula clássica se soubermos sua posição e sua velocidade (ou momento) em um dado instante de tempo. Na Física Clássica, não há limitação teórica para a precisão com que podemos conhecer essas grandezas. Ou seja, classicamente, podemos conhecer a posição e a velocidade com precisão absoluta (ou incerteza nula); o que nos limita é apenas a precisão de nossos instrumentos de medida. Em princípio, poderíamos tornar nossos instrumentos tão precisos quanto quiséssemos.

Mas o mesmo não acontece na Física Quântica. Vimos na aula passada que, na Física Quântica, a relação entre um sistema físico e o observador é bem diferente que na Física Clássica. Para observar um sistema ou medir alguma de suas propriedades é preciso, necessariamente, interferir ou interagir com ele. Essa interação dá origem a imprecisões ou incertezas intrínsecas nas medidas que tentamos realizar. Esta é uma propriedade fundamental da natureza, da qual não podemos nos ver livres, ainda que melhoremos ao máximo nossos instrumentos de medida!

Essa propriedade da natureza pode ser enunciada através do famoso Princípio da Incerteza, formulado pelo físico alemão Werner Heisenberg (Figura 5.1). Segundo ele, a incerteza ∆x na medida da posição de uma partícula quântica está relacionada à incerteza na medida de seu momento ∆p pela seguinte desigualdade:

(5.7) ∆∆xp≥h

∆p p p p a x a x x a cos cos π π πh h ccos.

x dx p a

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que o produto das incertezas nunca é menor que

Isto quer dizer que é impossível determinar com precisão absoluta (incerteza nula) a posição e o momento de uma partícula quântica, simultaneamente. Se fizermos uma medida muito precisa da posição, teremos uma imprecisão grande no momento (e vice-versa), de modo

O Princípio da Incerteza parece incompatível com nosso conceito clássico de partícula, algo que sempre imaginamos como tendo uma posição e uma velocidade bem definidas. Mas isto, mais uma vez, apenas reflete a inadequação de aplicarmos esse conceito aos objetos quânticos. Lembre-se: temos de usar a matemática das ondas! E, se pensarmos em ondas de probabilidade, o Princípio da Incerteza surge de forma muito natural e nada misteriosa. Podemos ver como isso funciona, se analisarmos um fenômeno ondulatório já bem conhecido de todos nós: a difração, que estudamos na Aula 8 de Física 4A.

Figura 5.1: O físico alemão Werner Heisenberg (1901-1976), que formulou o Princípio da Incerteza. Heisenberg ganhou o Prêmio Nobel de Física de 1932.

Vamos relembrar este fenômeno? Veja a Figura 5.2. Ela mostra a difração de uma onda plana, vinda da esquerda, por uma fenda de largura ∆x. A fenda difrata a onda, espalhando-a em várias direções. A curva no painel à direita mostra a intensidade da onda detectada no anteparo. Note que o pico central tem uma largura angular θ, que você calculou na Aula 8 de Física 4A:

(5.8)

Anteparo

Onda plana θ θ≈ =sen λ

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