Baixe força movimento 2 e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Versão preliminar 7 de setembro de 2002 Notas de Aula de Física 06. FORÇA DE ATRITO ..................................................................................................... 2 ATRITO .............................................................................................................................. 2 ENTRE TAPAS E BEIJOS ....................................................................................................... 3 O ATRITO AO MICROSCÓPIO................................................................................................. 4 UMA FÓRMULA PARA A FORÇA DE ATRITO.............................................................................. 5 SI NO EXISTIERA ROZAMIENTO............................................................................................. 5 MOVIMENTO CIRCULAR E UNIFORME - FORÇA CENTRÍPETA ..................................................... 6 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 8 11 .................................................................................................................................. 8 16 .................................................................................................................................. 8 21 ................................................................................................................................ 10 22 ................................................................................................................................ 11 24 ................................................................................................................................ 12 26 ................................................................................................................................ 13 31 ................................................................................................................................ 14 35 ................................................................................................................................ 17 36 ................................................................................................................................ 18 37 ................................................................................................................................ 19 39 ................................................................................................................................ 20 41 ................................................................................................................................ 21 47 ................................................................................................................................ 22 51 ................................................................................................................................ 22 54 ................................................................................................................................ 23 57 ................................................................................................................................ 24 62 ................................................................................................................................ 24 63 ................................................................................................................................ 25 70 ................................................................................................................................ 26 Prof. Romero Tavares da Silva Cap 06 romero@fisica.ufpb.br 2 06. Força de atrito Sempre que a superfície de um corpo escorrega sobre outro, cada corpo exerce sobre o outro uma força paralela às superfícies. Essa força é inerente ao contato entre as superfícies e chamamos de força de atrito. A força de atrito sobre cada corpo tem sentido oposto ao seu movimento em relação ao outro corpo. As forças de atrito que atuam entre superfícies em repouso relativo são chamadas de forças de atrito estático, em contraposição às forças de atrito cinético que acontece entre superfícies que têm movimento relativo. Existe atrito entre superfícies em repouso quando acontece uma tendência ao movimento. Para um tijolo em parado numa ladeira, há uma tendência ao movimento, mas a força de atrito entre as superfícies em contato mantém o tijolo em repouso. A força de atrito estático máxima entre duas superfícies será igual à força mínima necessária para iniciar o movimento relativo. Iniciado o movimento, as forças de atrito que atuam entre as superfícies usualmente decrescem, passando a atuar a força de atrito ci- nético, de modo que uma força menor será suficiente para manter o movimento. Atrito Algumas leis empíricas para o atrito estático máximo entre superfícies foram pro- postas por Leonardo da Vinci (≈ 1500) tais como: i. Sempre que a superfície de um corpo escorrega sobre outro, cada corpo exerce sobre o outro uma força paralela às superfícies. Essa força é inerente ao contato entre as superfícies e chamamos de força de atrito. A força de atrito sobre cada corpo tem sentido oposto ao seu movimento em relação ao outro corpo. ii. A força de atrito estático máxima entre duas superfícies será igual à força mínima necessária para iniciar o movimento relativo. iii. Iniciado o movimento, as forças de atrito que atuam entre as superfícies usual- mente decrescem, pois entra em ação a força de atrito cinético, de modo que uma força menor será suficiente para manter o movimento. iv. A força de atrito independe da área de contato entre o corpo e a superfície que o suporta. Quanto maior a área de contato menor a pressão que o corpo exerce so- bre a superfície. Esse fato significa que a força necessária para arrastar um tijolo metálico sobre uma mesa metálica é a mesma, não importando qual a face do tijolo esteja em contato com a mesa. Podemos entender esse resultado considerando que a área microscópica de contato será a mesma em ambas as situações. v. A força de atrito é proporcional à força normal que a superfície exerce sobre o cor- po considerado. A normal é proporcional a quantidade de microsoldas que existirão entre as superfícies. Prof. Romero Tavares da Silva Cap 06 romero@fisica.ufpb.br 5 Uma fórmula para a força de atrito Na última festa junina ocorrida na sua escola, o professor de Física, meio alterado após o árduo trabalho na barraquinha do quentão, decide comprovar algumas teorias físi- cas para uma platéia estarrecida. Sua façanha: subir no pau-de-sebo. Para diminuir o ve- xame, que sugestões você daria para aumentar a força de atrito e facilitar a escalada do mestre? Em primeiro lugar, provavelmente você irá sugerir ao professor que agarre bem forte no pau de sebo. Com isso você estará garantindo que a força normal seja grande, o que irá causar maior atrito. Mas também é possível tentar alterar um pouco os materiais em interação, talvez passando areia na roupa e na mão. Ou seja, estamos sugerindo um coeficiente de atrito maior. Uma maneira matemática de expressar essas possibilidades é através da seguinte fór- mula: Fatrito = µ Fnormal A letra grega µ indica o coeficiente de atrito entre as superfícies (aquela história da areia) e Fnormal indica o valor da força normal entre as duas superfícies, quer dizer, a agarrada forte que o professor deve dar. Pela fórmula, você pode ver que quanto maior forem esses maior será o atrito. Leituras de Física - MECÂNICA - Capítulo 16 GREF - Grupo de Reelaboração do Ensino de Física Instituto de Física da USP - junho de 1998 Si no Existiera Rozamiento Ya hemos visto lo diversas e inesperadas que son las formas en que se manifiesta el rozamiento anuestro alrededor. El rozamiento toma parte muy importante incluso allí donde nosotros ni lo sospechamos. Si el rozamiento desapareciera repentinamente, muchos de los fenómenos ordinarios se desarrollarían de formas completamente distintas. El papel del rozamiento fue descrito de una manera muy pintoresca por el físico francés Guillaume: "Todos hemos tenido ocasión de salir a la calle cuando ha helado. !Cuánto trabajo nos ha costado evitar las caídas! ¡Cuántos movimientos cómicos tuvimos que hacer para poder seguir en pie! Esto nos obliga a reconocer que, de ordinario, la tierra por que andamos posee una propiedad muy estimable, gracias a la cual podemos conservar el equilibrio sin gran esfuerzo. Esta misma idea se nos ocurre cuando vamos en bicicleta por un pavimento resbaladizo o cuando un caballo se escurre en el asfalto y se cae. Estudiando estos fenómenos llegamos a descubrir las consecuencias a que nos conduce el rozamiento. Los ingenieros procuran evitar el rozamiento en las máquinas, y hacen bien. En la Mecánica aplicada se habla del rozamiento como de un fenómeno muy pernicioso, y esto es cierto, pero solamente dentro de los límites de un estrecho campo especial. En todos los demás casos debemos estar agradecidos al rozamiento. El nos da la posibilidad de andar, de estar sentados y de trabajar sin temor a que los libros o el Prof. Romero Tavares da Silva Cap 06 romero@fisica.ufpb.br 6 tintero se caigan al suelo o de que la mesa resbale hasta toparse con algún rincón o la pluma se nos escurra de entre los dedos. El rozamiento es un fenómeno tan difundido que, salvo raras excepciones, no hay que pedirle ayuda; él mismo nos la ofrece. El rozamiento da estabilidad. Los albañiles nivelan el suelo de manera que las mesas y las sillas se quedan allí donde las ponemos. Si sobre una mesa colocamos platos, vasos, etc., podemos estar tranquilos de que no se moverán de sus sitios, a no ser que esto ocurra en un barco cuando hay oleaje. Imaginémonos que el rozamiento se puede eliminar por completo. En estas condiciones, los cuerpos, tengan las dimensiones de una peña o las de un pequeño granito de arena, no podrán apoyarse unos en otros: todos empezarán a resbalar o rodar y así continuarán hasta que se encuentren a un mismo nivel. Si no hubiera rozamiento, la Tierra sería una esfera sin rugosidades, lo mismo que una gota de agua." A esto podemos añadir, que si no existiera el rozamie nto los clavos y los tornillos se saldrían de las paredes, no podríamos sujetar nada con las manos, los torbellinos no cesarían nunca, los sonidos no dejarían de oírse jamás y producirían ecos sin fin, que se reflejarían en las paredes sin debilitarse. Las heladas nos dan siempre buenas lecciones de la gran importancia que tiene el rozamiento. En cuanto nos sorprenden en la calle nos sentimos incapaces de dar un paso sin temor a caernos. Como muestra instructiva reproducimos las noticias que publicaba un periódico en una ocasión (en diciembre de 1927): "Londres, 21. Debido a la fuerte helada, el tráfico urbano y tranviario se ha hecho muy difícil en Londres. Cerca de 1 400 personas han ingresado en los hospitales con fracturas de brazos y piernas". "Cerca del Hyde Park chocaron tres automóviles y dos vagones del tranvía. Los automóviles resultaron totalmente destruidos por la explosión de la gasolina ..." "París, 21. La helada ha ocasionado en París y sus alrededores numerosos accidentes ..." Y sin embargo, el hecho de que el hielo ofrezca poco rozamiento puede ser útil para fines técnicos. Un ejemplo son los trineos ordinarios. Otra demostración aun más convincente son los llamados caminos de hielo, que se hacían para transportar los leños desde el lugar de la tala hasta el ferrocarril o hasta el punto de lanzamiento a un río para su transporte por flotación. Por estos caminos (fig. 23), que tienen una especie de raíles lisos helados, un par de caballos puede arrastrar un trineo cargado con 70 toneladas de troncos. Física Recreativa II Yakov Perelman Capitulo Segundo Movimento circular e uniforme - Força centrípeta Os corpos que se deslocam com movimento circular e uniforme têm em comum uma aceleração da mesma forma - a mesma equação, independente da força que causa este tipo de movimento. Se o corpo tiver uma massa m e desenvolver uma velocidade v em um círculo de raio r , a sua aceleração centrípeta será: Prof. Romero Tavares da Silva Cap 06 romero@fisica.ufpb.br 7 r vac 2 = e a força associada à essa aceleração terá a forma: r vmmaF cC 2 == A força centrípeta não tem origem física, mas é uma característica dos corpos que se movimentam em trajetórias curvas. Se a força de interação gravitacional mantiver um corpo de massa m1 girando em torno de um outro corpo de massa m2 com velocidade v em um círculo de raio r , tere- mos: 2 21 r mmGFG = e a força centrípeta r vmFc 2 1= Mas como a força gravitacional é quem mantém o movimento circular e uniforme, temos que: 2 21 2 1 r mmG r vmFF cG =⇒= O mesmo poderia ser dito para o movimento de uma partícula de massa mA e carga QA que gira em torno de outra partícula de massa mB e carga QB , com veloci- dade V em um círculo de raio R sob a ação da força elétrica de interação entre essas cargas, ou força de Coulomb: 2R QQkF BAE = e a força centrípeta R VmF Ac 2 = Mas como a força elétrica é quem mantém o movimento circular e uniforme, temos que: 2 2 R QQk R VmFF BAAcE =⇒= Prof. Romero Tavares da Silva Cap 06 romero@fisica.ufpb.br 10 Capítulo 6 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 21 Um bloco desliza para baixo com velocidade constante sobre um plano com inclina- ção θ . Em seguida, é lançado para cima sobre o mesmo plano com uma velocidade escalar inicial v0 . a) Que altura do plano alcançará antes de parar? Bloco descendo y N ! aF ! x θ θ P ! Bloco subindo y N ! aF ! x θ θ P ! Quando está descendo o bloco tem velocidade constante, logo aceleração nula, portanto: 0=++ aFPN !!! Decompondo segundo os eixos carte- sianos:     =− =− 0cos 0sen θ θ PN FP a Mas Fa = µC N = = µC P cosθ , logo P senθ = µC P cosθ logo µC = tanθ Quando está subindo o bloco tem velo- cidade variável, logo aceleração não nula, portanto: amFPN a !!!! =++ Decompondo segundo os eixos carte- sianos:     =− =+ 0cos sen θ θ PN maFP a ma = P senθ + µC P cosθ ma = P senθ + tanθ P cosθ a = 2g senθ Como a desaceleração do bloco na subida será a = 2g senθ : θsen42 2 2 0 2 02 0 2 g v d a v dadvv =⇒=∴−= g v hdh 4 sen 2 0=∴= θ b) Ele deslizará para baixo novamente? Justifique a sua resposta. Não! Como ele estava deslizando com velocidade constante na descida, a incli- nação do plano era suficiente apenas para "compensar" o atrito cinético. Mas o atrito estático máximo é maior que o atrito cinético, logo ao parar (na subida) ele permanecerá parado. Prof. Romero Tavares da Silva Cap 06 romero@fisica.ufpb.br 11 Capítulo 6 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 22 Uma caixa de 68kg é puxada pelo chão por uma corda que faz um ângulo de 150 acima da horizontal. a) Se o coeficiente de atrito estático for µe = 0,50 , qual a tensão mínima necessária para iniciar o movimento da caixa? F ! θ Vamos considerar que a força de atrito estático atingiu o seu máximo, a resultante das forças que atuam no corpo ainda é nula. Nesse caso: 0=+++ PFNF a !!!! N ! F ! aF ! θ P ! Considerando o eixo y: N + F senθ - P = 0 ou seja: N = P - F senθ Considerando o eixo x: F cosθ - Fa = 0 ou seja: Fa = µe N = F cosθ logo: y N ! aF ! F ! θ x P ! θ µ θ sencos FPFN e −== e finalmente θµθ µ sencos e ePF + = = 304,19N b) Se o coeficiente de atrito cinético for µc = 0,35 , qual a sua aceleração inicial? Usando a segunda Lei de Newton: amPFNF a !!!!! =+++ Considerando o eixo y: N + F senθ - P = 0 ou seja: N = P - F senθ Considerando o eixo x: F cosθ - Fa = ma onde Fa = µc N = µc P - µc F senθ logo: ma = F cosθ + µc F senθ - µc P ( ) g m Fa cc µθµθ −+= sencos = 1,29m/s 2 Prof. Romero Tavares da Silva Cap 06 romero@fisica.ufpb.br 12 Capítulo 6 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 24 Na figura a seguir, A e B são blocos com pesos de 44N e 22N , respectivamente. a) Determine o menor peso (bloco C) que deve ser colocado sobre o bloco A para impedi-lo de deslizar, sabendo-se que µE entre o bloco A e a mesa é 0,20. C A B N ! aF ! T ! T ′ ! CA PP !! + BP ! Para que não exista movimento, a resultante de forças que atuam nos blocos devem ser nulas, e o atrito estático entre o bloco A e a mesa deve ser máximo: [            =′−∴=′+      =− =−− ∴=++++ 00 0 0 0 TPTP FT PPN FPPTN BB a CA aCA !! !!!!! Como a corda que liga os blocos A e B tem massa desprezível, temos que T = T´ . Desse modo: T = Fa = µE N = µE ( PA + PC ) Por outro lado: T = T´ = PB ∴ T = PB = µE ( PA + PC ) ou seja: A E B C P P P −= µ = 66N Prof. Romero Tavares da Silva Cap 06 romero@fisica.ufpb.br 15 Quando o sistema estiver parado, mas com tendência para que o bloco B se mova para baixo. TA = PA ∴ TB = TA = PA O bloco B só poderá mover-se ao longo do plano inclinado, logo é nula a resul- tante das forças perpendiculares a esse plano que atuam nesse bloco. Ou seja: N - PB cosθ = 0 ∴ N = PB cosθ Mas Fa = µE N = µE PB cosθ Afora a força de atrito, existem outras forças que atuam paralelamente ao plano inclinado. Vamos chamar a resultante dessas forças de F , portanto: F = PB senθ - TB = PB senθ - PA essa força puxará o bloco para baixo, e ele mover-se-á quando F for maior ou igual a força de atrito estático máxima: Se F ≥ µE N acontecerá movimento Usando os valores dados no enunciado, encontramos que: F = 35,56N e µE N = 43,75N Conclusão: Se o conjunto, estiver parado, vai permanecer desse modo. b) Determine a aceleração do sistema se B estiver movendo-se para cima no pla- no inclinado. AT ! BT ! N ! aF ! AP ! BP ! θ y X Y AT ! BT ! N ! AP ! θ aF ! BP ! Aplicando a segunda Lei de Newton para os dois corpos, teremos:      =+ =+++ AAAA BBaBB amPT amFNPT !!! !!!!! Como os dois blocos estão conectados por uma corda inextensível, quando um deles se deslocar de uma distância ∆s num intervalo de tempo ∆t o outro se deslocará da mesma distância no mesmo intervalo de tempo, logo as suas acele- rações serão as mesmas, em módulo. Ou seja: Prof. Romero Tavares da Silva Cap 06 romero@fisica.ufpb.br 16 aA = aB = a Como a corda tem massa desprezível, podemos mostrar que as tensões são iguais, ou seja: TA = TB = T Vamos supor que o primeiro bloco irá descer. Caso essa suposição não seja ver- dadeira a aceleração terá o sinal negativo. Para o primeiro bloco, temos as se- guintes equações: N - PB cosθ = 0 T - PB senθ - Fa = mB a onde Fa = µc N = µc PB cosθ , e para o segundo corpo: PA - T = mA a Somando as duas últimas equações, encontramos: PA - PB senθ - µc PB cosθ = (mA + mB) a ou seja: ( ) g mm mm a BA cBA       + +− = θµθ cossen = - 3,88m/s2 O resultado do cálculo da aceleração ser negativo indica que a suposição do cor- po B subir é inconsistente, em outras palavras: ele não subirá. c) Determine a aceleração do sistema se B estiver movendo-se para baixo no pla- no inclinado. AT ! aF ! BT ! N ! AP ! BP ! θ y X Y AT ! aF ! BT ! N ! AP ! θ BP ! Esse problema é basicamente igual ao do item anterior, com a diferença que a força de atrito aponta no sentido contrário. As equações vetoriais são as mesmas      =+ =+++ AAAA BBaBB amPT amFNPT !!! !!!!! As componentes são: N - PB cosθ = 0 PB senθ - Fa - T = mB a Prof. Romero Tavares da Silva Cap 06 romero@fisica.ufpb.br 17 onde Fa = µc N = µc PB cosθ , e para o segundo corpo: T - PA = mA a Somando as duas últimas equações, encontramos: PB senθ - µc PB cosθ - PA = (mA + mB) a ou seja: ( ) g mm mm a AB AcB       + −− = θµθ cossen = +1,02m/s2 Capítulo 6 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 35 Dois blocos de massas m1 = 1,65kg e m2 = 3,30kg , deslizam para baixo sobre um plano inclinado, conectadas por um bastão de massa desprezível com m1 seguindo m2 . O ângulo de inclinação é θ = 300 . O coeficiente de atrito entre m1 e o plano é µ1 = 0,226 e entre m2 e o plano é µ2 = 0,113 . Calcule: a) A aceleração conjunta das duas massas. m1 m2 θ 1N ! 1aF ! 2aF ! θ T ! 2N ! 1P ! T ′ ! θ 2P ! Corpo 1 11111 amNFPT a !!!!! =+++ Corpo 2 22222 amNFPT a !!!!! =+++′ Como o bastão é inextensível as acelerações dos blocos são iguais, e como esse bastão tem massa desprezível as forças T e T´ têm mesmo módulo. desse modo: T + P1 senθ - Fa1 = m1 a N1 - P1 cosθ = 0 -T + P2 senθ - Fa2 = m2 a N2 - P2 cosθ = 0 T + P1 senθ - µ1 P1 cosθ = m1 a -T + P2 senθ - µ2 P2 cosθ = m2 a Somando essas duas equações, encontramos ( P1 + P2 ) senθ - ( µ1 P1 + µ2 P2 ) cosθ = ( m1 + m2 ) a ou seja: Prof. Romero Tavares da Silva Cap 06 romero@fisica.ufpb.br 20 b bC b m PF a µ− = = 6,08m/s2 b) Qual a aceleração resultante da tábua? A única força horizontal que atua na tábua é Fa´ que é a reação à força de atrito que atua no bloco, logo: t bC ttta m P aamF µ =∴=′ = 0,98m/s2 Capítulo 6 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 39 Uma caixa desliza para baixo através de uma calha de perfil de 900 , que está incli- nada de um ângulo θ em relação à horizontal, conforme mostra a figura. O coefici- ente de atrito cinético entre elas é µC . Qual a aceleração da caixa em função de µC , θ e g ? eN ! dN ! N ! de NNN !!! += N ! aF ! θ θ P ! Como é de 900 o ângulo entre os vetores eN ! e dN ! , e como eles têm o mesmo módulo: 222 ede NNNN =+= Por outro lado: ( )     ==+=+=⇒ = = 2 22 NNNNFFF NF NF CeCdeCadaea dCad eCae µµµ µ µ NF Ca µ2= Com essa última equação, temos um problema em três dimensões transformado em um outro problema equivalente em duas dimensões. Usando a figura acima da direi- ta:     =− =− ∴=++ maFP PN amFPN a a θ θ sen 0cos !!!! θµθµθθ cos2sen2sensen mgmgNmgFmgma CCa −=−=−= ( )θµθ cos2sen Cga −= Prof. Romero Tavares da Silva Cap 06 romero@fisica.ufpb.br 21 Capítulo 6 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 41 Uma caixa de areia inicialmente em repouso, é puxada pelo chão por uma corda onde a tensão não pode ultrapassar 1100N . O coeficiente de atrito estático entre o chão e a caixa é 0,35 . a) Qual deverá ser o ângulo da corda em relação à horizontal, de forma a permitir puxar a maior quantidade de areia possível? A maior dificuldade será colocar a caixa em movimento. Devemos encontrar o ângulo adequado para que a força ex- terna seja suficiente para equilibrar a força de atrito estático máximo y N ! F ! aF ! θ P ! Quando a caixa estiver prestes a se mover, a força resultante ainda será nula:     =−+ =− ⇒=+++ 0sen 0cos 0 PNT FT FNPT a a θ θ !!!! θ θµ sen cos TP T N N N F Ea − == µE( P - T senθ ) = T cosθ ∴ P(θ ) = T ( cosθ + µE senθ )/µE ( ) EE E T d dP µθθµθ µθ =⇒=+−= 0tan0cossen θ0 = arc tan µE = 19,290 b) Qual o peso da caixa de areia nessa situação? P(θ0) = TM ( cosθ0 + µE senθ0)/µE = 3329,77N Gráfico do peso máxi- mo possível de ser ar- rastado pela corda, em função do ângulo de aplicação da força ex- terna. Prof. Romero Tavares da Silva Cap 06 romero@fisica.ufpb.br 22 Capítulo 6 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 47 Se o coeficiente de atrito estático dos pneus numa rodovia é 0,25 , com que veloci- dade máxima um carro pode fazer uma curva plana de 47,5m de raio, sem derrapar? A resultante das forças que atuam no corpo é:     = =− ∴=++ maF PN amFPN a a 0 !!!! A força resultante é a força de atrito, pois na direção vertical existe um equilíbrio entre as forças que atuam aF ! N ! aF ! P ! no carro. E é essa força resultante que possibilita o corpo descrever uma trajetória circular com velocidade constante. Desse modo a força de atrito será a força centrí- peta. Rgv R mvmgmaF EEa µµ =∴=⇒= 2 = 10,78m/s = 38,80km/h Capítulo 6 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 51 Uma curva circular de uma auto-estrada é projetada para velocidades de 60km/h . a) Se o raio da curva é de 150m , qual deve ser o ângulo de inclinação da rodovia? N ! θ aF ! θ θ P ! RF ! θ Vamos considerar uma situação que envolva os dois itens, a estrada é inclinada e tem atrito. O desenho da direita mostra a força resultante, e como já foi dito é conhecida como força centrípeta. Usando a segunda Lei de Newton:     =+ =−− ∴=++ maFN PFN amFPN a a a θθ θθ cossen 0sencos !!!! Da primeira equação da direita, encontramos que: θµθ sencos E PN − = Prof. Romero Tavares da Silva Cap 06 romero@fisica.ufpb.br 25 Nos pontos mais alto e mais baixo, a segunda Lei de Newton diz que: R vaondeamNP 2 ==+ !!! Ponto mais alto P - NA = ma Ponto mais baixo NB - P = ma Onde NA e NB são as normais nos pontos mais alto e mais baixo respectiva- mente. A normal é uma reação do assento ao corpo do estudante que está sen- tado nele. Se estivesse sentado em uma balança colocada nesse assento, ela mostraria exatamente o valor de N , que é por isso chamado de peso aparente. Igualando as duas últimas equações, encontramos: P - NA = NB - P ∴ NB = 2P - NA = ( 2m - mA ) g = 80 . 9,8 NB = 784Newt e mB = 80kg b) E no ponto mais alto, se a velocidade da roda gigante dobrar? ( )        ==′− =− R vm R vmNP R vmNP A A 22 2 42 PNNNPNP R vm AAAA 344 2 −=′∴−= ′− = NA´= 196Newt e mA´ = 20kg Capítulo 6 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 63 Uma pedra presa à ponta de uma corda gira em um círculo vertical de raio R . De- termine a velocidade crítica, abaixo da qual a corda pode afrouxar no ponto mais alto. T ! P ! A velocidade mínima para a corda não afrouxar é àquela para a qual teremos T = 0 , logo: Rgv R vmmgamP =∴=⇒= 2!! Prof. Romero Tavares da Silva Cap 06 romero@fisica.ufpb.br 26 Capítulo 6 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 70 A figura a seguir mostra uma bola de 1,34kg presa a um eixo girante vertical por duas cordas de massas desprezíveis. As cordas estão esticadas e formam os lados de um triângulo equilátero vertical. A tensão na corda superior é de 35N . a) Desenhe o diagrama de corpo isolado para a bola. L = 1,70m m = 1,34kg TS = 35N ST ! L IT ! P ! r b) Qual a tensão na corda inferior? Usando a segunda Lei de Newton:     = ==++ θcos 2 Lr R vaondeamPTT IS !!! Decompondo as forças segundo os ei- xos cartesianos definidos na figura ao lado: y ST ! θ x θ IT ! P !     −−= += PTT TTma IS IS θθ θθ sensen0 coscos Da última equação, encontramos: θsen PTT SI −= Como o triângulo formado pelos tirantes e o eixo é isósceles o ângulo entre os tirantes é 600 e consequentemente θ = 300 . Desse modo: TI = 8,736N c) Qual a força resultante sobre a bola, no instante mostrado na figura? Prof. Romero Tavares da Silva Cap 06 romero@fisica.ufpb.br 27 θ θ θθθ cos sen coscoscos      −+=+= PTTTTma SSIS F = ma = 2 TS cosθ - P cotθ = 37,876N d) Qual a velocidade da bola? m Flv l vm r vmF θ θ cos cos 22 =∴== = 6,45m/s