Mec. Clássica

Mec. Clássica

(Parte 1 de 12)

COCITE - Lisboa 1997

Problemas resolvidos COCITE 1994,1997

Vasco M. Almiro Simões

I CENTRO DE MASSA7
I MOMENTO DE INÉRCIA25
I DINÂMICA DA PARTÍCULA:
Trabalho, Teorema Das Forças Vivas,
Forças Conservativas, Potêncial
IV TORSOR CINÉTICO ( sistemas discretos )69
Momento linear
Momento angular
Variação do momento angular.
V TORSOR CINÉTICO, ENERGIA CINÉTICA83

SUMÁRIO 51 TEOREMAS DE KOENIG

VI PRINCÍPIO DE D’ALEMBERT. TRABALHO EM COORDENADAS 105 GENERALIZADAS. PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

BIBLIOGRAFIA BÁSICA: Mecânica I Prof. Eng. J. Quadros e Costa ( 3 Tomos ), COCITE

Boas, Mary L. Mathematical Methods in the Physical Sciences, second edition 1983, John Wiley & Sons, Inc.

Targ, SÉlements de Mécanique Rationnelle, 1978, MIR Moscovo
Landau, L.: Lifshits, EMecânica, 1978, MIR Moscovo

Fonseca, Adhemar Curso de Mecânica, 1976, C.L.B. e Livros Técnicos e Ciêntíficos Editora S.A.

Irodov, I. Principes Fondamentaux de la Mecanique, 1981, MIR Moscovo

Goldstein, H. Classical Mechanics, 1953, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. , Cambridge 42, Mass.

Centro de massa ou centro de gravidade é indicado pelos índices CM ou g .

Momento angular é indicado r s ou r L que são duas designações comuns para esta grandeza.

D ou d significa sempre "variação" ou "intervalo". · é o produto externo entre vectores.

×é o produto interno entre vectores.
"Quantificador universal.

Þ Sinal de implicação. Um ponto sobre uma variável indica a derivada total em relação ao tempo dessa variável, por exemplo:

d t

dois pontos indicam a segunda derivada, três a terceira, etc
tPeríodo.

T ou Ec Energia cinética.

r w Velocidade angular.

Q ou rqquantidade de movimento ou momento linear.
I ou JMomento de inércia ( não confundir com a unidade de energia Joule, de símbolo também J )

M Por vezes representa "massa" outras refere-se a "momento das forças", não confundir. rg Aceleração da gravidade na superfície da Terra ( = 9,8 m/s2 ).

ÑGradiente.

W Trabalho. U função de força, V potencial escalar.

ÐAngulo.

6 Chamadas assinaladas com o sinal † remetem o leitor para as notas finais.

Centro de Massa 1- Considere as distribuições lineares de massa, com densidade constante, das figuras seguintes:

Determine as coordenadas do centro de massa destas distribuições. 2- Considere as seguintes distribuições de massa superficiais planas de densidade constante:

Determine as coordenadas do centro de gravidade de cada uma destas distribuições.

(a) Semi esfera de raio R. (b) Cone recto de raio R e altura H (c) Semi superfície esférica. (d) Superfície cónica de raio R e altura H.

(a) A densidade constante. (b) A densidade proporcional á coordenada y do ponto do sólido considerado.

(a) A área sob a curva, acima do eixo OX.

(b) A massa correspondente a essa área se a densidade superficial for r (x,y) = xy. (c) O comprimento da curva. (d) O centro de massa correspondente a essa área.

(a) Por integração directa. (b) Evitando a integração tripla dividindo o volume em "fatias" paralelas ao plano YOZ. (c) Por aplicação do teorema de Guldin.

8- Calcule as coordenadas do centro de massa do volume da figura ao lado, constituído por uma semi-esfera, um cilindro e um cone recto, supondo a densidade constante.

9- Dados os sólidos da figura ao lado, constituídos por uma semi-esfera, um cone e um cilindro, se o raio da semi esfera for R e as alturas do cone e do cilindro forem h, determine a relação que deve existir entre R e h para que o centro de massa dos sólidos se situe no centro da semi esfera.

10- Ao longo de um cilindro de comprimento L e raio r desliza um disco de espessura b e raio R do mesmo material. Determine a distancia e de forma a que o centro de massa fique á distância L/n de A.

(a) Ache o Centro de Massa da linha AB. (b) Ache o centro de Massa da superfície limitada pela linha AB e pelos eixos coordenados. (c) Calcule a área da superfície gerada pela linha AB quando roda em torno de OX. (d) Calcule o volume do sólido gerado por essa área quando esta roda em torno de OY. (e) O teorema de Guldin é aplicável a linhas e áreas não homogéneas ? Justifique. (1º teste 1994)

12- Considere o sólido homogéneo representado na figura ao lado em corte. O sólido é de revolução em torno de OZ.

(a) Calcule o Centro de massa do sólido. (b) Faça rodar a secção do corte em torno de OX e calcule o volume do sólido assim gerado. Verifique por cálculo directo. (1º teste 94)

(a) Calcule o centro de massa da linha. (b) Calcule a área da superfície gerada por essa linha quando roda em torno de OX: (i) por aplicação do teorema de Guldin. (i) Por cálculo directo. (c) Calcule o volume do sólido gerado por rotação em torno de OY da área compreendida entre a linha ABC, o eixo OX e as rectas x=0 e x=2a. (2º teste 94) x + y + z = R x + y + z = R z 0 , R < R³ que apresenta massa específica dada por 1/r. (2º teste 94)

Calcule as coordenadas do centro de massa do paralelipípedo.

15- Um paralelipípedo de arestas a, b e c, tem massa específica proporcional á distancia ao plano OXY (fig.ao lado). (2º teste 94)

Considere que a é arbitrário. Obtenha as coordenadas do centro de massa do sólido suposto homogéneo.

16- Considere o volume, cortado da esfera r £ a pelo cone q < a . ( q é o angulo entre r e o eixo OZ ) (Exame 1ªC;1ªE;94)

Calcule o vector r

RCM do centro de massa do sistema.

(Exame 1ªC;1ªE;94)

Qual deve ser a densidade do material que constitui a semi esfera para que o

18- Uma peça maciça é constituída por um cubo homogéneo de densidade r e aresta h, encimado por uma semi esfera como mostra a figura ao lado, também homogénea, mas de densidade diferente. centro de massa do conjunto se encontre no centro da semi esfera ? (Exame 1ªC;2ªE;94)

19- Três Partículas de massas 2, 1, 3 respectivamente, têm vectores de posição

r = ( t , - t , t ) r = ( 2 t , 1 , t ) r = ( t , t , 2 ) r r

(a) Calcule a velocidade do centro de massa do sistema no instante t=1

(b) Calcule o momento linear total do sistema nesse instante. (Exame 1ªC;2ªE;94)

1- (a)

CM i i

X = l x l a + b + c =

2 (a + b + c)

CM i i

Y = l y l

= b + c

2 (a + b + c)å å

(b) O comprimento do arco é p p

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