Limites e Derivadas

Limites e Derivadas

(Parte 1 de 3)

ÁREA 1 - Faculdade de Ciência e Tecnologia Cursos de Engenharia

Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Álvaro Fernandes Serafim

Apostila de limites e derivadas

“Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar a sua curiosidade e fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho, então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta”

George Polya

Última atualização: 02/06/2006

Qual o valor de a ?

Álvaro Fernandes 2

Limite e continuidade3
Noção intuitiva de limite3
Tabelas de aproximações4
Cálculo de uma indeterminação do tipo 0/05
Definição intuitiva de limite6
Propriedades dos limites6
Limites infinitos8
Limites no infinito9
Expressões indeterminadas10
Limite fundamental exponencial12
Limite fundamental trigonométrico14
Funções limitadas16
Continuidade18
Aplicação 1: Problema da área sob o arco de uma parábola20
Aplicação 2: Problema do circuito RL em série21
Derivada2
A reta tangente2
A reta normal25
A derivada de uma função num ponto25
Derivadas laterais26
Regras de derivação28
Derivada da função composta (Regra da cadeia)30
Derivada da função inversa32
Derivada das funções elementares3
Derivada da função exponencial3
Derivada da função logarítmica34
Derivada das funções trigonométricas34
Derivada das funções trigonométricas inversas37
Tabela de derivadas39
Derivadas sucessivas40
Derivada na forma implícita42
Derivada de uma função na forma paramétrica47
Diferencial51
Aplicações da derivada53
A regra de L’Hospital53
Interpretação cinemática da derivada5
Taxa de variação58
Análise gráfica das funções61
Máximos e mínimos61
Funções crescentes e decrescentes63
Critérios para determinar os extremos de uma função65
Concavidade e inflexão67
Assíntotas horizontais e verticais69
Esboço gráfico72

Índice Problemas de otimização......................................................................................................... 7

Álvaro Fernandes 3

Limite e continuidade

Noção Intuitiva de limite

Considere a função ()fxx=−21. Esta função está definida para todo x∈ℜ, isto é, qualquer que seja o número real c, o valor ()cfestá bem definido.

Graficamente:

Considere agora uma outra função ()gx

1 . Esta função está definida

{}∀∈ℜ−x1. Isto significa que não podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1.

0 0 simboliza uma indeterminação matemática. Outros tipos de indeterminações matemáticas serão tratados mais adiante.

Qual o comportamento gráfico da função g quando x assume valores muito próximos de 1, porém diferentes de 1?

A princípio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma função numa vizinhança de um ponto (que pode ou não pertencer ao seu domínio). No caso da função f, qualquer valor atribuído a x determina uma única imagem, sem problema algum. Mas na função g, existe o ponto 1x= que gera a indeterminação.

Estudemos os valores da função ()gx

1 quando x assume valores próximos

(numa vizinhança) de 1, mas diferente de 1. Para isto vamos utilizar tabelas de aproximações.

Álvaro Fernandes 4

Tabelas de aproximações

As tabelas de aproximações são utilizadas para aproximar o valor da imagem de uma função (se existir) quando a variável x se aproxima de um determinado ponto.

Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores do que 1: (tabela A) x 0 0,5 0,75 0,9 0,9 0,99 0,99 g(x) 1 1,5 1,75 1,9 1,9 1,99 1,99

Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores do que 1:(tabela B)

x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 g(x) 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001

Observemos que podemos tornar g(x) tão próximo de 2 quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. De outra forma, dizemos:

“O limite da função g(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 é igual a 2”.

2ou limx

Observações: 1) Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamados de limites laterais.

∗ Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela esquerda, e denotamos simbolicamente por x→−1. Temos então que:

∗ Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (tabela B), dizemos que x tende a 1 pela direita, e denotamos simbolicamente por x→+1. Temos então que:

2) Se a função g se aproximasse de valores distintos à medida que x se aproximasse lateralmente de 1, pela esquerda e pela direita, então diríamos que o limite da função g não existiria neste ponto,

simbolicamente()limx gx→1

3) O limite da função g(x) quando x se aproxima de 1, somente existe se os limites laterais são iguais. Simbolicamente:

2

Será necessário sempre construir tabelas de aproximações para determinar o limite de uma função, caso ele exista?

Não! Há uma forma bem mais simples, como veremos a seguir.

Obs: O sinal negativo no expoente do no 1 simboliza apenas que x se aproxima do número 1 pela esquerda.

Obs: O sinal positivo no expoente do no 1 simboliza apenas que x se aproxima do número 1 pela direita.

Álvaro Fernandes 5

Sempre que nos depararmos com uma indeterminação do tipo 0 0, deveremos simplificar* a expressão da função envolvida. Logo após, calculamos o limite da função substituindo, na expressão já simplificada, o valor de x.

Briot-Ruffini para dividir polinômios, etc

* Para simplificar a expressão você deve utilizar fatoração, racionalização, dispositivo prático de Vejamos os exemplos seguintes.

Exemplo 2. Determine ()limx gx→1 , onde ()gx

Observe que ()0 01g= que é uma indeterminação matemática! Quando a variável x está cada vez mais próxima de 1, a função g está cada vez mais próxima de quanto? Devemos então simplificar a expressão da função g e depois fazer a substituição direta.

1xlimx glim

Logo, limx

Chegamos à mesma conclusão da análise feita pelas tabelas de aproximações, porém de uma forma mais rápida e sistemática.

Não mais utilizaremos as tabelas de aproximações para casos semelhantes a este!!

Vale lembrar que a expressão limx x

1 2 significa que a função ()gx

1 está tão próxima de 2 assim como x está suficientemente próximo de 1, porém diferente de 1. Graficamente podemos verificar isso:

Gráfico da função ()gx x

Álvaro Fernandes 6

Exemplo3. Determine

0).

Se você construir as tabelas de aproximações, constatará que g(x) está cada vez mais próximo de 1/4 a medida que x se aproxima de 1.

Exemplo 4. Determine

0).

Definição intuitiva de limite.

Seja f uma função definida num intervalo I⊂ℜ contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é L∈ℜ, e escrevemos

()limxa fxL→=, se, e somente se, os limites laterais à esquerda e à direita de a são iguais xa xa fx fxL→→−+==. Caso contrário, dizemos que o limite não existe, em

símbolo()limxa fx→

Proposição (unicidade do limite).

então ele é único.

Principais propriedades dos limites.

Se ()x flim ax→ e ()x glim ax→ existem, e k é um número real qualquer, então:

x flim xf lim ax e) kklim ax =→ .

Álvaro Fernandes 7

Atividades (grupo 1). Calcule os limites abaixo:

b) g) x2x x1lim h) i)

Atividades (grupo 2). Calcule os limites indicados:

a) ()fx

e

b) ()gx

, calcule: ()limx gx →2 c) ()hx

, calcule: ()limx hx →1 d) ()

0
e

Álvaro Fernandes 8

Limites infinitos

infinito (∞−∞+ou), dizemos então que o limite é infinito.

Quando resolvemos um limite e não encontramos como resposta valores numéricos, mas sim

Exemplo 6. Calcule 1x 1x lim

Neste caso, quando fazemos a substituição de x por −1 na expressão

Esta não é uma situação especial. Sempre que na substituição de x ocorrer 0 0k k, ≠, o resultado do limite será sempre zero, naturalmente.

E se na substituição do valor de x ocorrer k k0 0, ≠?

Vamos analisar esta situação num caso particular e depois formalizar uma regra.

Exemplo 7. Estude o seguinte limite: lim x x→0

Devemos analisar os limites laterais. Vamos recorrer às tabelas de aproximações:

x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 f(x)=1/x 1 10 100 10 10.0

Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela direita), ()fxx=1 cresce indefinidamente. Simbolizamos esta situação assim:

x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 f(x)=1/x -1 -10 -100 -10 -10.0

Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela esquerda), ()fxx=1 decresce indefinidamente. Simbolizamos esta situação assim:

Conclusão: Como os limites laterais são distintos, então lim x x→0

Álvaro Fernandes 9

Regra (generalização)

Se no cálculo de um limite ocorrer uma situação do tipo k k0 0, ≠, então:

e
e
Desta tabela podemos perceber que 0k=∞±Se o denominador tende ao infinito com o

numerador constante, a razão se aproxima de zero. Como veremos agora.

Limites no infinito

Estamos interessados agora em estabelecer o comportamento de uma função quando a variável x cresce indefinidamente (+∞→x) ou quando ela decresce indefinidamente (−∞→x). Em algumas situações, a função se aproxima de um valor numérico (figura 1), noutros pode também crescer indefinidamente (figura 2) ou decrecer indefinidamente (figura 3).

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Exemplo 8.

e na figura 3:

A tabela abaixo apresenta situações de soma e produto de infinitos que usaremos com freqüencia.

me se *kℜ∈ , então

k k 0k,k 0k,k se se m .

indeterminação!

Álvaro Fernandes 10

Vale ressaltar ainda que, se n é um natural não nulo, então:

xlime 

par. n, n, xlim nx

Atividades (grupo 3)Calcule os limites:

a) 2x xlim

Atividades (grupo 4). Calcule os limites:

b) c) d)

Expressões indeterminadas

Vimos que 0 0 é uma expressão de indeterminação matemática. Também são:

∞∞e .

A indeterminação do tipo ∞∞. Exemplo 9. Calcule os limites abaixo:

c)

Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo ∞∞, pois quando +∞→x as expressões do numerador e denominador também tendem a ∞+. Não podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos:

lim lim lim x 1xlim

Álvaro Fernandes 1 lim

Observamos que nas três situações analisadas as indeterminações do tipo ∞∞ produziram respostas distintas (como era esperado, por isso que é indeterminação!) Você deve ter notado que para resolver indeterminações deste tipo a idéia é colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e no denominador.

Atividades (grupo 5). 1. Calcule os limites abaixo:

b) c) 4

A indeterminação do tipo ∞ - ∞ Exemplo 10. Calcule os limites abaixo:

a) 3x xxlim −

Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo ∞ - ∞, mas não podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos:

Usando a mesma técnica da indeterminação anterior

Atividades (grupo 6). 1. Calcule os limites abaixo:

4

A indeterminação do tipo 0 × ∞ Exemplo 1. Calcule os limites abaixo:

. b) ()x

Álvaro Fernandes 12

Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo 0 × ∞, mas não podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos:

2limTransformamos a indeterminação 0 × ∞ em ∞ ⁄ ∞ . Daí você

já sabe!

0...x
Novamente transformamos a indeterminação para ∞ ⁄ ∞. Usando a

3lim x técnica da racionalização:

() +∞=∞+===⋅==

xx3limxxx x3limx x3lim x .

Atividades (grupo 7). 1. Calcule os limites abaixo:

Limite fundamental exponencial (a indeterminação do tipo 1∞)

O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários fenômenos naturais, por exemplo: Crescimento populacional, crescimento de populações de bactérias, desintegração radioativa (datação por carbono), circuitos elétricos, etc. Na área de economia, é aplicado no cálculo de juros.

Foi o Matemático Inglês Jonh Napier (1550-1617) o responsável pelo desenvolvimento da teoria logarítmica utilizando o número e como base. O número e é irracional, ou seja, não pode ser escrito sob forma de fração, e vale aproximadamente:

e ≅ 2,7182818

Como o número e é encontrado em diversos fenômenos naturais, a função exponencial ()xexf= é considerada uma das funções mais importantes da matemática, merecendo atenção especial de cientistas de diferentes áreas do conhecimento humano.

Proposição:ex

A prova desta proposição envolve noções de séries. Utilizaremos o recurso das tabelas de aproximações e gráfico para visualizar este resultado.

Álvaro Fernandes 13

Tabela

100 2,7048.. 1000 2,7169.. 100.0 2,7182..

Faça uma tabela para x → - ∞. Gráfico:

Exemplo 12. Calcule os limites abaixo:

. b)

Nestes dois casos percebemos indeterminações do tipo 1∞Vejamos as soluções...

a) 5

b) Neste caso, usaremos uma mudança de variável

x et 11limt

+=+=−−=−

Atividades (grupo 8). 1. Calcule os limites abaixo:

. b)

. c)

Álvaro Fernandes 14

Conseqüências importantes do limite fundamental exponencial:

1a lim

e

Atividades (grupo 9). Resolva os dois limites acima com as sugestões a seguir:

• No item (i) faça a mudança de variável t 1x= e use o limite fundamental exponencial.

Atividades (grupo 10). 1. Resolva os limites abaixo:

Limite fundamental trigonométrico

O limite fundamental trigonométrico trata de um limite cuja indeterminação é do tipo 0 0 envolvendo a função trigonométrica ()xseny=. Este limite é muito importante, pois com ele resolveremos outros problemas.

Proposição:()1x

Vamos utilizar a tabela de aproximação para verificar este resultado. Tabela x ()()x xsenxf=

±0,1 0.9983341664683.. ±0,01 0.9999833334167..

±0,001 0,9999998333333..

±0,0001 0,9999999983333..

±0,00001 0,9999999999833..

Álvaro Fernandes 15

xsenxf=, podemos perceber também este resultado

Exemplo 13. Calcule os limites abaixo:

x5senlim

1xcoslim xtglim 0x → .

Soluções:

x2 x2senlimx

2
Faça tx2=Se 0x→ então 0t→. Logo:
()()212t

tsenlim2 kxsenlim 0x =→ . Vamos usar este resultado agora:

lim x3sen x5senlim xsenlim 1xcosx 1xcoslim

1xcos 1xcosx 1xcoslimx

1xcoslim

1xcos xsenx xsenlim xcos 1limx xsenlim xcos1x xsenlim xcosx xsenlimx xtglim

Atividades (grupo 1). 1. Resolva os limites abaixo usando o limite trigonométrico fundamental:

. c) ()

Álvaro Fernandes 16

Funções limitadas

Obs.: ()fD significa o domínio da função f.

Exemplo 14. Algumas funções limitadas e seus gráficos. f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) f(x) = k f(x) = sen(2x2+3x-1)

Proposição: Se ()()xg0xflim

Exemplo 15

a) Calcule ()x xsenlim x +∞→ .

Solução:

+∞→ x xsenlimx resultado é zero.

Gráfico da função ()()x xsenxf=:

Observe que as oscilações vão reduzindo a sua amplitude quando +∞→x. O resultado do limite permanece o mesmo se −∞→x.

Álvaro Fernandes 17 xcoslim x +∞→ .

Solução: de forma análoga

Gráfico da função ()()x xcosxf=:

Observe que, da mesma forma que a função anterior, as oscilações vão reduzindo a sua amplitude quando +∞→x. O resultado do limite permanece o mesmo se−∞→x.

c) Calcule ()xcos

(Por quê?) e ()xcos é uma função limitada. Logo, ()0xcos

Atividades (grupo 12). 1. Resolva os limites abaixo usando o conceito de função limitada:

b) ()x

Álvaro Fernandes 18

Continuidade

Definição: Seja 0x um ponto do domínio de uma função f. Dizemos que f é contínua no ponto 0x se:

Exemplo 16. A função do exemplo 1 (pág. 3) é contínua no ponto 2x0=, pois

. Na verdade esta função é contínua em ℜ, isto é, em todos os pontos da reta

(do seu domínio).

Exemplo 17. Algumas funções que não são contínuas no ponto 0x:

Pois

a) b) c) a) não existe ()x flimxx→

Exemplo 18. Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados:

Soluções: a)Calculando o limite, temos: ()()()()42

16x lim

Álvaro Fernandes 19 b) Calculando o limite, temos:

x1 lim

Como os limites laterais são iguais, temos que ()4x glim

Atividades (grupo 13).

Determine, se possível, a constante ℜ∈ a de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto ox, sendo:

xf o2

Atividades (grupo 14).

Determine, se possível, as constantes ℜ∈ba e de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto ox, sendo:

Propriedades das funções contínuas. Se as funções f e g são contínuas em um ponto 0x, então:

i) fg é contínua em 0x;

i) f ± g é contínua em 0x; i) f / g é contínua em 0x desde que ()0xg0≠.

Álvaro Fernandes 20

Método dos retângulos.

Figura 1. Dividindo o intervalo []1,0 em n subintervalos, cada subintervalo terá comprimento n1:

1,0 ,2o subintervalo n
2 ,, no subintervalo 
1nObs.: 1n

Vamos construir retângulos (Figura 2) cujas bases são ao subintervalos e cujas alturas são as imagens dos extremos direito* de cada subintervalo pela função 2xy=:

* a altura pode ser calculada sobre qualquer ponto do subintervalo, neste caso foi tomado o extremo direito.

Figura 2. Figura 3. Calculando as área desses retângulo (h.bA=), obtemos:

1A⋅=,2
1A⋅=,2
1A⋅=,, 2

A área total desses retângulos (ntA) nos dá uma aproximação da área (Figura 1) que queremos calcular:

1AA L

Álvaro Fernandes 21

Vejamos alguns resultados para alguns valores crescentes de n:

n 6 (Figura 3) 10 100 1.0 10.0 100.0 ntA 0,421296 0,385000 0,338350 0,333834 0,333383 0,333338

A área exata que estamos procurando (Figura 1) é calculada pelo limite:

(Calcule este limite e mostre que é igual a 1/3)

2. Problema do circuito RL em série.

No circuito da figura 4, temos uma associação em série de um resistor (símbolo R) e um indutor (símbolo L). Da segunda lei de Kirchhoff (lei das voltagens) e do estudo das equações diferenciais, pode-se mostrar que a corrente i no circuito é dada por onde E é uma bateria de voltagem fixa, c é uma constante real e t é o tempo.

Figura 4.

Unidade de resistência: ohm. Unidade de indutância: henry.

Exercício 1: Se uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série (como na fig. 4) no qual o indutor é de 1/2 henry e o resistor é de 10 ohms, determine o valor da constante c e a corrente ()ti. Considere a corrente inicial e o tempo inicial iguais a zero.

, sendo ()ti da equação (1).

usualmente denominado de corrente transitória. A razão E/R é chamada de corrente estacionária. Após um longo período de tempo, a corrente no circuito é governada praticamente pela lei de Ohm RiE=.

Álvaro Fernandes 2

Derivada

A reta tangente. Suponha que a reta r da figura vá se aproximando da circunferência até tocá-la num único ponto.

(Parte 1 de 3)

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