Álgebra Linear UERJ - matrizes, Notas de estudo de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe Álgebra Linear UERJ - matrizes e outras Notas de estudo em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! 1 MATRIZES Definição Conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em forma de tabela, isto é, distribuídos em m linhas e n colunas, sendo m e n números naturais não nulos.             = mnmm n n a...aa ............ a...aa a...aa A 21 22221 11211 Notação: nmijaA ×= )( com njmi ,...,2,1 e ,...,2,1 == ija - elemento genérico da matriz A i - índice que representa a linha do elemento ija j - índice que representa a coluna do elemento ija nm × - ordem da matriz. Lê-se “m por n”. Representações: ( )=A [ ]=A =A Exemplos: 1) A representação de um tabuleiro de xadrez pode ser feita por meio de uma matriz 88× . 2) A matriz 32)( ×= ijaA onde jiaij += 2 é 2 3 4 5 6 7       . 3) A matriz abaixo fornece (em milhas) as distâncias aéreas entre as cidades indicadas: cidade A cidade B cidade C cidade D             010362704957 1036035721244 270435720638 95712446380 Dcidade C cidade Bcidade A cidade Esta é uma matriz 44 × (quatro por quatro). 4) A matriz abaixo representa a produção (em unidades) de uma confecção de roupa feminina distribuída nas três lojas encarregadas da venda. shorts blusas saias jeans           257012030 60010070 40258050 IIIloja IIloja Iloja Esta é uma matriz 43× (três por quatro) pois seus elementos estão dispostos em 3 linhas e 4 colunas. 2 Igualdade Duas matrizes de mesma ordem nmijaA ×= )( e nmijbB ×= )( são iguais quando ijij ba = para todo mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= . Matrizes Especiais 1. Matriz Linha Uma matriz A é denominada matriz linha quando possuir uma única linha. Notação: nijaA ×= 1)( Exemplo: ( ) 31438 ×− 2. Matriz Coluna Uma matriz A é denominada matriz coluna quando possuir uma só coluna. Notação: 1)( ×= mijaA Exemplo: 13 1 9 3 ×           3. Matriz Nula Uma matriz A é denominada matriz nula quando todos os seus elementos forem nulos, isto é, 0=ija para todo mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= . Notação: nm×0 Exemplo: 32000 000 ×       4. Matriz Quadrada Uma matriz A é uma matriz quadrada quando possuir o mesmo número de linhas e de colunas, isto é, nm = . Notação:             == × nnnn n n nnij aaa aaa aaa aA ... ............ ... ... )( 21 22221 11211 Diagonal Principal: são os elementos da matriz A onde ji = para todo nji ,...,2,1, = . Diagonal Secundária: são os elementos da matriz A onde 1+=+ nji para todo nji ,...,2,1, = . Traço: é o somatório dos elementos da diagonal principal da matriz A, denotado por trA. nn n k kk aaaatrA +++==∑ = ...2211 1 Exemplo:         − = × 9110 075 432 33 A Elementos da diagonal principal: 2, 7 e 9. Elementos da diagonal secundária: 4, 7 e 10. 18972 =++=trA 5 2. Multiplicação por Escalar Sejam nmijaA ×= )( uma matriz e R∈k um escalar, define-se a matriz produto por escalar AkB ⋅= tal que nmijbB ×= )( e ijij akb ⋅= para todo mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= . Exemplos: 1) Sejam 3 e 71 53 01 −=           − −= kA . Então           − − − =           −−− −−− −− =⋅− 213 159 03 7).3()1).(3( )5).(3(3).3( 0).3(1).3( )3( A 2) O quadro abaixo mostra a produção de trigo, cevada, milho e arroz em três regiões, em uma determinada época do ano. TRIGO CEVADA MILHO ARROZ REGIÃO I 1200 800 500 700 REGIÃO II 600 300 700 900 REGIÃO III 1000 1100 200 450 Com os incentivos oferecidos, estima-se que a safra no mesmo período do próximo ano seja duplicada. A matriz que representa a estimativa de produção para o próximo ano é:           90040022002000 180014006001200 1400100016002400 Propriedades da Operação de Multiplicação por Escalar E1. Para toda matriz A e para quaisquer escalares R∈21 , kk , AkAkAkk ⋅+⋅=⋅+ 2121 )( . E2. Para toda matriz A e para quaisquer escalares R∈21 , kk , )()( 2121 AkkAkk ⋅⋅=⋅⋅ . E3. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar R∈k , BkAkBAk ⋅+⋅=+⋅ )( . Dem.: Considere matrizes de ordem nm × , DCkBAk =⋅=+⋅ )( e GFEBkAk =+=⋅+⋅ . ijijijijijijijijij gfebkakbakckd =+=⋅+⋅=+⋅=⋅= )( , para todo mi ,...,1= e para todo nj ,...,1= . Assim, GD = . Logo, vale a propriedade. E4. Para toda matriz A de ordem nm × , nmA ×=⋅ 00 . E5. Para toda matriz A de ordem nm × , AA =⋅1 . E6. Para toda matriz quadrada A e para todo trAkAktrk ⋅=⋅∈ )(,R . 6 3. Multiplicação Sejam as matrizes pmijaA ×= )( e npijbB ×= )( , define-se a matriz produto BAC ⋅= tal que nmijcC ×= )( e ∑ = ⋅= p k kjikij bac 1 , isto é, pjipjijiij bababac ⋅++⋅+⋅= ...2211 para todo mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= . Exemplos: 1) Sejam           − = 41 12 01 A e       − = 101 132 B . Então           −+−+−+− −+++ −+++ =⋅ )1.(41).1(0.43).1(1.42).1( )1.(11.20.13.21.12.2 )1.(01.10.03.11.02.1 BA           −− = 532 165 132 Observe que 333223 )( e )( , )( ××× === ijijij cCbBaA . 2) A matriz abaixo nos fornece as quantidades de vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I e II. A B C       105 034 II alimento I alimento Ao serem ingeridas 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II a quantidade consumida de cada tipo de vitamina é dada por: ( ) ( ) ( )21530120502355245 105 034 25 =⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=      ⋅ Serão consumidas 30 unidades de vitamina A, 15 unidades de vitamina B e 2 unidades de vitamina C. Propriedades da Operação de Multiplicação M1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de ordens nllppm ××× e , , respectivamente, )()( CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ . Dem.: Considere ECDCBA =⋅=⋅⋅ )( e GFACBA =⋅=⋅⋅ )( . =⋅⋅=⋅= ∑ ∑∑ = == l k kj p t tkit l k kjikij cbacde 1 11 )( ljpliplijpipijpipi cbabacbabacbaba )...(...)...()...( 112212111111 +++++++++= ljplipljlijpipjijpipji cbacbacbacbacbacba +++++++++= ............ 11222121111111 )...(...)...( 221112121111 ljpljpjpipljljji cbcbcbacbcbcba ++++++++= ij p t tjit p t l k kjtkit gfacba =⋅=⋅⋅= ∑∑ ∑ == = 11 1 )( para todo mi ,...,1= e para todo nj ,...,1= . Assim, GE = . Logo, vale a propriedade associativa para multiplicação de matrizes. 7 M2. Distributiva da Multiplicação em relação à Adição: para quaisquer matrizes A e B de ordem pm × , para toda matriz C de ordem np × e para toda matriz D de ordem ml × , CBCACBA ⋅+⋅=⋅+ )( e BDADBAD ⋅+⋅=+⋅ )( . M3. Elemento Neutro: para toda matriz quadrada A de ordem n, AAIIA nn =⋅=⋅ M4. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, )()( ABtrBAtr ⋅=⋅ . M5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem e para todo R∈k , )()()( BkABAkBAk ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ M6. Para toda matriz quadrada A de ordem n, nnnnnn AA ××× =⋅= 000. Em geral, não vale a propriedade comutativa para a operação de multiplicação. Assim, ABBA ⋅≠⋅ . Quando ABBA ⋅=⋅ , diz-se que A e B são matrizes comutáveis, ou ainda que A e B são matrizes que comutam entre si. Por M6, qualquer matriz quadrada comuta com a matriz quadrada nula de mesma ordem. Exemplos: 1) Sejam as matrizes 32)( ×= ijaA e 23)( ×= ijbB . ABDdcCBA ijij ⋅==≠==⋅ ×× 3322 )()( . 2) Sejam as matrizes 32)( ×= ijaA e 13)( ×= ijbB . 12)( ×==⋅ ijcCBA e a matriz produto AB ⋅ não é definida. 3) Sejam       = 43 21 A e      − = 21 01 B . ABBA ⋅=      −− ≠      =⋅ 107 21 81 41 4) Sejam       − = 12 21 A e       − = 11 11 B . Assim, ABBA ⋅=      − =⋅ 31 13 . Logo, as matrizes A e B comutam entre si. Potência de uma Matriz Quadrada de Ordem n. nIA = 0 AA =1 AAA ⋅=2 ..................................... AAAAA kkk ⋅=⋅= −− 11 Toda matriz quadrada A comuta com qualquer potência natural de A. 10 Verifica-se também que nIAB =⋅ . Então a matriz inversa da matriz A é       − =− 21 101A . 3) A matriz       987 654 321 não possui inversa. Propriedades das Matrizes Invertíveis I1. Involução: AA =−− 11 )( . I2. 111)( −−− ⋅=⋅ ABBA . dem.: nn IAAAIAABBAABBA =⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ −−−−−− 111111 )())(()()( . Analogamente, nn IBBBIBBAABBAAB =⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ −−−−−− 111111 )())(()()( . Logo, o produto é invertível. I3. tt AA )()( 11 −− = . Semelhança de Matrizes Duas matrizes )(, RnMatBA ∈ são semelhantes quando existe uma matriz invertível )(RnMatP∈ tal que APPB 1−= . Exemplo: As matrizes       01 10 e       −11 01 são semelhantes. Considere       − = 11 12 P e       − =− 3 2 3 1 3 1 3 1 1P . Assim,       − ⋅      ⋅      − =      − 11 12 01 10 11 01 3 2 3 1 3 1 3 1 . 4. Matriz Ortogonal Uma matriz quadrada A de ordem n invertível é denominada ortogonal quando tAA =−1 . Exemplo:       − θθ θθ cos cos sen sen 5. Matriz Normal Uma matriz quadrada A de ordem n é dita normal quando comuta com sua matriz transposta, isto é, AAAA tt ⋅=⋅ . Exemplo:       − 63 36 11 Operações Elementares São operações realizadas nas linhas de uma matriz. São consideradas operações elementares: OE1. A troca da linha i pela linha j. ji LL ↔ OE2. A multiplicação da linha i por um escalar R∈k não nulo. ii k LL ⋅← OE3. A substituição da linha i por ela mesma mais k vezes a linha j, com R∈k não nulo. jii k LLL ⋅+← Exemplo:           51 42 00 L1↔L3 1 5 2 4 0 0           L2← 1 2 L2 1 5 1 2 0 0           L2←L2+(-1)L1           − 00 30 51 Matriz Equivalente por Linha Sejam A e B matrizes de mesma ordem. A matriz B é denominada equivalente por linha a matriz A, quando for possível transformar a matriz A na matriz B através de um número finito de operações elementares sobre as linhas da matriz A. Exemplo: A matriz 0 0 2 4 1 5           é equivalente a matriz           − 00 30 51 , pois usando somente operações elementares nas linhas da primeira matriz foi possível transformá-la na segunda. Matriz na Forma Escalonada Uma matriz está na forma escalonada quando o número de zeros, que precede o primeiro elemento não nulo de uma linha, aumenta linha a linha. As linhas nulas, se existirem, aparecem abaixo das não nulas. Exemplos:             −1000 6200 5010 3017 2 0 0 5 0 0 3 1 0 0 0 5 0 0 0 0             1 2 3 0 0 0                   − 0000 0000 0410 5021 1 0 0 0 1 0 0 0 1           12 Escalonamento por Linha de uma Matriz Dada uma matriz qualquer, é possível obter uma matriz equivalente por linhas a esta matriz na forma escalonada: Exemplos: 1)           987 654 321 122 )4( LLL −+←           −− 987 630 321 133 )7( LLL −+← 1260 630 321           −− −− 233 )2( LLL −+←           −− 000 630 321 2)             − 310 210 030 200 31 LL ↔             − 310 200 030 210 122 )3( LLL −+←             − − 310 200 600 210 144 LLL +←             − 500 200 600 210 26 1 2 )( LL −← 0 1 2 0 0 1 0 0 2 0 0 5             233 )2( LLL −+← 0 1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 5             244 )5( LLL −+← 0 1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0             A escolha de operações em um escalonamento não é única. O importante é observar que o objetivo é aumentar o número de zeros, que precede o primeiro elemento não nulo de cada linha, linha a linha. Posto de uma Matriz O posto de uma matriz A pode ser obtido escalonando-se a matriz A. O número de linhas não nulas após o escalonamento é o posto da matriz A. Notação: AP Exemplo: Nos dois exemplos anteriores o posto das matrizes é igual a dois. Aplicações de Operações Elementares 1. Cálculo da Inversa de uma Matriz Quadrada A de ordem n. Passo 1: Construir a matriz ( )nIA | de ordem nn 2× . Passo 2: Utilizar operações elementares nas linhas da matriz ( )nIA | de forma a transformar o bloco A na matriz identidade nI . Caso seja possível, o bloco nI terá sido transformado na matriz 1−A . Se não for possível transformar A em nI é porque a matriz A não é invertível. Exemplo: Seja           = 111 013 221 A . A matriz inversa é           −− − − =− 512 613 201 1A . 15 3. Resolução de Sistemas Outra aplicação de operações elementares é na resolução de sistemas, que será visto com detalhes no próximo capítulo. Exercícios 1) Resolva a equação matricial , 67 18 423        =      −+ +− dacd cbba indicando os valores para a, b, c e d. 2) Considere           − − = 412 540 312 A ,           − −− = 674 210 538 B ,           − = 993 471 320 C e 4=k . Verifique se: a) )()( CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ b) CkBkCBk ⋅−⋅=−⋅ )( c) trBtrABAtr +=+ )( d) trCtrACAtr ⋅=⋅ )( 3) Seja       = 63 21 A . Indique uma matriz quadrada B de ordem 2 não nula tal que 22×=⋅ 0BA . 4) Seja       = 11 12 A . Resolva a equação matricial 2IXA =⋅ , onde 22)( ×= ijxX . 5) Mostre que, em geral, )()(22 BABABA +⋅−≠− , sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem. 6) Seja       = 10 21 A . Encontre nA . 7) Verifique que a matriz       −18 03 é uma raiz do polinômio 32)( 2 −−= xxxf . 8) Considere       = 14 02 A . a) Indique a matriz 2 2 2 IAA +⋅− b) A matriz A é invertível? Em caso afirmativo, indique 313 )( −− = AA . 9) Mostre que as únicas matrizes quadradas de ordem 2 que comutam tanto com a matriz 1 0 0 0       quanto com a matriz 0 1 0 0       são múltiplas de 2I . 10) Determine todas as matrizes de ordem 2 que comutam com a matriz       − 12 21 . 16 11) Sejam       − = 43 21 A e       − = 76 05 B . Verifique a igualdade ttt ABBA ⋅=⋅ )( . 12) Mostre que se a matriz quadrada A for invertível e CABA ⋅=⋅ então CB = . (Lei do Corte) 13) Sejam           − = 100 201 312 A e           = 3 2 1 B . É possível calcular X, na equação BXA =⋅ ? 14) Sejam A, B, C e X matrizes quadradas de mesma ordem e invertíveis. Resolva as equações, considerando X a variável. a) CXBA =⋅⋅ b) CXAC t =⋅⋅ c) CBXACXA ⋅⋅⋅=⋅⋅ 2 d) ACXBA ⋅=⋅⋅ −1 e) ABAXA t ⋅⋅=⋅2 15) Seja A uma matriz de ordem n tal que a matriz )( AAt ⋅ é invertível. A matriz tt AAAA ⋅⋅⋅ −1)( é simétrica? E idempotente? 16) Mostre que a matriz       − θθ θθ cos cos sen sen é uma matriz ortogonal. 17) Determine a, b e c de modo que a matriz             cba 2 1 2 10 001 seja ortogonal. 18) Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também uma matriz simétrica. 19) Mostre que o mesmo vale para matrizes anti-simétricas. 20) Se A e B são matrizes simétricas que comutam entre si então a matriz 2AB ⋅ também é simétrica? Justifique. 21) Toda matriz ortogonal é também uma matriz normal? Justifique. 22) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal? Justifique. 23) Em uma pesquisa onde foram consideradas 3 marcas de refrigerante, Gelato, Delícia e Suave, o elemento ija da matriz abaixo indica a possibilidade de uma pessoa que consuma o refrigerante i passar a consumir o refrigerante j. O elemento da diagonal principal representa a possibilidade de uma pessoa que consuma um determinado refrigerante permaneça consumindo o mesmo refrigerante. 17 Gelato Delícia Suave 2,02,06,0 1,05,04,0 1,01,08,0 Suave Delícia Gelato           a) Qual a possibilidade de uma pessoa que consumia o refrigerante Gelato passar a consumir o refrigerante Suave? E a de quem consumia Suave passar a consumir Gelato? b) Escreva a matriz que indica a possibilidade de se mudar de marca após duas pesquisas. 24) Verifique se a matriz           − −− − 372 511 421 é invertível. Em caso afirmativo, indique a matriz inversa. 25) Para que valores de a a matriz           − a11 110 121 admite inversa? 26) Dada a matriz           −= 210 152 031 A . Indique a matriz ( )3| IA e determine 1−A . 27) Dada a matriz           − − − =− 121 210 331 1A . Indique a matriz A. 28) Determinar o valor de a a fim de que a matriz           a21 212 111 seja invertível. 29) Calcule o determinante das matrizes 1 2 4 2 3 5 3 4 6 − − −         e           − 214 642 103 . 30) Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem n e que 5det =A , determine: a) )3det( A⋅ b) tAdet c) )det( A− d) 2det A 31) Encontre todos os valores de a para os quais 0 30 51 det =      + − a a . 20 O Determinante Dada uma matriz quadrada A de ordem n é possível fazer corresponder um certo número denominado determinante da matriz A. Notação: nnijaAA ×)det( det Considere, por exemplo, uma matriz quadrada de ordem 3,           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A , e as permutações possíveis no conjunto de índices {1, 2, 3}. A partir da permutação ímpar 1 2 3 1 3 2       associa-se o produto “ 322311 aaa− ” , tal que os índices linha correspondem a primeira linha da representação da permutação, os índices coluna são obtidos da segunda linha e o sinal negativo da classificação da permutação. O determinante de uma matriz de ordem 3 é obtido a partir de todas as seis permutações possíveis no conjunto de índices {1, 2, 3} classificadas e sinalizadas. Assim, o determinante é dado por: 312313322113312312332112322311332211det aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −++−−= Genericamente, para uma matriz de ordem n, o determinante é o número obtido do somatório dos produtos sinalizados de elementos ija da matriz, combinados de acordo com as permutações do conjunto de índices {1, 2,..., n}. Exemplos: 1) 6)6det( = 2) 72.07).1( 72 01 det 21122211 −=−−=−=     − aaaa 3) 312213322113312312332112322311332211 2 1 00 401 252 det aaaaaaaaaaaaaaaaaa −++−−=           − − 0.0).2( 2 1).1).(2(0.4.50).1.(5 2 1.4.20.0.2 −−−−++−−−= 3−= 21 Desenvolvimento de Laplace Seja uma matriz quadrada de ordem n,             = nnnn n n a....aa ................ a....aa a....aa A 21 22221 11211 Considere um elemento ija qualquer, com nji ,...,1, = e a submatriz ijA de ordem )1( −n obtida a partir da matriz A retirando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna. O determinante da submatriz ijA sinalizado por ji+− )1( é denominado o cofator do elemento ija . Exemplo: Seja a matriz           − − 00 401 252 2 1 . O cofator do elemento 23a , isto é, de 4 é : 11).1( 2 10 52 det.)1( 32 −=−=         − + O cofator do elemento 031 =a a31 é: 2020.140 25 det.)1( 13 ==      − − + Considere uma certa linha i fixada. O determinante da matriz A fica definido por: ∑ = + ⋅−⋅= n j ij ji ij AaA 1 det)1(det A expressão é uma fórmula de recorrência (faz uso de determinantes de matrizes de ordem menores) conhecida como desenvolvimento de Laplace. Este desenvolvimento pode ser feito fixando-se uma certa coluna j e a expressão passa a ser: ∑ = + ⋅−⋅= n i ij ji ij AaA 1 det)1(det Exemplos: 1)      − = 72 01 A fixada a linha 2. 22 22 2221 12 21 det)1(det)1(det AaAaA ++ −+−= 1.)1.(70.)1.(2 43 −−+−= )1.(1.70).1.(2 −+−= 7−= 2)           − − = 00 401 252 2 1 A fixada a linha 1. 13 31 1312 21 1211 11 11 det)1(det)1(det)1(det AaAaAaA +++ −+−+−= 2 10 01 .1).2( 00 41 ).1.(50 2 1 40 .1.2 − −+ − −+= 22 Fixando ainda a linha 1 para as submatrizes: +−+−= ++ ]det.)1.(4det.)1.(0.[1.2det 12 21 11 11 AAA +−+−−− ++ ]det.)1.(4det.)1).(1).[(1.(5 12 21 11 11 AA ]det.)1.(0det.)1).(1.[(1).2( 12 21 11 11 AA ++ −+−−− ]0).1.(0 2 1.1).1.[(1).2(]0).1.(40.1).1).[(1.(5] 2 1).1.(40.1.0.[1.2 −+−−+−+−−+−+= 314 2 1.1).2(0).1.(5)2.(1.2 −=+−=−+−+−= Propriedades Considere A e B matrizes quadradas de ordem n e R∈k não nulo. D1. Se A é uma matriz triangular superior (inferior) então nnaaaA ...det 2211= . dem: Considere a matriz             = nn n n a.... ............. a....a a....aa A 00 .. 0 222 11211 . Fixando a coluna 1 para o cálculo dos determinantes, 1 1 121 12 2111 11 11 1 1 1 1 det)1(...det)1(det)1(det)1(det n n n n i i i i AaAaAaAaA +++ = + −++−+−=−= ∑ ∑ − = +−=             = 1 1 1 1 111 333 22322 11 det)1( ... 0 0 ...................... ... 0 ... det n i i i i nn n n Aaa a aa aaa a ]det)1(...det)1([ 1)1( 11 11 11 2211 − +−+ −++−= n n nn AaAaa ∑ − = +−=             = 2 1 1 1 12211 444 33433 2211 det)1( ... 0 0 ...................... ... 0 ... det n i i i i nn n n Aaaa a aa aaa aa ]det)1(...det)1([ 1)2( 12 11 11 332211 − +−+ −++−= n n nn AaAaaa nnaaa ...2211= Corolários: i) 0det =n0 ii) 1det =nI iii) Se A é uma matriz diagonal então nnaaaA ...det 2211= . D2. 0det =A , quando A possuir uma linha (ou coluna) nula. D3. 0det =A , quando A possuir duas linhas (ou colunas) iguais. D4. AkAk n det)det( ⋅=⋅ D5. BABA detdet)det( ⋅=⋅ D6. tAA detdet =