Baixe Curvas e superfícies de Bezier e B-splines e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Curvas e superfcies de Bezier e B-splines Lenimar Nunes de Andrade11 de agosto de 1999ResumoEste texto de ne, da exemplos e cita as principais propriedades das curvas de Bezier eB-splines. Estes s~ao dois tipos de curvas ou superfcies bastante utilizados em ModelagemGeometrica.Sumario1 Curvas de Bezier 12 Curvas B-splines 42.1 Propriedades das curvas B-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Alguns tipos especiais de vetor de nos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Superfcies de Bezier 74 Superfcies B-splines 81 Curvas de BezierAs curvas de Bezier foram estudadas no incio dos anos 60 por De Casteljau em umaempresa francesa, com a nalidade de criar um metodo e ciente para modelagem decarros.A ideia de De Casteljau e bastante simples. Dados n+1 pontos B0; B1; ; Bn no R3 ,de nimos uma curva P : [0; 1] ! R3 atraves de interpolac~oes lineares sucessivas: consi-deramos inicialmente a linha poligonal ligando os pontos Bi a Bi+1 com i = 0; 1; ; n1.Em seguida, para cada t 2 [0; 1] de nimos em cada segmento BiBi+1 um ponto B(1)i porinterpolac~ao linear B(1)i = tBi+(1 t)Bi+1: Construmos desse modo uma nova poligonalde nida pelos novos pontos B(1)0 ; B(1)1 ; ; B(1)n1: A linha poligonal assim obtida possuin 1 segmentos e sua construc~ao e mostrada na gura 1 (com n = 3).Prosseguindo a construc~ao acima usando a nova poligonal B(1)0 ; B(1)1 ; ; B(1)n1, aposn etapas obtemos um ponto B(n)0 2 R3 : Este ponto e, por de nic~ao, o valor de P (t).Alguns calculos simples mostram que P (t) e uma func~ao polinomial de grau n navariavel t. Alem disso, P (t) pode ser escrita como uma combinac~ao linear dos pontosDisponvel em ftp://mat.ufpb.br/pub/docs/cursos/bezier.zip1 Figura 1: Algoritmo de De CasteljauB0; B1; ; Bn na qual os coe cientes s~ao polinômios de grau n na variavel t. Por exemplo,para n = 3 obtemos queP (t) = (1 t)3B0 + 3t(1 t)2B1 + 3t2(1 t)B2 + t3B3e, por induc~ao, para qualquer n temosP (t) = nXi=0 niti(1 t)niBi:De nic~ao 1.1 Os polinômiosJni(t) = niti(1 t)ni; t 2 [0; 1]utilizados para de nir as curvas de Bezier s~ao chamados polinômios de Bernstein.Os gra cos de alguns polinômios de Bernstein J40; J41; J42; J43 e J44 s~ao mostradosna gura 2. Figura 2: Polinômios de BernsteinA equac~ao de P (t) em func~ao dos polinômios de Bernstein foi descoberta por P. Beziertambem no incio da decada de 60, sem ter conhecimento do trabalho de De Casteljau. A2 Figura 5: Nik com vetor de nos uniforme X = ( 0 1 2 3 4 5 6 ); n = k = 3 Figura 6: X = (0 0 0 1 1 3 3 3) Figura 7: X = (0 0 0 2 2 3 3 3 )e Nik(t) = (t xi)Ni;k1(t)xi+k1 xi + (xi+k t)Ni+1;k1(t)xi+k xi+1 :2.1 Propriedades das curvas B-splines P (t) e uma curva polinomial por partes de grau k 1 em cada intervalo [xi; xi+1]. As derivadas de P (t) de ordens 1; 2; ; k 2 s~ao func~oes contnuas (ou sejaP 2 Ck2). Nik(t) 0 e Pn+1i=1 Nik(t) = 1. Quando o polgono de controle e plano, a curva B-spline esta contida na uni~ao dosfechos convexos de k pontos vizinhos desse polgono (veja gura 4). A curva B-spline possui invariância a m. Isto signi ca que transformac~oes aplicadasaos pontos da curva e aos pontos do polgono de controle podem ser comutadas. A curva B-spline possui controle local. Isto signi ca que modi cac~oes feitas em umponto do polgono de controle afetam apenas uma vizinhanca de pontos e n~ao acurva inteira (veja gura 8 onde foi modi cada a posic~ao do ponto B5).5 Figura 8: Controle local de uma curva B-spline2.2 Alguns tipos especiais de vetor de nosVetor de nos uniforme Os xi s~ao igualmente espacados, como por exemplo emX = ( 0 1 2 3 4 5 ):Vetor de nos aberto-uniforme O primeiro e o ultimo xi s~ao repetidos k vezes e osnos internos s~ao igualmente espacados. Alem disso, o primeiro xi deve ser igual a 0e o ultimo igual a n k + 2, como no seguinte exemplo:X = ( 0 0 0 1 2 3 3 3 ): Figura 9: Curvas B-spline com k = 2; 3; 46 De um modo geral, um vetor de nos aberto-uniforme e tal quexi = 8<: 0 se 1 i ki k se k + 1 i n+ 1n k + 2 se n + 2 i n + k + 1Quando n = k e o vetor de nos e aberto-uniforme, a curva B-spline reduz-se a umacurva de Bezier.Vetor de nos n~ao-uniforme Podem n~ao ser igualmente espacados ou ter repetic~ao nosnos internos como nos seguintes exemplos:X1 = ( 0 0 0 1 1 2 2 2 )X2 = ( 0 1=5 1=4 1=3 1 1 4 )Uma alterac~ao no vetor de nos pode levar a mudancas radicais no formato dos vetoresbasicos Nik(t) de uma curva B-spline. A gura 5 mostra alguns gra cos dos Nik quandoo vetor de nos e uniforme. As guras 6 e 7 mostram gra cos com vetores de nos n~ao-uniformes.Alterac~oes no valor de k levam a mudanca nos graus das func~oes polinomias porpartes (que s~ao de graus k 1) e mudancas signi cativas na curva B-spline (veja gura9). Quando k = 2 a curva B-spline coincide com o polgono de controle. A medida quek aumenta, a curva torna-se mais suave e mais distante do polgono.Alem das curvas B-splines e curvas de Bezier, s~ao muito utilizadas em ModelagemGeometrica as curvas B-splines racionais que s~ao as curvas cujos polinômios basicos s~aoda forma Rik(t) = hiNik(t)Pn+1i=1 hiNik(t)onde hi 0; 8i: As curvas B-splines racionais constituem uma famlia muito impor-tante de curvas para a Modelagem Geometricas porque permitem construc~oes bastanteaproximadas de circunferências e das cônicas de um modo geral.Quando o vetor de nos de uma curva B-spline racional n~ao e uniforme ent~ao temos oque se chama NURBS (Non Uniform Rational B-Spline).3 Superfcies de BezierA ideia de curva de Bezier pode ser \generalizada" para superfcies dando origem aoque chamamos superfcie de Bezier.Sejam Bij; i = 0; ; m; j = 0; ; n; um conjunto de pontos no R3 de tal formaque sua projec~ao no plano x0y seja formada pelos vertices de mn retângulos de mesmasdimens~oes (congruentes). A superfcie de Bezier de nida pelos Bij e a superfcieQ : [0; 1] [0; 1] ! R3 tal queQ(u; v) = nXi=0 mXj=0 BijJni(u)Kmj(v)7 Figura 11: Controle local em superfcies B-splines 10 Figura 12: B-splines racionais Figura 13: B-splines racionais 11