Folha de exercícios de Cálculo 1 - Eng Elétrica UFPI

Folha de exercícios de Cálculo 1 - Eng Elétrica UFPI

Universidade Federal do Piauı - UFPI

Primeira Lista de Exercıcios

Disciplina: Calculo Diferencial e Integral I (Engenharia Eletrica)

Carga Horaria: 90 h/a Prof. Dr. Juscelino Silva

1. Mostre que todo polinomio de 2o grau p(x) e da forma

2. Calcule os seguintes limites:

senx

(d) limx→p senx−senp

(e) limx→p cosx−cosp

(f) limx→p tanx−tanp

3. Encontre as assıntotas verticais da funcao

4. Mostre que y(t) = tet e solucao da Equacao Diferencial Ordinaria

6. Encontre numeros a e b tais que

8. Considere uma roda de raio 40cm com centro na origem girando no sentido anti-horario Seja A um ponto fixado sobre a roda no primeiro quadrante e uma barra de conexao AP de comprimento 1,2m onde P = (x,0) e um pino que pode escorregar para frente e para tras ao longo do eixo x a medida que a roda gira a uma taxa de 360 revolucoes por minuto. Considere θ como sendo o angulo A OP e α como o angulo O PA.

(a) Encontre a velocidade angular da conexao, dα dt , em radianos por segundo, quando θ = pi

(b) Expresse a distancia x = |OP| em termos de θ. (c) Encontre uma expressao para a velocidade do pino P em termos de θ.

9. Calcule

x onde c e uma constante nao nula.

10. Calcule

dt > 0. Determine o ponto da curva em que a velocidade de y seja o dobro da de x.

14. Considere a seguinte Equacao Diferencial Ordinaria: y′′ + y′ − 2y = senx. Encontre os valores de A e B tais que y(x) = Asenx + B cosx seja solucao de tal equacao diferencial.

15. Determine a equacao de reta tangente a elipse x

16. Suponha que tres pontos sobre a parabola y = x2 tem a seguinte propriedade: “Suas retas normais intersectam um ponto em comum”. Mostre que a soma de suas coordenadas x e zero.

17. Uma massa atada a uma mola vertical tem funcao posicao dada por y(t) = Asen(ωt), onde A e a amplitude de sua oscilacao e ω e uma constante.

(a) Encontre a velocidade e a aceleracao da massa como funcao do tempo. (b) Mostre que a aceleracao e proporcional ao deslocamento y. (c) Mostre que a velocidade e maxima quando a aceleracao e zero.

18. Determine o retangulo de area maxima e lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse 4x2 + y2 = 1. 19. Se f for derivavel em a, onde a > 0, calcule em termos de f′(a) o seguinte limite

limx→a

21. Calcule

2. Um carro viaja a noite em uma estrada com formato de parabola com seu vertice na origem. O carro comeca em um ponto a 100 m a oeste e 100 m ao norte da origem e viaja na direcao leste. A 100 m a leste e a 50 m ao norte da origem existe uma estatua. Em que ponto da estrada os farois do carro vao iluminar a estatua?

23. Calcule

24. Uma parede vertical faz um angulo de medida 2pi

3 com o solo. Uma escada de 6m esta encostada na parede e sua ponta escorrega pela parede a uma taxa de 1m/s. Quao rapido esta variando a area do triangulo formado pela escada, a parede e o chao quando a escada faz com o chao um angulo de pi

6 rad?.

27. Enche-se um reservatorio, cuja forma e a de um cone circular reto, de agua a uma taxa de 0,1m3/s. O vertice esta a 15m do topo e o raio do topo e de 10m. Sendo h = h(t) a altura da agua dentro do cone no instante t. Determine com que velocidade a agua esta subindo no instante em que h = 5m.

29. Encontre os pontos P e Q sobre a parabola y = 1−x2 de tal forma que o triangulo formado pelas retas tangentes em P e Q seja equilatero.

30. Duas pessoas comecam a andar a partir de um mesmo ponto. Uma vai para o leste a 5km/h e a outra vai para o nordeste a 3km/h. Quao rapido esta variando a distancia entre as pessoas apos meia hora.

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