O determinante como uma forma multilinear alternada, Notas de estudo de Matemática

Baixe O determinante como uma forma multilinear alternada e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! O Determinante como uma Forma Multilinear Alternada Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi 21 de maio de 2004 Uma função f do conjunto das matrizes n× n em R é chamada forma multilinear ou n-linear se para qualquer matriz A, n× n, e escalares α e β, f            A1 ... Ak−1 αX + βY Ak+1 ... An            = αf            A1 ... Ak−1 X Ak+1 ... An            + βf            A1 ... Ak−1 Y Ak+1 ... An            , onde X = [x1 . . . xn ] e Y = [ y1 . . . yn ]. Teorema 1. Se f é uma forma multilinear, então para qualquer matriz A, n× n, f    A1 ... An    = n ∑ k1=1 n ∑ k2=1 . . . n ∑ kn=1 a1k1a2k2 . . . anknf    Et k1 ... Et kn    Demonstração. Cada linha i pode ser escrita como Ai = n ∑ ki=1 aikiE t ki . 1 2 Assim, aplicando-se a multilinearidade segue que f    A1 ... An    = f    ∑ n k1=1 a1k1E t k1 ... ∑ n kn=1 anknE t kn    = n ∑ k1=1 a1k1f      Et k1 ∑ n k2=1 a2k2E t k2=1 ... ∑ n kn=1 anknE t kn      = = n ∑ k1=1 n ∑ k2=1 . . . n ∑ kn=1 a1k1a2k2 . . . anknf    Et k1 ... Et kn    Assim uma forma multilinear fica inteiramente determinada se conhecemos os nn va- lores f    Et k1 ... Et kn    , para k1 = 1, . . . , n, . . . kn = 1, . . . , n. Dizemos que uma forma multilinear é alternada se f             A1 ... Ak ... Al ... An             = 0, sempre que Ak = Al. Proposição 2. Uma forma multilinear é alternada se, e somente se, ela é anti- simétrica, isto é, para qualquer matriz A, n× n, f             A1 ... X ... Y ... An             = −f             A1 ... Y ... X ... An             , para X = [x1 . . . xn ] e Y = [ y1 . . . yn ]. O Determinante como uma Forma Multilinear Alternada 21 de maio de 2004