Elementos de Mecânica do Dano: Teoria e Modelos Constitutivos, Notas de estudo de Engenharia Civil

Baixe Elementos de Mecânica do Dano: Teoria e Modelos Constitutivos e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! Aula n.4 : ELEMENTOS DE MECÂNICA DO DANO EM MEIOS CONTÍNUOS São Carlos, outubro de 2001 Sergio Persival Baroncini Proença - Elementos de Mecânica do Dano - 1 1 Introdução Este texto é dedicado ao estudo de alguns fundamentos da Mecânica do Dano em meios contínuos (MDC). Numa primeira parte apresentam-se a representação mecânica do dano, a definição de variável de dano e as equivalências de deformação, tensão e energia entre meios íntegros e danificados. Na segunda parte faz-se uma exposição sobre a forma generalizada das relações constitutivas para materiais elásticos com dano. 2 Generalidades A resposta não-linear dos sólidos, observada macroscopicamente, é uma manifestação de processos irreversíveis que ocorrem em sua microestrutura, tais como : escorregamentos relativos entre cristais, perdas de coesão em planos de clivagem ou contornos de grãos, mudanças de porosidade, mudanças de fase, difusão de elementos químicos e outros . Alguns desses processos tem origem em microdefeitos constituídos por inclusões ou mesmo vazios, os quais, pelas suas características, favorecem a concentração de microtensões. Esses microdefeitos constituem o que se entende por dano inicial do material. Dependendo das condições ambientais e devido à existência de solicitações mecânicas, mesmo que a resposta global do material se mantenha dentro dos limites do regime elástico, o dano inicial pode evoluir em conseqüência do rompimento das ligações entre os átomos ou por rupturas na interface entre componentes distintos. Macroscopicamente, esse processo de evolução do dano inicial, ou danificação, acaba tendo uma influência direta sobre as propriedades elásticas, conforme evidenciam as reduções de resistência e de rigidez. Já num estágio mais avançado de solicitação, a danificação leva à formação e ao crescimento de microfissuras, que se traduzem em parcelas adicionais de deformações permanentes. - Elementos de Mecânica do Dano - 4 de continuidade, tal que apresenta localmente um valor unitário para um material completamente livre de defeitos, enquanto que ψ = 0 caracteriza um material sem qualquer capacidade de carga. A quantidade complementar D = 1 - ψ é, por conseguinte, uma medida do estado local de deterioração ou dano. Para um material completamente livre de defeitos tem-se D = 0, enquanto D = 1 corresponde a um estado de completa perda de integridade da estrutura interna do material. Enquanto KACHANOV (1958) assumiu D como uma variável de natureza escalar, estudos posteriores levaram à proposição de quantidades tensoriais para descrever o dano. Um outro trabalho importante é o de RABOTNOV (1969), que propôs a utilização da variável de dano como um redutor da rigidez inicial do material. Mais recentemente a chamada Mecânica do Dano em Meios Contínuos (“Continuum Damage Mechanics”) foi formalizada por LEMAITRE & CHABOCHE (1985) com base numa metodologia fundamentada na termodinâmica dos processos irreversíveis. 3 Definição do elemento de volume representativo Considere-se um sólido com defeitos em sua microestrutura. Um elemento de volume representativo possui dimensões suficientemente grandes para que se possa admitir homogeneidade para a distribuição dos defeitos nele contidos, mas ao mesmo tempo suficientemente pequenas para que se evitem gradientes elevados de grandezas locais de interesse, como a deformação. Dessa forma, pode-se admitir continuidade para as funções representativas dos fenômenos que ocorrem no elemento e as propriedades nele medidas são valores médios que podem ser associados a um ponto material. Na figura 2 ilustra-se o conceito de elemento representativo orientado por um versor normal de direção n, em torno de um ponto do meio. - Elementos de Mecânica do Dano - 5 Figura 2 – Elemento de volume representativo de um sólido com dano 4 Definição da Tensão Efetiva Considere-se uma situação de solicitação uniaxial sobre o elemento de volume definido no item anterior, constituída por forças F aplicadas nas faces opostas orientadas pelo versor n. Seja ainda S a área total de uma seção genérica de normal n no interior do elemento (v.fig.2). Nessas condições, σ = F/S é a tensão normal nominal em qualquer ponto da seção genérica. Admitindo-se que o conjunto de defeitos seja totalmente incapaz de transferir tensões, pode-se definir uma tensão dita efetiva levando-se em conta somente a parte íntegra da seção. Nesse sentido, seja ~ S a parcela íntegra da área total S da seção considerada. Então a diferença : So = S - ~ S (1) define a área dos defeitos medidos. Por definição, LEMAITRE & CHABOCHE (1985) e LEMAITRE (1984), o dano Dn, no caso associado a um plano de normal n, fica definido pela relação : S Elemento de volume representativo - Elementos de Mecânica do Dano - 6 Dn = S S0 (2) Nota-se que a variável de dano assume valores contidos no intervalo 0 ≤ Dn ≤1, sendo que Dn = 0 tem correspondência com a situação de material íntegro e Dn = 1 indica um estado de total deterioração. Assim sendo, a parcela de seção efetivamente resistente pode ser expressa em função da variável de dano como : ~ S = S - S0 = S (1-Dn) (3) Dessa forma, as tensões nominal σ e efetiva ~σ são definidas por : S F =σ e ~ ~σ = F S (4a,b) Levando-se em conta a relação (3) segue que : )D-(1 =~ n σ σ (5) Como a área íntegra é menor do que a nominal, para uma mesma força aplicada a tensão efetiva num meio danificado resulta comparativamente maior do que a tensão nominal. Em particular, nota-se que : ~σ = σ para material localmente íntegro; ~σ → ∞ para material totalmente danificado localmente. Nota-se que no mesmo ponto a variável Dn pode assumir valores diferentes de acordo com a orientação da normal n. Essa característica indica uma natureza tensorial para a variável que representa o dano no elemento de volume. - Elementos de Mecânica do Dano - 9 6 Princípios gerais de equivalências de respostas constitutivas Os princípios descritos a seguir permitem que se formulem relações constitutivas para meios contínuos com dano, envolvendo medidas nominais de tensão e de deformação. No âmbito dos meios contínuos, um axioma constitutivo fundamental é o da ação local, isto é : a resposta constitutiva num ponto não depende daquilo que ocorre nos elementos vizinhos. Estendendo-se esse axioma ao meio com dano, resulta que a relação constitutiva para um ponto na parte íntegra não é afetada pelo dano, porém nessa parte é importante lembrar que devem ser consideradas a tensão efetiva e a deformação efetiva. Assim sendo, pode-se estabelecer um princípio geral de equivalência da resposta constitutiva : A lei constitutiva do meio danificado é obtida da lei constitutiva do meio íntegro onde o tensor de tensões é substituído pelo tensor de tensão efetiva e o tensor linear de deformações pelo tensor de deformação efetiva. Restringindo-se a análise ainda ao caso uniaxial, e sendo o meio íntegro supostamente elástico linear, o princípio enunciado leva à seguinte relação : εσ ~E~ = (12) 6.1 Relação constitutiva envolvendo equivalência de energia Substituindo-se na relação (12) as relações que definem ε~ e σ~ , (4c) e (10) respectivamente, e já levando-se em conta a (10), segue que : ( ) εσ ED1 2−= (13) Essa última relação vale então para o meio contínuo equivalente e envolve quantidades nominais. Nota-se, por outro lado, que : - Elementos de Mecânica do Dano - 10 εσεσ =~~ (14) Portanto, pode-se afirmar que o meio contínuo equivalente reproduz a mesma quantidade de energia do meio danificado. Por outro lado, observando-se a relação (13), pode-se definir o módulo secante de rigidez elástica ~ E do meio danificado como : ( ) ED1E~ 2−= (15) A relação anterior coloca em evidência a degradação do módulo de rigidez elástico inicial do material causada pela danificação. Isolando-se a variável de dano, obtém-se : 2 2 E E ~ 1D       −= (16) Essa relação indica que é possível identificar os valores de dano com base em medidas experimentais do módulo secante de rigidez elástica em ensaios uniaxiais com deformação controlada (v. fig. 4). Figura 4 – Variação da rigidez secante do meio contínuo equivalente - Elementos de Mecânica do Dano - 11 6.2 Relação constitutiva envolvendo equivalência de deformação O princípio da equivalência de deformação, proposto por LEMAITRE & CHABOCHE (1985), diz que a deformação do meio íntegro onde atua a tensão efetiva é a mesma do meio danificado, ou seja : εε =~ . De modo mais formal, a redação do princípio é a seguinte : “O estado de deformação de um material com dano é obtido da lei do comportamento do material íntegro onde o tensor de tensões é substituído pelo tensor de tensão efetiva” . A figura 5 dá uma interpretação ao princípio em questão. Figura 5 - Hipótese de deformação equivalente Esse princípio decorre da idéia de assimilar o meio, para fins da resposta unidimensional em estudo, como um arranjo de infinitas fibras em paralelo com resistências ligeiramente diferentes entre si, às quais se impõe uma mesma deformação. Em função das diferentes resistências as fibras vão progressivamente se rompendo, o que representa o processo de danificação. Valendo o princípio, a relação (12) assume a forma : ( ) ε σ E D1 = − ou ( ) εσ ED1 −= (17) D D=0 σ ~σ σ ~σ ε - Elementos de Mecânica do Dano - 14 E ~ T ~ E= (21c) onde E é o tensor de rigidez secante elástica, de quarta ordem, simétrico e positivo- definido. Combinando-se as relações (21), obtém-se : ( ) ( ) ET TDIIEDII −=− −1 ( ) ( ) ET TDIIEDII −−= (22) A expressão anterior pode ainda ser escrita na forma : E ~ T E= (23) onde ( ) ( )T~ DIIEDIIE −−= (24) é o tensor de rigidez secante elástica do meio danificado. Nota-se que esse tensor é simétrico (com simetrias menor e maior). Uma outra observação importante decorre do desenvolvimento da operação de produto interno entre os tensores efetivos das relações (21a,b) : ( ) ( ) ( ) ( ) E.T E.T E.TE ~ .T ~ TT T1 = −−= −−= − − DIIDII DIIDII (25) - Elementos de Mecânica do Dano - 15 Portanto, a equivalência em energia é verificada com formas propostas para os tensores efetivos. Dois outros tensores constitutivos de dano podem ser deduzidos considerando-se as equivalências em deformação e em tensão. Assim, na primeira delas tem-se como condição que : EE ~ = . Combinando-se as (21c) e (21a) segue, então, que : ( ) ET EDII −= (26) Nesse caso, o tensor de rigidez secante elástica do meio danificado fica expresso na forma : ( ) EDIIE −=~ (27) o qual apresenta apenas a simetria menor. Na equivalência em tensão tem-se como condição que : TT ~ = . Combinando-se as (21c) e (21b) resulta, nesse caso, que : ( ) ET TDIIE −= (28) e o tensor de rigidez secante elástica do meio danificado passa a ser expresso na forma : ( )T~ DIIEE −= (29) que também apresenta apenas simetria menor. - Elementos de Mecânica do Dano - 16 8 Breve comentário sobre tensores isótropos e anisótropos de rigidez secante com dano escalar Entre as três possibilidades de equivalência analisadas, a de deformação tem sido a mais freqüentemente empregada e com base nela, expressa pela relação (26), é que se fazem os comentários que seguem. Em primeiro lugar, nota-se que até o momento nada foi admitido quanto à forma do tensor de dano D. Em particular, o caso de dano escalar é recuperado adotando-se para sua forma : IID d= , onde d é um escalar. De fato, da relação (27) segue que : ( ) ( ) ( )E EII EIIIIE d1 d1 d ~ −= −= −= (30) o que constitui uma generalização direta da relação (18). O conceito de isotropia pode também estar associado à preservação das direções principais dos tensores de tensão correspondentes aos estados de meio íntegro e danificado. Claramente é o que ocorre com essa primeira particularização feita para o tensor D, pois o escalar (1-d) não altera as direções principais do tensor de tensões. Mas há algo mais : todas as componentes do tensor constitutivo são penalizadas igualmente por uma variável escalar de dano. Ainda no âmbito da isotropia, ao tensor de dano pode-se dar a seguinte forma : ( )IId ⊗=D (31) onde I é um tensor identidade de segunda ordem. Nessas condições a relação (27) fornece : ( )[ ] ( )IId IId ~ EEII EIIE ⊗−= ⊗−= (32)