Problemas interessantes de Matemática (lógica), Notas de estudo de Matemática

Baixe Problemas interessantes de Matemática (lógica) e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! PROBLEMAS INTERESSANTES DE MATEMÁTICA E LÓGICA (Anotados por J.L.Serra) A) Matemática (estes problemas devem ser resolvidos, a solução não deve ser obtida por tentativas) M_01)Considere uma árvore com g galhos e um bando de p pássaros. Caso pousem 2 pássaros em cada galho, sobrará um galho vazio; caso pouse apenas um pássaro em cada galho, sobrará um pássaro sem ter galho para pousar. Quantos são os galhos (g) e pássaros (p)? M_02)Sejam 3 dígitos x, y e z, diferentes entre si, valendo de 0 a 9. Qual o valor de x, y e z para que valha a igualdade: xx + yy + zz = xyz Obs.: xx, yy, zz e xyz são números e não produtos. M_03 Sejam 3 dígitos X, Y e Z, diferentes entre si, valendo de 0 a 9. Qual o valor de X, Y e Z para que valha a igualdade: XYZ = X F 0 B 4 Y F 0 B 4 Z F 0 B 4 5 Obs.: O número XYZ deve ser igual ao produto do segundo membro. M_04)Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades valerá 63. Que idades temos hoje? M_05)Problema que constitui o epitáfio do geômetra grego Diofante: “Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida na juventude; um duodécimo, na adolescência; um sétimo, em seguida, foi escoado num casamento estéril. Decorreram mais cinco anos, depois do que lhe nasceu um filho. Mas este filho – desgraçado e, no entanto, bem amado! – apenas tinha atingido a metade da idade que viveu o pai, morreu. Quatro anos ainda, mitigando a própria dor com o estudo da ciência dos números, passou-os Diofante, antes de chegar ao termo de sua existência”. Pergunta-se: com quantos anos morreu Diofante? M_06)Extraído de “O homem que calculava” de Malba Tahan. Um rajá deixou às suas filhas certo número de pérolas e determinou que a divisão se fizesse do seguinte modo: a filha mais velha tiraria uma pérola e um sétimo do que restasse; viria depois, a segunda e tomaria para si duas pérolas e um sétimo do restante; a seguir a terceira jovem receberia 3 pérolas e um sétimo do que restasse, e assim sucessivamente. Sabendo-se que não houve prejuízo para nenhuma das herdeiras após a partilha, pergunta-se: Qual o número de pérolas? Quantas são as filhas do rajá? M_07)Extraído de “O homem que calculava” de Malba Tahan. Um navio que voltava do Ceilão, trazendo grande partida de especiarias, foi assaltado por violenta tempestade. A embarcação teria sido destruída pela fúria das ondas se não fosse a bravura e o esforço de três marinheiros que, no meio da tormenta, manejaram as velas com extrema perícia. O comandante, querendo recompensar os denodados marujos, deu-lhes certo número de moedas. Esse número, superior a duzentos, não chegava a trezentos. As moedas foram colocadas numa caixa para que no dia seguinte, por ocasião do desembarque, o almoxarife as repartisse entre os três corajosos marinheiros. Aconteceu, porém, que, durante a noite, um dos marinheiros acordou, lembrou-se das moedas e pensou: “Será melhor que eu tire a minha parte. Assim não terei ocasião de discutir ou brigar com os meus amigos”. E, sem nada dizer aos companheiros, foi, pé ante pé, até onde se achava guardado o dinheiro, dividiu-o em três partes iguais, mas notou que a divisão não era exata e que sobrava uma moeda. “Por causa desta mísera moedinha é capaz de haver amanhã discussão e rixa. O melhor é jogá-la fora.” E o marinheiro atirou a moeda ao mar, retirando-se cauteloso. Levava a sua parte e deixava no mesmo lugar a que cabia aos companheiros. Horas depois o segundo marinheiro teve a mesma idéia. Foi à arca em que se depositara o prêmio coletivo e dividiu-o em três partes iguais. Sobrava uma moeda. Ao marujo para evitar futuras dúvidas, veio à lembrança atirá-la ao mar. E dali voltou levando consigo a parte a que se julgava com direito. O terceiro marinheiro, ignorando, por completo, a antecipação dos colegas, teve o mesmo alvitre. Levanto-se de madrugada e foi, pé ante pé, à caixa das moedas. Dividiu as moedas que lá encontrou em três partes iguais; a divisão não foi exata. Sobrou uma moeda. Não querendo complicar o caso, o marinheiro atirou no mar a moedinha excedente, retirou a terça parte para si e voltou tranqüilo para o seu leito. No dia seguinte, na ocasião do desembarque, o almoxarife do navio encontrou um punhado de moedas na caixa. Soube que essas moedas pertenciam aos três marinheiros. Dividiu-as 1 em três partes iguais, dando a cada um dos marujos uma dessas partes. Ainda dessa vez a divisão não foi exata. Sobrava uma moeda , que o almoxarife guardou como paga do seu trabalho e de sua habilidade. É claro que nenhum dos marinheiros reclamou, pois cada um deles estava convencido de que já havia retirado da caixa a parte que lhe cabia das moedas. Pergunta-se, afinal: quantas eram as moedas e com quantas moedas ficou cada um dos marujos? M_08)Dividir 21 vasos por três pessoas, sendo 7 cheios de vinho, 7 meio cheios de vinho e 7 vazios, de forma que cada pessoa receba o mesmo número de vasos e mesmo volume de vinho, sem alterar o conteúdo dos vasos. M_09)Variação do anterior: dividir 24 vasos por três pessoas, sendo 5 cheios de vinho, 11 meio cheios de vinho e 8 vazios, de forma que cada pessoa receba o mesmo número de vasos e mesmo volume de vinho, sem alterar o conteúdo dos vasos. M_10)Problema proposto pelo geômetra indiano Bháscara, no livro Lilaváti, no século XII. A quinta parte de um enxame de abelhas pousou na flor de Kadamba, a terça parte numa flor de Silindra, o triplo da diferença entre estes dois números voa sobre uma flor de Krutaja, e uma abelha adeja sozinha, no ar, atraída pelo perfume de um jasmim e de um pandnus. Qual o número de abelhas? M_11)Qual é o menor número que quadripartido, isto é, dividido na soma de quatro parcelas não nulas, tais que a primeira aumentada de 7, a segunda diminuída de 7, a terceira multiplicada por 7 e a quarta dividida por 7 dêem o mesmo resultado? Indicar também as parcelas da divisão. M_12)Um senhor desceu (caminhando) uma escada rolante que descia, alcançando a base em 50 passos. Como experiência, ele agora subiu pela mesma escada rolante, degrau por degrau, alcançando o topo após 125 passos. Assumindo que ele subiu 5 vezes mais depressa que desceu, (isto é, andou cinco degraus para cada degrau anterior) e que fez cada caminhada numa velocidade constante, quantos degraus seriam visíveis se a escada parasse de funcionar? M_13)Uma cultura de bactérias reproduz-se de maneira tremendamente rápida. Basta dizer que o número de seus membros cresce de tal forma que ocupa o dobro de volume, em cada minuto. Sabe-se que uma cuba de 10 cm3 leva duas horas para ficar totalmente ocupada pela colônia de bactérias. Quanto tempo levariam as bactérias para encher uma cuba de 2,5 cm3? M_14)A revolta dos Tuaregs: os Ben Azouli, a terrível tribo dos tuaregs do Oásis de Abismalah, tem o seu acampamento localizado a 45 km a oeste de Taqba. Os Ben Azouli estão indignados com o governo de seu país, que decidiu construir uma ferrovia, a Trans-zadramath, cruzando as terras dos Ben Azouli, e ligando Taqba a Mequiba, esta última cidade situada a 60 km. ao norte do Oásis de Abismalah. Achrmed Ben Achmed, o Xeique dos Ben Azouli decide dinamitar a ferrovia e a frente de seus temíveis guerreiros, parte na calada da noite em direção ao "caminho de ferro", seguindo a menor distância. Se os camelos dos Ben Azouli conseguem deslocar-se no deserto a apenas 18 krn/ dia, quantos dias levarão os Tuaregs para chegar até a ferrovia e dinamitá-la? M_15)Sir Thomas O'Neil, importante industrial, costumava voltar de trem, do centro de Londres para sua mansão suburbana. Todos os dias, britânica que era, a composição ferroviária chegava pontualmente às 18 horas na estação de Brianchurch. Exatamente quando Sir Thomas colocava seu pé direito na gare, Mr Keith Storrn, seu chofer e mordomo, encostava o Rolls-Royce cinza claro diante da estação: - "Good evening, Sir!". Sir Thomas subia e o carro seguia, placidamente, rumo à casa, enquanto o milionário lia a edição do "The Time". Certa vez, em completo desacordo com as tradições inglesas, o trem chegou a Brianchurch uma hora mais cedo, ou seja, às 17 horas. Embora profundamente contrariado, Sir Thomas colocou fleumaticamente o "The Time" sob o braço e tomou, a pé rumo, o rumo da sua casa. A certa altura encontrou-se com Keith que vinha como sempre pontualmente buscá-lo. “Good evening, Sir!". Subiu no Rolls-Royce e nesse dia chegou em casa 20 minutos mais cedo. Pergunta-se: Por quanto tempo Sir Thomas O'Neill andou a pé? M_16)Um jovem mora perto da estação do metrô de Manhattan. Ele tem duas namoradas, uma no Brooklyn e outra em Bronx. Para visitar a garota do Brooklyn, ele toma o metrô na plataforma do lado do centro comercial; para visitar a garota do Bronx, ele toma o metrô na plataforma do lado residencial. Como gosta igualmente das duas namoradas, ele simplesmente toma ao acaso o primeiro trem que chega. Assim ele deixa o destino escolher se deve ir ao Bronx ou ao Brooklyn. Todo sábado, à tarde, ele chega à estação. Tanto o trem do Bronx como o do Brooklyn, irrompem na gare ferroviária de dez em dez minutos. Entretanto, alguma razão desconhecida faz com que nosso 2 M_42)Numa universidade são lidos apenas dois jornais, X e Y: 80% dos alunos lêem o jornal X e 60% o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine o percentual de alunos que lêem ambos. M_43)Quando Paula digitou um número em sua calculadora, sua irmã Beatriz notou que ele formava o nome de uma nota musical, quando lido de ponta cabeça. Em seguida, Paula dividiu o número por outro, primo, e Beatriz viu surgir um nome de nota musical diferente. Então, perguntou à irmã se ela sabia que isso acontecia. Paula multiplicou o resultado anterior por outro número de um só digito e Beatriz pôde ler sua resposta, também olhando de cabeça para baixo. Quais foram os números e as palavras envolvidas nessas operações ? M_44)Em um grupo de garotos se cada um ficaria com seis balas, sobrariam oito. Caso cada um ficasse com sete, faltariam nove. Rapidamente, quantos garotos havia no grupo? M_45)João e Marcos foram visitar a fazenda do seu avô. Durante sua estada, viram um cercado de porcos e galinhas. Marcos disse ter contado dezoito animais ao todo; João contara um total de cinqüenta pernas. Quantos porcos e galinhas havia no cercado? M_46)Uma pessoa, ao preencher um cheque, inverteu o algarismo das dezenas com o das centenas. Por isso, pagou a mais a importância de R$270,00. Sabendo que os dois algarismos (dezena : centena) estão entre si como 1 está para 2, determine o algarismo, no cheque, que foi escrito na casa das dezenas. M_47)Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00, vende pelos mesmos R$ 1.000,00. Qual é o número original de garrafas de vinho na caixa? M_48)Tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens menos quatro anos. Daqui a cinco anos a soma de nossas idades será 82 anos. Quantos anos eu tenho? M_49)Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada rolante juntas, uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia dois . Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. Quantos degraus são visíveis na escada rolante? M_50)Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx, cuja soma é o número de três algarismos zxz. Quanto valem x, y e z? M_51)Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu estivesse lendo 3 páginas por dia. Quantas páginas tem o livro? M_52)Considere os números obtidos do número 12345, efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual é a posição ocupada pelo número 43521? M_53)Determine o menor número natural tal que a divisão por 2 tenha resto 1, a divisão por 3 resto 2, a divisão por 4 resto 3, a divisão por 5 resto 4, a divisão por 6 resto 5 e a divisão por 7 é exata. M_54)Um homem gastou tudo o que tinha no bolso em três lojas. Em cada uma gastou 1 real a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Quanto o homem tinha ao entrar na primeira loja? M_55)As idades de duas pessoas há 8 anos estavam na razão de 8 para 11; agora estão na razão de 4 para 5. Quais são as idades atualmente? M_56)Um automóvel comporta dois passageiros no banco da frente e três no banco de trás. Calcule o número de alternativas distintas para lotar o automóvel utilizando 7 pessoas, de modo que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar nos bancos da frente. M_57)Dois moleques receberam, de sua mãe, 30 laranjas cada um, para serem vendidas na rua. O mais velho recebeu as mais graúdas para vender a razão de 2 por 1 real e o mais novo venderia as menores a 3 por 1 real, e a mãe apuraria 25 reais. Os moleques, muito malandros, misturaram as laranjas e, enquanto um tomava banho no ribeirão, o outro vendeu todas as laranjas a 5 por 2 reais (2 5 por 1 mais 3 por 1 = 5 por 2). Entretanto, na hora do acerto de contas com a mãe, faltou 1 cruzeiro no total, pois o total de 60 laranjas dão 12 grupos de 5, que vendidos a 2 reais totalizam 24 reais. A vara de marmelo "cantou" no lombo dos moleques, que até hoje não compreendem onde está o furo. Ajude-os a resolver este problema. M_58)Três amigos foram almoçar em um restaurante, cada um pediu um prato que custava 9 reais. Na hora de pagar cada um entregou para o garçom 10 reais. Chegando ao caixa o gerente deu um desconto de 2 reais, devolvendo 5 reais de troco. O garçom ao trazer o troco recebeu os 2 reais de gorjeta e cada um dos clientes pegou 1 real de troco. Assim, o total do almoço pago pelos três amigos foi de 27 reais que somados aos 2 que o garçom recebeu de gorjeta dá um total de 29 reais. Mas como eles entregam 30 para o garçom, está faltando 1 real. Onde está? Como explicar? B) Lógica L_01) Sejam 9 moedas idênticas na aparência mas com uma falsa que sabe-se ser mais leve. Com uma balança de dois pratos, com duas pesadas, determinar a moeda falsa (fácil). L_02) Sejam 9 moedas idênticas na aparência mas com uma falsa que não se sabe se mais leve ou mais pesada. Com uma balança de dois pratos, com três pesadas, determinar a moeda falsa determinando se é mais leve ou mais pesada (médio). L_03) Sejam 12 moedas idênticas na aparência mas com uma falsa que não se sabe se mais leve ou mais pesada. Com uma balança de dois pratos, com três pesadas, determinar a moeda falsa determinando se é mais leve ou mais pesada (difícil). L_04) Sejam dez pilhas de moedas idênticas na aparência mas uma das pilhas contém moedas falsas. Sabendo-se que as moedas verdadeiras pesam exatamente 1 kg cada e as falsas exatamente 900 gramas (0,9 kg) cada, determinar através de uma balança comum em apenas uma pesada qual a pilha de moedas falsas. L_05) Problema de lógica do Einstein: Este teste foi formulado no começo do século. Segundo Einstein, 98% da população do mundo não consegue resolvê-lo. 1) Há 05 casas de 05 cores diferentes. 2) Em cada casa mora uma pessoa de diferente nacionalidade. 3) Esses 05 proprietários bebem diferentes bebidas, fumam diferentes tipos de cigarro e têm, cada um diferente dos demais, certo animal de estimação. 4) Nenhum deles tem o mesmo animal, fuma o mesmo cigarro ou bebe a mesma bebida. A questão é: quem tem um peixe ????? Dicas: - o inglês vive na casa vermelha; - o Sueco tem um cachorro; - o Dinamarquês bebe chá; - a casa verde fica à esquerda da casa branca; - o dono da casa verde bebe café; - a pessoa que fuma Pall Mall cria pássaros; - o dono da casa amarela fuma Dunhill; - o homem que vive na casa do centro bebe leite; - O Norueguês vive na primeira casa; - O homem que fuma Blends vive ao lado de quem tem gatos; - O homem que cria cavalos vive ao lado de quem fuma Dunhill; - O homem que fuma Bluemaster bebe cerveja; - O alemão fuma Prince; - O Norueguês vive ao lado da casa azul; - O homem que fuma Blends é vizinho do que bebe água. 6 L_06) Força Aérea (variação do problema de lógica do Einstein): Uma esquadrilha de 5 aviões está voando em formação. Todos os aparelhos estão identificados com listras de cores diferentes. Cada um dos aviões apresenta uma anomalia. Todos os pilotos fumam marcas de cigarros diferentes ou cachimbo, e praticam cada um, um esporte diferente. 01. O aparelho do Cel. Milton tem listras vermelhas. 02 O rádio transmissor do Ten. Walter está em pane. 03 O piloto do avião com listras verdes adora pesca submarina. 04. O Major Rui joga golf. 05. O aparelho de listras verdes está imediatamente à direita do avião com listras laranja. 06. O piloto que fuma Minister está com o altímetro desregulado. 07. O piloto do avião amarelo fuma Malboro. 08. O piloto do avião vermelho pratica ski aquático. 09. O aparelho do Cap. Pedro é o extrema esquerda. 10. O piloto que fuma Continental voa ao lado do avião que está problema no sistema hidráulico. 11. O piloto que fuma Malboro voa ao lado do piloto que está com problema na bússola. 12. O piloto que fuma Hollywood pratica equitação. 13. O Cap. Francisco fuma cachimbo. 14. O Cap. Pedro voa ao lado do avião com faixas de cor azul. PERGUNTA-SE: a) Qual o piloto que joga tênis? b) Qual o avião cujo motor esta com a temperatura subindo? L_07) Estão presentes um senador, um corretor, um advogado e um médico. Seus nomes (não na mesma ordem) são: Alfredo, Alexandre, Alberto e Aluísio. Alfredo e o corretor estão zangados com Alberto, mas Alexandre se dá muito bem com o médico. Alberto é parente do advogado, e o senador é bom amigo de Aluísio e do médico. Qual é a combinação correta das profissões com os nomes? L_08) Em um trem, João, Roberto e Antônio são o foguista, o guarda-freios e o maquinista, mas não respectivamente. Igualmente são passageiros do trem três homens de negócio, que são homônimos dos funcionários da ferrovia: Sr. João, Sr. Roberto e Sr. Antônio. 1. O Sr. Roberto mora em São Paulo. 2. O guarda-freios mora exatamente a meio caminho do RJ e SP. 3. O Sr. Antônio ganha exatamente 2.000 reais por mês. 4. O vizinho mais próximo do guarda-freios, um dos passageiros, ganha exatamente três vezes mais que o guarda-freios. 5. O funcionário da ferrovia João vence o foguista no bilhar. 6. O passageiro cujo nome é o mesmo que o do guarda-freios mora no RJ. Pergunta-se: Quem é o maquinista? L_09) Sejam três cavalheiros inteligentes de olhos vendados e cinco discos idênticos, exceto na cor: dois pretos e três brancos. Cada cavalheiro tem preso às costas um disco cuja cor ignora. Serão interrogados sobre a cor do seu disco um a um. O primeiro poderá ver os discos dos dois outros; o segundo só poderá ver o disco do último e este terá que formular sua resposta sem ver coisa nenhuma. Retirada a venda que cobria os olhos do primeiro, ele pode ver a cor dos discos que se achavam presos às costas dos outros dois. Errou a cor do seu disco e se retirou. O segundo olhou a cor do disco do último, errou a cor do seu disco e se retirou. O último, sem conhecer a resposta dos dois primeiros, mas sabendo que erraram, declarou em voz alta com absoluta segurança a cor do seu disco. Deseja-se saber: Qual foi a resposta do último cavalheiro? Como descobriu ele, com absoluta precisão a cor do seu disco? L_10) Sejam cinco dançarinas, duas de olhos negros e três de olhos azuis. As dançarinas de olhos negros, quando interrogadas, dizem sempre a verdade, ao contrário, as de olhos azuis são mentirosas, nunca dizem a verdade. Estando elas com as cabeças cobertas, descobrir e indicar sem a menor possibilidade de erro, a cor dos olhos das cinco dançarinas, Sabe-se que poderão ser interrogadas apenas três das cinco dançarinas, não sendo permitido fazer mais de uma pergunta a mesma dançarina. Conhecendo-se as três perguntas formuladas e respostas obtidas, dizer com segurança, justificando rigorosamente a cor dos olhos das cinco dançarinas. 1. Primeira dançarina. Pergunta: De que cor são os teus olhos? 7 33) 31, pois é o números de números que possuem como correspondente de sua raiz um número inteiro, ou seja, 1, 4, 9, 16, 25,... até o inteiro menor que 1000 = 31 x 31 34) R$ 17,50 35) 20 vacas comerão todo o capim em 96 dias (solução detalhada no anexo 04). 36) A terceira mulher gastou R$ 11,10 37) O macaco saiu do buraco as 21 horas e 24 minutos 38) 3465,54 metros 39) 67 degraus 40) 802 folhas 41) Dia 19 42) 40% dos alunos lêem ambos os jornais. 43) O primeiro número era 705, que visto de ponta cabeça lê-se como SOL. Dividido por 47, dá 15, que parece com SI. Multiplicado por 9, dá 135, que, invertido, lê-se como SEI. 44) O grupo tinha 8 + 9 = 17 garotos 45) 7 porcos e 11 galinhas 46) O algarismo escrito no cheque na casa das dezenas foi o 3 47) Haviam 24 garrafas na caixa 48) 40 anos 49) 42 degraus 50) x=2, y=9 e z=1 51) 120 páginas 52) O número 43521 está na 90º posição 53) 119 54) 14 reais 55) 30 anos e 24 anos 56) 1800 maneiras 57) Problema clássico. As 30 mais graúdas formam 15 conjuntos de 2 laranjas e as miúdas 10 conjuntos de 3 laranjas e cada conjunto deve ser vendido por 1 real cada (total de 25 conjuntos = 25 reais). Quando fosse misturar deveria pegar 10 conjuntos das graúdas (10 x 2 = 20 laranjas) para juntar com os 10 das miúdas (10 x 3 = 30 laranjas) e formaria 10 conjuntos com 5 laranjas (2 graúdas e 3 miúdas) que poderiam naturalmente serem vendidas a 2 reais cada, perfazendo 20 reais e sobrariam 10 laranjas graúdas que para manter o preço original deveriam ser vendidas normalmente a 2 por 1 real ou 5 por R$ 2,50, perfazendo os outros 5 reais, mas como não foram separadas na ocasião da mistura, essas 10 laranjas graúdas acabaram sendo vendidas mais barato (5 por dois reais totalizando 4 reais). 58) Problema clássico. A conta está furada porque somou-se créditos com débitos, o que não pode ser feito. Os fregueses pagaram 27 reais e o caixa mais o garçom receberam 27 reais (25 + 2), naturalmente “fechando a conta.” B) RESPOSTAS DAS QUESTÕES DE LÓGICA 01) Dividir em três grupos com três moedas... 02) Idem... 03) Ver anexo 01 04) Colocar na balança 1 moeda da pilha 1, 2 da pilha 2, e assim por diante. A diferença no peso total define a pilha. 05) Ver anexo 02 06) Ver anexo 03 07) Alfredo – Advogado Alexandre – Senador Alberto – Médico Aluísio – Corretor 08) João – Maquinista 10 Antônio – Guarda Freios Roberto – Foguista 09) Meu disco é branco! (se o disco do 1o fosse preto um dos dois anteriores teria acertado) 10) 1/2/3/4/5 = preto/azul/preto/azul/azul. 11) O Lógica apontou para um dos caminhos e disse ao nativo: "Se eu tivesse de perguntar a você se este caminho leva à vila, você diria sim?" Com essa pergunta, qualquer que fosse a resposta dada pelo nativo o lógico saberia qual o caminho certo. A uma pergunta direta, o nativo mentiroso diria não. Mas, da forma como a pergunta foi feita, ele mentiria e diria sim. Dessa maneira, o lógico pôde ter certeza qual era o caminho certo, independentemente de o nativo ser contador de mentiras ou verdades, Se o caminho para a vila não fosse aquele, o mentiroso seria igualmente forçado a dizer não à pergunta do inquiridor. Versões mais complicadas da mesma questão poderiam ser elaboradas, mas todas elas estariam baseadas no mesmo princípio lógico: uma dupla negativa é igual a uma afirmativa. 12) Os cavalos estão trocados. 13) Avô, pai e filho. 14) Vão os de 60 e 65 kg; volta qualquer um deles sozinho e passa o barco para o de 80 kg que atravessa sozinho, ficando na margem oposta e passando o barco para o que lá estava que vem sozinho e pega o outro leve, atravessando ambos o rio. 15) Abrir a urna com as misturadas resolve... 16) Virar as duas ampulhetas. Quando terminar a de 14 segundos, coloca-se a erva na fervura. Quando terminar a ampulheta de 22 segundos, passaram-se 8 segundos e esta ampulheta de 22 segundos deve ser virada imediatamente e quando encerrar, tirar a erva da fervura pois se passaram 30 segundos . 17) A, B e E em poltronas e C e D em cadeiras. 18) Procurar todos os números de 3 algarismos cujo produto dos dígitos dê 36 e a soma dê 13. Encontra-se apenas os números 1,6,6 e 9,2,2 (e suas permutações). Destas opções, apenas 9,2,2 tem um mais velho, a outra tem dois mais velhos e deve ser descartada. 19) 31 armários ficaram abertos, pois é o números de quadrados perfeitos, ou seja, números que possuem como correspondente de sua raiz um número inteiro, ou seja, 1, 4, 9, 16, 25, 49, 81,... - Notar que o quadrado de 32, 32 x 32 = 1024 é o primeiro que supera 1000, isto é, pode-se ir até 31 x 31 = 961. É possível provar matematicamente, mas parece mais fácil concluir observando através da construção de uma “tabela” que pode ir apenas até o 36o armário (linhas) e 16o aluno (colunas). A 1a linha só tem A de aberto. nas linhas seguintes vai-se invertendo a letra nas colunas correspondentes (usar F para fechado) de acordo com a condição do enunciado. Não há necessidade de copiar, nas colunas, as letras que não foram alteradas (notar que só os quadrados perfeitos têm número impar de divisores). 20) DO = 34, RE = 56, MI = 90, FA = 72, SOL = 148, LA = 82, SI = 10 (detalhes no anexo 05) 11 PROBLEMAS INTERESSANTES DE MATEMÁTICA E LÓGICA - ANEXOS ANEXO 01 - DESCOBRIR A MOEDA FALSA Entre 12 moedas, sabe-se que uma é falsa. A única maneira de diferenciá-la é através do peso, não se sabendo, no entanto, se ela é mais leve ou mais pesada. Todas as 11 moedas restantes têm o mesmo peso. Usando uma balança simples de dois pratos, determinar, com um máximo de três pesadas, a moeda falsa e dizer se ela é mais leve ou mais pesada. SOLUÇÃO Toda dificuldade deste problema se resume no fato de não se saber de antemão se a moeda falsa é mais pesada ou mais leve que as moedas verdadeiras. É preciso dividir as moedas em grupos de 4 moedas e, além disso, devem-se numerá-las. Em um prato da balança coloca-se o primeiro grupo de moedas (1, 2, 3, 4) e, no outro, o segundo grupo de moedas (5, 6, 7 e 8). Esta é a primeira pesada que pode resultar nas seguintes alternativas: Alternativa a) A balança fica em equilíbrio, o que quer dizer que a moeda falsa está no terceiro grupo (9, 10, 11, 12). Então compara-se o peso de três destas últimas (9, 10, 11, por ex.) com o peso de três moedas quaisquer do 1º ou do 2º grupo Segunda pesada: se os pratos ficarem em equilíbrio, a moeda falsa será a 12ª. Comparando-se o peso da 12ª com qualquer uma das outras, pode-se saber se ela é mais pesada ou mais leve que as outras moedas na terceira pesada. Se durante a comparação dos pesos das moedas 9, 10 e 11 os pratos não ficarem em equilíbrio, então uma destas moedas será a falsa. Ainda durante esta pesada, é possível determinar se a moeda falsa é mais leve ou mais pesada que as outras. Supondo que o prato mais pesado é aquele que continha as moedas 9, 10 e 11, a moeda falsa será mais pesada. Para separá-la das moedas verdadeiras, basta mais uma pesada ( a terceira). Para isto, colocam-se nos pratos da balança as moedas 9 e 10. Se ficar em equilíbrio, a moeda falsa será a 11ª. se não ficar em equilíbrio, pode-se, da mesma maneira, identificar a falsa, pois já se sabe se ela é mais leve ou mais pesada. Alternativa b) Na primeira pesada, a balança não ficou em equilíbrio. Supondo que o prato mais pesado é o que continha as moedas 1, 2, 3 e 4 (1º grupo), então a moeda procurada ou está no prato que contém o grupo 1 e é mais pesada que as outras ou está no prato do grupo 2 e é mais leve. Mas, com esta primeira pesada já se concluiu que o terceiro grupo é de moedas verdadeiras, ou seja: sabe-se: 9/10/11/12 - verdadeiras e 1/2/3/4 pode conter a falsa que seria mais pesada ou 5/6/7/8 pode conter a falsa que seria mais leve Primeira solução para a alternativa b) Na segunda pesada comparam-se as moedas 1/2/3 e 5 (três do primeiro grupo - ou verdadeiras ou uma mais pesada) e uma do segundo grupo - ou verdadeira ou mais leve - com 4 (primeiro grupo - verdadeira ou mais pesada) e 9/10/11 (verdadeiras). As moedas 6, 7 e 8 ficam de lado e se alguma for falsa é mais leve. Três são as possibilidades: 1) Pratos em equilíbrio: isto significa que os grupos comparados contém só moedas verdadeiras; ou seja, a falsa está entre 6, 7 e 8 e como sabe-se é mais leve. Resolvido! - em um grupo de três sabendo-se que existe uma falsa e se é mais leve ou mais pesada, uma comparação determina a falsa, conforme já foi resolvido na alternativa a). 2) Não equilibrou e o grupo 1/2/3/5 é mais pesado. Falsa no conjunto 1/2/3 e é mais pesada. Resolvido com mais uma comparação! 3) Grupo 4/9/10/11 mais pesado: isto significa que ou 4 é falsa e mais pesada ou 5 é falsa e mais leve (lembrar que 1/2/3 não pode conter a mais leve, portanto nesta alternativa são verdadeiras). A simples comparação da 4 (pesada) ou 5 (leve) com uma verdadeira resolve: se a balança equilibrar sabe-se que é a que ficou de lado, caso contrário a comparação determina a falsa. Segunda solução para a alternativa b): Na segunda pesada, comparam-se as moedas 1, 2 e 9 (duas do primeiro grupo e uma do terceiro) com as moedas 3, 4 e 5 (as outras duas do 1º grupo e uma do segundo). Por enquanto, as moedas 6, 7 e 8 do segundo grupo ficam de lado. Três são as possibilidades: 1. Pratos em equilíbrio: isto significa que a moeda falsa se encontra no grupo mais leve, isto é, entre as moedas 6, 7 e 8. Na terceira pesada, comparam-se quaisquer duas destas últimas e separa-se a moeda falsa sabendo-se que é a mais leve. 2. O grupo de moedas 3, 4 e 5 é o mais pesado. Na terceira pesada, comparam-se as moedas 3 e 4. Se a balança permanecer em equilíbrio, a moeda falsa será a 5 (que é mais pesada). Se não houver equilíbrio, a moeda falsa (que será então a mais pesada) será facilmente determinada. 3. O grupo de moedas 1, 2 e 9 é o mais pesado. Na terceira pesada, comparam-se por exemplo, as moedas 1 e 2. Se houver equilíbrio, a moeda falsa será a 5 (mais leve); se não houver equilíbrio, a mais pesada será a falsa. 12 ANEXO 04 O PASTO E AS VACAS O capim cresce no pasto com igual rapidez e espessura. Sabe-se que 70 vacas o comeriam em 24 dias e 30 vacas em 60 dias. Quantas vacas comeriam todo capim em 96 dias ? SOLUÇÃO a) O capim cresce constante; b) As vacas comem sempre a mesma quantia por dia. Notação: V24 = Volume de capim no 24o dia V60 = Volume de capim no 60o dia V96 = Volume de capim no 96o dia 1 vaca come V24 / 70 em 24 dias ou 1680 vacas comem V24 em 1 dia 1 vaca come V60 / 30 em 60 dias 1800 vacas comem V60 em 1 dia Ou seja, o crescimento (constante) do capim em 36 dias (60 – 24) exige 1800 – 1680 = 120 vacas para comê-lo. Assim, 1800 + 120 = 1920 vacas comem V96 (= 60 + 36) em um dia, OU SEJA, 1920 / 96 = 20 vacas comem todo o capim (V96) em 96 dias. 15 ANEXO 05 PROBLEMA DE LÓGICA DA MÚSICA Nas igualdades “musicais” abaixo os algarismos foram substituídos por letras. Descubra, através de raciocínio lógico, quais os números correspondentes. A cada algarismo corresponde uma só letra e A + E não supera 10. a) DO + RE = MI b) FA + SI = LA c) RE + SI + LA = SOL SOLUÇÃO: a) implica em I = 0 (1) c) implica em S = 1 (2) (não pode ser 2 pois R + 2 + L < 20) com S=1, temos F + 1 = L (3) a) aplicando I = 0, O + E = 10 (4) D + R + 1 = M (5) Da expressão (5) se conclui que R máximo é 6, pois D não pode ser 1 e M é no máximo 9. c) sabendo-se que I = 0 (portanto L <> 0) e A + E não supera 10, está descartada a opção do “vai um” na soma A + E, ou seja: A + E = L (6) O = R + L – 9 (7) (L <> 9 pois senão O = R) Como R máximo = 6 e L máximo = 8, (L + R) máximo = 14 e daí, de (7), O máximo =5, ou seja, O = 2, 3, 4 ou 5. O = 5 não pode pois de (4) resulta E = 5 e não pode duas letras representar o mesmo número. O = 2 não pode pois de (4) resulta E = 8 que não satisfaz (6), pois A teria que ser 1 (= S). O = 3 não pode pois de (4) resulta E = 7 que também não satisfaz (6) pois daria A = 2 e L = 9, que como vimos na observação da expressão (7) não pode ser LOGO, O = 4 (8) (4): E = 6 (6): A + 6 = L Como L <> 9 e A <> 1, temos A = 2 L = 8 (3): F = 7 (7): R = 5 (5): D + 6 = M como o algarismo 9 não apareceu, M = 9 e D = 3. Assim, temos: DO = 34 RE = 56 MI = 90 FA = 72 SOL = 148 LA = 82 SI = 10 16