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Teoria das estruturas - deslocamentos, Notas de estudo de Engenharia Civil

CONTEUDO TEÓRICO

Tipologia: Notas de estudo

2010
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Compartilhado em 31/03/2010

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Baixe Teoria das estruturas - deslocamentos e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! FACENS FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TEORIA DAS ESTRUTURAS Deslocamentos em Estruturas Lineares O Princípio dos Trabalhos Virtuais Prof. JOSÉ LUIZ F. de ARRUDA SERRA SUMÁRIO 01. O Princípio dos trabalhos virtuais aplicado aos corpos rígidos ...............................01 1.1. Introdução ....................................................................................................01 1.2. - Roteiro para aplicação do PTV (estruturas isostáticas): ............................02 1.3 - Exemplo número 1 .....................................................................................02 1.4 – Exemplo número 2 .....................................................................................03 02. O Princípio dos trabalhos virtuais aplicado aos corpos deformáveis ......................05 2.1 – Introdução ..................................................................................................05 2.2 – Enunciado do PTV para corpos deformáveis ............................................06 2.3 – O Processo da Carga Unitária Para Cálculo de Deslocamentos ................07 03. Aplicação do PTV às treliças ..................................................................................08 3.1 – Exemplo número 1 .....................................................................................09 3.2 – Exemplo número 2 .....................................................................................11 04. O PTV aplicado às estruturas de nós rígidos ...........................................................12 4.1 – Avaliação da integral do produto de duas funções ....................................13 4.2 – Exemplo número 3 .....................................................................................14 4.3 – Observação sobre o uso das tabelas ...........................................................16 4.4 – Exemplo número 4 .....................................................................................17 05. Deformações por variação de temperatura ..............................................................18 5.1 – Exemplo número 5 .....................................................................................19 06. Exercícios propostos ................................................................................................21 07. Respostas dos exercícios propostos .........................................................................26 3 10 55 10 66 10 2 1 δ =θ×=δ δ =θ×=δ δ = δ =θ l .................................................................... (1.3) Aplicando-se a equação (1.1) do PTV aplicado aos corpos rígidos, obtém-se: t2,6R 52,1R 0102R A A 21A = δ+δ=δ× =δ×+δ×+δ×− ............................................ (1.4) Nota-se que o parâmetro δ aparece em todos os termos da equação, podendo ser eliminado, ou seja, não influi no resultado justificando adotá- lo unitário. Aplicando-se o deslocamento virtual unitário contrário ao sentido positivo da incógnita, o trabalho desta será negativo e numericamente igual ao seu valor (pois − RA x δ = − RA x 1 = − RA) e aparecerá sozinha quando for isolada no outro membro da equação. 1.4 – Exemplo número 2 Para a Viga Gerber da figura 1.2 a), determinar os valores das reações RA, RB e dos momentos fletores MB e MC que ocorrem na seção sobre o apoio B e no engastamento C, respectivamente. As figuras 1.2 b), c), d) e e) mostram as cadeias cinemáticas formadas após a retirada do vínculo correspondente à incógnita respectiva e aplicação do deslocamento unitário. Nos casos e) e d) para o cálculo dos momentos fletores sobre os apoios B e C respectivamente, os apoios não podem ser retirados, pois correspondem às reações RB e RC. No caso do engastamento C, a retirada do vínculo correspondente ao momento o trans forma em um apoio fixo. Como MB é um esforço interno, o vínculo correspondente retirado deve ser substituído pelo par de esforços que foi eliminado, ou seja, deve ser indicado tanto a ação que a parte à esquerda da seção exerce na parte da direita, como a ação que a direita exerce na parte da esquerda (ação e reação). No caso de momentos fletores em vigas horizontais, a convenção usual prescreve que eles são positivos quando tracionam as fibras inferiores. Seria conveniente lembrar que mesmo nos casos das reações de apoio (RA, RB e Mc), como as forças existem sempre aos pares (ação e reação), também poderia ser indicado as ações (inverso das reações nos apoios) que a viga exerce na terra. Isto não é necessário pois a terra é suposta um referencial absoluto, portanto não apresenta deslocamentos, gerando sempre trabalho nulo e não influindo nos resultados. Indicadas as cargas externas aplicadas no sistema – as distribuídas através de suas resultantes em cada chapa – e calculados através de simples proporciona lidade os deslocamentos ao longo das suas linhas de ação, cujos resultados estão assinalados nas figuras, fica bastante simples o cálculo dos trabalhos realizados e a aplicação do PTV. A incógnita por ter substituído um vínculo da estrutura deve ser considerada esforço externo, junto com as ações aplicadas. » 3 1t/m LIIITI TITICIIIIITII f LIT A B d & : E z te v Sm Lim, 2m v 4m L 2m v 1 1 1 1 1 1 ww z O) Sos 1 | 1 I i a i Lt, Figura 1.2 — Exemplo número 2 5 No caso dos momentos, o deslocamento virtual correspondente é um deslocamento angular, que adotamos unitário. Como se trata de pequenos deslocamentos, para o ângulo ser unitário, o triângulo obtido durante a varredura do deslocamento deve ter a base e a altura iguais. Considerando o deslocamento correspondente a incógnita admensional, as ordenadas da forma deslocada da cadeia cinemática no caso de incógnita força também resulta admensional, e no caso dos momentos, as ordenadas têm dimensão de comprimento, pois neste caso o valor do deslocamento angular é sempre a razão (cociente) entre dois comprimentos, e como um deles corresponde à distâncias na viga (em metros, por exemplo), o outro deve ter a mesma dimensão para se anularem na operação de divisão. A aplicação da equação Text =0 fornece para a reação em A conforme figura 1.2 b): RA = 4 x 0,5 + 2 x 0,25 → RA = 2,5 t Para a reação em B – figura 1.2 c): RB = 4 x 0,75 + 2 x 1,125 + 6 x 0,75 → RB = 9,75 t Para o momento fletor em B - figura 1.2.d): MB = − 4 x 1 − 2 x 1,5 − 2 x 1 → MB = − 9 tm Para a reação momento em C – figura 1.2 e): MC = 4 x 0,5 +2 x 0,75 + 2 x 0,5 − 4 x 1 − 3 x 2 − 2 x 1 MC = − 7,5 tm Os sinais negativos dos valores de MB e MC indicam que estas incógnitas têm sentido oposto ao adotado nas figuras, ou seja tracionam as fibras superiores da viga. No cálculo de MC poderia ter sido usada a resultante total do trecho α−β: 6t deslocando 0,5m no sentido oposto, resultando o trabalho de − 3 tm. Maiores detalhes sobre as cadeias cinemáticas serão vistos no estudo das Linhas de Influência, inclusive com um capítulo dedicado ao estudo das leis de deslocamento das cadeias cinemáticas. 2. O Princípio dos trabalhos virtuais aplicado aos corpos deformáveis 2.1 – Introdução No estudo da análise estrutural deve-se estender o Princípio dos Trabalhos Virtuais para o caso de estruturas deformáveis. Neste caso deve-se levar em consideração não apenas o trabalho realizado pelas ações externas mas também o trabalho associado aos esforços internos na deformação dos elementos da estrutura. Este princípio é extremamente valioso e tem muitas aplicações na análise estrutural. Durante o desenvolvimento do princípio nota-se que as propriedades do material não entram em discussão, e consequentemente o PTV aplica-se a todas as estruturas independente do material se comportar linearmente ou não. 8 A carga unitária deve corresponder ao deslocamento procurado, ou seja, para se calcular um deslocamento linear absoluto, aplica-se uma força unitária na direção e sentido do deslocamento linear procurado. Caso o deslocamento procurado seja uma rotação, a carga unitária correspondente deve ser um momento. Se o deslocamento procurado for a translação relativa entre dois pontos ao longo da linha que os une, o carregamento unitário deve ser constituído de duas forças colineares e opostas agindo nos dois pontos considerados. Caso o deslocamento seja a rotação relativa entre duas tangentes, o carregamento constituirá de dois momentos iguais e opostos. O cálculo prático para a determinação de um deslocamento qualquer é aplicar na estrutura uma carga (força ou momento) unitária na direção e sentido do deslocamento real procurado e determinar os diagramas de esforços solicitantes N, Q e M produzidos por este carregamento unitário, ou seja o estado de carregamento (c) é o sistema com a carga unitária. Tomando-se os deslocamentos e deformações causados pelas ações que agem na estrutura como estado de deslocamento, o único trabalho externo é o realizado pela carga unitária e é igual ao produto da carga unitária pelo deslocamento procurado. O trabalho interno, como foi visto, será igual a integral estendida a toda estrutura do produto dos esforços solicitantes causados pela carga unitária pelos respectivas deformações causadas pelas ações que agem na estrutura, ou seja: ∫∫∫ φ++=δ× .estr dC.estr dC.estr dCprocurado dMdvQduN1 ..................... (2.5) o índice c refere-se ao carregamento unitário; o índice d refere-se à estrutura com as ações aplicadas. Pode parecer estranho que neste procedimento o estado de deslocamentos que na concepção do PTV é um estado virtual, seja o dos deslocamentos reais. Isto é possível, e até conveniente pois os deslocamentos reais são certamente compatíveis com as condições de apoio da estrutura, bastando serem pequenos o suficiente para não alterarem as condições de equilíbrio das forças reais envolvidas para poderem ser considerados como deslocamentos virtuais. 3. Aplicação do PTV às treliças No caso das treliças com as hipóteses usuais de cálculo, articulações perfeitas e cargas apenas nos nós, o único esforço que resulta nas barras da treliça é o esforço normal e tem valor constante para cada barra. Assim, como M = Q = zero, apenas a integral que calcula o trabalho interno relacionada com o esforço normal da equação 2.5 é diferente de zero. Temos então: ∫=δ× treliça dCprocurado duN1 ............................................................... (3.1) Como as normais são constantes para cada barra e a integral pode ser calculada como uma somatória das integrais em cada barra, temos tir ando os valores constantes de N fora das integrais: ∫∑=δ barrai d barrasi ciprocurado duN ............................................................. (3.2) Como diinabarradbarrai ddu ll ∆=∆=∫ , obtém-se: 9 di barrasi ciprocurado N l∆=δ ∑ ..................................................................... (3.3) Os deslocamentos ∆l podem ser causados por cargas aplicadas que produzem normais Ndi nas barras i ou variação de temperatura e para cada um destes casos vale: Caso força normal (conforme Lei de Hooke): ii idi di AE N l l =∆ ................................. (3.4) Caso variação de temperatura: tidi ∆α=∆ ll ......................................................... (3.5) nas quais E é o módulo de elasticidade, A é a área da seção transversal e α é o coeficiente de dilatação térmica. 3.1 – Exemplo número 1 Para a treliça da figura 3.1 a) de EA = 10.000 t, submetida ao carregamento mostrado, determinar: a) as componentes horizontal e vertical do deslocamento do nó 6; b) o deslocamento relativo entre os nos 3 e 6. 10 Figura 3.1 – Exemplo número 1 Como os deslocamentos procurados são causados por um carregamento, as deformações nas barras da treliça são calculadas segundo a Lei de Hooke, conforme a equação (3.4). Aplicando na expressão (3.3), obtém-se: di barrasi ii dici procurado AE NN l∆=δ ∑ ............................................................. (3.6) A figura 3.1 b) mostra os resultados das normais nas barras da treliça devido o carregamento dado, ou seja, as normais do estado de deslocamentos. As figuras 3.1 c) e d) mostram as normais determinadas dos estados de carregamento unitário para o cálculo das componentes horizontal e vertical do deslocamento do nó 6, respectivamente. A figura 3.1 e) apresenta as normais do estado de carregamento unitário para o cálculo do deslocamento relativo entre os nós 3 e 6. Como EA é constante e usando a notação (0) para os esforços do estado de deslocamento (treliça dada) e (1), (2) e (3) para os estados de carregamento unitário respectivos aos deslocamentos procurados conforme mostra a figura 3.1, a expressão (3.6) fica: l∆=δ ∑ barras i0procurado NNEA 1 ............................................................ (3.7) ou, l∆=δ ∑ barras i0procurado NNEA .............................................................. (3.8) Os cálculos relativos a expressão (3.8) são facilitados organizando os dados e calculando os produtos através da tabela : Barra l N0 N1 N2 N3 N0 N1 l N0 N2 l N0 N3 l 1-2 2,0 +4,0 +1,00 0 0 +8,00 3-4 2,0 +4,0 +1,00 0 +0,8 +8,00 +6,40 5-6 2,0 +2,0 +1,00 0 +0,8 +4,00 +3,20 1-3 1,5 +4,5 +1,50 0 0 +10,125 3-5 1,5 +1,5 +0,75 0 +0,6 1,6875 +1,35 2-4 1,5 -2,5 -0.75 +1,0 0 2,8125 -3,75 4-6 1,5 -1,0 0 +1,0 +0,6 0 -1,50 -0,90 2-3 2,5 -5,0 -1,25 0 0 15,625 4-5 2,5 -2,5 -1,25 0 -1,0 7,8125 +6,25 Σ = 58,0625 -5,25 +16,3 Com os resultados dos somatórios obtidos na tabela, temos as respostas: 10000 x ∆H6 = 58,0625 tm ou ∆H6 = 5,80625 x 10-4 m para a direita. 10000 x ∆V6 = -5,25 tm ou ∆V6 = 5,25 x 10-5 m para baixo. 13 10,0 0,312 ∞ 0,333 Para seções circulares vazadas de diâmetro externo D e interno d: A = π (D2 - d2) / 4 I = π (D4 - d4) / 64 c = 1,1 (seção circular cheia, d = 0) Jt = π (D4 - d4) / 32 Na expressão (4.1) do trabalho virtual, só em casos excepcionais há necessidade de se considerar as quatro parcelas do trabalho interno. Como se viu, no caso das treliças apenas a primeira parcela correspondente à força normal é diferente de zero, sendo portanto a única a ser considerada. A quarta parcela só será diferente de zero se houver momento torçor, isto é, só se ocorrer carregamento fora do plano da estrutura. Nas estruturas aporticadas, a flexão das peças - causadas pelos momentos fletores - são preponderantes nos deslocamentos e deformações da estrutura. A deformação por força cortante e força normal é em geral desprezível nas estruturas usuais em face da deformação causada pelo momento fletor. Assim, nos casos planos em geral, nas barras fletidas considera- se apenas a terceira parcela do segundo membro da equação (4.1), ou seja a parcela correspondente ao trabalho interno realizado pelos momentos fletores. Neste caso a expressão (4.1), combinada com a (4.4) fica: ∫=δ .estr dC procurado dsIE MM ................................................................. (4.6) Como normalmente a rigidez à flexão EI é constante para cada barra, pode ser colocada fora da integral que deve ser transformada em um somatório das integrais nos diversos trechos de EI constante da estrutura, ou seja: ∑ ∫=δ ibarras ibarra dC ii procurado dsMMIE 1 ................................................. (4.7) Em benefício da simplicidade, a notação desta expressão pode ser simplificada, subentendendo-se o índice i e que a integral é estendida a toda a estrutura, calculada barra a barra. ∫=δ dsMMEI 1 dC ......................................................................... (4.8) Nota-se então que nos cálculos práticos das estruturas aporticadas, o trabalho interno se resume a determinação da integral do produto de duas funções. 4.1 – Avaliação da integral do produto de duas funções A avaliação da integral do produto de duas funções como aparece na equação (4.8) é feita através de tabelas como a apresentada no quadro 4.1. Quando o diagrama do esforço considerado não se encontra diretamente na tabela, ele deve ser separado em gráficos que estejam contemplados na tabela. 14 Os diagramas de MC referentes ao estado de carregamento com a carga unitária é sempre formado de trechos retos, portanto em geral não apresentam dificuldade. Os digramas de Md que são devidos ao carregamento real da estrutura pode necessitar ser separado na soma de dois ou mais diagramas mais simples conforme o esquema: Md = Md1 + Md2 + ... A integral fica: ...dsMMdsMM)...MM(MdsMM 2dC1dC2d1dCdC ++=++= ∫∫∫∫ na qual as integrais dos produtos Mc Md1, Mc Md2, etc. podem ser encontradas na tabela. Ilustrações da técnica do uso das tabelas serão apresentadas nos exercícios. Quadro 4.1 4.2 – Exemplo número 3 Seja a viga em balanço da figura 4.1 para a qual calcularemos a flecha na extremidade livre B. Com o propósito de mostrar que nas estruturas usuais o efeito da força cortante nos deslocamentos é desprezível em face do efeito do momento fletor, consideraremos neste primeiro exemplo estes dois efeitos. Aplicando a técnica da carga unitária, temos: 15 GA2 pc EI8 p f 1p 2 1 GA c 2 p 4 1 EI 1 f dsQQ GA c dsMM EI 1 f 24 B 2 B 1010B ll lll l l += ⋅+= += ∫ ∫ ............................................. (4.9) A primeira parcela corresponde ao efeito do momento fletor (flexão) na deformação da viga e a segunda corresponde ao efeito da força cortante na deformação. Substituindo-se os valores numéricos, obtém-se: fB = (0,1 + 0,001) m Comparando-se o efeito do momento fletor com o efeito da força cortante: 01,0 1,0 001,0 MdeEfeito QdeEfeito == Ou seja, o efeito da força cortante é 1% do efeito do momento fletor, justificando não considerar, na grande maioria dos casos práticos os efeitos do esforço cortante nas deformações. Figura 4.1 – Exercício número 3 18 O estado de deslocamento, que chamaremos de estado (zero), é a viga com o carregamento real que consiste de três cargas: uma distribuída e duas concentradas. O digrama de momentos fletores correspondente M0, está indicado na figura e nota-se que na sua forma final não se encontra diretamente na tabela. A alternativa mais conveniente neste caso é usar o Princípio da Superposição de Efeitos, separando o carregamento múltiplo em uma soma dos carregamentos obtidos pela aplicação de cada carga atuando isoladamente como ilustra a figura, obtendo-se os diagramas mais simples, M01, M02 e M03. O estado de carregamento unitário para o cálculo do giro na extremidade C, ϕc, chamado de estado de carregamento (1), consiste em um momento unitário aplicado na posição do deslocamento procurado, conforme mostra a figura 4.3. A aplicação do PTV - técnica da carga unitária, equação (4.8) – resulta: ∫ ∫ ∫ ∫++==ϕ dsMMdsMMdsMMdsMMEI 10310210110c 15,4 2 1 315,4 3 1 916) 9 6 1( 6 1 91125,10 3 1 9EI c ×××+×××+××+××−×××−=ϕ 2c tm125,25EI −=ϕ ou, .radianos10375,8 3000 125,25 3 c −×−= − =ϕ O sinal (-) significa que a rotação ocorre no sentido contrário ao suposto no estado de carregamento unitário, ou seja, ocorre no sentido anti-horário. Para não haver dúvidas em relação ao sentido, os deslocamentos podem ser expressos em módulo explicitando-se o sentido. No caso dos giros, é também conveniente expressá- los em graus (1 rad = 180/π graus). Assim, .horárioantitidosenno48,0rad10375,8 o3c −=×=ϕ − No cálculo da integral de M03 M 1, usou-se a propriedade: ∫ ∫ ∫+= C A B A C B 103103103 dsMMdsMMdsMM 5. Deformações por variação de temperatura. Caso o estado de deslocamentos (d) seja causado por uma variação não uniforme de temperatura, a expressão geral do PTV (4.1), usando a técnica da carga unitária fica: ∫∫ φ+=δ .estr dC.estr dCprocurado dMduN ........................................................... (5.1) na qual as deformações dud e dφd valem os valores mostrados na figura 5.1. Notar que neste caso a deformação dud é relativo ao eixo médio e dvd é nulo. Substituindo os valores de dud e dφd, obtém-se: ∫∫ ∆−∆ α+∆α=δ .estr C infsup .estr Cmédioprocurado dxM h tt dxNt .......................... (5.2) 19 φ α ∆ α ∆ φ α α ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ Figura 5.1 – Variação de temperatura Neste caso, cuidado especial deve ser tomado em relação ao sinal do trabalho interno na deformação, ou seja, com o sinal dos resultados das integrais. Caso as deformações por temperatura sejam concordantes com o sentido dos esforços do estado de deslocamento, o sinal será positivo, caso contrário, negativo. Assim, A primeira integral será positiva para esforços normais de tração e a segunda será positiva quando o momento fletor Mc tracionar a fibra que se encontra mais distendida do trecho, ou aquela com a temperatura mais elevada. 5.1 – Exemplo número 5 A estrutura da figura 5.2 apresenta uma variação de temperatura nas fibras “externas” de ambas as barras de + 50o centígrados. Deseja-se determinar a flecha (componente vertical do deslocamento) na extremidade livre C. O coeficiente de dilatação térmica do material vale: α = 1,2 x 10-5 oC-1 e a seção transversal das barras tem altura h = 0,40m. Figura 5.2 – Exemplo número 5 20 Determinados os esforços solicitantes N e M do estado de carregamento conforme figura 5.2, a expressão 5.2 fica: ∫∫ ∆−∆ α+∆α= dxM h tt dxNtf infsupmédioC       ××+× − ××+×× + ××−= −− 3 2 1 333 40,0 050 102,113 2 050 102,1f 55C baixoparam01935,002025,00009,0f C =+−= 23 06) Para a viga em balanço da figura, de EI = constante, calcular: a) a flecha na extremidade B, fB; b) a rotação na extremidade B, ϕB; c) a flecha no meio do vão, fC; d) a rotação no meio do vão, ϕC. 07) Para a viga simplesmente apoiada da figura, de EI = 5000 tm2, determinar: a) a flecha no meio do vão, fC; b) o giro na extremidade A, ϕA; c) o giro no meio do vão, ϕC. 08) Para a viga da figura, de EI = 10000 tm2, determinar: a) o giro em A, ϕA; b) a flecha em C, fC. 09) Para a viga articulada (Gerber) da figura, de EI=10000 tm2, determinar: a) a flecha na articulação B, fB; b) a flecha na extremidade livre D, fD; c) o giro na extremidade livre D, ϕD. 24 10) Para o pórtico da figura de EI=10000 tm2, determinar: a) o deslocamento do apoio móvel C, ∆C; b) o giro no apoio fixo A, ϕA; c) o giro do nó B, ϕB; d) o giro no apoio C, ϕC. 11) Para o pórtico da figura de EI = 19200 tm2, determinar: a) o deslocamento horizontal do apoio D, ∆D; b) a flecha no meio do vão BC, fM. 12) Para o pórtico da figura, de EI = 10000 tm2, determinar: a) o deslocamento horizontal do apoio D, ∆D; b) o giro do nó C, ϕC. 13) Para o pórtico do exemplo anterior, determinar os mesmos deslocamentos caso esteja submetido ao carregamento da figura abaixo. 25 14) Para a estrutura da figura, de EI = 50000 tm2, determinar: a) o deslocamento translação do apoio C, ∆C; b) o giro do nó B, ϕB. 15) Para o pórtico tri-articulado da figura, E = 210 t/cm2, I = 300.000 cm4, determinar o deslocamento (horizontal) da articulação C, ∆C. 16) Para o pórtico tri-articulado da figura, de EI = 50.000 tm2, determinar: a) a flecha na articulação C, fC. b) o giro no apoio E, ϕE.
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