Baixe Apostila de matemática 2 - ensino fundamental - ceesvo e outras Notas de estudo em PDF para Química, somente na Docsity! Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim www.ceesvo.com.br 2 MÓDULO 6 Nesta U.E., você aprenderá um novo conjunto de números para representar situações em que apenas os elementos do conjunto N não são suficientes. Esse conjunto de números é denominado CONJUNTO DE NÚMEROS INTEIROS. OBJETIVOS: Ao final desta U.E., você deverá saber: • Identificar Z como o conjunto N ampliado; • Localizar na reta numerada os elementos de Z; • Comparar dois números inteiros, utilizando os sinais >,< ou =; • Escrever o simétrico de um número inteiro; • Determinar o módulo ou o valor absoluto de um número inteiro; • Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir corretamente dois ou mais números inteiros; • Efetuar corretamente a potência de um número inteiro; • Efetuar a radiciação de um número inteiro. ROTEIRO: Leia as explicações do módulo com muita atenção acompanhando a resolução dos exemplos. Copie e resolva os exercícios em seu caderno na seqüência em que se apresentam. NÃO ESCREVA NA APOSTILA. FAÇA OS EXERCÍCIOS EM SEU CADERNO. www.ceesvo.com.br 5 Copie e responda no seu caderno: 1) Represente usando números inteiros positivos ou negativos: a) uma distância de 35 Km à direita de um ponto. (...........) b) uma temperatura de 29 graus abaixo de zero. (...........) c) um prejuízo de R$350,00. (................) d) um saldo de 8 gols a favor. (..............) 2) Pedro tem R$250,00 no banco. Qual será seu saldo: a) Se ele retirar R$ 150,00? b) Se ele retirar R$ 250,00? c) Se ele retirar R$ 280,00? d) Se ele depositar R$ 50,00? 3) Você tem R$ 600,00 no banco. Qual será seu saldo depois de efetuar as operações abaixo? a) depositou R$ 400,00 = ................ b) retirou R$200,00 = ..................... c) retirou R$150,00 = ..................... REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS NA RETA NUMÉRICA Observe a reta numerada abaixo. Nela estão representados os números positivos e negativos. Perceba que para cada ponto marcado na reta está relacionado um número positivo ( à direita do zero) e um negativo (à esquerda do zero) a partir do ponto inicial ( número zero). ...–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7... Z O que você vê são alguns elementos de Z representados. Você sabe que a representação de todos os elementos é impossível, porque Z é um conjunto infinito, da mesma forma que a reta. www.ceesvo.com.br 6 SIMÉTRICO DE UM NÚMERO INTEIRO -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Z Observe na reta numerada a localização dos números +3 e –3. O que você percebeu? – Que os dois números estão a uma mesma distância em relação ao zero; – Que os números positivos podem ou não ser escritos acompanhados do sinal positivo. Os pares de números que estão a uma mesma distância do zero chamam- se opostos ou simétricos, logo o oposto de –3 é 3. MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO Chama-se módulo ou valor absoluto de um número a quantidade de unidades que existem do zero até ele, sem levar em conta a sua posição (esquerda ou direita). É o nº sem a representação do sinal. O módulo ou valor absoluto de um nº é representado por duas barras verticais. Por exemplo: –5 = 5 o módulo ou valor absoluto de –5 é 5, porque –5 está a 5 unidades do zero. Veja. 5 unidades -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Z Qual é o módulo de +8? Como o +8 está a 8 unidades do zero, o módulo de 8 é 8. Não importa o número ser positivo ou negativo, pois o seu valor absoluto representa apenas a quantidade. Copie e resolva em seu caderno: 4) Complete com o valor absoluto dos números: a) 10+ = ........... b) o valor absoluto de 15 é .......... c) 6− = ......... d) o módulo de –3 é igual a: ......... www.ceesvo.com.br 7 COMPARAÇÃO ENTRE NÚMEROS POSITIVOS E NEGATIVOS Você aprendeu que todos os números negativos são menores que zero portanto também são menores que qualquer número positivo. Comparando dois números negativos podemos dizer que quanto mais distante o nº negativo está do zero menor ( < ) ele é. Comparando dois números positivos podemos dizer que quanto mais distante o nº positivo está do zero maior ( > ) ele é. Os números inteiros (positivos e negativos) se tornam maiores quando a localização, na reta geométrica, está da esquerda para a direita. Ex.: –4 < –1 < 0 < +5 < +8 –4 –1 0 +5 +8 crescendo ou aumentando Copie e resolva em seu caderno: 5) Copie e complete no seu caderno, utilizando os sinais > (maior) ou < (menor) : a) 3 ...... –5 d) –5 ......... 0 b) –2 ...... –3 e) 0 ......... – 4 c) –4 ......+ 6 f) –3 ......... –2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS: ADIÇÃO OU SOMA: Quando somar? Quando temos que “juntar” dois ou mais números positivos (créditos) ou dois ou mais números negativos (débitos). Para adicionar (somar) basta usar a seguinte associação: Crédito com crédito, soma e resulta crédito (positivo com positivo = +) Exemplo: +5+6 = +11 www.ceesvo.com.br 10 1º Ex.: (+2) + (–7) = +2 – 7 = – 5 2º Ex.: (+2) – (+7) = +2 –7 = -5 3º Ex.: (+3) + (+8) = +3 + 8 = + 11 4º Ex.: (+3) -– (–8) = +3 + 8 = + 11 Copie e resolva em seu caderno: 6) Resolva os exercícios em seu caderno, eliminando os parênteses com o “jogo de sinais”: a) ( + 4 ) + ( + 5 ) = b) (+ 4 ) + ( - 6 ) = c) (– 4 ) + ( - 8 ) = d) (+ 3 ) – (+ 5 ) = e) ( + 4 ) – ( - 5) = f) (–7 ) – ( - 10) = MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO: Regras: Sinais Iguais , resultado Positivo. Ex.: (+3) • (+2) = + 6 (−3 ) • (−2) = + 6 Sinais Diferentes , resultado Negativo. Ex.: (+3) • (−2) = −6 (− 3) • (+2) = − 6 Perceba que a regra dos sinais da multiplicação e divisão é a mesma usada na eliminação dos parênteses. Não esqueça de eliminar os parênteses em cada exercício. Dois sinais diferentes resulta − Dois sinais iguais resulta + www.ceesvo.com.br 11 Copie e resolva em seu caderno: 7) Resolva as multiplicações e divisões em seu caderno observando os sinais. a) ( + 4 ) . ( + 3 ) = b) (− 8 ) . ( − 1 ) = c) ( + 9 ) : ( − 3 ) = d) ( − 6 ) : ( − 6 ) = POTENCIAÇÃO (multiplicação com o mesmo número e sinal) Como a potenciação é um produto de fatores iguais, aplicamos as mesmas regras de sinais observadas na multiplicação. Ex.: 1) (+5)² = (+5) • (+5) = + 25 2) (−4)³ = (−4) •. (−4) • (− 4) = −64 IMPORTANTE: • Qualquer número inteiro, elevado a um expoente par, tem como potência um número positivo. Ex.: (+2)4 = +16 pois +2 . +2 . +2 . +2 = +16 (-3)²= +9 pois –3 . –3 = +9 • Qualquer número inteiro, elevado a um expoente ímpar, tem como potência (resultado) um número com o mesmo sinal da base. Ex.: (+3) ³ = +27 pois +3 . +3 . +3 = + 27 (-2) ³ = -8 pois –2 . –2 . –2 = -8 . Sinais iguais = + Observe algumas potências especiais: Sinais diferentes = − www.ceesvo.com.br 12 a) Todo número elevado à zero é igual a um. (+7)0 = 1 b) Todo número elevado a um é igual ao próprio número. (+7)1= +7 c) Toda potência de 10 é calculada escrevendo o número 1 acompanhado de tantos zeros quanto for o nº. do expoente. 104 = 10000 102 = 100 Copie e resolva em seu caderno: 9) Copie e responda em seu caderno: a) ( + 3 )3 = d) ( + 8 ) 0 = b) ( -2 ) 4 = e) ( - 7 ) 1 = c) ( -1 ) 3 = f) 10 5 = RADICIAÇÃO É a operação inversa da potenciação Ex. 1: 252 = 5 porque (+ 5 ) 2 = 25, pois 5 • 5 = 25 ou −5 porque ( − 5 ) 2 = −5 • −5= +25 Ex. 2: 83 = 2 2 3 = 8 83 − = −2 ( −2 ) 3 = −8 Ex. 3: -4 = ∃ Como qualquer nº elevado ao quadrado é sempre positivo, não existe (∃) raiz quadrada de um numero negativo. ATENÇÃO: Na raiz quadrada não é necessário escrever o nº 2 no índice. 162 = 16 www.ceesvo.com.br 15 4) Resolva as multiplicações e divisões observando as regras dos sinais: a) ( -2) . (-5) = b) ( +4) . ( -2 ) = c) ( + 6 ) : ( + 6 ) = d) (- 50 ) : ( +10 ) = 5) Efetue as seguintes potências e radiciações: a) (-1) ³ = .............. e) 36 = .............. b) (-2) 6= ............. f) 273 − = ................ c) (+5)2 = .............. g) 16− = d) (-5) 0 = .............. h) 3 27 = GABARITO: ESTE MÓDULO NÃO TEM RESPOSTAS. FAÇA A CORREÇÃO COM O PROFESSOR. www.ceesvo.com.br 16 MÓDULO 7 OBJETIVOS: - Adquirir conceitos de múltiplos, divisores e números primos; - Efetuar decomposição e mínimo múltiplo comum; - Conceituar, identificar e representar frações; - Associar fração como divisão de dois números; - Operar com frações (adição, subtração, multiplicação e divisão); - Aplicar as técnicas de operações com frações na resolução de situações - problemas. www.ceesvo.com.br 17 MÚLTIPLOS ( M ) E DIVISORES ( D ) Duas frases podem ter o mesmo significado apesar de utilizarem palavras diferentes. Por exemplo: “Gabriel é filho de Marcelo”.Significa que “Marcelo é pai de Gabriel “ Na matemática isto também acontece como você pode ver no exemplo acima. Você sabe o que quer dizer divisível? O conceito (idéia) de divisível vem da operação “divisão” Ex.1: - 20 : 1 = 20 20 : 2 = 10 20 : 4 = 5 20 : 5 = 4 20 : 10 = 2 20 : 20 = 1 Ex. 2: - Quais são os divisores do nº 42? É o conjunto D(42) = 1,2,3,6,7,14,21,42 Observe que nos dois exemplos o conjunto dos divisores começa com o nº 1 e termina no próprio nº. EX. 3: – E os divisores de 7? Conjunto D(7) = 1 , 7 pois 7 : 1 = 7 7 : 7 = 1 Você pode dizer que o nº 20 é divisível por 1,2,4,5,10,20, pois em todas as divisões efetuadas o resto é zero ou 1,2,4,5,10,20 são divisores de 20. 2 é divisor de 10 significa 10 é divisível por 2 é filho de significa é pai de www.ceesvo.com.br 20 EX. 3: – decomponha o nº 108 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 R = 2² . 3³ 1 Não esqueça de escrever a resposta. Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C) Menor múltiplo pertence a dois ou mais números Dado dois ou mais números você pode determinar qual é o menor múltiplo que pertence aos conjuntos dos múltiplos dos números dados. Qual é o mínimo múltiplo comum (m.m.c) dos números 12 e 4? M12 = {0,12,24,36...} M4 = {0,4,8,12,16,20...} m.m.c (4,12) = 12 ( múltiplo que pertence aos dois números ) Unindo o conceito de múltiplo com a decomposição em fatores primos você pode usar uma técnica prática para calcular o m.m.c. EX.1: 4, 12 2 2, 6 2 1, 3 3 efetue a multiplicação 1, 1 12 = m.m.c Ex. 2: m.m.c (4,5,15) 4, 15, 5 2 Você percebeu que a divisão tem que 2, 15, 5 2 ser exata. Quando não der para dividir 1,15, 5 3 “ abaixa” o número. 1, 5, 5 5 1, 1, 1 60 = m.m.c. 2² 3³ www.ceesvo.com.br 21 APLICAÇÕES PRÁTICAS 1- Uma pessoa tem que tomar 3 remédios. Um de 2 em 2 horas; outro de 3 em 3 e o último de 4 em 4 horas. Após serem tomados à zero hora, depois de quanto tempo eles serão tomados novamente juntos? m.m.c (2,3,4) 2 , 3 , 4 2 1 , 3 , 2 2 1 , 3 , 1 3 1 , 1 , 1 12 Depois de 12 horas. Copie e resolva em seu caderno: 1) Decomponha os números: a) 60 b) 150 c) 55 2) Calcule o m.m.c. dos números: a) m.m.c. ( 12 , 8 ) c) m.mc.(6,3,9) e) m.m.c.( 8,5) b) m.m.c. ( 6 , 10 , 12 ) d) m.m.c.(10,8,160) f) m.m.c.( 2,3,6) 3) Em um país as eleições para presidente são de 4 em 4 anos e para senadores de 6 em 6. Em 1990 houve eleição para os dois cargos. Depois de quanto tempo isto acontecerá novamente e em que ano? www.ceesvo.com.br 22 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS - FRAÇÃO INTRODUÇÃO Até agora você estudou e trabalhou com os números inteiros positivos e negativos. Agora, neste módulo você conhecerá os números fracionários, utilizados para representar quantidades não inteiras. O termo fração significa “pedaço” do inteiro dividido em partes iguais. Observe o exemplo: A figura abaixo representa um inteiro Dividindo-a em 3 partes iguais, cada uma dessas partes (pedaço) representará a fração ( 3 1 ) do inteiro. Observe os desenhos abaixo: 3 1 3 2 3 3 Observe que o número debaixo mostra em quantas partes o inteiro foi dividido. E o número de cima quantas partes foram consideradas (pintadas). Cada número que compõe a fração recebe um nome especial. Ex.: 2 numerador (quantas partes considerei) 3 denominador (quantas partes o inteiro foi dividido) Copie e resolva em seu caderno: 4) Veja a figura abaixo e responda:: É uma pizza dividida em 8 pedaços iguais. a) Qual a fração que representa 1 pedaço de pizza ? b) Na fração 8 4 , quantas partes considerei? c) Qual é a fração que corresponde a pizza inteira? 3 1 ou 1/3 www.ceesvo.com.br 25 Copie e resolva em seu caderno: 6) Reduza ao mesmo denominador ( nº. debaixo) as frações: a) 5 , 3 b) 7 , 2 , 5 c) 4 , 3 , 5 3 7 8 3 12 2 3 Comparação de frações Comparar duas frações significa estabelecer uma relação de igualdade ( igual ) ou de desigualdade entre esses números. Para identificar a desigualdade você vai usar os símbolos: < (menor) ou > (maior) 1º caso: os números fracionários têm o mesmo denominador: Observe os desenhos e compare:o pedaço “a” é maior (>) do que o pedaço “b” a) 7 > 3 Leia: sete oitavos é maior do que 8 8 três oitavos. b) Quando duas frações têm o mesmo denominador, a maior é aquela que tem o maior numerador (nº de cima). 2º caso: os números fracionários têm denominadores diferentes: Para comparar é necessário que o inteiro esteja dividido na mesma quantidade de pedaços por isso, você deve reduzir ao mesmo denominador. 3 e 2 m.m.c de 6 e 3. = 6 6 , 3 3 3 6 3 2 , 1 2 6 1 6 3 , 4 então 3 < 4 6 6 6 6 2 3 Observação: no exercício letra c, coloque o n.º 1 embaixo do 4 como denominador para poder fazer a divisão 7 8 3 8 www.ceesvo.com.br 26 Copie e resolva em seu caderno: 7) Usando o conceito de igual, maior ou menor responda reduzindo ao mesmo denominador quando for necessário: a) Maria comeu 3 2 de uma pizza e João comeu 8 5 . Quem comeu menos? Para você responder com certeza terá que reduzir ao mesmo denominador as duas frações e depois compará-las. b) Complete com os sinais de igual (=), maior (>) ou menor ( < ) : I ) 3 ___ 15 II ) 2 ____ 1 III ) 2 ____ -7 6 30 4 3 3 5 Operações com frações: Você já aprendeu que fração é um número que representa parte(s) do inteiro. Agora você vai aprender a resolver situações problemas que envolvem números fracionários. Para isso terá que saber operar (fazer conta) com esses números. Adição e Subtração de Frações Quando vamos efetuar uma soma ou uma subtração de frações devemos considerar dois casos: 1º caso – As frações têm o mesmo número em baixo, ou seja, mesmo denominadores: Exemplo: Uma pizza foi dividida em 3 pedaços iguais. João comeu dois pedaços. Quanto sobrou? 3 - 2 = 1 3 3 3 CONSIDERE A PIZZA INTEIRA COMO = 3 3 www.ceesvo.com.br 27 Logo, sobrou 1 da pizza. 3 Conclusão: Quando as frações têm o mesmo denominador devemos somar ou subtrair apenas os números de cima, ou seja, os numeradores e manter o mesmo denominador. 2º caso – As frações têm denominadores diferentes: TÉCNICA para ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO 1º) determine o m.m.c. dos denominadores (nºs debaixo); 2º) o resultado do m.m.c. será o novo denominador; 3º) divida o novo denominador pelo nº. debaixo e multiplique pelo nº. de cima de cada fração; 4º) efetue a adição ou subtração dos numeradores (nºs de cima).conservando o denominador;. Exemplo: Para fazer um trabalho escolar você usou dois terços de uma cartolina e sua irmã usou três quartos. Que fração de cartolina vocês dois usaram juntos? Resp: Usaram juntos 17 da cartolina ou 17 : 12 = 1,4 cartolinas. 12 Conclusão: Quando as frações têm denominadores diferentes, devemos primeiro reduzir as frações ao mesmo denominador para depois efetuar a soma ou subtração. Os dois exemplos a seguir mostram os dois casos e as maneiras diferentes de serem efetuados. 2 + 3 = 3 4 8 + 9 = 17 12 12 12 divide multiplica Você deve encontrar o m.m.c. dos denominadores 3 e 4 3,4 2 3,2 2 3,1 3 2 •2 •3 =• m.m.c. = 12 1,1 Observe as flechas ao lado. Elas mostram as operações que você deve fazer. www.ceesvo.com.br 30 Copie e resolva em seu caderno: 8) De acordo com o que você aprendeu até agora, resolva as adições e subtrações de frações: a) 1 + 4 = c) 9 - 2 = 3 3 2 3 b) 7 + 2 = d) – 1 – 3 = 5 8 2 4 Multiplicação de frações Regra Prática: - Multiplique os numeradores (nºs de cima); - Multiplique os denominadores (nºs debaixo); - Observe os sinais das frações para usar a regra. Sinais iguais resulta positivo. Sinais diferentes resulta negativo. 1-) Um fazendeiro tem 5 fazendas. Dessas, 3 são produtivas. 7 Qual é a fração que representa toda a terra produtiva? DICA IMPORTANTE! Quando aparece no problema a palavra “de”, “dessa”, a operação usada é a multiplicação e a resposta representa a fração em relação ao inteiro. 7 3 de 5 então: 7 3 • 1 5 = 7 15 Resposta: 7 15 representa a parte produtiva das 5 fazendas. Ex: 5 4 • 7 2 = 35 8 – 6 3 • – 5 8 = + 30 24 Nas operações com frações colocamos o n.º 1 embaixo do n.º inteiro. www.ceesvo.com.br 31 2-) Um fazendeiro vai plantar 5 3 da área da fazenda. Já plantou 6 2 dessa área com soja. Qual a fração que representa a área de plantação de soja em relação a área da fazenda? 3 • 2 = 6 multiplique os numeradores 5 6 30 multiplique os denominadores Resposta: A fração que representa a parte plantada com soja em relação à fazenda inteira é 30 6 ( ou simplificando por 6) apenas 5 1 . Divisão de frações Regra Prática: - Copie a primeira fração; - Mude o sinal de divisão ( : ) para o de multiplicação (•); - Copie a segunda fração invertendo os lugares do numerador com o denominador; - Multiplique os numeradores; - Multiplique os denominadores; - Observe os sinais das frações aplicando a regra de sinais que é a mesma da multiplicação. Exemplo: 1º) A metade ( 2 1 ) da área de uma fazenda vai ser dividida em 6 partes iguais. Qual a fração que representa cada parte? 1 : 6 = 1 . 1 = 1 2 1 2 6 12 R: Cada parte é representada por 12 1 . Observe que: 1- A divisão foi transformada em multiplicação. 2- A segunda fração foi invertida. www.ceesvo.com.br 32 Copie e resolva em seu caderno: 9) Efetue as multiplicações e divisões de frações: a) 2 • 5 = c) 2 : 1 = 3 8 5 3 b) 1• 3 • 5 = d) 7 : 4 = 2 4 7 10 6 Potenciação (multiplicação com o mesmo número) Regra prática: - Efetue a potenciação do numerador, multiplicando pelo mesmo número tantas vezes quanto for o número do expoente; - Efetue a potenciação do denominador. 1-) Qual é a área de um quadrado cujo lado é ½ m de lado? A área do quadrado é: A = L² ½ m A = (1/2)² = 1² = 1• 1= 1 m² 2² 2•2 4 Para efetuar a potenciação de fração você deve elevar o numerador e o denominador ao expoente dado e calcular o resultado: Ex. 5 ³ = 5³ = 5 • 5• 5 = 125 4 4³ 4 • 4 •4 64 www.ceesvo.com.br 35 Copie e resolva em seu caderno: 11) Resolva os problemas em seu caderno lembrando que cada operação com fração tem uma regra própria. Confira as respostas no gabarito: I) Um aluno já executou 7 4 da tarefa de matemática. Qual a fração da tarefa que resta fazer? LEMBRE-SE!! A fração que representa o inteiro tem denominador igual ao numerador. Neste caso o inteiro é 7 7 II) Tenho uma divida de R$ 250,00. Já paguei 10 7 . Quanto estou devendo? Observação: A dívida está dividida em 10 prestações III) Em uma panela há 8 6 do Kg (quilograma) de pipoca estourada. Quero repartir (dividir) em saquinhos de 4 1 do Kg. Quantos saquinhos devo comprar? IV) Em um pomar há três tipos de árvores frutíferas sendo que 4 1 são laranjeiras, 5 2 são jabuticabeiras e 10 2 são limoeiros. Qual a fração que corresponde ao total (soma) de árvores desse pomar? v-) João Carlos é operário e ganha R$ 1400,00 por mês. Gasta 4 1 desse dinheiro com aluguel e 5 2 (desse dinheiro) com a alimentação da família. a) Qual é a fração que representa o total de gastos de João Carlos ? b) Quanto dinheiro ela representa? c) Qual o valor do aluguel? ( 4 1 desse dinheiro)? d) Quanto gasta com a alimentação? ( 5 2 de R$1400,00) www.ceesvo.com.br 36 GABARITO 1) a) 2² . 3 . 5 b) 2 . 3 . 5² c) 5 . 11 2) a) 24 c) 18 e) 40 b) 60 d) 160 f) 6 3) 12 anos em 2002 4) a)1/8 b ) 4 partes c ) 8/8 5 ) a ) 3/4 b ) 1/2 c ) 3/4 6 ) a ) 35 , 9 b ) 21, 16, 10 c) 24, 9,10 21 21 24 24 24 6 6 6 7) a ) João 8) a) 3 5 b) 40 66 c) 6 23 d) - 4 5 9) a) 24 10 b) 56 15 c) 5 6 d) 40 42 10) a) 25 4 b) 1000 343 c) 4 3 d) 2 5 11) I ) 3/7 II ) R$ 75,00 III ) 3 saquinhos IV ) 17/20 V ) a ) 20 13 b) R$ 910,00 c) R$ 350,00 d) R$ 560,00 www.ceesvo.com.br 37 MÓDULO 8 OBJETIVOS: No final desta Unidade de Ensino (U.E.), o aluno deverá : Entender uma razão como o quociente de dois números racionais em que o segundo é diferente de zero; Reconhecer se duas razões formam uma proporção; Resolver problemas simples que envolvem escalas; Resolver uma situação problema envolvendo grandezas proporcionais, utilizando a regra de três; Resolver problemas simples de porcentagem e problemas que envolvem cálculo de juros simples. ROTEIRO DE ESTUDO: - Leia com atenção observando e acompanhando as resoluções dos exemplos. - Faça os exercícios do módulo no caderno seguindo a seqüência de estudo, - Confira as respostas no gabarito. NÃO ESCREVA NA APOSTILA. FAÇA OS EXERCÍCOS EM SEU CADERNO www.ceesvo.com.br 40 EXEMPLO: A velocidade média de um carro que percorre 300 Km em 5 horas é dada pela razão: horas km 5 300 = simplificando por 5 = hora km 1 60 ou 60 Km/h (sessenta km por hora) Copie e resolva em seu caderno: 5) Calcule a velocidade média de um carro que percorreu 210 Km em 3 horas. DENSIDADE DEMOGRÁFICA Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. Exemplo: A cidade de Votorantim (SP) tem uma área aproximada de 177Km² e segundo os dados de 2003 do IBGE a população está aproximada em 110000 habitantes. Portanto, a densidade demográfica de Votorantim é dada por: População = 110000 = 621 hab/Km² Área 177 110000 177 faça esta operação na calculadora Copie e resolva em seu caderno: 6) O censo de 2000 estimou a população do estado de São Paulo em 36351316 habitantes. Calcule a densidade demográfica desse estado da região Sudeste, sabendo que a área total é de 248811Km². Faça na calculadora. Isto significa que têm 621 hab. em 1 Km² www.ceesvo.com.br 41 ESCALA Escala é a razão entre a medida do comprimento no desenho e a medida do comprimento real. Exemplo: Se a planta ou croqui (desenho) de uma casa está na escala de 1:100 ou 100 1 (1 para 100), significa que para cada 1cm do desenho corresponde a 100 cm na dimensão real. Observe: A planta a seguir foi desenhada na escala 1:100cm: Agora, responda: Quais são as dimensões reais (comprimento e largura) da cozinha, da sala e do quarto A dessa casa. Se você respondeu que as dimensões reais da cozinha são 3m por 6m, da sala são 6m por 3,5m e do quarto são 3m por 2,5m, acertou!!! quarto A banheiro 2,5cm sala 2,5cm cozinha quarto B 3cm Lembre-se!! 100cm=1m 6cm 1cm corredor 4,5cm 3,5cm 6cm 3cm 1,5cm www.ceesvo.com.br 42 PROPORCIONALIDADE A proporção no dia-a-dia: Fernando e Alex apostaram juntos numa loteria esportiva e foram premiados. Como eles devem dividir o prêmio de R$ 500 000,00, se as importâncias que Fernando e Alex apostaram estão na razão 2 para 3? Como as quantias que eles apostaram estão na razão de 3 2 é fácil concluir que: - Fernando vai receber 2 partes, portanto R$ 200 000,00. - Alex vai receber 3 partes, portanto R$ 300 000,00. A igualdade entre as razões 3 2 = 300000 ,200000 é uma proporção. A proporção também pode ser indicada da seguinte maneira: 2 : 3 = 200000,00 : 300000,00 Veja um exemplo prático de proporção: Você sabe que uma foto 3 X 4 tem 3cm de base (largura) e 4 cm de altura (comprimento) . Do mesmo modo, uma foto 6 X 8 tem 6 cm de base e 8 cm de altura. Observe as fotos da figura abaixo: Qual é a razão entre a base e a altura da foto menor? E entre a base e a altura da foto maior? Base da foto menor = 3 = 0,75 (3 dividido por 4) Altura da foto menor 4 Base da foto maior = 6 = 0,75 Altura da base maior 8 www.ceesvo.com.br 45 Copie e resolva em seu caderno: 8) Copie e calcule em seu caderno o valor desconhecido (X) nas proporções: a) 2 = X c) 12 = 15 8 12 X 5 b) 5 = 25 d) X = 9 6 X 6 2 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS O que são grandezas diretamente proporcionais? Duas grandezas são diretamente proporcionais quando ambas aumentam ou diminuem seus valores ou quantidades. 1 º Exemplo: Se um padeiro faz 60 pães com 5 Kg de farinha, quantos pães ele fará com 8 Kg de farinha? É fácil perceber que, aumentando a quantidade de farinha (primeira grandeza), a quantidade de pães (segunda grandeza) também aumentará. Logo, as duas grandezas: quantidade de farinha de trigo e quantidade de pães são diretamente proporcionais. Para resolver esse problema você deve: - montar uma tabela com duas colunas correspondentes a cada grandeza; - escrever os números nas respectivas colunas; - analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais; - resolver para calcular o termo desconhecido. Veja a montagem: Quantidade de pães Quantidade de farinha 60 5 Kg X terá que aumentar 8 Kg aumentou www.ceesvo.com.br 46 Assim, podemos escrever a seguinte proporção: X 60 = 8 5 Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 60 = 5 5• X = 60 • 8 X 8 5• X = 480 X = 480 X = 96 5 Com 5 Kg de farinha o padeiro fará 96 pães. 2º Exemplo: Um padeiro faz 80 pães com 20Kg de farinha de trigo. Quantos pães fará com 3 Kg de farinha? Quantidade de pães Quantidade de farinha 80 20 Kg X terá que dimimuir 3 Kg diminuiu É fácil perceber que diminuindo a quantidade de farinha (primeira grandeza), a quantidade de pães (segunda grandeza) também diminuirá. As duas grandezas: quantidade de farinha de trigo e quantidade de pães são diretamente proporcionais. Então: X 80 = 3 20 20 • X = 80 • 3 20 • X = 240 X = 20 240 X = 12 O padeiro fará 12 pães. Observe que: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando as duas aumentam ou as duas diminuem. www.ceesvo.com.br 47 Copie e resolva em seu caderno: 9) Resolva os problemas de acordo com os exemplos: a) Roberto comprou 15 lápis por R$ 5,00. Se comprasse 36 lápis, quanto pagaria? b) Uma torneira leva 5 horas para encher uma caixa d’água de 1000 litros de capacidade. Quantas horas levará essa torneira para encher uma caixa d’água de 3000 litros de capacidade? GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS O que são grandezas inversamente proporcionais? Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma grandeza aumenta e a outra diminui ou vice-versa: uma diminui e a outra aumenta. 1º Exemplo: Mário fez uma viagem de carro em 20 horas com uma velocidade média de 60Km/h. Qual será a velocidade média para fazer essa mesma viagem em 15 horas? Tempo gasto (h) Velocidade média (Km/h) 20 60 15 diminuiu X terá que aumentar Você percebeu que para diminuir o tempo de viagem (horas) a velocidade média do carro deve aumentar, portanto enquanto uma grandeza diminui a outra grandeza aumenta. Dizemos então, que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. Para resolver o problema temos que inverter uma das razões correspondente a uma das grandezas. Pode ser a coluna do X ou a outra. 15 20 = X 60 invertendo uma das colunas 20 15 = X 60 = 15 • X = 20 • 60 15 • X = 1200 X = 15 1200 então X = 80 A velocidade média do carro será de 80Km/h. www.ceesvo.com.br 50 Qual é o valor de 80% de 60? Veja o exemplo abaixo: Em uma partida de basquete Hortência acertou 80% dos 60 arremessos que efetuou. Quantos arremessos ela acertou? Resolver esse problema significa responder a questão: Quanto vale 80% de 60? Solução: Como 80% = 100 80 ou 0,80 você pode calcular usando a fração ou o nº. decimal fazendo: 100 80 • 60 = 100 4800 = 48 ou 0,80 . 60 = 48 Você também pode usar a regra de três ou propriedade fundamental da proporção. 100 80 = 60 X 100 • X = 80 • 60 100 • X = 480 X = 100 480 X = 48 Hortência acertou 48 arremessos que correspondem aos 80%. Copie e resolva em seu caderno: 11) De acordo com o exemplo resolva os problemas de porcentagem: a) 70% dos alunos da classe de Laura sabem nadar. Quantos alunos sabem nadar, se a classe de Laura tem 40 alunos? b) De um total de 30 alunos, 20% foram reprovados. Quantos alunos foram reprovados? c) O preço de um aparelho de som é R$500,00. Durante uma liquidação, a loja anunciou um desconto de 20%. Nessas condições: I) Qual é a quantia que corresponde ao desconto? II) Qual é o preço do aparelho com o desconto? Confira as respostas no final do módulo. www.ceesvo.com.br 51 JUROS Os juros fazem parte do nosso dia-a-dia. Uma ótica está vendendo óculos nas seguintes condições: R$ 200,00 à vista ou em 4 parcelas de R$ 70,00. Desse modo o preço dessa mercadoria a prazo sobe. Por que isso acontece? O preço dessa mercadoria, à vista, é diferente do preço a prazo, porque estão sendo cobrados juros pelo parcelamento da dívida. O juro é uma compensação em dinheiro que a empresa cobra por estar parcelando a dívida para o cliente. No caso das aplicações financeiras (poupança), o cliente é que empresta dinheiro ao banco e, por esse empréstimo, recebe uma quantia de juros. A dívida que uma pessoa contrai quando compra uma mercadoria a prazo ou, a quantia que investe quando faz uma aplicação financeira é chamada de capital. A soma do capital e juros é chamada de montante. Assim, podemos dizer que: Juro (j) é uma compensação para mais ou para menos, em dinheiro, que se paga ou que se recebe. O capital (c) é o dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado. A taxa (i) é o índice de porcentagem que se paga ou que se recebe pelo aluguel do dinheiro. O tempo (t) é o tempo pelo qual o capital fica emprestado. Exemplo: Sérgio emprestou R$2 000,00 de um banco por 4 meses a uma taxa de 3% ao mês. a) Qual a quantia que ele pagará de juros? b) Qual o total que terá de pagar no final do empréstimo? www.ceesvo.com.br 52 Solução: a) Vamos calcular quanto de juros por mês: 3% de 2000,00 = 3 = X ou 3 . 2000,00 100 2000,00 100 X = (3 . 2000,00) : 100 X = 60,00 Como o empréstimo foi feito em 4 meses, temos: 4 • 60,00 = 240,00 b) Ao todo irá pagar: 2000,00 + 240,00 = 2240,00 R.: Sérgio pagará R$240,00 de juros num total de R$2 240,00. Copie e resolva em seu caderno: 12) Resolva em seu caderno os problemas e confira as respostas no final deste módulo: a) Qual o juro produzido por R$ 2800,00 em 3 meses da aplicação, a 7% ao mês? b) Marcos comprou uma bicicleta por R$ 180,00. Pagará em 6 meses, por isso o vendedor cobrará juros à base de 3% ao mês. Quanto ele pagará de juros e qual o total que pagará pela bicicleta?