Baixe Uma análise histórico-epistemiológica do conceito de grupo e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Uma Análise Histórico-Epistemológica do conceito de Grupo: caminhos para uma Nova Transposição Didática João Cláudio Brandemberg (PPGEd/UFRN) Orientador: Prof. Dr.Iran Abreu Mendes (PPGEd/UFRN) 1. Apresentação Atualmente, vivemos em uma época em que se comunicar é condição de sobrevivência. Dominar diversas linguagens e conhecer diferentes formas de troca de informações são grandes desafios para a sociedade e, em especial, para o processo educativo. De acordo com as experiências vivenciadas por nós, no ensino de Matemática, percebemos que, em geral, a comunicação de conteúdos a serem aprendidos pelos alunos, é feita somente pela leitura, escrita e algumas representações específicas (como tabelas, gráficos e equações). Pretendemos discutir este desafio, tendo a história da Matemática como aporte para melhorar esta comunicação. Pretendemos, com isso, avançar no conhecimento do processo de construção da linguagem matemática, mais especificamente, da linguagem algébrica simbólica utilizada na forma estruturada no ensino de Matemática no século XX. Acreditamos que um maior conhecimento acerca da origem e desenvolvimento conceitual das estruturas algébricas, como a de Grupo, que hoje é sem dúvida, um dos conceitos fundamentais na matemática contemporânea, devido sua ligação com a Teoria dos Números e com a Geometria, certamente facilitará, de forma abrangente e significativa, o desenvolvimento do ensino da Álgebra nos cursos de licenciatura e bacharelado em Matemática. Buscaremos, na história, explicações e referenciais conceituais que possam minimizar os obstáculos epistemológicos encontrados no ensino de graduação para este tópico de Matemática, considerando a possibilidade de desenvolver o ensino do conceito de Grupo, a partir de uma abordagem algorítmica ligada a problemas oriundos da Teoria dos Números. Tal abordagem deve indicar ao graduando em matemática uma possível, e significativa, contextualização histórico-epistemológica da estrutura de Grupo, que possa constituir o elemento motivador que diminua o impacto do primeiro contato dos estudantes com estas estruturas abstratas. 2 Para Fossa (2001) grande parte da comunidade da Educação Matemática chegou ao consenso de que o ensino baseado em atividades estruturadas é uma das maneiras mais eficazes de se ensinar Matemática. A utilização de aspectos históricos relacionados ao conteúdo é importante para se conhecer o desenvolvimento dos conceitos das estruturas, como a de Grupo, esta importância se acentua, quando pensamos em um ensino de Matemática a partir de uma estruturação rigorosa, como nos trabalhos de Hilbert (1862-1943), e da lógica axiomática encontrada em Euclides (300 a.C.). Esta forma estruturada de estudo da matemática é trazida para o ensino, na década de 1930, por B. L. van der Waerden (1903- 1996), objetivando um maior número de estudantes, e divulgada de forma ostensiva pelo grupo Bourbaki na década de 1940. Seguindo nessa linha traçada por Fossa (2001) e Mendes (2001) (2006), é que propomos como nosso objeto de estudo o desenvolvimento histórico-epistemológico do conceito de Grupo. Com isso, indicar caminhos para o desenvolvimento de atividades de ensino-aprendizagem sobre o conceito de Grupo, na perspectiva da história da Matemática. Neste sentido, os conhecimentos obtidos durante nossa investigação, sempre que possível, fornecerão as estratégias para desenvolver determinados conteúdos que possam projetar estes caminhos. A maior dificuldade na construção dos conceitos das estruturas clássicas da Álgebra, nos cursos de licenciatura em Matemática, é o caráter não significativo como estes conceitos são apresentados. Como professor destas disciplinas, mais especificamente de estruturas algébricas, e com base nas experiências vivenciadas durante 20 anos de trabalho docente, acredito na necessidade de uma reformulação nas estratégias metodológicas de ensino destes conceitos com vistas a obter uma aprendizagem efetiva e que conseqüentemente possa diminuir o percentual de evasão e reprovação, aspecto este muito acentuado nesta disciplina. Em um estudo exploratório realizado no segundo semestre de 2004, com alunos da disciplina estruturas algébricas do curso de licenciatura em Matemática da UFPA, obtivemos os seguintes dados: Abordagem dos temas: Grupos, Anéis e Corpos. Percentual A partir de uma situação, seguida da conceituação e questões. 11% A partir de um problema, seguido da conceituação e questões. 0% A partir da definição, seguida de exemplos, contra-exemplos e exercícios. 89% Obs: cerca de 45% dos questionários não foram respondidos. 5 pode apoiar-se as questões contextuais nas quais ocorreu o desenvolvimento histórico da álgebra com vistas a localizar possibilidades pedagógicas que superem as dificuldades encontradas por professores e estudantes de graduação em matemática. 2.2 O desenvolvimento histórico epistemológico do conceito de grupo Como a estrutura de Grupo, um dos conceitos fundamentais da moderna Matemática, diretamente ligada a teoria dos Números, a teoria das equações algébricas e a Geometria (WUSSING, 1984), apresenta inúmeras aplicações, em todas as suas características particulares, na Física, na Economia, na Biologia, entre outras. Em nossa tese, afirmamos que, uma investigação histórico-epistemológica acerca da gênese do conceito de Grupo, possivelmente trará para o ensino de álgebra, novas alternativas de abordagem do conteúdo, possibilitando uma ruptura com determinados paradigmas do ensino oriundos da chamada “Matemática Moderna”. Para Wussing (1984), a reconstrução do processo histórico dinâmico que envolve a teoria dos grupos deve considerar todos os documentos bibliográficos, sejam eles biografias, artigos ou manuscritos. O caminho, apontado por Wussing (1984) para o desenvolvimento do conceito de Grupo, parte de três propostas iniciais, não disjuntas, a saber: a Geometria (grupos de simetrias), a Teoria dos Números (estudo dos números primos) e a Teoria das equações algébricas. Em nosso trabalho, mesmo considerando a importância da teoria geométrica, nos aprofundaremos mais nas concepções ligadas a influência determinante da Teoria dos números e da Teoria das Equações no desenvolvimento do conceito de Grupo. Partiremos, inicialmente, da “implicação” de teoremas mais específicos da Teoria dos números (como os de Euler e Gauss) para teoremas, mais simbólicos (ou gerais), da Teoria de Grupos, como os de Lagrange e Sylow. A Teoria de Grupo implícita no domínio da Teoria dos Números. Para Wussing (1984), assim como na Geometria, a história encontra (implicitamente) a idéia de Grupo no desenvolvimento da Teoria dos Números. Muitos argumentos do tipo ‘grupo teóricos’ aparecem associados a argumentos da Teoria dos Números. No entanto, o desenvolvimento da Teoria dos Números, não influenciou diretamente o desenvolvimento de um conceito de Grupo. Na verdade, em 1880, quando se tornou aparente que a Teoria dos Grupos (de permutação) permitia o domínio conceitual de grande parte da Teoria dos Números, é que se deu o grande impulso para a forma conceitual de ‘Grupo abstrato’, e seu 6 papel central em Matemática. Entretanto, destacaremos aqui dois exemplos importantes, relacionando os pensamentos da Teoria dos Números com o pensamento ‘grupo teórico’: i) Um artigo de Euler sobre potências residuais. Euler considera os restos obtidos na divisão de potencias av, v um número natural, por um número primo p. Ele assume que a não é divisível por p e conclui que obviamente av também não é. Assim, ele investiga o que acontece com os restos das divisões dos termos da seqüência geométrica infinita av, v natural, por p. Para Euler, mais importante que o resto r, tal que 0<r<p, é que todos os restos da forma r + np (n um número natural) podem ser considerados como o mesmo resto r. O que ele chama de restos equivalentes. Assim, desde que não existem mais que p-1 restos não equivalentes, um número de termos da seqüência infinita av deve deixar o mesmo resto. Em particular, muitos dos infinitos termos de av deixam resto 1 quando divididos por p. Se aλ é a menor potência positiva que deixa resto1, então todas as potências aµ que deixam resto 1 são da forma aλm , m um natural. Então os restos das potências 1, a, a2, ..........................., aλ-1 são todos distintos. Euler verificou que 1, a, a2, ..........................., aλ-1 aλ, aλ+1, ..........................., a2λ-1 a2λ, .................................., a3λ-1 deixam os mesmos restos na mesma ordem; basta portanto, investigar os restos das potências 1, a, a2, ..........................., aλ-1 Os restos deixados por aψ onde ψ = nλ + µ, é igual aos deixados por aµ. Para aλ , como foi definida, existem exatamente λ diferentes restos. Se λ < p - 1, então certos números nunca voltam como restos. Para Euler (WUSSING, 1984), se alguém olha para os diferentes restos, verá que as potências deixam exatamente um resto, ou exatamente dois restos, ou exatamente três restos e assim por diante. Nunca podem ser mais que p-1 restos. Seja qual for o número de restos, o número 1 é sempre um deles. Ele considera, separadamente, dois casos: 7 1) – Todos os números de 1 a p-1 voltam como restos, até que ap-1 seja a menor potência que deixa resto 1. 2) - O número de restos é menor que p-1. O segundo caso é um exemplo claro do pensamento ‘grupo teórico’, denominado, em termos modernos ‘A decomposição de um Grupo sobre um subgrupo e suas classes’. Especificamente, Euler prova o seguinte teorema: ‘Quando o número de restos resultantes da divisão das potências 1, a, a2, a3, a4, a5, e assim por diante, por um primo p é menor que p-1, então existem pelo menos tantos números que não são restos, como existem restos.’ Assim, o número total de restos e não restos é 2λ. Este número não pode exceder p- 1, logo λ = (p-1)/2 ou λ < (p-1)/2. No segundo caso, em que λ = p-1, existem dois sub-casos: λ = (p-1)/2 ou λ < (p-1)/2. Se tomarmos λ = (p-1)/2 , então o expoente λ não pode exceder (p-1)/3 e temos λ = (p-1)/3 ou λ < (p-1)/3 conforme Euler demonstra. O subcaso λ < (p-1)/2 abre outros dois, e a partição continua até atingirmos uma igualdade da forma λ = (p-1)/n. Geralmente, se sabemos que λ < (p-1)/n, então podemos mostrar que λ = (p-1)/(n+1) ou λ < (p-1)/(n+1). Isto mostra que o número de números que não podem ser restos é 0 ou λ ou 2λ ou algum múltiplo de λ. Este resultado de Euler é notável. Em termos do pensamento ‘grupo-teórico’, esta última formulação equivale ao Teorema de Lagrange: ‘A ordem de um subgrupo é um divisor da ordem do Grupo’ Ele usou este resultado em uma demonstração do ‘pequeno Teorema de Fermat’, esta prova era superior a uma prova anterior, baseada na expansão da série (a+b)n, no sentido em que estabelece um resultado ‘número-teórico’ a partir de um método ‘número-teórico’. Neste sentido a prova, é para Euler, mais natural. ii ) A Teoria de Grupo implícita no trabalho de Gauss. A Teoria das potências residuais estava consideravelmente avançada ao término do século XVIII. Euler descobriu a lei da reciprocidade quadrática através de métodos indutivos, e A. M. Legendre (1752-1833) em seu “Recherches d’analyse indéterminée” deu a esta lei 10 atividade de ensino, buscamos não só motivar o aluno, mas proporcionar a apresentação dos conteúdos e garantir o processo de (re) construção do conhecimento. Para Mendes (2001), o conhecimento que o aluno tem a respeito da origem e do significado de diversos termos matemáticos é outra forma de se abordar a história da Matemática no ensino. O estudo de textos do passado (aspectos históricos) é importante para o ensino de matemática em virtude das vantagens que oferece ao professor, pois pode conduzir o aluno à (re) construção das idéias presentes nos livros didáticos atuais, a partir da riqueza do tratamento dos documentos originais. O que para Mendes (2001) é uma garantia de aprendizagem, para nós, é um pouco mais, pois se trata de uma forma de validação da aplicação de métodos algébricos estruturados, os quais devem ser apresentados, possivelmente, de forma contextualizada. Mendes (2001) preocupa-se com o ato cotidiano de ensinar-aprender e considera que a história deve ser utilizada na elaboração e execução de atividades voltadas a (re) construção de tópicos matemáticos, é isso que ele faz em seus inúmeros trabalhos sobre Trigonometria, buscando compreender as propriedades, teoremas e aplicações deste assunto na solução de problemas que exijam esses conhecimentos. E é nessa linha que pretendemos trabalhar com a estrutura de Grupo, nos cursos de licenciatura em Matemática. 4. Pressupostos Teóricos Metodológicos. Em nossa pesquisa pretendemos utilizar a história da Matemática para compreender o desenvolvimento histórico epistemológico do conceito de Grupo (objeto de estudo), visando possibilitar uma melhor abordagem para a introdução do conceito das estruturas algébricas (em especial a estrutura de Grupo) em um curso inicial (Estruturas algébricas ou Álgebra I) na graduação, no que seguiremos as concepções de Fossa (2001) e Mendes (2001) que defendem o uso da história da Matemática no ensino, Dreyfus (1991) sobre o pensamento matemático avançado e Fischbein (1994) relativa à atividade matemática, buscando subsídios (contexto histórico) de fontes como Wussing (1984) e van der Waerden (1985), entre outros. Os aspectos simbólicos de uma linguagem típica do que é chamado ‘pensamento matemático avançado’ (DREYFUS, 1991) tem causado determinados obstáculos para a aprendizagem, principalmente no que diz respeito ao ensino de Álgebra. No entanto, não podemos abrir mão desta ferramenta matemática, com o pecado de um retrocesso cientifico. 11 Para Mendes (2006, p.6) o uso exagerado do simbolismo matemático, sem preocupações com o significado, é prejudicial ao ensino, uma vez que exclui, no processo de apropriação do conhecimento, grande parte dos alunos. Reafirmando nossa preocupação. A elaboração de uma linguagem matemática cada vez mais sofisticada e a sua transformação em instrumento capaz de ler, explicar e modificar a realidade humana pode ser considerado importante para a explicação e preservação da vida. Todavia, o desenvolvimento ampliado dessa construção humana tem contribuído para que ampliemos a vida de poucos e impossibilitemos o desenvolvimento da vida da maioria (MENDES, 2006, p. 6). A questão então é ‘escolher’ uma forma de trabalhar com esta linguagem, tornando-a significativa e visando atingir um maior número de pessoas, superando obstáculos epistemológicos oriundos do avanço cientifico (desenvolvimento acelerado de teorias) e os obstáculos dela própria. A busca por um maior conhecimento do desenvolvimento histórico epistemológico do conceito de Grupo e das concepções filosóficas que influenciaram os primeiros autores a trabalhar com esta teoria estruturada para o ensino da Álgebra, como Van der Waerden (1956), deve nos permitir essa escolha, uma vez que, segundo Mendes (2006) a concepção do professor de Matemática é decisiva para o ensino. O estudo do desenvolvimento histórico epistemológico de conteúdos matemáticos, como o de Grupo, é visto por nós como uma tentativa de facilitar o processo de apropriação do conceito matemático, uma vez que podemos com ele, determinar mais claramente os obstáculos de aprendizagem. Todavia, é necessário cuidado para não somente determinar estas localizações no processo de produção do conhecimento e apresentar soluções mágicas, como adverte Mendes (2006). A epistemologia da matemática, entretanto, busca responder as questões relacionadas com a lógica interna de produção do saber, adquirindo as respostas, frequentemente, um caráter prescritivo (MENDES, 2006, p. 5). A produção do saber não deve ser confundida com a apropriação do saber, no que diz respeito ao ensino, uma vez que os procedimentos para esta apropriação, via construção conceitual, apresentam um caráter estritamente psicológico no sentido da condução a compreensão. Buscando com este aprendizado desenvolver o modo de pensar matemático, através da redescoberta. Alguns reformadores tentam apresentar a Matemática como um desenvolvimento lógico. Este procedimento é louvável no que tenta mostrar que a Matemática é racional, não arbitrária, porém é errôneo em dois aspectos, primeiro: confunde os procedimentos lógicos e psicológicos que respectivamente tentam convencer e conduzir a compreensão. Segundo: proporciona só o produto final do descobrimento matemático (ou seja, “tudo o que se tem que fazer é aprender isto”), e não serve para 12 provocar em quem aprende os processos pelos quais se fazem as descobertas. Ensina a idéia matemática, e não o modo de pensar matemático (SKEMP, 1980, p. 17- 18)1. Um curso típico de Matemática, como o do primeiro ano na universidade, tem um programa específico e definido cabendo ao professor a sua aplicação. Tanto faz se é um curso de Álgebra, Cálculo, Matemática Numérica ou outro, os conteúdos são conhecidos, determinados e pertencem a um segmento referendado do conhecimento matemático. Assim, embora o professor busque uma melhor forma de organizá-lo, geralmente é trabalhado na forma axiomática, consistindo na demonstração e aplicação de determinados teoremas. Poucos professores estão, realmente, preocupados com o processo de reflexão dos estudantes, a idéia aqui é de promoção do conhecimento matemático. Para Dreyfus (1991) reflexões sobre as experiências matemáticas são fundamentais na resolução de problemas não-triviais. Refletir sobre a experiência matemática é um aspecto importante do processo meta-cognitivo, e é esta reflexão que inicialmente caracteriza o pensamento matemático avançado, onde, a preocupação maior é com os processos através dos quais os alunos não só irão se apropriar, mas também produzir conhecimento a partir de novas (re) descobertas. Nestes processos que caracterizam o pensamento matemático, o que diferencia o pensamento matemático avançado do elementar para Dreyfus (1991), é o maior enfoque dado por este a capacidade de abstração. No entanto é necessário certo cuidado para tratar com essa diferenciação. De fato, é possível pensar tópicos matemáticos avançados de forma quase elementar (por exemplo, muitos exercícios padrão envolvendo anéis e grupos podem ser respondidos numericamente) e existem pensamentos bastante avançados sobre tópicos elementares (como alguns exemplos de olimpíadas de Matemática). Provavelmente conceitos como Anel e Grupo são mais complexos. Portanto, uma outra característica que distingue o processo de pensamento avançado do elementar é a complexidade a eles aplicada. A distinção então, está em como essa complexidade é administrada. Precisamos então, conhecer melhor este processo do pensamento matemático, em sua complexidade, capaz de permitir a passagem de uma pessoa de um nível para outro mais avançado, a partir de seus aspectos lógicos e psicológicos. Para Dreyfus (1991), temos a abstração e a representação como as duas grandes representantes dessa complexidade. 1 Tradução nossa