Prova Substitutiva de Física para Engenharia II - FEP2196, Notas de estudo de Engenharia Civil

Baixe Prova Substitutiva de Física para Engenharia II - FEP2196 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! FEP2196 - F́ısica para Engenharia II Prova Substitutiva - 13/12/2007 - Gabarito 1. Uma formiga de massa m = 0, 10 g encontra-se sobre um disco de raio R = 20 cm, que gira em sentido anti-horário com velocidade angular ~ω = 3, 0 k̂ rad/s. Utilizando o sistema de coordenadas ciĺındricas, determine a força de inércia, ~Fin, medida em Newtons, que atua sobre a formiga, quando ela: (a) (0,5) Está parada a uma distância R 2 do centro do disco. (b) (1,0) Está a uma distância R 2 do centro, mas agora com velocidade ~v = 20 θ̂ cm/s em relação ao disco. (c) (1,0) Está a uma distância R 2 do centro, mas agora com velocidade ~v = −10 r̂ cm/s em relação ao disco. SOLUÇÃO Dados iniciais do problema: massa m = 0, 10 g = 1× 10−4 kg Raio do disco R = 20 cm = 0, 2 m Velocidadde angular ~ω = 3, 0 k̂ rad/s A força de inércia ~Fin é dada pela força centŕıfuga e pela força de Coriolis: ~Fin = ~Fcent + ~FCor = −m~ω × (~ω × ~r′)− 2m~ω × ~v′ Para cada caso teremos: (a) Está parada a uma distância R 2 do centro do disco. ~r′ = 0, 1 r̂ m ~v′ = 0 ~ω = 3, 0 k̂ rad/s Nesse caso a força de inércia só possui a componente centŕıfuga ~Fin = −1× 10−4 · 3 · 3 · 0, 1 [ k̂ × (k̂ × r̂) ] 1 ~Fin = 9× 10−5 r̂ N (b) Está a uma distância R 2 do centro, mas agora com velocidade ~v = 20 θ̂ cm/s em relação ao disco. ~r′ = 0, 1 r̂ m ~v′ = 0, 2 θ̂ m/s ~ω = 3, 0 k̂ rad/s A componente centŕıfuga da força de inércia permanece a mesma e a componente de Coriolis será dada por: ~FCor = −2 · 1× 10−4 · 3 · 0, 2 [ k̂ × θ̂ ] = 1, 2× 10−4 r̂ N Portanto, a força de inércia será: ~Fin = (9× 10−5 r̂ + 1, 2× 10−4 r̂) N ~Fin = 2, 1× 10−4 r̂ N (c) Está a uma distância R 2 do centro, mas agora com velocidade ~v = −10 r̂ cm/s em relação ao disco. ~r′ = 0, 1 r̂ m ~v′ = −0, 1 r̂ m/s ~ω = 3, 0 k̂ rad/s A componente centŕıfuga da força de inércia permanece a mesma e a componente de Coriolis será dada por: ~FCor = −2 · 1× 10−4 · 3 · (−0, 1) [ k̂ × r̂ ] = 6× 10−5 θ̂ N 2 o que nos dá para os instantes de tempo em que a elongação do movimento é máxima em módulo tMAX = nπ − ϕ(Ω) Ω A contante de fase é dada por: ϕ(Ω) = −arctan ( γΩ ω20 − Ω2 ) = −arctan ( 2 · 50 502 − 502 ) = −π 2 Substituindo em tMAX temos: tMAX = nπ + π 2 50 tMAX = π 100 (2n + 1) s (d) Qual seria o novo regime de oscilação ? (justifique) Quando a força externa é desligada passamos a ter um oscilador harmônico amortecido. Como ω0 = 50 rad/s e γ = 2 s −1 temos que: ω20 > γ2 4 ou seja, o sistema oscilaria no regime subcŕıtico (e) Qual seria a freqüência de oscilação? No regime subcŕıtico a freqüência de oscilação é dada por: ω = √ ω20 − γ2 4 = √ 2500− 4 4 √ 2499 rad/s 5 3. A figura mostra um pulso em uma corda de comprimento 100 m com as extremidades fixas. O pulso esta se deslocando com velocidade de 40 m/s e é descrito pela seguinte função y(x, t) = 0, 1e−4(x−vt) 2 onde x é dado em metros e t em segundos. 0,1 m 100 m (a) (1,0) Qual o valor de x, tal que a velocidade transversal da corda é máxima, em t = 0? (b) (0,3) Qual a função que representa o pulso refletido, em um instante t logo após sua primeira reflexão? (c) (0,2) Se a massa da corda é 2 kg, qual a tensão T nesta? (d) (1,0) Escreva uma equação y(x, t) que descreve numericamente uma onda senoidal, com λ = 5 m e mesma amplitude da onda anterior, se deslocando na direção negativa de x em uma corda muito longa, feita do mesmo material, com a mesma tensão acima, e tal que y(0, 0) = 0 SOLUÇÃO (a) Qual o valor de x, tal que a velocidade transversal da corda é máxima, em t = 0? Velocidade transversal vy(x, t) = ∂ ∂t y(x, t) = 0, 1e−4(x−vt) 2 [−8(x− vt) (−v)] = 0, 8 v(x− vt)e−4(x−vt)2 A velocidade tranversal será máxima quando ∂ ∂t vy(x, t) = 0 ∂ ∂t vy(x, t) = 0, 8v { −ve−4(x−vt)2 + [−8(x− vt) (−v)] e−4(x−vt)2 } = 0, 8v2e−4(x−vt) 2 [8(x− vt)2 − 1] 6 Para t = 0 ∂ ∂t vy(x, t)(t=0) = 0, 8v 2e−4x 2 (8x2 − 1) xMAX para o qual a velocidade transversal em t = 0 é maxima 8x2MAX − 1 = 0 ⇒ xMAX = 1√ 8 xMAX = 1 2 √ 2 m (b) Qual a função que representa o pulso refletido, em um instante t logo após sua primeira reflexão? O pulso refletido sofre uma inversão, ou seja y(x, t) = −0, 1e−4(x+vt)2 m (c) Se a massa da corda é 2 kg, qual a tensão T nesta? A tensão na corda é dada por: T = µv2 onde µ é a densidade de massa da corda µ = m L = 2 100 = 1 50 kg/m e v é a velocidade do pulso na corda T = 1 50 · (40)2 = 1600 50 T = 32 N (d) Escreva uma equação y(x, t) que descreve numericamente uma onda senoidal, com λ = 5 m e mesma amplitude da onda anterior, se deslocando na direção negativa de 7