Baixe Apostila de Introdução aRobótica e outras Exercícios em PDF para Introdução à Robótica, somente na Docsity! 1 Universidade Braz Cubas Área de Ciências Exatas Engenharia Mecânica Engenharia de Controle e Automação Apostila de Robótica Prof. Valdemir Carrara www.valcar.net www.carrara.us 5 7 1 - Introdução Esta apostila foi preparada para propósitos das disciplinas de Robótica e Princípios de Robótica, dos cursos de Engenharia Mecânica e Engenharia de Controle e Automação da Universidade Braz Cubas. A bibliografia utilizada é baseada nos livros clássicos da área, entre os quais citam-se: Groover, M. P.; Weiss, M.; Nagel, R. N.; Odrey, N. G. Robótica. Tecnologia e Programação. McGraw-Hill, São Paulo, 1989. (Edição esgotada). (1)* Adade Filho, A. Fundamentos de Robótica: Cinemática, Dinâmica e Controle de Manipuladores Robóticos. Apostila publicada pelo ITA-CTA. São José dos Campos, 1992. Groover, M. P.; Weiss, M.; Nagel, R. N.; Odrey, N. G. Industrial Robotics: Technology, Programming, and Applications. McGraw-Hill Higher Education, 1986. Craig, J. J. Introduction to Robotics: Mechanics and Control (2nd Edition). Addison- Wesley, 1989. Asada, H.; Slotine, J.-J. E. Robot Analysis and Control. John Wiley and Sons, New York, 1986. Salant, M. A. Introdução à Robótica. São Paulo, SP: Makron Books, 1988. (1)* Fu, K. S. Robotics: Control, Sensing, Vision and Inteligence. McGrall-Hill, New York, 1987. (1)* Bolton, W. Engenharia de controle. São Paulo, SP: Makron Books,1995. Igualmente importantes são as referências encontradas em grande número na Internet. De especial interesse são aquelas publicadas em português: Laus, Luís Paulo - Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná - Departamento Acadêmico de Mecânica - Área de Automação - http://dexter.damec.cefetpr.br/~laus/ Parte deste documento foi extraída do trabalho de graduação dos alunos Émerson Teruhiko Watanabe e Flávia Moreira dos Santos: Watanabe, E. T.; Santos, F. M. Estudo da cinemática inversa aplicada num braço robótico. Universidade Braz Cubas, Mogi das Cruzes, 2006. 10 Na automação fixa as máquinas são específicas para o produto a ser produzido. Elas produzem grande quantidade um único produto, ou produtos com pequenas variações entre eles. O volume de produção é elevado, e o custo da máquina é elevado, pois é projetada para um produto especifico. Por outro lado, como o volume de produção é alto, o custo do produto em geral é baixo. Tais máquinas são encontradas em linhas transfer de motores, produção de lâmpadas, fabricação de papel e de garrafas. Neste tipo de automação, deve-se ter cuidado com o preço final do produto, pois, como o investimento de aquisição da máquina é alto, a amortização só acontece com vendas elevadas. Além disso, se o produto sair do mercado por obsolescência, perde-se o investimento. b) – Automação flexível Na automação flexível o volume de produção é médio e geralmente a máquina pode ser programada para produzir um outro produto, ainda que semelhante. Esta automação possui características da automação fixa e da programável. A máquina deve ser adaptável a um número grande de produtos similares, e, neste sentido, ela é mais flexível que a automação fixa. A automação flexível é empregada, por exemplo, numa linha de montagem automotiva. c) – Automação programável Na automação programável o volume de produção é baixo, mas a variedade de produtos diferentes é alta. Ela é adaptável por meio de programação. Os principais exemplos de automação programável são as máquinas CNC e os robôs industriais. A Figura 2.1 ilustra a relação entre o volume de produção e a diversidade de produtos para os processos de automação descritos. De todos os processos de automação, a robótica mais se aproxima da automação programável. Portanto, os volumes de produção de um robô industrial não são grandes, mas ele é extremamente adaptável a produtos diferentes. Embora robôs industriais sejam produzidos em diversas configurações, algumas delas se assemelham, até certo ponto, a características humanas (antropomórficas), e, portanto, são propícias para substituir operações realizadas por humanos. Os robôs são totalmente programáveis, possuem braços moveis, e são empregados em várias atividades, entre as quais destacam-se: • carregamento e descarregamento de máquinas • soldagem a ponto ou outra forma • pintura ou jateamento • processo de conformação ou usinagem Embora haja uma tendência de dotar os robôs industriais de mais habilidade humana, ainda assim eles não possuem forma humana. 11 Automação fixa Automação programável V ol um e de p ro du çã o Automação flexível Diversidade de produtos Figura 2.1 – Distribuição dos processos de automação quanto à diversidade de produtos e volume de produção. 15 Figura 3.3 – Braço robótico 3.2.1 – Juntas As juntas (Fu, 1987) podem ser rotativa, prismática, cilíndrica, esférica, parafuso e planar. Suas funcionalidades são descritas a seguir, e na Figura 3.4 podem ser visualizadas. • A junta prismática ou linear: Move em linha reta. São compostas de duas hastes que deslizam entre si; • A junta rotacional: Gira em torno de uma linha imaginária estacionária chamada de eixo de rotação. Ela gira como uma cadeira giratória e abrem e fecham como uma dobradiça; • A junta esférica: Funciona com a combinação de três juntas de rotação, realizando a rotação em torno de três eixos; • A junta cilíndrica: É composta por duas juntas, uma rotacional e uma prismática; • A junta planar: É composta por duas juntas prismáticas, realiza movimentos em duas direções; • A junta parafuso: É constituída de um parafuso que contém uma porca ao qual executa um movimento semelhante ao da junta prismática, porém, com movimento no eixo central (movimento do parafuso). 16 Rotativa (1 GL) Cilíndrica (2 GL) Prismática (1 GL) Esférica (3 GL) Fuso (1 GL) Planar (2 GL) Figura 3.4 – Tipos de juntas empregadas em robôs Robôs industriais utilizam em geral apenas juntas rotativas e prismáticas. A junta planar pode ser considerada como uma junção de duas juntas prismáticas, e, portanto, é também utilizada. As juntas rotativas podem ainda ser classificadas de acordo com as direções dos elos de entrada e de saída em relação ao eixo de rotação. Tem-se assim as seguintes juntas rotativas: • Rotativa de torção ou torcional T: Os elos de entrada e de saída têm a mesma direção do eixo de rotação da junta. • Rotativa rotacional R: Os elos de entrada e de saída são perpendiculares ao eixo de rotação da junta. • Rotativa revolvente V: O elo de entrada possui a mesma direção do eixo de rotação, mas o elo de saída é perpendicular a este. A Figura 3.5 mostra uma representação esquemática destas juntas, e também da junta prismática. Prismática ou linear L Torcional T Rotacional R Revolvente V Figura 3.5 – Representação esquemática de juntas Robôs industriais adotam com freqüência soluções que tornam o reconhecimento das juntas mais complexo. De fato, dependendo da forma com que os elos são construídos numa representação esquemática, a nomenclatura do braço pode ser ambígua. A Figura 3.6 ilustra um mesmo manipulador representado de duas formas distintas. A movimentação é igual em ambos os esquemas. Este braço poderia ser denominado, indistintamente, de TVR ou VRR. Para tornar a identificação única deve-se buscar uma geometria onde os elos sejam formados por, no máximo, dois segmentos lineares. Neste caso, a configuração VRR seria a correta. 17 T R V V R R Figura 3.6 – Duas configurações distintas com movimentação idêntica: TVR e VRR. 3.2.2– Graus de liberdade Os graus de liberdade (GL) determinam os movimentos do braço robótico no espaço bidimensional ou tridimensional. Cada junta define um ou dois graus de liberdade, e, assim, o número de graus de liberdade do robô é igual à somatória dos graus de liberdade de suas juntas. Por exemplo, quando o movimento relativo ocorre em um único eixo, a junta tem um grau de liberdade; caso o movimento se dê em mais de um eixo, a junta tem dois graus de liberdade, confome é apresentado na Figura 3.7. Observa-se que quanto maior a quantidade de graus de liberdade, mais complicadas são a cinemática, a dinâmica e o controle do manipulador. O número de graus de liberdade de um manipulador está associado ao número de variáveis posicionais independentes que permitem definir a posição de todas as partes de forma unívoca. Figura 3.7 – Braços com um (à esquerda) e dois graus de liberdade (à direita) Os movimentos robóticos podem ser separados em movimentos do braço e do punho. Em geral os braços são dotados de 3 acionadores e uma configuração 3GL, numa configuração que permita que o órgão terminal alcance um ponto qualquer dentro de um espaço limitado ao redor do braço. Pode-se identificar 3 movimentos independentes num braço qualquer: • Vertical transversal – movimento vertical do punho para cima ou para baixo • Rotacional transversal – movimento do punho horizontalmente para a esquerda ou para a direita. • Radial transversal – movimento de aproximação ou afastamento do punho Os punhos são compostos de 2 ou 3 graus de liberdade. As juntas dos punhos são agrupadas num pequeno volume de forma a não movimentar o órgão terminal em demasia ao 20 A configuração física dos robôs (Groover, 1988) está relacionada com os tipos de juntas que ele possui. Cada configuração pode ser representada por um esquema de notação de letras, como visto anteriormente. Considera-se primeiro os graus de liberdade mais próximos da base, ou seja, as juntas do corpo, do braço e posteriormente do punho. A notação de juntas rotativas, prismáticas e de torção foram vistas na Figura 3.5. Como visto anteriormente, um braço mecânico é formado pela base, braço e punho. O braço é ligado à base e esta é fixada ao chão, à parede ou ao teto. É o braço que efetua os movimentos e posiciona o punho. O punho é dotado de movimentos destinados a orientar (apontar) o órgão terminal. O órgão terminal executa a ação, mas não faz parte da anatomia do braço robótico, pois depende da aplicação a ser exercida pelo braço. A movimentação do braço e a orientação do punho são realizadas por juntas, que são articulações providas de motores. Em resumo, a base sustenta o corpo, que movimenta o braço, que posiciona o punho, que orienta o órgão terminal, que executa a ação. Em geral utilizam-se 3 juntas para o braço e de 2 a 3 juntas para o punho. Os elos do braço são de grande tamanho, para permitir um longo alcance. Por outro lado, os elos do punho são pequenos, e, às vezes, de comprimento nulo, para que o órgão terminal desloque-se o mínimo possível durante a orientação do punho. Adota-se uma nomenclatura para os manipuladores com base nos tipos de juntas utilizadas na cadeia de elos, que parte da base em direção ao órgão terminal. Assim um manipulador TRR teria a primeira junta (da base) torcional, e as duas seguintes seriam rotacionais. O punho segue a mesma notação, porém separa-se o corpo do punho por dois pontos “:”, por exemplo, TRR:RR. As configurações típicas para o braço e o punho de robôs industriais são apresentadas nas Tabelas 3.1 e 3.2. A Figura 3.12 mostra a configuração de um punho TRT. Os braços industriais mais comuns descritos nas seções seguintes. Tabela 3.1 – Esquema de notação para designar configurações de robôs Configuração do robô – braço e corpo Símbolo Configuração cartesiana LLL Configuração cilíndrica LVL Configuração articulada ou revoluta TRR Configuração esférica TRL Configuração SCARA VRL Tabela 3.1 – Esquema de notação para designar configurações do pulso Configuração do robô – (pulso) Símbolo Configuração Pulso de 2 eixos RT Configuração Pulso de 3 eixos TRT 21 Figura 3.12 – Configuração de um punho TRT na forma compacta. Embora todas as juntas sejam revolventes, este punho tem denominação TRT. 3.3.1 - Robô cartesiano O robô de coordenadas cartesianas, ilustrado na Figura 3.13 usa três juntas lineares. É o robô de configuração mais simples, desloca as três juntas uma em relação à outra. Este robô opera dentro de um envoltório de trabalho cúbico. Figura 3.13– Robô cartesiano (LLL) 3.3.2 - Robô cilíndrico Este braço possui na base uma junta prismática, sobre a qual apóia-se uma junta rotativa (revolvente ou torcional). Uma terceira junta do tipo prismática é conectada na junta rotativa formando uma configuração LVL, como mostra a Figura 3.14. Este braço apresenta um volume de trabalho cilíndrico, e pode-se apresentar também na configuração TLL. 22 Figura 3.14 - Braço robótico cilíndrico 3.3.3 - Robô esférico ou polar Este tipo de braço robótico foi projetado para suportar grandes cargas e ter grande alcance. É bastante utilizado para carga e descarga de máquinas, embora o braço revoluto seja mais comum nestas aplicações. Ele conta com duas juntas rotativas seguida de uma junta prismática, como observado na Figura 3.15. A primeira junta move o braço ao redor de um eixo vertical, enquanto que a segunda junta gira o conjunto ao redor de um eixo horizontal. O volume de trabalho é um setor esférico, de onde este manipulador obteve seu nome. A denominação “polar” deve-se às coordenadas polares de sistemas de eixos cartesianos, caracterizadas por duas coordenadas angulares (juntas rotativas) e uma coordenada radial (junta prismática). Este tipo de braço está em desuso, sendo substituídos pelos braços revolutos. Figura 3.15– Robô polar em configuração VVL. 3.3.4 - Robô SCARA 25 Figura 3.18 – Um robô do tipo pórtico (“gantry”), à esquerda, fabricado pela BMI, e um robô cilíndrico feito pela ST Robotics, à direita. Figura 3.19 – Braço do tipo polar, feito pela Fanuc, à esquerda e um robô SCARA, produzido pela Stäubli, à direita. 26 Figura 3.20 – Um braço revoluto de cadeia aberta comercializado pela Panasonic (à esquerda) e o robô paralelo Quattro produzido pela Adept (à direita). 3.4 – Órgão terminal Na robótica, órgão terminal (Groover, 1988) é usado para descrever a mão ou ferramenta que está conectada ao pulso, como por exemplo, uma pistola de solda, garras, pulverizadores de tintas, entre outros. O órgão terminal é o responsável por realizar a manipulação de objetos em diferentes tamanhos, formas e materiais, porém esta manipulação depende da aplicação ao qual se destina. É válido ressaltar que os órgãos terminais requerem cuidados ao serem projetados, pois é necessário controlar a força que está sendo aplicada num objeto. Para isso, alguns órgãos terminais são dotados de sensores que fornecem informações sobre os objetos. Existe uma grande variedade de modelos de garras que podem ser utilizadas em diversas aplicações, como por exemplos: • Garra de dois dedos; • Garra para objetos cilíndricos; • Garra articulada. A garra de dois dedos, como pode ser visualizada na Figura 3.21, é um modelo simples e com movimentos paralelos ou rotacionais. Este modelo de garra proporciona pouca versatilidade na manipulação dos objetos, pois existe limitação na abertura dos dedos. Desta forma a dimensão dos objetos não pode exceder esta abertura. 27 Figura 3.21- Modelo de garras de dois dedos A garra de objetos cilíndricos, como pode ser visualizada na Figura 3.22, também consiste de dois dedos com semicírculos, os quais permitem segurar objetos cilíndricos de diversos diâmetros diferentes. Figura 3.22 – Modelo de garra para objetos cilíndricos A garra articulada tem a forma mais similar à mão humana, a qual proporciona uma versatilidade considerável para manipular objetos de formas irregulares e tamanhos diferentes. Esta característica está relacionada com a quantidade de elos, como pode ser visto na Figura 3.23. Estes elos são movimentados por cabos ou músculos artificiais, entre outros. Figura 3.23– Modelo de garra articulada 3.5 – Sensores 30 Servo-motores são compostos por motores DC e um redutor de velocidades, junto com um sensor de posição e um sistema de controle re-alimentado. Em outras palavras, os servo- motores podem ser considerados como sendo motores comandados em posição (angular ou linear), já que, do ponto de vista de quem os utiliza, o controle interno em malha fechada é irrelevante. Os servo-motores são pequenos, com ampla variação de torques. O mecanismo de posicionamento ajusta a posição angular por meio de um sinal codificado que lhe é enviado. Enquanto esse código estiver na entrada, o servo irá manter a sua posição angular. Em geral o sinal é do tipo PWM (Pulse Width Modulation), ou seja, a posição angular irá depender da largura do pulso enviado. 3.6.2.2 – Motor de passo Os motores de passo são usados em aplicações de serviço relativamente leves e algumas das suas características de desempenho são apresentadas a seguir: • Rotação em sentido horário e anti-horário; • Variações incrementais de precisão angular; • Repetição de movimentos bastante exatos; • Baixo torque; • Um torque de sustentação à velocidade zero; • Possibilidade de controle digital. Os motores de passo podem ser bipolares ou unipolares. Em ambos os casos as fontes utilizadas são de tensão contínua e requerem um circuito digital que produza as seqüências de sinais para que o motor funcione corretamente. A forma com que o motor irá operar dependerá bastante do que se deseja controlar. Existem casos em que o torque é mais importante, em outras a precisão ou mesmo a velocidade são mais relevantes. Ao trabalhar com motores de passo, precisa-se de algumas características de funcionamento, como a tensão de alimentação, a máxima corrente elétrica suportada nas bobinas, o grau (precisão), o torque. Motores de passo podem ser acionados de diversas formas. As duas formas mais comuns são: passo completo e meio passo. No modo de operação em passo completo pode-se acionar apenas uma ou duas bobinas a cada passo. No primeiro caso apenas uma bobina é energizada a cada passo, o torque gerado é menor, assim como o consumo. A Tabela 3.3 mostra a seqüência dos passos em sentido horário e o acionamento das bobinas num motor acionado em passo completo com apenas uma bobina energizada. Tabela 3.3 Passo completo com uma bobina energizada em rotação com sentido horário. Bobinas Nº do passo B3 B2 B1 B0 Decimal 1 1 0 0 0 8 2 0 1 0 0 4 3 0 0 1 0 2 4 0 0 0 1 1 31 No caso de modo completo com duas bobinas energizadas, tem-se um maior torque, e um consumo maior do que no caso anterior. A velocidade costuma ser maior do que nas demais formas, mas a velocidade máxima de um motor de passo é altamente dependente da eletrônica e da estratégia de controle. A Tabela 3.4 mostra a seqüência dos passos em sentido horário e o acionamento das bobinas. Tabela 3.4 Passo completo com duas bobinas em rotação no sentido horário Bobinas Nº do passo B3 B2 B1 B0 Decimal 1 1 1 0 0 12 2 0 1 1 0 6 3 0 0 1 1 3 4 1 0 0 1 9 Por outro lado, no modo de operação em meio passo combinam-se as duas estratégias anteriores, obtendo-se com isso um efeito de meio passo a cada mudança no acionamento das bobinas. Este modo consome mais energia que os dois anteriores, mas atinge maior precisão em virtude do menor passo. O torque gerado é próximo ao do acionamento completo com duas bobinas, mas a velocidade costuma ser menor. A Tabela 3.5 mostra a seqüência dos passos em sentido horário e o acionamento das bobinas com seqüência de meio passo. Tabela 3.5 Meio passo em sentido horário Bobinas Nº do passo B3 B2 B1 B0 Decimal 1 1 0 0 0 8 2 1 1 0 0 12 3 0 1 0 0 4 4 0 1 1 0 6 5 0 0 1 0 2 6 0 0 1 1 3 7 0 0 0 1 1 8 1 0 0 1 9 Para mudar a direção de rotação do motor nos dois modos de acionamento, basta inverter a seqüência dos passos. 3.6.3 - Acionadores pneumáticos Os acionadores pneumáticos são semelhantes aos acionadores hidráulicos, porém a diferença é a utilização de ar ao invés de óleo. Entretanto o ar é altamente compressível, o que causa uma baixa precisão e força, mas estes acionadores possuem alta velocidade. 32 Acionadores pneumáticos lineares (cilindros) requerem sistemas sofisticados e complexos para controlarem a posição em pontos ao longo do curso. Justamente por isso, são pouco utilizados em aplicações que tenham tal necessidade. Porém, diversas tarefas de produção podem ser automatizadas com atuadores pneumáticos lineares trabalhando entre os extremos de posição, ou seja, totalmente recolhido ou totalmente estendido, que apresentam boa repetibilidade. Estas tarefas em geral são simples, consistindo de movimentação de material, fixação de peças e separação de objetos, chamadas genericamente de operações “pega-e-põe”. O baixo custo dos acionadores pneumáticos e da geração de ar-comprimido faz com que a automação pneumática seja a mais adequada se o trabalho a ser realizado for simples. Pode-se utilizar o acionamento pneumático em juntas rotativas de forma direta (acionadores rotativos) ou com redutores (motores pneumáticos de lóbulos ou palhetas). Tais aplicações são, contudo, muito específicas e indicadas apenas quando houver restrições quanto ao acionamento elétrico ou hidráulico. A programação de sistemas pneumáticos pode ser realizada com controladores lógicos programáveis (PLC), ou mesmo por chaves distribuidoras e chaves fim-de-curso. Este tipo de programação permite certa flexibilidade na seqüência de acionamentos, porém é bastante limitada no que se refere a mudanças na forma e no tipo de tarefa executada. Pode-se dizer, portanto, que sistemas pneumáticos estão mais próximos de uma automação fixa do que da automação programável. 3.7 – Métodos de acionamento Os acionadores elétricos (Groover, 1988) tendem a ser maiores e mais pesados que acionadores hidráulicos e pneumáticos. Por este motivo, nem sempre é possível posicionar tais atuadores próximos às respectivas juntas, em virtude de restrições no espaço disponível ou de problemas com deflexões devido ao peso. Assim sendo, os acionadores podem ser acoplados de forma direta ou indireta. 3.7.1 - Acionamento indireto Uma vez que os atuadores das juntas são pesados, os fabricantes tentam introduzir alterações no projeto que permitam redução do peso nas juntas próximas ao pulso e transferir este peso, quando possível, para a base. Desta forma consegue-se uma capacidade de carga maior para o braço. Este tipo de acionamento é denominado indireto, já que o atuador fica afastado da junta movida por ele. Neste tipo de acionamento, é necessário usar algum tipo de transmissão de potência, como polias, correntes, rodas dentadas, engrenagens, parafusos e correias, ou seja, o acionador é adaptado longe da junta pretendida do manipulador. Entretanto este método sofre efeitos indesejados no desempenho do robô, devido à folga nas engrenagens, flexão dos vínculos do manipulador, escorregamento dos sistemas de polias. 3.7.2 - Acionamento direto Neste método, o acionador é adaptado diretamente na junta, o que, em determinados casos, proporciona melhor precisão e rendimento de potência em relação ao acionamento indireto. Contudo, devido ao baixo torque por unidade de peso alcançado pelos motores elétricos, costuma-se utilizá-los em conjunto com redutores de engrenagens, que aumentam o torque, porém reduzem a velocidade. Neste caso, se o acionador estiver fixado no elo motor, o acionamento é considerado direto. Nas juntas rotativas com acionamento direto, o sensor de 35 máquina, isto é, sinais de dados que são enviados ao sistema de controle, e este os transmitem para os acionadores, os quais realizam os movimentos dos manipuladores. 3.10 - Sistema de Controle O sistema de controle de qualquer robô é realizado por meio de um sistema de “software” e “hardware”. Este sistema processa os sinais de entrada e converte estes sinais em uma ação ao qual foi programado. O software pode ser desenvolvido em um computador pessoal ou num microcontrolador. Neste aspecto, deve-se levar em consideração os pontos fortes e fracos de cada possibilidade. O microcontrolador reduz o custo do projeto, é rápido, dedica-se apenas ao controle do robô, porém possui limitações em relação ao tamanho do software. Já o computador pessoal possui alta taxa de processamento e maior espaço para a alocação do software. Pode-se ainda aplicar uma solução mista, em que a parte mais leve do software fica no microcontrolador e a parte de maior processamento fica no computador pessoal. O sistema de hardware pode constituir, por exemplo, de motores de passos, cabos, dispositivo de entrada, sensores e amplificadores de potência. Um dos fatores mais importantes é a utilização de sensores (Bolton, 1995), pois podem ser dispositivos de um sistema de malha fechada, ou seja, consiste em verificar o estado atual do dispositivo a ser controlado e comparar essa medida com um valor pré-definido. Esta comparação resultará num erro, ao qual o sistema de controle fará os ajustes necessários para que o erro seja reduzido a zero. Um esquema simples de malha fechada é apresentado em diagrama de blocos na Figura 3.28. Referência − + Sensores Manipulador robótico Controle digital Erro Atuação Saída Figura 3.28 – Diagrama de blocos do controle em malha fechada de um manipulador robótico. 3.11 - Programação de robôs Braços mecânicos são programados de diversas formas: • Manipulador manual: É todo engenho mecânico de manejo de peças ou ferramentas que requeira a intervenção manual do homem para sua operação, ou seja, o homem guia manualmente a máquina servindo essa como uma multiplicadora de forças; • Robô sequêncial: É aquele que realiza um trajeto seqüencial, podendo ser uma seqüência fixa definida pelo fabricante e inacessível para o usuário, ou de seqüência variável em que é alterada conforme as necessidades dos usuários; • Robô de aprendizagem: Neste tipo de robô, o trajeto ou seqüência é programado guiando-o manualmente pelo caminho que deve seguir; 36 • Robô "inteligente”: É aquele que muda as condições de trabalho mediante estímulos externos provenientes de sensores óticos, magnéticos, sonoros, etc. 3.12 - Dinâmica do braço robótico O desempenho dinâmico do braço robótico (Groover, 1988) está associado à velocidade de resposta, estabilidade e precisão. A velocidade de resposta refere-se à destreza do braço robótico ao mover-se de um lugar para outro num curto período de tempo. Desta forma, o torque existente em cada junta do braço e a aceleração em cada elo devem ser analisadas. Já a estabilidade pode ser estimada com base no tempo necessário para amortecer as oscilações que ocorrem durante o movimento de uma posição para a outra. Se a estabilidade for baixa pode-se aplicar elementos de amortecimento no braço, que melhoram a estabilidade, mas influem na velocidade de resposta. A precisão está relacionada com a velocidade e estabilidade, pois é uma medida de erro na posição do órgão terminal. Os conceitos relacionados com a precisão são analisados a seguir. 3.12.1 - Precisão dos movimentos A precisão de movimento está intrinsecamente correlacionada com três características, como segue: • Resolução espacial • Precisão • Repetibilidade. A resolução espacial depende diretamente do controle de sistema e das inexatidões mecânicas do braço robótico. O sistema de controle é o responsável por controlar todos os incrementos individuais das articulações. Já as inexatidões relacionam-se com a qualidade dos componentes que formam as uniões entre as articulações, como as folgas nas engrenagens, tensões nas polias, e histereses mecânicas e magnéticas, entre outros fatores. A precisão está relacionada com a capacidade de um braço posicionar o seu pulso em um ponto marcado dentro do volume de trabalho. A precisão relaciona-se com a resolução espacial, pois a precisão depende dos incrementos que as juntas podem realizar para se movimentar e atingir um ponto determinado. Por fim, a repetibilidade está relacionada com a capacidade do braço robótico de posicionar repetidamente seu pulso num ponto determinado. Estes movimentos podem sofrer influências de folgas mecânicas, da flexibilidade e das limitações do sistema de controle. 3.13 – Transmissão de potência Na maioria dos braços robóticos não é possível encontrar acionadores com as propriedades exatas de velocidade-torque ou de velocidade-força. Sendo assim, existe a necessidade de se usar algum tipo de dispositivo de transmissão de potência. Para isso pode-se usar correias e polias, correntes e rodas dentadas, engrenagens, eixos de transmissão e parafusos. Um exemplo de dispositivo de transmissão simples e bastante utilizado em robôs é a engrenagem. As engrenagens possuem movimentos rotativos e a transferência pode ser entre 37 eixos perpendiculares ou eixos paralelos. A Figura 3.29 mostra duas engrenagens para transmissão com eixos paralelos e são conhecidas como engrenagens cilíndricas. A menor é conhecida como pinhão, e a maior é a coroa. Se o pinhão tiver um quarto do tamanho da coroa, para cada revolução feita pelo pinhão à coroa gira apenas um quarto de uma revolução, reduzindo, portanto, em um quarto a velocidade angular e aumentando o torque em quatro vezes. Figura 3.29 – Engrenagens para transmissão, com eixos paralelos. O número de dentes numa engrenagem é proporcional a seu diâmetro, então a relação das engrenagens é obtida por: 2 1 N n N = onde N1 é o número de dentes do pinhão e N2 é número de dentes da coroa. A velocidade da saída em relação à entrada é dada por: o innω = ω em que ωo é a velocidade de saída e ωin é a velocidade de entrada. O torque vale: ino T T n = 3.14 - Precisão cartesiana em juntas robóticas Supondo-se que sejam conhecidas as precisões (ou resolução do controle) em cada uma das juntas de um braço mecânico, deseja-se saber qual será a precisão cartesiana, isto é, qual será a precisão do braço num determinado ponto de trabalho. É evidente que a precisão cartesiana depende do ponto de operação, pois os erros de juntas rotativas são mais acentuados quando o braço estiver estendido do que quando estiver recolhido. Será feita agora uma análise simples para um braço de apenas uma junta rotativa, e, a seguir, um braço composto de duas juntas rotativas movendo-se num plano. Considera-se um braço articulado movendo-se no plano xy, tal que a origem do sistema coincida com o eixo de rotação, conforme mostra a figura 3.30. Ao passar da posição 40 θ x J1 x y a y P P' x' y' ∆a J2 Fig. 3.32 – Deslocamento de um braço com 2GL e juntas RL. Percebe-se nos exemplos mostrados que passando o incremento ao limite, tem-se que 1 1 1 1 1 1 x x y y ∂ ∆ = ∆θ ∂θ ∂ ∆ = ∆θ ∂θ , onde ∂x/∂θ1 indica a derivada parcial da coordenada cartesiana x com relação à variação do ângulo θ1. Esta expressão vale também para a segunda junta, e vale igualmente para braços que se movem no espaço. Isto permite generalizar a expressão para a precisão cartesiana na forma: 1 2 3 1 1 2 3 n i i i w w w w w = ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ = ∆θ = ∆θ + ∆θ + ∆θ + ∂θ ∂θ ∂θ ∂θ∑ ⋯ onde w é um eixo cartesiano qualquer (x, y ou z), e os θi (i = 1, 2, ..., n) são as variáveis das n juntas deste braço. Esta mesma expressão pode ser utilizada em braços com juntas prismáticas, tomando-se apenas o cuidado de lembrar que nestas juntas a variável é o comprimento do elo e não o ângulo da junta. 41 4 – Cinemática e dinâmica de manipuladores A cinemática trata do estudo dos movimentos dos robôs sem considerar as causas que lhes dão origem (Groover, 1988). Por sua vez, a dinâmica é o estudo do movimento levando- se em conta as forças e torques que os causam. Para tratar dos movimentos dos manipuladores é necessário desenvolver técnicas para representar a posição de determinado ponto do braço no tempo. Esta representação depende da posição das juntas e dos elos, sendo que é necessário ter a base do robô como ponto de referência. Manipuladores compostos essencialmente por juntas prismáticas não apresentam grandes problemas com relação à cinemática. Contudo, braços articulados são amplamente utilizados na indústria devido à sua versatilidade em substituir trabalhador humano e também por ser altamente compacto. Nestes manipuladores a cinemática torna-se mais complexa. Independentemente da geometria do manipulador, a solução da cinemática requer conhecimento de geometria, trigonometria e cálculo vetorial. No Apêndice A é oferecido um resumo da trigonometria necessária para resolver problemas de cinemática. Uma vez que não há uma regra geral para equacionar a cinemática em braços mecânicos, deve-se analisar caso a caso. Iniciaremos a análise nos manipuladores mais simples e aumentaremos a complexidade a cada novo exemplo. A posição do órgão terminal de um manipulador depende, a cada instante, dos valores dos deslocamentos angulares das juntas rotativas e deslocamentos lineares das juntas prismáticas. Em outras palavras, se for possível conhecer a posição de cada junta, pode-se saber a posição do órgão terminal e, inversamente, caso se conheça a posição da extremidade do robô pode-se calcular qual deve ser a configuração das juntas para atingir tal posição. Para o sistema de controle dos braços mecânicos somente as posições das juntas são relevantes. Em geral estes não reconhecem comandos com posicionamento no espaço. Por outro lado, é freqüente encontrar-se aplicações nas quais se deseja que braço posicione o órgão terminal numa dada posição, com uma dada orientação do punho. Um caso típico é uma aplicação na qual se deseja reprogramar um braço sem parar a linha de produção. Nesta situação, uma medição cuidadosa da posição e orientação desejadas com relação a um sistema de referências cartesiano fixado à base do manipulador oferece uma alternativa à programação usual por aprendizagem. Veja-se, contudo, que muitas vezes esta medição pode ser complexa em virtude da precisão exigida e requer instrumentos especiais. Constata-se, portanto, que é perfeitamente possível calcular a posição cartesiana no espaço, bem como a orientação do punho, com base no conhecimento dos ângulos das juntas. Este equacionamento é conhecido como cinemática direta. O cálculo das posições angulares a partir da posição no espaço consiste, portanto, na cinemática inversa. Uma vez que a determinação das posições das juntas pode tanto ser feita em ângulos, nas juntas rotativas, quanto em deslocamentos, nas juntas lineares, denomina-se genericamente a estes de variáveis de junta. A posição no espaço é realizada num sistema de eixos retangulares e é conhecida como coordenadas cartesianas. A figura 4.1 ilustra o processo de conversão de coordenadas. 42 Variáveis de junta (θi, ai) Variáveis cartesianas (x, y, z) Cinemática direta Cinemática inversa Figura 4.1 – Transformações entre variáveis de junta e variáveis cartesianas O cálculo da cinemática, tanto direta quanto inversa, requer o conhecimento do comprimento dos elos com precisão adequada. Fabricantes de manipuladores fornecem não apenas estes comprimentos, como também quaisquer deslocamentos entre juntas que possam existir no braço, de forma a se poder calcular completamente a posição cartesiana. Nos exemplos que se seguem as juntas devem ser rotuladas como Jn, com n iniciando com 1 na base do braço robótico. Os elos são rotulados por Ln, novamente sendo 1 o elo mais próximo da base. Variáveis angulares são representadas genericamente por θi, numeradas a partir da base, e variáveis lineares são representadas por ai ou então di. É conveniente que a numeração seja seqüencial com relação às juntas, sem se esquecer, contudo, que certos tipos de juntas podem ter mais de um grau de liberdade, e, portanto, mais de uma variável. Num braço TRL, por exemplo, a notação de variáveis de junta poderia ser: θ1, θ2, e a3. Nos exemplos a seguir, inicia-se com um braço articulado com 2 graus de liberdade, com movimento num plano. Nos demais exemplos adicionam-se gradativamente mais juntas e, posteriormente, passa-se ao movimento no espaço. 4.1 – Manipulador RR em movimento plano Neste exemplo será calculada a cinemática direta, a cinemática inversa e a precisão cartesiana de um manipulador RR de elos com comprimento a1 e a2 movendo-se num plano vertical, como ilustra a figura 4.2 a2 θ2 θ1 J2 x J1 y a1 x y Fig. 4.2 Manipulador RR em movimento plano vertical As equações da cinemática direta são obtidas pela aplicação de trigonometria aos triângulos formados pelas juntas e elos, como ilustrado na figura 4.3. Estas equações resultam: 45 Esta expressão mostra que o ângulo θ1 depende de θ2, que já foi determinado previamente no cálculo da cinemática inversa. Pode-se, caso seja necessário, substituir os valores do seno e do co-seno de θ2 nesta expressão. Porém isto só aumentaria a complexidade da equação e tornaria o cálculo mais trabalhoso. É mais prático deixar nesta forma, desde que todas as variáveis que apareçam na equação estejam previamente calculadas. A título de exemplo, adotando-se a solução positiva de θ2 e substituindo o seno e o co-seno deste ângulo na expressão acima se chega, após uma simplificação, a ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 tan 4 y x y a a x a a x y a a x x y a a y a a x y a a + + − − − + − − θ = + + − + − + − − Quando substituídos nesta expressão, os dois valores possíveis para o ângulo θ2 irão resultar em dois valores distintos de θ1. A escolha entre eles fica a cargo do programador do braço, que pode selecionar o cotovelo para cima ou para baixo. As equações da cinemática inversa podem ser também obtidas por manipulação algébrica da cinemática direta. Partindo-se das equações que fornecem x e y em termos das variáveis de junta, então ao aplicar-se a decomposição do seno e do co-seno da soma de ângulos chega-se a 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 cos cos cos sen sen sen sen cos cos sen x a a a y a a a = θ + θ θ − θ θ = θ + θ θ + θ θ Agrupando-se os termos em co-seno e seno do ângulo θ1 tem-se que 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 ( cos ) cos sen sen ( cos ) sen sen cos x a a a y a a a = + θ θ − θ θ = + θ θ + θ θ . Tem-se agora um sistema linear composto por duas equações e duas incógnitas que são o seno e co-seno de θ1, pois se considera que θ2 seja conhecido. Este sistema pode ser resolvido facilmente por substituição ou qualquer outro método, e obtém-se o resultado 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 ( cos ) sen cos ( cos ) sen x a a y a a a a + θ + θ θ = + θ + θ , e 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 ( cos ) sen sen ( cos ) sen y a a x a a a a + θ − θ θ = + θ + θ , A tangente de θ1 é agora calculada pela relação entre o seno e o co-seno e, obviamente, resulta na mesma expressão já relacionada acima. A precisão nos eixos cartesianos neste braço é obtida da formulação geral e vale: 46 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x y y y ∂ ∂ ∆ = ∆θ + ∆θ ∂θ ∂θ ∂ ∂ ∆ = ∆θ + ∆θ ∂θ ∂θ , onde x e y são obtidos da cinemática direta. Após a derivação tem-se que: 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 sen sen( ) sen( ) cos cos( ) cos( ) x a a a y a a a ∆ = ∆θ θ + θ + θ + ∆θ θ + θ ∆ = ∆θ θ + θ + θ + ∆θ θ + θ 4.2 – Manipulador RRR em movimento plano Será apresentada agora a formulação da cinemática direta, da cinemática inversa e a da precisão cartesiana de um manipulador RRR de elos a1, a2 e a3 movendo-se num plano vertical, dado que a orientação do último elo com relação à horizontal é um ângulo ϕ conhecido, ilustrado na figura 4.6. a2 θ2 θ1 J2 x J1 y a1 x y J3 θ3 a3 θ1 θ2 ϕ Fig. 4.6 – Manipulador RRR em movimento plano vertical As equações da cinemática direta são obtidas de maneira semelhante ao exemplo anterior, ou seja, pela adição das projeções das juntas nos eixos cartesianos. Com isso tem-se que 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1 2 3 cos cos( ) cos( ) sen sen( ) sen( ) x a a a y a a a = θ + θ + θ + θ + θ + θ = θ + θ + θ + θ + θ + θ Nota-se que a cinemática inversa não pode ser resolvida, pois há apenas duas equações com 3 incógnitas (os três ângulos das juntas). De fato, pode-se mostrar facilmente (ver figura 4.7) que existem infinitas soluções de ângulos que satisfazem a condição do órgão terminal atingir um dado ponto no plano. É necessário assumir uma condição a mais e esta condição já foi estabelecida no enunciado do problema ao se fixar a orientação da junta J3 com o ângulo ϕ (com relação à horizontal). Isto significa que nem todas as soluções satisfazem as equações, mas somente aquela (ou aquelas) nas quais o ângulo do elo a3 com relação à horizontal for igual a ϕ (fornecido). Isto indica claramente que a posição da junta J3 pode ser determinada, 47 uma vez que se conheça a posição do órgão terminal x e y e este ângulo. De fato, por geometria tira-se que a posição de J3, denotada por x3 e y3 vale (ver figura): 3 3 3 3 cos sen x x a y y a = − ϕ = − ϕ x y y x O P ϕ x3 y3 a3 Fig. 4.7 – Algumas das infinitas configurações possíveis do braço RRR na cinemática inversa. O problema agora é reduzido a se encontrar os valores dos ângulos θ1 e θ2. A geometria deste braço reduzido é idêntica àquela apresentada no exemplo anterior, composta por duas juntas RR, com a única modificação de que os valores de x e y são substituídos por x3 e y3. A solução é, portanto, dada por: 2 2 2 2 3 3 1 2 2 1 2 ( cos ) ( sen ) arccos 2 x a y a a a a a  − ϕ + − ϕ − − θ = ±     , e 3 1 2 2 3 2 2 1 3 1 2 2 3 2 2 ( sen ) ( cos ) ( cos ) sen arctan ( cos ) ( cos ) ( sen ) sen y a a a x a a x a a a y a a  − ϕ + θ − − ϕ θ θ =  − ϕ + θ + − ϕ θ  , Finalmente para o cálculo do terceiro ângulo percebe-se que o ângulo ϕ é igual à soma dos ângulos das juntas, ou seja, θ1 + θ2 + θ3. Logo, como ϕ é conhecido e θ1 e θ2 já foram determinados, então 3 1 2θ = ϕ−θ − θ A precisão cartesiana apresentada por este manipulador vale 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 2 x x x x y y y y ∂ ∂ ∂ ∆ = ∆θ + ∆θ + ∆θ ∂θ ∂θ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∆ = ∆θ + ∆θ + ∆θ ∂θ ∂θ ∂θ Derivando as equações da cinemática direta e substituindo na expressão acima tem-se 50 como ilustrado na figura 4.10. A junta J1 gira sob um eixo vertical, enquanto que J2 e J3 possuem eixos horizontais. a1 θ1 θ2 θ3 x y z a3 a2 J1 J2 J3 Fig. 4.10 – Braço revoluto TRR em movimento no espaço Para que os movimentos e os ângulos possam ser visualizados, serão construídas duas vistas esquemáticas do braço: superior e lateral mostrando, respectivamente, o movimento horizontal e os movimentos verticais (no plano). Estas vistas são mostradas esquematicamente na figura 4.11, com as principais medidas a serem obtidas por relações geométricas. A vista lateral é mostrada numa direção perpendicular à linha de interseção do plano vertical do movimento e o plano xy. θ1 d x y P α β θ2 a1 z a2 d a3 θ3 P r R Q S Fig. 4.11 – Braço revoluto TRR em movimento no espaço A projeção do ponto P no órgão terminal sobre o plano xy fornece a distância horizontal d, que corresponde, no exemplo anterior, ao comprimento x. Esta distância pode ser obtida pelas projeções dos elos a2 e a3 no plano, o que resulta 2 2 3 2 3cos cos( )d a a= θ + θ + θ Da vista superior, percebe-se que a distância d é a hipotenusa de um triângulo retângulo, o que permite que esta distância seja decomposta nas direções x e y. A coordenada z é calculada de maneira semelhante à utilizada nos exemplos anteriores, e assim a cinemática direta fica Vista superior Vista lateral 51 1 2 2 3 2 3 1 1 2 2 3 2 3 1 1 2 2 3 2 3 cos [ cos cos( )] cos sen [ cos cos( )] sen sen sen( ) x d a a y d a a z a a a = θ = θ + θ + θ θ = θ = θ + θ + θ θ = + θ + θ + θ Nota-se que a cinemática inversa, de maneira análoga ao primeiro exemplo, apresenta duas soluções para os ângulos θ2 e θ3: cotovelo para baixo e cotovelo para cima. Uma vez que d representa a horizontal da projeção de P, então deve-se exprimir esta distância em termos das variáveis conhecidas na cinemática inversa, que são x, y e z. Da vista superior tira-se facilmente que 2 2d x y= + . Assim, a distância r, que vai do centro da junta J2 ao ponto P, conforme mostra a vista lateral pode também ser calculada por meio da hipotenusa do triângulo retângulo PQR: 2 2 2 2 2 2 1 1( ) ( )r d z a x y z a= + − = + + − Aplicando agora a lei dos co-senos ao triângulo PRS, onde S é o centro da junta J3, tira-se que (ver exemplo 1) 2 2 2 2 2 1 2 3 3 2 3 ( ) arccos 2 x y z a a a a a  + + − − − θ = ±     , Da mesma forma, o ângulo θ2 é obtido por meio de diferença entre os ângulos α e β, de maneira similar à empregada no exemplo 1. Neste caso, por geometria tem-se que 1 1 2 2 tan z a z a d x y − − α = = + . e 3 3 2 3 3 sen tan cos a a a θ β = + θ Como θ2 = α − β, tem-se para este ângulo 2 2 1 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 1 3 3 ( ) ( cos ) sen arctan ( cos ) ( ) sen z a a a x y a x y a a z a a  − + θ − + θ θ =    + + θ + − θ  Por último, o ângulo θ1 será calculado com base na vista superior, por meio do arco- tangente: 1 arctan y x θ = 52 Cabe neste ponto um breve comentário a respeito do cálculo de ângulos com o arco- tangente. Computacionalmente o arco-tangente é uma função que retorna com um ângulo compreendido entre −π/2 e π/2. Isto é suficiente para finalidades matemáticas ou para estudo da cinemática de robôs, mas certamente é insuficiente num caso real, quando a cinemática inversa for calculada pelo sistema de controle do braço mecânico. O motivo disto é que o braço pode atingir, e em geral atinge, ângulos fora desta faixa de limitação como, por exemplo, entre −3π/4 e 3π/4. A função arco-tangente fornece, no caso de um ângulo real de −3π/4 o valor complementar de π/4, o que certamente levaria o braço a posicionar-se num local totalmente errado. Para corrigir este problema emprega-se em tais programas uma função denominada de atan2, que necessita de dois parâmetros que são os equivalentes ao seno e ao co-seno do ângulo, e que gera um ângulo compreendido agora entre −π e π. As calculadoras de bolso não programáveis não possuem tal função e, portanto, é necessário uma análise posterior para que se conheça o quadrante real do ângulo. Para isso nota-se que o arco- tangente é sempre calculado como o produto de uma divisão entre dois fatores, associados ao seno e ao co-seno deste ângulo, ou seja: arctan S C θ = , onde S é no numerador e C é o denominador da fração. Se o valor de C for positivo, o ângulo calculado pelo arco-tangente estará no seu valor correto, entre −π/2 e π/2. Se o valor de C for, ao contrário, negativo, então deve-se acrescentar −π ou π ao resultado, se este estiver em radianos, ou –180o ou 180o caso esteja em graus, para colocá-lo no quadrante correto. Para o cálculo da precisão cartesiana, deve-se lembrar que o braço possui 3 graus de liberdade e move-se no espaço tridimensional. Tem-se portanto 3 equações para a precisão cartesiana e cada uma delas depende dos 3 ângulos das juntas, ou seja 1 2 3 1 2 3 x x x x ∂ ∂ ∂ ∆ = ∆θ + ∆θ + ∆θ ∂θ ∂θ ∂θ 1 2 3 1 2 3 y y y y ∂ ∂ ∂ ∆ = ∆θ + ∆θ + ∆θ ∂θ ∂θ ∂θ 1 2 3 1 2 3 z z z z ∂ ∂ ∂ ∆ = ∆θ + ∆θ + ∆θ ∂θ ∂θ ∂θ Efetuando-se as derivadas das equações da cinemática direta chega-se a 2 2 3 2 3 1 1 2 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 3 [ cos cos( )] sen [ sen sen( )] cos sen( ) cos x a a a a a ∆ = θ + θ + θ θ ∆θ + + θ + θ + θ θ ∆θ + + θ + θ θ ∆θ 2 2 3 2 3 1 1 2 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 3 [ cos cos( )] cos [ sen sen( )] sen sen( ) sen y a a a a a ∆ = θ + θ + θ θ ∆θ + + θ + θ + θ θ ∆θ + + θ + θ θ ∆θ 55 2 2 3 2 3 1 1 2 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 3 [ cos cos( )] cos [ sen sen( )] sen sen( ) sen y a a a a a ∆ = θ + θ + θ θ ∆θ + + θ + θ + θ θ ∆θ + + θ + θ θ ∆θ 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3cos cos( ) cos( )z a a a∆ = θ + θ + θ ∆θ + θ + θ ∆θ 4.6 – Manipulador VVL:R em movimento no espaço Este manipulador, conhecido como manipulador esférico de Stanford, possui braço formado por juntas em configuração VVL movendo-se no espaço. Neste exemplo, será adotado um punho composto por apenas uma junta rotativa, resultando 4 graus de liberdade ao todo. A junta J1 gira num eixo vertical, enquanto que J2 e J4 possuem eixos horizontais. A junta J3 é prismática, como ilustrado na figura 4.13. Será considerado conhecido, na cinemática inversa, o ângulo de pitch ϕ do punho com relação à horizontal. a1 θ1 x y z a2 θ2 θ3 a4 a3 ϕ Fig. 4.13 – Manipulador de Stanford em configuração VVL:R. Este problema é bastante semelhante ao anterior, com exceção da primeira junta, que passa a ser revoluta neste exemplo. O braço possui 4 graus de liberdade, o que significa que existem infinitas soluções para a cinemática inversa. O ângulo ϕ dado introduz a quarta condição que permite escolher uma das soluções. Este braço tem também um elo (a2) que se desloca lateralmente com relação à base, o que torna a cinemática um pouco mais complexa. Este esquema é adotado por certos fabricantes de robôs que conseguem, com esta técnica, reduzir o espaço ocupado pelo braço além de conseguir simplificar o projeto mecânico. As vistas superior e lateral são mostradas na figura 4.14. Percebe-se que o braço possui dois tipos de movimento: o primeiro é um movimento em torno de um eixo vertical, realizado pela junta J1, e o segundo é um movimento num plano vertical, realizado pelas demais juntas. Os ângulos associados a estes movimentos são indicados em sua verdadeira grandeza nas duas figuras. A distância d corresponde ao comprimento da projeção dos elos a3 e a4 no plano horizontal xy. Da vista lateral tira-se facilmente que 3 2 4 2 3cos cos( )d a a= θ + θ + θ . Da vista superior calcula-se as coordenadas x e y, que resultam: 1 2 1 3 2 4 2 3 1 2 1cos sen [ cos cos( )]cos senx d a a a a= θ + θ = θ + θ + θ θ + θ 56 1 2 1 3 2 4 2 3 1 2 1sen cos [ cos cos( )]sen cosy d a a a a= θ − θ = θ + θ + θ θ − θ Finalmente, da vista lateral tem-se 1 3 2 4 2 3sen sen( )z a a a= + θ + θ + θ θ1 d x y P a2 a2 θ1 r S O θ2 a1 z a3 d P O Q J4 a4 ϕ θ3 d4 z4 Fig. 4.14 – Vistas superior e lateral do movimento do manipulador de Stanford Para a cinemática inversa, dados que as coordenadas x, y, z são conhecidas, além do ângulo ϕ de arfagem do pulso, deve-se inicialmente calcular qual seria a expressão equivalente da projeção d em termos das variáveis fornecidas. Do triângulo retângulo OSP da vista superior tem-se, já que o ângulo OSP é reto: 2 2 2 2r d a= + . Da mesma forma, considerando-se agora OxP, também um triângulo retângulo: 2 2 2r x y= + . Da igualdade destas duas últimas relações tira-se que 2 2 2 22d x y a= + − O problema agora é encontrar os valores dos ângulos de junta, mas percebe-se que o movimento vertical é semelhante àqueles vistos nos Exemplos 3 e 5. Deve-se, portanto, calcular as coordenadas da projeção do ponto central da junta J4 no plano horizontal. Chamando de d4 esta distância, tem-se, da vista lateral, que: 2 2 2 4 4 2 4 3 2cos cos cosd d a x y a a a= − ϕ = + − − ϕ = θ . Na direção vertical, a posição z4 desta junta vale: 4 4 1 3 2sen senz z a a a= − ϕ = + θ . Nota-se que tanto d4 quanto z4 podem ser calculados, uma vez que se consideram dados as coordenadas cartesianas e o ângulo ϕ. Têm-se então duas equações: Vista superior Vista lateral 57 2 2 2 3 2 2 4cos cosa x y a aθ = + − − ϕ 3 2 1 4sen sena z a aθ = − − ϕ , nas incógnitas θ2 e a3, que podem ser resolvidas de forma semelhante ao indicado nos exemplos anteriores. Elevando-se ambas as expressões ao quadrado e somando-se tem-se: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 4 1 4 2 4( ) ( sen ) cosa z a d z a a x y a a= − + = − − ϕ + + − − ϕ A razão entre ambas fornece o ângulo θ2: 4 1 1 42 2 2 2 4 2 4 sen arctan arctan cos z a z a a d x y a a − − − ϕ θ = = + − − ϕ . O ângulo θ3 pode agora ser obtido de 3 2θ = ϕ − θ . Resta agora obter o ângulo θ1. Este pode ser obtido da vista superior utilizando a expressão da tangente da soma de ângulos. Outra forma é por meio de manipulação das equações da cinemática direta, 1 2 1cos senx d a= θ + θ 1 2 1sen cosy d a= θ − θ , já que a distância d é conhecida. A solução deste sistema de equações leva a 2 1 2 tan yd a x xd a y + θ = − ou então 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 arctan y x y a a x x x y a a y  + − −  θ =  + − +  . A precisão cartesiana é calculada com base nas equações da cinemática direta e resulta: 3 2 4 2 3 1 2 1 1 3 2 4 2 3 1 2 4 2 3 1 3 2 1 3 [ cos cos( )]sen cos [ sen sen( )]cos sen( ) cos cos cos x a a a a a a a ∆ = − θ + θ + θ θ + θ ∆θ + + θ + θ + θ θ ∆θ + + θ + θ θ ∆θ + + θ θ ∆ 60 7) Obter o ângulo de rotação da junta. Traça-se uma reta paralela a xn passando pelo ponto On−1. Por definição tanto esta reta quanto o eixo xn−1 são perpendiculares a zn−1. O ângulo de rotação da junta, θn, é medido a partir do eixo xn−1 até a reta paralela, no plano perpendicular a zn−1. Se a junta Jn for rotativa, o ângulo de rotação da junta é a própria variável da junta. Se o deslocamento da junta, dn, for nulo, o ângulo de rotação será medido entre xn−1 e xn. 8) Obter o ângulo de torção da junta. Traça-se uma reta paralela ao eixo da junta Jn, isto é, zn−1, passando por On, origem do sistema n. Por construção, esta reta estará contida no plano formado por xn e yn. O ângulo de torção, tn, é medido a partir da reta paralela a zn−1 até o eixo zn. Se os eixos forem paralelos, o ângulo de torção será nulo. 9) Fazer uma tabela contendo os parâmetros θn, dn, an e tn, conhecidos como parâmetros de Denavit-Hartenberg: Elos ângulo de rotação deslocamento da junta comprimento do elo ângulo de torção variável da junta 0 θ1 d1 a1 t1 θ1 ou d1 1 θ1 d2 a2 t2 θ2 ou d2 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ N θn dn an tn θn ou dn Se a junta Jn for prismática, então o processo para obter os parâmetros de Denavit- Hartenberg é bastante semelhante ao da junta rotativa, como ilustra a figura 5.2. Deve-se notar, porém, que o deslocamento de uma junta prismática se dá numa direção, e não existe um "eixo" (como na junta rotativa), no qual será fixado o eixo zn-1. Isto pode ser melhor visualizado supondo-se que a junta prismática seja formada não por um mancal de deslizamento linear, mas sim por dois, ainda que paralelos. Nesta situação, a origem do sistema n−1 fica indeterminada, pois poderá coincidir com o centro de qualquer um dos mancais. É óbvio que ambos são equivalentes. O mesmo raciocínio aplica-se no caso de haver 3 ou mais juntas prismáticas paralelas atuando em conjunto. Fica claro, portanto, que a origem do sistema que será fixado numa junta prismática é arbitrário (sistema n−1). Esta origem poderá encontrar-se, inclusive, coincidente com a origem da junta anterior n−1 ou posterior n+1. Jn−1 Jn+1 Jn zn−2 zn−1 zn yn−1 xn xn−1 yn θn dn an On On−1 Hn Hn−1 tn an−1 Fig. 5.2 – Geometria de uma junta prismática. 61 Mostra-se, como no exemplo da figura 5.3, uma junta prismática onde a direção do eixo da junta foi transferida para o ponto On, onde ocorre a interseção desta direção com o eixo da junta n+1. Nesta situação o comprimento do elo an torna-se nulo (na verdade é adicionado a an−1). Nota-se também que a direção de xn é obtida como sendo perpendicular simultanemente à direção de deslocamento da junta prismática (eixo zn−1), e ao eixo da junta Jn+1 (ver procedimento 5). Jn−1 Jn+1 Jn zn−2 zn−1 zn yn−1 xn xn−1 yn θn dn On On−1 Hn−1 tn an−1 Fig. 5.3 – Parâmetros de Denavit-Hartenberg em juntas prismáticas. A matriz de rotação entre os sistemas n−1 e n+1 será dada então por uma rotação do sistema n−1 em torno do eixo zn−1, seguida de uma translação de dn na direção de zn−1, 5.1 - Sistemas de coordenadas da base e do órgão terminal. O sistema de coordenadas da base e o sistema de coordenadas do órgão terminal são especiais, uma vez que não existem restrições para que o sistema seja único. Desta forma é necessário adotar-se certas regras na definição de ambos. O sistema de coordenadas da base terá seu eixo z0 paralelo ao eixo da primeira junta. Se esta junta for rotativa, então o eixo z0 será coincidente com o eixo da junta. Se a junta for prismática, contudo, basta então que z0 possua a mesma direção do deslocamento linear da junta. A origem pode ficar em qualquer local sobre z0. As direções de x0 e y0 podem ser quaisquer. Porém pode-se simplificar a escolha se os eixos forem adotados como paralelos aos eixos x1 e y1 quando a variável da junta 1 for nula. Adota-se a origem do sistema do órgão terminal em algum ponto situado no próprio órgão. No caso de uma garra, geralmente adota-se um ponto situado entre os dedos quando esta encontra-se fechada. Ferramentas especiais, como solda-a-ponto, por exemplo, têm sua origem fixada no ponto de trabalho da ferramenta. O eixo xn é orientado de tal forma que intercepta o eixo zn−1 da última junta em ângulo reto. A direção de zn pode ser qualquer, mas em geral escolhe-se zn tal que o ângulo de torção tn seja nulo. 5.2 - Matriz de transformação entre os sistemas n−1 e n. Dado um vetor no sistema n, ele pode ser expresso no sistema n−1 por meio da matriz que relaciona ambos os sistemas (ver Apêndice B): 62 1, Rot( , ) Trans(0, 0, ) Trans( , 0, 0) Rot( , )n n n n n nT z d a x t− = θ , no qual Rot(i, θ) indica uma matriz de rotação de um ângulo θ ao redor do eixo i, e Trans(sx, sy, sz) é a matriz de translação de um vetor s = (sx, sy, sz). O produto destas matrizes resulta: 1, cos sen cos sen sen cos sen cos cos cos sen sen 0 sen cos 0 0 0 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n t t a t t a T t t d − θ − θ θ θ   θ θ − θ θ =        , Ou seja: 1 1,n n n nv T v− −= As matrizes de transformação indicadas são todas geométricas. A matriz inversa, que permite expressar um vetor no sistema n dado o mesmo vetor no sistema n−1 fica então: 1, 1 1, cos sen 0 sen cos cos cos sen sen sen sen cos sen cos cos 0 0 0 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a t t t d t T T t t t d t − − − θ θ −   − θ θ − = =  θ − θ −      , Finalmente, a matriz que relaciona o sistema da base com o sistema do órgão terminal será dada por: 1, 2 2, 3 2, 1 1,n n n nA T T T T− − −= ⋯ Seguem alguns exemplos resolvidos utilizando a notação de Denavit-Hartenberg. 5.3 – Exemplo de aplicação num manipulador VVR:VR. Este exemplo mostra a obtenção dos parâmetros de Denavit-Hartenberg no manipulador mostrado na figura 5.4. Admite-se conhecidos os comprimentos de todos os elos.. Deve-se relacionar os sistemas de coordenadas de cada junta e preencher a tabela de parâmetros. 65 Apêndice A Trigonometria A.1 - Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes quando possuem dois ângulos iguais. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180o, então todos os ângulos de triângulos semelhantes são iguais a c b A C B B c' a' A b' C Fig. A.1 – Semelhança de triângulos Nos triângulos semelhantes valem as regras de proporcionalidade: ' ' ' a b c a b c = = A.2 - Teorema de Pitágoras Num triângulo retângulo OPQ, no qual o ângulo do vértice Q é reto (igual a 90o ou π/2) e o ângulo do vértice O é α, o cateto oposto é definido como o comprimento b da aresta PQ, o cateto adjacente é definido como o comprimento a da aresta OQ, e a hipotenusa é o comprimento c da maior aresta, OP. O teorema de Pitágoras fornece que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, ou seja 2 2 2c a b= + a c b Q O P α Fig. A.2 – Triângulo retângulo A.3 - Seno, co-seno e tangente Numa circunferência de raio unitário desenhamos um sistema de eixos passando pelo centro O da circunferência e um arco de círculo de ângulo α definido pelo ponto P. A 66 projeção deste ponto nos eixos das abscissas e das ordenadas define os pontos Q e R, respectivamente. α 1 cosα senα tanα cotα Q P R O T S V U α Fig. A.3 – Círculo de raio unitário: seno, co-seno, tangente, co-tangente, secante e co-secante. O seno deste ângulo é definido como o comprimento do cateto oposto ao triângulo OPQ, ou seja, ao comprimento RO ou PQ. Da mesma forma, o co-seno é o comprimento do cateto adjacente ao ângulo α, cujo comprimento é RP ou OQ. A tangente é medida ao longo da reta paralela ao eixo das ordenadas que tangencia a circunferência no ponto T em que esta encontra o eixo das abscissas, até o ponto U em que esta encontra o prolongamento de OP. Analogamente, a co-tangente do ângulo α é o comprimento medido ao longo da reta paralela ao eixo das abscissas que passa pelo ponto S, encontro da circunferência com o eixo das ordenadas, até o ponto V em que esta reta encontra o prolongamento de OP. Tem-se, finalmente, a secante sendo dada pelo comprimento OU e a co-secante por OV. Resumidamente, sen cos tan cot sec csc OQ OR TU SV OU OV α = α = α = α = α = α = Do teorema de Pitágoras segue imediatamente que 2 2cos sen 1α + α = Da relação de semelhança entre triângulos, tem-se igualmente que sen tan cos α α = α , 1 cos cot tan sen α α = = α α 67 1 sec cos α = α 1 csc sen α = α A.4 - Complementos de ângulos Supondo conhecidos o seno e o co-seno do ângulo α, deseja-se saber o valor do seno e co-seno do ângulo complementar 180o – α ou π – α. Conforme indica a figura abaixo, estes podem ser obtidos da semelhança entre os triângulos OAC e OBD: cos( ) cos sen( ) sen π−α = − α π−α = α α O A B π – α D C α π/2 – α E Fig. A.4 – Ângulos complementares. Da mesma figura pode-se ainda verificar que, da semelhança entre os triângulos OAC e OEA, cos( / 2 ) sen sen( / 2 ) cos π −α = α π −α = α Igualmente, da figura abaixo tem-se que cos( ) cos sen( ) sen −α = α −α = − α 70 Embora seja também possível obter uma solução geométrica para a tangente da soma, é mais fácil neste ponto calcular pela relação entre o seno e o co-seno, ou seja: sen( ) tan tan tan( ) cos( ) 1 tan tan α +β α + β α +β = = α +β − α β , e sen( ) tan tan tan( ) cos( ) 1 tan tan α −β α − β α −β = = α −β + α β , A.6 - Lei dos senos Num triângulo qualquer ABC, de ângulos α, β, e γ, e de lados a, b e c, traça-se uma reta a partir do vértice A perpendicular ao lado BC, como mostra a figura abaixo. No triângulo retângulo formado por ABH, o comprimento AH é igual c senβ, e no triângulo AHC, este mesmo comprimento é dado por b senγ. Traçando-se agora uma reta a partir de C perpendicular ao lado AB, tem-se igualmente que CG = a senβ = b senα. Repetindo-se o processo com o vértice B e o lado AC, ter-se-á igualmente que a senγ = c senα. Estas igualdades permitem escrever a lei dos senos: sen sen sen a b c α β γ = = , ou sen sen sen a b c = = α β γ e que pode ser estabelecida como: “num triângulo qualquer, a relação entre o comprimento de qualquer de seus lados com relação ao seno do ângulo oposto a ele é uma constante”. a c b A C B α β γ H G Fig. A.7 – Lei dos senos. A.7 - Lei dos co-senos Num triângulo qualquer ABC, traça-se uma a reta que, a partir do vértice A, encontra o lado BC em ângulo reto (perpendicular a BC), como mostra a figura abaixo. No triângulo retângulo ABH, aplica-se o teorema de Pitágoras, obtendo-se 2 2 2c BH AH= + 71 a c b A C B α β γ H Fig. A.8 – Lei dos co-senos. Da mesma forma, o triângulo retângulo AHC fornece 2 2 2b HC AH= + Isolando-se o lado AH das expressões acima e igualando-as tem-se que 2 2 2 2c b BH HC= + − Porém, lembrando que HC = b cosγ e que AH = a – HC, substituindo-se estes valores na última resulta que 2 2 2 2 cosc b a ab= + − γ . A lei dos co-senos pode então ser definida como “num triângulo qualquer, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos demais, subtraído do duplo produto destes lados pelo co-seno do ângulo entre eles”. Uma vez que não foi estabelecida nenhuma condição sobre um dos lados, tem-se igualmente que 2 2 2 2 cosa b c bc= + − α . e 2 2 2 2 cosb a c ac= + − β . 72 Apêndice B Transformações de Coordenadas Em diversos problemas físicos e mecânicos existe a necessidade de se expressar determinada grandeza vetorial em um ou mais sistemas de coordenadas distintos. Em geral um destes sistemas encontra-se parado enquanto o outro é o sistema móvel. Por exemplo, a posição de um guindaste num navio pode ser conhecida com relação a um sistema de eixos fixados à embarcação, ou, similarmente, ser conhecida com relação a um sistema de coordenadas fixadas ao ancoradouro. Navios, aeronaves, foguetes, satélites, veículos em geral, além de uma grande série de fenômenos apresentam o mesmo tipo de problema. Vamos apresentar uma forma de sistematizar estas transformações de coordenadas. B.1 – Rotações de coordenadas Considere um sistema de eixos cartesianos fixos O, de eixos x, y, z, conforme ilustra a figura B-1. Supomos que haja um corpo que se gira com relação a este sistema, no qual um outro sistema Q de eixos u, v, w esteja rigidamente fixado, e tal que suas origens sejam coincidentes, mas que seus eixos possuam direções distintas. As direções dos eixos u, v e w podem ser postas na forma vetorial com versores unitários, isto é, de módulo unitário, com relação ao sistema fixo (x, y, z). Supondo que tais direções sejam, respectivamente u, v e w, tal que u = (ux, uy, uz), v = (vx, vy, vz) e w = (wx, wy, wz), sabe-se, do cálculo vetorial, que ui, vi, e wi são os co-senos diretores das direções u, v e w, respectivamente (para i = x, y ou z), ou seja, ci é igual ao co-seno do ângulo entre os eixos c e i. x z y w v u Q O Fig. B-1 - Sistemas de coordenadas cartesianas fixas (x, y, z) e móveis (u, v, w) Se, agora, montarmos a matriz quadrada A de ordem 3 dada por: x y z x y z x y z u u u A v v v w w w     =       , teremos uma forma de relacionar a orientação de um vetor qualquer dado num sistema com a orientação deste mesmo vetor expresso no outro sistema. De fato, se ro = (rx, ry, rz) for o vetor expresso no sistema O, as coordenadas deste mesmo vetor no sistema Q, rq = (ru, rv, rw) serão dadas por: q oA=r r 75 utiliza-se a regra da mão direita. Neste caso, com o polegar direito apontando na direção positiva do eixo de rotação, os demais dedos devem indicar o sentido de rotação. Caso od dedos apontem na direção oposta, então o ângulo de rotação será negativo. Como a transformação inversa, ou seja, do sistema Q para o sistema O pode ser realizada pela rotação de um ângulo negativo ao redor do mesmo eixo, conclui-se que T( ) ( )i iR R−θ = θ B.3 – Translações de coordenadas Muitas vezes os eixos coordenados não possuem origens coincidentes. Nestes casos, para obter a posição de um dado vetor ou objeto num dos sistemas será necessário efetuar, além da transformação de orientação entre os sistemas, também uma translação. Considere então o sistema Q com sua origem deslocada do sistema O, mas admite-se inicialmente que os eixos de ambos sejam paralelos, como ilustra a figura B-3. x z y w v u Q O so ro rq P Fig. B-3 – Translação entre sistemas de eixos coordenados. Nesta situação, se a posição de um ponto P do espaço for dada pelo vetor ro, e se so for a posição da origem do sistema Q, ambos referidos ao sistema O, então a posição deste ponto P no sistema Q será dada pela soma vetorial: q o o= −r r s Nota-se que o vetor −so é, na verdade, a posição da origem do sistema O referido ao sistema Q, ou seja, é igual a sq. Para obter a inversa desta relação basta isolar o vetor ro: o q o= +r r s B.4 – Transformações compostas Num caso mais geral, os eixos dos sistemas O e Q não são paralelos, e nem suas origens são coincidentes, como indicado na figura B-4. Para analisar este caso, pode-se supor que exista um sistema de eixos intermediário, cujos eixos são paralelos ao do sistema O, porém sua origem é coincidente com o sistema Q. Percebe-se então que a transformação entre os dois sistemas reduz-se entre uma translação de O para o sistema intermediário, seguido de uma rotação entre este último e o sistema Q. 76 x z y w v u Q O so ro rq P Fig. B-4 – Transformação composta de rotação e translação Sabe-se que a transformação que relaciona um vetor no sistema intermediário I com seu correspondente no sistema Q é dada por: q O Q iA −=r r , onde AO-Q é a matriz de transformação entre os sistemas I e Q. Uma vez que o sistema I é paralelo a O, então a matriz A é também igual à transformação entre os sistemas Q e O. Por outro lado, a translação de coordenadas entre os sistemas I e O leva a: i o o= −r r s , pois as origens de I e Q são coincidentes. Substituindo-se esta última na expressão anterior, tem-se que: ( )q O Q o o O Q o O Q oA A A− − −= − = −r r s r s . Porém, como foi dito, o vetor −so é a posição da origem do sistema O referido ao sistema I, ou seja, si. Mas AO-Q si é justamente a transformação deste vetor para o sistema Q, ou simplesmente sq. Tem-se com isto a relação: q O Q o qA −= +r r s , que relaciona um vetor expresso no sistema O com as componentes deste vetor no sistema Q, desde que sejam conhecidas a matriz de transformação entre ambos, e a posição da origem de O referida ao sistema Q. B.5 – Transformações homogêneas Vimos que as transformações podem ser entendidas como sendo compostas de rotações e translações. Quando apenas dois sistemas estão envolvidos no processo de transformação, não há problemas na utilização da formulação apresentada anteriormente. Porém, se houver mais de dois sistemas, a composição de transformações torna-se complexa e 77 de difícil compreensão. Sejam, por exemplo, os sistemas O, Q e R, tal que se conheçam as transformações entre O e Q e entre Q e R: q O Q o qA −= +r r s r Q R q rA −= +r r s . Efetuando-se a substituição, tem-se: r Q R O Q o Q R q rA A A− − −= + +r r s s , o que significa que o número de termos que aparece na transformação depende do número de sistemas de coordenadas envolvidos nela. Há uma forma mais eficiente de expressar tais transformações, conhecida como transformações homogêneas. Nela, tanto as rotações quanto as translações são efetuadas por multiplicações de matrizes, o que permite facilmente compor transformações entre diversos sistemas. O preço a pagar por isto é o aumento na dimensão do problema, que passa para 4 dimensões para que a translação possa ser posta na forma matricial. Uma matriz homogênea é, portanto, uma matriz quadrada de ordem 4, formada pelo acréscimo de uma coluna e uma linha adicionais à matriz de transformação de coordenadas usual. No caso de uma rotação, a matriz homogênea é dada por: 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 x y z O Q x y z O Q x y z u u u A v v v R w w w − −        = =          , e, no caso de uma translação a matriz homogênea fica: 1 0 0 0 1 0 ( ) 0 1 0 0 1 0 0 0 1 x o y o z s s T s −   − −   = =   −       I s s , na qual o vetor que fornece a origem do sistema Q é dado por so = (sx, sy, sz). Os vetores a serem transformados devem agora ter sua dimensão aumentada, e para isto introduz-se um quarto componente que representa um fator de escala, mas que aqui será adotado como sendo sempre unitário. Tem-se assim que: 1 1 x y z r r r        = =          r r Analogamente, as rotações efetuadas ao redor dos eixos cartesianos encontram também suas correspondentes nas transformações homogêneas, dadas por: 80 o que indica que a relação composta inversa é obtida pela inversa das transformações, posicionadas na ordem também inversa, isto é, da primeira (translação) para a última (rotação). Efetuando-se este cálculo tem-se o resultado             =      =            = −−− 1000 1010 0 10 1 TT zzzz yyyy xxxx oQOQOo OQ swvu swvu swvu AA H ss Será visto agora, como resultado final, a relação que fornece a transformação composta de uma rotação seguida de uma translação. Nota-se, neste caso, que o vetor de translação passa a ser referido ao sistema I, e não mais ao sistema O como no caso anterior. Isto leva a:       − =            − = −−− 1010 0 10 1 oQOQOo QO AA G ss , que é bastante semelhante à expressão anterior. Analogamente sua inversa fica       =            = −−−− 1010 1 10 0 TTT oQOQOoQO OQ AAA G ss . 81 Apêndice C Alfabeto Grego Os símbolos, nomes e pronúncia das letras gregas são mostrados na Tabela B-1. Tabela B-1 Símbolos gregos Símbolo maiúsculo Símbolo minúsculo Nome Pronúncia Equivalente latino Α α Alfa alfa a Β β Beta beta b Χ χ Chi qui c ∆ δ Delta delta d Ε ε Epsilon epsilon e Φ φ ou ϕ Phi fi f Γ γ Gama gama g Η η Eta éta ê Ι ι Iota ióta i Κ κ Kapa capa k Λ λ Lambda lâmbida l Μ µ Mu mi m Ν ν Nu ni n Ο ο Omicron ômicrom o Π π Pi pi p Θ θ Teta téta tx Ρ ρ Rho rô r Σ σ ou ς Sigma sigma s Τ τ Tau tau t Υ υ Upsilon upsilon u Ω ω ou ϖ Omega ômega ô Ξ ξ Xi xi x Ψ ψ Psi psi ps Ζ ζ Zeta zeta z