apostila de dinâmica

apostila de dinâmica

(Parte 1 de 7)

Universidade Estadual de Goias Unidade de Ciencias Exatas e Tecnologicas

Coordenac ao do Curso de Engenharia Civil

Apostila de Dinamica

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Anapolis, outubro de 2006

1.1 Exemplos de carregamentos dinamicos precritos7
1.2 Diferenca basica entre a analise estatica e a analise dinamica9
1.3 Sistema Dinamico Elementar1
1.4 Influencia da gravidade12
2.1 Exemplo de movimento de vibracoes livres nao amortecidas18
2.2 Grafico do movimento de vibracoes livres nao amortecidas19
2.3 Grafico do movimento de vibracoes livres nao amortecidas com velocidade inicial19
2.4 Defasagens entre os movimentos20
2.5 Defasagens entre os movimentos - analise parametrizada no cırculo20
2.6 Viga com mossa no meio do vao21
2.7 Deslocamento para viga com mossa no meio do vao2
2.8 Deslocamento para viga com mossa no meio do vao23
2.9 Comparacao entre movimentos de viga com mossa23
2.10 Exemplo de movimento de vibracoes livres criticamente amortecidas24
2.1 Grafico de movimento criticamente amortecido25
2.12 Grafico de movimento criticamente amortecido com velocidade inicial26
2.13 Razao entre as frequencias angulares em funcao do taxa de amortecimento28
2.14 Grafico de movimento com amortecimento subcrıtico28
2.15 Comparacao geral dos movimentos de vibracoes livres29
3.1 Sistema dinamico sujeito a carregamento harmonico31
3.2 Respostas para sistema sujeito a carregamento harmonico34
3.4 Angulo de fase em sistemas amortecidos com carregamento harmonico37
3.5 Picos da razao de frequencia em funcao da taxa de amortecimento38
3.6 Razao de amplificacao dinamica para sistemas amortecidos e nao amortecidos39
3.7 Funcao envoltoria para resposta ressonante nao amortecida40

Lista de Figuras 3.3 Fator de amplificacao dinamicaem sistemas amortecidos com carregamento harmonico . 36 2

Lista de Tabelas 3

Sumario

1.1 Introducao5
1.2 Definicao de Sistema Dinamico5
1.3 Objetivos Fundamentais da Analise Dinamica6
1.4 Tipos de Carregamentos Dinamicos Prescritos7
1.5 Caracterıticas Essenciais de um Problema Dinamico8
1.6 Formulacao das Equacoes do Movimento9
1.7 O Princıpio de D’Alambert9
1.8 Sietema Dinamico Elementar10
1.9 Equacao do Movimento para um Sietema Dinamico Elementar1
1.10 Princıpio dos trabalhos virtuais12
1.1 Influencia da gravidade12
1.12 Excitacoes na base13

1 Introducao aos Sistemas Dinamicos 5

2.1 Vibracoes livres nao amortecidas15
2.1.1 exemplo21
2.1.2 exemplo2
2.2 Vibracoes livres criticamente amortecidas24
2.2.1 exemplo24
2.3 Vibracoes livres com amortecimento subcrıtico26
2.3.1 exemplo27
2.4 Determinacao experimental da taxa de amortecimento29
2.4.1 exemplo30

2 Estudo de vibracoes livres 14

3.1 Sistemas nao amortecidos31
3.1.1 exemplo3
3.2 Sistemas amortecidos34
3.3 Resposta Ressonante37

3 Resposta ao Carregamento Harmonico 31 4 Carregamentos Periodicos 41 5 Carregamentos Impulsivos 42 6 Carregamentos Genericos 43

Capıtulo 1 Introducao aos Sistemas Dinamicos

Neste capıtulo sera iniciado o estudo de conceitos ate agora pouco explorados no nıvel de graduacao. Estudaremos os conceitos que envolvem a formulacao de modelos que explicam o comportamento dos sistemas mecanicos dinamicos. Ja de inıcio torna-se necessario discutir o que vem a ser um sistema dinamico, qual a sua definicao, quais suas caracterısticas e mais importante ainda, como se da a mecanica dos sistemas dinamicos.

1.2 Definicao de Sistema Dinamico

esta errada ? Nao e bem assimAfinal os modelos de analise estatica estao aı em pleno funcionamento.

Em ultima analise, um sistema dinamico e aquele, onde uma determinada estrutura, ou elemento estrutural esta sujeito a carregamentos que variam no tempo. Esta definicao nos remete a um fato, do qual, ate agora, nao tinhamos nos percebido, ou ate mesmo, convenientemente “fugido”: O fato de que todas as cargas variam no tempo. Mas e agora ? quer dizer que toda aquela teoria da estatica que estudamos

Mas sigamos adiante na exploracao do conceito de sistema dinamico. Do ponto de vista pratico nenhuma carga e aplicada estaticamente, uma vez que nenhuma estrutura “nasce” pronta. Os carregamentos sao adicionados gradativamente, variando com o tempo, ou alguem acha que e possıvel para um pedreiro estalar os dedos e assentar todo o piso em todos os andares de um predio ? Uma vez entendido que em essencia todas as cargas sao dinamicas, vamos agora entender como e que a estatica existe.

Para o analista estrutural, o que realmente interessa sao os efeitos que os carregamentos causam sobre as estruturas, e entenda-se por efeitos, no caso dos analistas estruturais, os deslocamentos sofridos pelas estruturas, pois a partir dos deslocamentos sao calculadas as tensoes e deformacoes, possibilitando assim o processo de dimensionamento racional dos elementos que constituem a estrutura.

Facamos entao uma analogia simples para entender a diferenca entre uma carga “considerada” dinamica e uma carga “considerada” quasi-estatica: Imaginemos entao um tanque de agua parada, vamos considerar a agua contida dentro do tanque como sendo o nosso elemento estrutural. Agora, vamos adicionar uma esfera de isopor sobre a superfıcie da agua, e vamos fazer isso de dois modos distintos: Em uma ocasiao colocaremos a esfera com todo o cuidado do mundo, bem devagarinho mesmo. Do outro jeito vamos simplesmente “jogar” a esfera de uma certa altura h e deixar que ela colida com a superfıcie da agua. Agora resta-nos analizar o que acontece com a superfıcie da agua nos dois casos de carregamento. E para facilitar nossa analise a unica forca externa considerada e a forca peso da esfera.

No primeiro caso, ocorrerao deslocamentos de modo que surgira na superfıcie d’agua uma calota esferica onde se acomodara a esfera. Ja no segundo caso, surgirao aquelas famosas ondinhas que aparecem quando jogamos uma pedra em um lago. Para ser mais cientıfico, a partir do instante em que o impacto ocorrer, serao formadas ondas de choque concentricas e intercaladas por um determinado perıodo. Portanto a mesma bolinha de isopor provoca efeitos diversos sobre a lamina d’agua dependendo do modo em que se relaciona com a superfıcie de agua.

Podemos entao distinguiros dois tipos de carregamentos ilustrados pelos seus efeitos. Em um, a estrutura sai de uma posicao inicial e instantes depois que a carga e aplicada atinge uma posicao deslocada final que se mantem constante. Em outra, nao existe UMA posicao deslocada final, e sim V ARIAS posicoes de deslocamente que VARIAM com o TEMPO. Ao primeiro carregamento da-se o nome de carregamento quasi-estatico, ou simplesmente, carregamento estatico, como e mais comumente conhecido. Ao segundo da-se o nome de carregamento dinamico.

carregamento dinamico. Maso que sao reacoes inerciais de massa ?.

De forma bastante simplificada, o carregamento pode ser considerado estatico quando, a velocidade de aplicacao de carga nao e suficiente para provocar reacoes inerciais de massa com intensidade suficiente para interferir nos deslocamentos da estrutura. Ou seja, quando for possıvel desprezar a reacoes inerciais de massa no calculo dos deslocamentos da estrutura, pode-se dizer que estamos diante de um carregamento estatico. Quando tais reacoes nao puderem ser desprezadas, estamos entao, diante de um

Lembremos que todo sistema tem inercia de movimento, ou seja, tende a permanecer no estado de movimento em que se encontra. As reacoes inerciais de massa sao aquelas forcas que surgem no sistema opondo-se a mudanca do estado inercial do mesmo. Veremos melhor isso mais adiante, quando estivermos estudando o princıpio de D’Alambert.

1.3 Objetivos Fundamentais da Analise Dinamica

A analise dinamica, assim como a analise estatica tem como objetivo maior, estudar os efeitos (deslocamentos) causados na estrutura devido a acao de uma carga solicitante, com a unica diferenca de que tanto as cargas solicitantes quanto os deslocamentos resultantes VARIAM no tempo. Uma vez que os deslocamentos VARIAM no tempo, o mesmo ocorre com as grandezas derivadas do calculo dos deslocamentos, ou seja, as tensoes e deformacoes em um sistema dinamico tambem variam com o tempo.

Existem basicamente duas formas diferentes de avaliar a resposta de uma estrutura submetida a carregamentos dinamicos: a determinıstica e a nao determinıstica. A escolha do metodo a ser utilizado na analise depende do modo que o carregamento e definido. Se os valores da carga sao plenamente conhecidos ao longo do tempo, este carregamento e chamado de carregamento dinamico prescrito e a analise dos efeitos de um carregamento dinamico prescrito e feita de modo determinıstico. Por outro lado, se os valores de carga nao sao exatamente conhecidos ao longo do tempo mas podem ser determinados estatisticamente, o carregamento e chamado de carregamento dinamico aleatorio. E a analise dos efeitos de uma carregamento dinamico aleatorio e feita com tecnicas nao determinısticas. Inicialmente e extremamente importante entender e realizar as analises dinamicas determinısticas, uma vez que as nao determinısticas podem ser construıdas a partir do conhecimento adquirido com aquelas outras.

Como ja dissemos, a resposta estrutural para qualquer carregamento dinamico prescrito e expresso em termos de dislocamentos que surgem na estrutura. Assim, uma analise determinıstica nos leva diretamente a uma correlacao entre os carregamentos e os deslocamentos ao longo do tempo. Ou seja, a analise dinamica consiste em investigarcomo se comporta a relacaoCarga × Deslocamento ao longo do tempo. As outras grandezas de interesse, tais como tensoes e deformacoes sao obtidas em uma segunda fase da analise dinamica, onde sao obtidos os historicos das grandezas de interesse ao longo do tempo.

1.4 Tipos de Carregamentos Dinamicos Prescritos

Quase todos os tipos de estrutura sao submetidas, em algum momento de sua vida util, a carregamentos dinamicos de alguma especie, basta citar, apenas como exemplo, que as cargas oriundas do vento sao considereadas dinamicas. Do ponto de vista analıtico, e conveniente dividir os carregamentos dinamicos prescritos em duas categorias: Os periodicos e os nao periodicos. Alguns exemplos de carregamentos dinamicos prescritos e algumas situacoes onde esses tipos de carregamento podem ocorrer sao apresentadas na Figura 1.1.

(b)

(c) (d) em uma casa de máquinas

Hélice do propulsor de um navio

Terremoto sobre um reservatório de água

Motor desbalanceado Periódicos

Não PeriódicosViolento deslocamento de ar devido a uma explosão

Figura 1.1: Exemplos de carregamentos dinamicos precritos 7

Como pode ser visto na Figura 1.1, um carregamento periodico exibe a mesma variacao de intesidade, suscessivamente, durante um grande numero de ciclos. O carregamento periodico mais simples que existe e aquele que apresenta a variacao de intensidade na forma senoidal, assim como e mostrado na Figura 1.1a. Esse tipo de carregamento e mais conhecido como Harmonico Simples. Na mesma Figura 1.1 sao apresentadas algumas formas de carregamento dinamico periodico tais como aqueles causados pela pressao hidrodinamica de uma helice propulsora de navio, ou aquelas cargas oriundas da acao de maquinas desbalanceadas sobre estruturas de casa de maquinas ou de qualquer ambianete destinado a maquinaria. No caso dos exemplos citados, a analise do caso da helice e mais complexo do que aquele dos motores, porem a utilizacao das series de Fourier facilitam consideravelmente a analise.

Os carregamentos nao periodicos tanto podem ser de curta duracao, tais como as cargas impulsivas, ou de longa duracao assim como a acao de vento em estruturas. Quando um aviao rompe a barreira do som, provoca uma especie de explosao que desloca violentamente as massas de ar no local do fenomeno. Esse deslocamento de ar repentino e violento provoca pressoes sobre as superfıcies das edificacoes vizinhas, e em alguns casos chega a trincar ou a quebrar as esquadrias externas das edificacoes. O mesmo ocorre quando algum outro tipo de explosao provoca o deslocamento das massas de ar, e por esse motivo que muitos predios proximos a atentados terroristas a bomba apresentam enorme quantidade de vidros quebrados. O deslocamento violento do ar devido a explosoes e um exemplo classico de cargas dinamicas impulsivas (nao periodicas). A acao dos terremotos sobre as estruturas de edifıcios e um tipo de carregamento nao periodico. As cargas transmitidas as estruturas nao tem uma distribuicao periodica ao longo do tempo, apresentando oscilacoes aleatorias parecidas com aquelas mostradas no grafico da Figura 1.1d.

1.5 Caracterıticas Essenciais de um Problema Dinamico

Um problema dinamico difere de uma analise estatica no que diz respeito a dois importantes aspectos. A primeira diferenca a ser notada, por definicao, e que o carregamento dinamico varia no tempo, pois e da propria natureza do problema dinamico. Devido ao fato de tanto o carregamento quanto os deslocamentos variarem no tempo, e evidente que os problemas dinamicos nao tem uma solucao unica, assim como acontece com a analise estatica. Ao inves disso os problemas dinamicos apresentam uma colecao de solucoes, cada uma delas correspondendo a um instante de tempo especıfico. Portanto, como alguns ja devem estar percebendo, a analise dinamica consome consideravelmente mais tempo que a analise estatica.

A segunda, e principal diferenca entre as analises estatica e dinamica e ilustrada na Figura 1.2. Se uma simples barra bi-apoiada e submetida a um carregamento estatico P, conforme e mostrado na Figura 1.2a, seus esforcos internos e os deslocamentos dependem apenas do valor dessa carga P e podem ser calculados atraves das equacoes de equilıbrio de forcas disponıveis na Estatica. Por outro lado, se e aplicado um carregamento dinamico P(t), assim como e mostrado na Figura 1.2b, os deslocamentos nao dependem somente do valor de P(t), mas tambem dependem das forcas inerciais que se opoe as aceleracoes que surgem no interior da barra. Desse modo, os esforcos internos passam a depender das aceleracoes que surgem na barra devido a aplicacao da carga P(t).

As forcas inerciais que resistem as aceleracoes da estrutura, sao deste modo, a mais importante caracterıstica distintiva do probelma dinamico em relacao ao problema estatico. Portanto, de modo geral, pode-se dizer que se as forcas inerciais exercem significante papel no equilıbrio da estrutura, estamos

P P(t)

(a) (b)forças inerciais Figura 1.2: Diferenca basica entre a analise estatica e a analise dinamica tratando de um problema dinamico, ao passo que se essas mesmas forcas inerciais podem ser negligenciadas quando da analise do equilıbrio da estrutura, estamos diante de um problema estatico.

Outra grandeza importante na analise dinamica e o amortecimento, ou em outras palavras, o mecanismo de dissipacao de energia que tende a dissipar a energia que provoca os deslocamentos dinamicos fazendo com que eles diminuam ao longo do tempo. Mais adiante faremos maiores consideracoes sobre o amortecimento em sistemas dinamicos.

1.6 Formulacao das Equacoes do Movimento

Como ja foi mencionado anteriormente, o principal objetivo da analise de estruturas submetidas atraves de metodos dinamicos determinısticos e o calculo dos deslocamentos ao longo do tempo para uma dada estrutura sujeita a um carregamento dinamico prescrito. Em muitos casos, uma analise aproximada, considerando apenas alguns graus de liberdade dinamica e suficiente para gerar resultadados com uma precisao satisfatoria. Desse modo o problema consiste na determinacao dos historicos de deslocamento de alguns pontos especıficos da estrutura. Calcular os deslocamentos nesses pontos discretos da estrutura e suficiente para descrever o comportamento da mesma (como um todo) devido a acao da carga dinamica. As expressoes matematicas que descrevem o equilıbrio em qualquer ponto da estrutura sao chamadas de equacoes do movimento da estrutura, e e a solucao dessas equecoes que nos fornece o valor dos deslocamentos (ao longo do tempo) da estrutura nos pontos especificamente estudados.

A formulacao das equacoes do movimento para um sistema dinamico e possivelmente o passo mais importante, e algumas vezes, o mais difıcil em todo o processo de analise dinamica. Existem na literatura, varios metodos disponıveis para a formulacao dessas equacoes, cada um deles apresentando especificidades que os tornam mais adequados a esta ou a aquela situacao. Independente de qual seja o metodo utilizado na obtencao das equacoes do movimento, e necessario saber como as forcas inerciais de massa sao matematicamente representadas. Deduziremos essa equacao, usando o princıpio de D’Alambert.

1.7 O Princıpio de D’Alambert

As equacoes do movimento de qualquer sistema dinamico representam expressoes da segunda lei do moviemto de Newton, que diz que a taxa de variacao da quantidade de movimento de qualquer partıcula de massa m e igual a forca que esta agindo sobre essa partıcula. Esta relacao pode ser matematicamente expressa pela seguinte equacao diferencial:

m du

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