Baixe Cálculo I Primeiro Bimestre Professor Chaves Aluno (a Departamento e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! Cálculo I Primeiro Bimestre Professor Chaves Aluno (a): ___________________________ Departamento de Engenharia Mecânica UNITAU 2009 1 Aula 01 Apresentação 01 Boas Vindas ! EDUCAÇÃO CONTINUADA ... “Para que o Brasil se recupere economicamente, é indispensável eliminarmos a grande defasagem tecnológica e intelectual que temos com relação ao Primeiro Mundo. A luta pela recuperação do tempo perdido faz-se notar entre profissionais de todos os níveis hierárquicos de todas as indústrias. A resposta das empresas a este problema tem sido sobretudo via treinamento e cursos, e o número de indivíduos preocupados com sua reciclagem profissional aumenta cada vez mais” ... Gisela Kassoy Especial para a Folha de São Paulo, 29 de Maio de 1986 Nós o felicitamos por sua visão e atitude. Quando você decidiu estudar na UNITAU, demonstrou sua vontade de progredir. 4 06 Ementa da disciplina PRIMEIRO BIMESTRE: Limites de funções SEGUNDO BIMESTRE: Derivadas de funções TERCEIRO BIMESTRE: Integrais de funções QUARTO BIMESTRE: Aplicações a problemas da Engenharia 07 Programa da disciplina Limites de funções a. Definição Intuitiva b. Gráficos complexos c. Propriedades operatórias dos limites d. Cálculo de Limites das funções e. Limites no infinito f. Limites infinitos g. Limites fundamentais h. Continuidade de funções 5 2. Derivadas de funções a. Definição i. Interpretação física ii. Retas tangente e normal ao gráfico. iii. Taxa de variação. b. Derivadas de polinômios, de funções trigonométricas e exponenciais c. Regras de derivação d. Derivadas implícitas e. Esboço de gráficos i. Crescimento e decrescimento de curvas ii. Concavidade e pontos de inflexão iii. Máximos e mínimos iv. Estudo de taxas v. Parábolas e cúbica vi. Gráfico conjunto de função e suas derivadas f. Aplicações de máximos e mínimos g. Teorema de L'Hospital 3. Integrais de funções a. Definição de integral indefinida b. Soma de Riemann c. Definição de integral definida via somas de Riemann d. Propriedades operacionais e. Teorema fundamental do Cálculo f. Primitiva de uma função g. Mudança de variáveis h. Integração por partes i. Integração de funções racionais. j. Integração de funções trigonométricas k. Cálculo de área 6 08 Da Avaliação • A avaliação do desempenho dos alunos será realizada através de QUATRO PROVAS (uma por bimestre), de acordo com as normas da UNITAU. Segundo o Estatuto da Universidade, quando a avaliação do aluno for: Média final < 4 o aluno está reprovado Média final ≥ 6 o aluno está aprovado 4 ≤ Média final < 6 o aluno deverá fazer uma Prova de Exame Final na qual será cobrada toda matéria. Neste caso, a nota necessária para aprovação no Exame Final deverá ser: 10,0 − Média final PROVA SUBSTITUTIVA: UMA POR SEMESTRE 09 Da Didática A abordagem metodológica para as aulas da disciplina é variada, dependendo do tipo de conteúdo trabalhado. Partindo de problemas em que os conteúdos de cálculo são utilizados, os alunos, em grupo, procuram soluções, sob a orientação do professor. Para fundamentar o estudo, há aulas expositivas-dialogadas e consulta à bibliografia indicada. 9 13 O que ajuda na aprendizagem • Estudar em grupo • Ensinar • Presença às aulas • Estudo semanal • Interesse • Participação • Dedicação • Etapas do estudo: o Teoria o Exercícios resolvidos o Exercícios propostos o Exercícios do livro-texto 14 Valor das Ações Em aula, entendemos. Em casa, aprendemos. Em nosso sono, fixamos. Com lápis e papel, fixamos melhor. Fixamos para a vida toda estudando todos os dias. Fixamos apenas por um período curto estudando na véspera da prova. 10 15 Os Pais do Cálculo Isaac Newton, Sir (1642-1727) Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) 11 16 Sites 1 • Cálculo On-Line http://ecalculo.if.usp.br/ 2 • Primeiro, Segundo e Terceiro Grau http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/ 3 • Curso de cálculo (funções, limites e derivadas) http://www2.dem.inpe.br/hans/cdia/ 4 • Curso de cálculo (derivadas, diferenciais e integrais) http://www2.dem.inpe.br/hans/cdib/ 5 • Curso de cálculo 1 (derivadas, diferenciais e integrais) http://www2.dm.ufscar.br/~sampaio/calculo1.html 6 • Curso de cálculo 1 (derivadas, diferenciais e integrais) http://www.dmn.im.ufrj.br/projeto/hipertextos.html 7 • Livros usados pela Internet http://www.estantevirtual.com.br 14 02 Aplicações de limites ENGENHARIA ECONÔMICA RENDA VITALÍCIA Fórmula do valor presente P de uma série uniforme formada por n capitais postecipados A, considerando a taxa de juro i: i i)(1 1 i)(1 A P n n ⋅+ −+ ⋅= Na série perpétua o número de capitais da série uniforme tende a infinito. Tecnicamente é o cálculo do limite de P da série uniforme para ∞→n :       ⋅+ −+ ⋅= →∞ i i)(1 1 i)(1 A Lim P n n n       ⋅+ −+ ⋅= →∞ i i)(1 1 i)(1 Lim A P n n n       ⋅+ − ⋅+ + ⋅= →∞ i i)(1 1 i i)(1 i)(1 Lim A P nn n n       ∞ −⋅= 1 i 1 A P i 1 A P ⋅= 15 03 Aplicações de derivadas FENÔMENOS DE TRANSPORTE II (SISTEMAS TÉRMICOS) LEI DE FOURIER DA CONDUÇÃO DE CALOR: A quantidade de calor transferida por condução, na unidade de tempo, em um material, é igual ao produto das seguintes quantidades: dx dT Akq ××−=& onde, q& fluxo de calor por condução ( Kcal/h no sistema métrico); k condutividade térmica do material; A área da seção através da qual o calor flui por condução, medida perpendicularmente à direção do fluxo ( m2); dx dT gradiente de temperatura na seção, isto é, a razão de variação da temperatura T com a distância, na direção x do fluxo de calor ( oC/h ) . 16 04 Aplicações de diferenciais Condução de Calor em uma parede plana dTCd ⋅=Q dt dQ =Φ ⇒ dt dQ =Φ ⇒ Qddt =⋅Φ ⇒ dtd ⋅Φ=Q ⇒ dTCd ⋅=⋅Φ t A integração da equação acima, entre os limites de integração fornece: t o eTTT α−⋅∆+= 19 02 Constantes especiais Pi (π) 3,141592653589793238462643 ... Número de Euler Base natural de Logaritmos (e) 2,718281828459045235360287 ... 1 radiano (1 rad) o L82322957795130,57 180 o = π 1 grau (1o) radL9219943295760174532925,0 801 = π 03 Símbolos Especiais Infinito ∞ Del ∂ Nabla ∇ 20 04 Relações Trigonométricas F1 xcos sen x x tg = F2 sen x x cos x tg 1 x cotg == F3 xcos 1 x sec = F4 sen x 1 x cosec = F5 1 x cos xsen 22 =+ F6 ( ) 22 sen x xsen = F7 1 x tag xsec 22 =− F8 1 x cotag xcosec 22 =− F9 xcossen x22x sen ⋅⋅= F10 xsen xcos2x cos 22 −= F11 xsen212x cos 2⋅−= F12 1 xs22x cos 2 −⋅= co 21 05 Valores exatos das funções trigonométricas de vários ângulos Graus radianos seno cosseno tangente 0o 0 0 1 0 15o π/12 ( )26 4 1 − ( )26 4 1 + 32 − 30o π/6 1/2 2 3 3 3 45o π/4 2 2 2 2 1 60o π/3 2 3 1/2 3 75o 5π/12 ( )26 4 1 + ( )26 4 1 − 32 + 90o π/2 1 0 ±∞ 105o 7π/12 ( )26 4 1 + ( )26 4 1 −− ( )32 +− 120o 2π/3 2 3 −1/2 3− 135o 3π/4 2 2 2 2 − −1 150o 5π/6 1/2 2 3 − 3 3 − 165o 11π/12 ( )26 4 1 − ( )26 4 1 +− ( )32 −− 180o π 0 −1 0 24 Graus Radianos cotangente secante cossecante 195o 13π/12 32 + ( )26 −− ( )26 +− 210o 7π/6 3 3 32 ⋅ − −2 225o 5π/4 1 2− 2− 240o 4π/3 3 3 −2 3 32 ⋅ − 255o 17π/12 32 − ( )26 +− ( )26 −− 270o 3π/2 0 ±∞ −1 285o 19π/12 ( )32 −− 26 + ( )26 −− 300o 5π/3 3 3 − 2 3 32 ⋅ − 315o 7π/4 −1 2 2− 330o 11π/6 3− 3 32 ⋅ −2 345o 23π/12 ( )32 +− 26 − ( )26 +− 360o 2π ±∞ 1 ±∞ 25 01 Potenciação DEFINIÇÃO • POTENCIAÇÃO ou EXPONENCIAÇÃO é uma operação aritmética que indica a multiplicação de uma dada base por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente. 4434421 K fatores n n a aa a ⋅⋅⋅= P1 • 1 a0 = P2 • a a1 = P3 • n n - a 1 a = P4 • a a a n mnm +=⋅ P5 • a a a n m n m −= P6 • ( ) nnn b a ba ⋅=⋅ P7 • n nn b a b a =      P8 • ( ) n mn a ⋅=ma 26 02 Radiciação DEFINIÇÃO A RADICIAÇÃO é a operação matemática oposta à POTENCIAÇÃO x a n = ⇔ a xn = x: raiz enésima de a a: radicando n: índice da raiz : radical R1 • 0 0 n = R2 • nnn ba b a ⋅=⋅ R3 • n n b a =n b a R4 • nm m n a a ⋅= R5 • ( ) n mm n a a = R6 • a a a nm n m −= R7 • Potência de expoente fracionário n mn m a =a 29 05 Conceito de Função • O conceito de FUNÇÃO é uma generalização da noção comum de "FÓRMULA MATEMÁTICA". • FUNÇÕES descrevem relações matemáticas entre dois objetos, x e y = f(x). O objeto x é chamado de variável independente e o objeto y que depende de x é chamado de variável dependente. • DOMÍNIO, CONTRA-DOMÍNIO e IMAGEM: uma função liga um conjunto "domínio" (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto o "contra-domínio" de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente um elemento do contra-domínio. O conjunto dos elementos do contra-domínio que são relacionados pela f a algum x do domínio, é chamado de conjunto "imagem" . • UNICIDADE DA IMAGEM: uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). • Uma FUNÇÃO pode ser especificada através de: • Uma Fórmula. • Um relacionamento gráfico entre diagramas representando os dois conjuntos. • Uma regra de associação. • Uma tabela de correspondência. • Entre conjuntos numéricos é comum representar funções por seu Gráfico. • Uma função pode ser vista como uma "máquina" ou "caixa preta" que converte entradas válidas em saídas de forma unívoca. • O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento e o valor da função são ambos numéricos, o relacionamento entre os dois é expresso por uma fórmula e o valor da função é obtido através da substituição direta dos argumentos. • DEFINIÇÃO FORMAL: Sejam D e I dois conjuntos quaisquer. Uma função f definida em D é uma regra ou lei de correspondência que associa a cada elemento do conjunto D um único elemento do conjunto I. 30 Aula 04 Derivadas na Física CINEMÁTICA DA PARTÍCULA dt d VVelocidade S = dt dV AAceleração = Exemplo O movimento de uma partícula é definido pela relação 10t36t15t2S 23 −⋅+⋅−⋅= , onde S é expresso em metros e t em segundos. Determinar a posição, velocidade e aceleração da partícula quando t = 4 segundos. 31 Tabela de Derivadas 01 [ ] 0= dx cd 02 [ ] 1= dx xd 03 [ ] x dx xd ⋅= 2 2 04 [ ] 23 3 x dx xd ⋅= 05 [ ] 34 4 x dx xd ⋅= 06 [ ] 1−⋅= n n xn dx xd 34 Tabela de Integrais 01 [ ] xdx =∫ 1 02 [ ] 2 2 x dxx =∫ 03 [ ] 3 3 2 xdxx =∫ 04 [ ] 4 4 3 xdxx =∫ 05 [ ] 1 1 + = + ∫ n x dxx n n 35 Atividade Prática 02 1. A aceleração de uma partícula é definida pela relação ( )31t2A −⋅= . A partícula inicia o movimento em t = 0 com v = −4 e s = 1 metro. Determinar a posição da partícula quando t = 4 segundos. 2. A aceleração de uma partícula é definida pela relação ( )32 5t2A −⋅= . A partícula inicia o movimento em t = 0 com v = −1 e s = 2 metros. Determinar a posição da partícula quando t = 2 segundos. 36 Aula 06 Limite de função: Definição intuitiva 1 Introdução O conceito de limite de função é fundamental para a definição do conceito de derivada de uma função, uma das ferramentas do cálculo. O objetivo desta aula é dar uma definição de LIMITE de uma maneira intuitiva. Temos algumas tarefas pela frente: • Entender a notação ( )xLim ax F → • Atribuir significados a ( ) LxLim ax F = → • Desenvolver mecanismos para calcular limites • Conhecer alguns Teoremas sobre Limites • Fazer extensões para o conceito de limite • Estudar as formas "indeterminadas" 39 4 Ponto Comum e Ponto Especial Dada a função 1x 1 x y 2 − − = se x = 2, então 3 1 3 1 14 12 12 y(2) 2 == − = − − = x = 2 é um Ponto Comum. se x = 1, então ? 0 0 0 11 11 11 y(1) 2 == − = − − = x = 1 é um Ponto Especial. 0 0 simboliza uma indeterminação matemática. 40 5 Limite num ponto especial Estudemos f(x) quando x assume valores próximos de 1, mas diferente de 1. Para isto, vamos utilizar Tabelas de Aproximações. Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores do que 1: x 0,9 0,99 0,999 0,9999 ... y 9,1 99,1 999,1 9999,1 Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores do que 1: x 1,1 1,01 1,001 1,0001 ... y 1,2 01,2 001,2 0001,2 Observamos que podemos tornar f(x) tão próximo de 2, quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. De outra forma, dizemos: O limite da função f(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 é igual a 2. Simbolicamente escrevemos: 2 )( 1 = → xfLim x ou 2 1 = → yLim x ou 2 1 1 2 1 =      − − → x x Lim x 41 ou 1 →x 2 →y 5 Limites Laterais Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 dizemos que x tende a 1 pela esquerda, e denotamos simbolicamente por −→ 1 x Temos então o Limite Lateral Esquerdo: 2 1 1 2 1 =      − − −→ x x Lim x O sinal negativo no expoente do número 1 simboliza apenas que x se aproxima do número 1 pela esquerda. Tal limite é observado através da tabela de aproximações: x 0,9 0,99 0,999 0,9999 ... y 9,1 99,1 999,1 9999,1 Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 dizemos que x tende a 1 pela direita, e denotamos simbolicamente por +→ 1 x Temos então o Limite Lateral Direito: 2 1 1 2 1 =      − − +→ x x Lim x O sinal positivo no expoente do número 1 simboliza apenas que x se aproxima do número 1 pela direita. 44 7 Definição intuitiva de limite ( ) LxLim ax F = → se e somente se ( ) ( ) LxLimxLim axax F F == +− →→ Se ( ) ( )xLimxLim axax F F +− →→ ≠ ( )xLim ax F → ∃/ 45 8 O conceito de limite de função O conceito de limite: uma extensão do conceito de função num ponto L F( a = → )x x Lim Lê-se: “o limite de F(x) quando x tende a a é L.” • F(x) se aproxima de L, quando x se aproxima de a, mas sem atingir o número a. • Para valores de x suficientemente próximos de a, os valores de F(x) estão próximos de L. • F(x) tende para L, quando x tende para a . 46 Entendendo )F( a xLim x → Através da expressão 2 2 xLim x → , queremos, em primeiro lugar, dizer que 2 →x , isto é x assume valores cada vez mais próximos de 2, mas não é 2. Em segundo lugar, para cada x, F(x), isto é, o correspondente valor de x2, é um número que não é 4 − pois x não é 2 − e tende a algum valor que denominamos "limite de g(x) quando x tende a 2". Atividade Prática 03 Exercício 1 Encontrar ( )2x7xLim x +⋅−⋅ → 2 3 3 Resp.: 8 Exercício 2 Encontrar 1 2 3 1 − + −→ x 1x Lim x Resp.: 5,1− Exercício 3 Encontrar 1 1 2 1 − − +→ x x Lim x Resp.: 2 + 49 3 Limite infinito: função crescendo ou decrescendo indefinidamente Para a função X 1 Y = , o que ocorre quando X vale 0. 0 1 )0( =Y O símbolo matemático 0 1 representa uma impossibilidade. Vamos analisar o que ocorre com os valores de X 1 Y = , quando X tende a 0: Atribuindo a X valores próximos de 0, temos: x 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 ... y 10 100 000.1 000.10 000.100 Os cálculos acima nos mostram que, para X cada vez mais próximo de 0 , os valores de Y(X) se tornam cada vez maiores (cresce indefinidamente). Dizemos que o limite de Y(X), para X tendendo a 0, vale + ∞. Escrevemos: X → 0 ⇒ Y(X) → + ∞. ou Lim Y ( X ) = + ∞. X → 0 50 Atividade Prática 04 Exercício 1 Encontrar 3x x Lim 3x −+→ Resp.: ∞+ Exercício 2 Encontrar 3x x Lim 3x −−→ Resp.: ∞− Exercício 3 Encontrar 3x x Lim 3x −→ Resp.: Não existe o limite Exercício 4 Encontrar 2 3 2 + + ∞+→ x x Lim x Resp.: 0 Exercício 5 Encontrar 2 + + ∞+→ x 3x Lim 2 x Resp.: ∞+ 51 Aula 08 Limite de função: Construindo gráficos complexos 1 Introdução O conceito de limite é fundamental para a elaboração de gráficos complexos. Curva Normal da Estatística: 54 2 Roteiro Intercepto .1 Raízes .2 :Especiais Pontos .3 L )F( . = ∞+→ xLima x L )F( . = ∞−→ xLimb x ∞±= → )F( . xLimc ax Exemplo: Dar o gráfico da função x 1 x y − = usando limites. Qual é o intercepto de x 1 x − =y Quais são as raízes de x 1 x − =y 55 Quais são os Pontos Especiais: • ∞+= x • ∞−= x • 0 =x • ∞+= x ⇒ yLimx ∞+→ X 1 10 100 1.000 ... +∞ Y 0 9,0 99,0 999,0 ... 1 CONCLUSÃO: • 1 = ∞+→ yLim x • ∞−= x ⇒ yLimx ∞−→ X -1 -10 -100 -1.000 ... Y 2 1,1 01,1 001,1 CONCLUSÃO: • 1 = ∞−→ yLim x 56 0 =x += 0 x ⇒ yLim x 0 +→ X 0,1 0,01 0,001 0,0001 ... Y 9− 99− 999− 9999− CONCLUSÃO: x tende a zero através de valores maiores do que zero. (LIMITE LATERAL À DIREITA) • +→ 0 x ∞−→ y • ∞−= +→ 0 yLim x −= 0 x ⇒ yLim x 0 −→ x -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 ... y 11 101 001.1 001.10 CONCLUSÃO: x tende a zero por valores menores do que zero. (LIMITE LATERAL À ESQUERDA) • −→ 0 x ∞+→ y • ∞+= −→ 0 yLim x 59 Aula 09 Limite de função: Propriedades dos limites 1 Introdução Podem ser usadas para calcular muitos limites sem apelar para a utilização de tabelas. 2 Propriedades dos limites LINEAR • ( ) n am n x m a x +⋅=+⋅ → Lim A • [ ] g(x) f(x) g(x) f(x) a x a x a x →→→ ±=± LimLimLim B • [ ] f(x) c f(x)c a x a x →→ ⋅=⋅ LimLim C • [ ] g(x) f(x) g(x)f(x) a x a x a x →→→ ⋅=⋅ LimLimLim D • g(x) f(x) g(x) f(x) a x a x a x → → → =      Lim Lim Lim E • [ ] n a x n a x f(x) f(x)    = →→ LimLim 60 F • [ ] [ ]n a x n a x f(x) f(x) →→ = LimLim G • [ ]{ } [ ]{ }f(x) f(x) a x a x →→ = LimLnLnLim H • [ ]{ } [ ]{ }f(x) f(x) a x a x →→ = LimcoscosLim I • [ ]{ } [ ]{ }f(x) f(x) a x a x →→ = LimsensenLim J • [ ]{ } [ ]f(x) a x f(x) a x e e → → = Lim Lim Exemplo 1 Encontrar ( ).5x3 x 2 2 x +⋅+ → Lim Resp.: 15 Exemplo 2 Encontrar x 5 x 33 x 7 Lim − − → Resp.: 10 1 − Exemplo 3 Encontrar x 4 2 x 1x4Lim +⋅− −→ Resp.: 5 61 Atividade Prática 06 Exercício 1 Encontrar ( )2x6xLim 4 1x +⋅+− −→ 5 Resp.: 9 Exercício 2 Encontrar 4 3x2Lim x +⋅ → Resp.: 3,32 Exercício 3 Encontrar ( ) 3/2 7x 2x3Lim +⋅ → Resp.: 8,088 Exercício 4 Encontrar ( )xgcotxcosxsen2Lim x 2 / +−⋅ → π Resp.: 2 Exercício 5 Encontrar ( )x4Lim x 4x ⋅+ → e Resp.: 70,598 O número de Euler e É um número de valo aproximado 2,71828, chamado base natural. Exercício 6 Encontrar ( ) 4/1 3/1x 3x2Lim +⋅ −→ Resp.: 1,236 Exercício 7 Encontrar 4 xhsen 2x Lim → usando a definição de seno hiperbólico e a tecla HYP SIN da SVPAM. Resp.: 0,907 Funções hiperbólicas Ao observar um fio usado para transporte de energia elétrica, preso em dois postes, notamos que o peso do mesmo faz com que ele fique meio arredondado, dando a impressão que o gráfico formado pela curva representa uma parábola, mas na verdade, tal curva é o gráfico da função co-seno hiperbólico, conhecida como a catenária. 2 xexe xhsen −− = 2 xexe xhcos −+ = 64 Aula 11 Limite de função: Cálculo de função derivada usando limite 1 Introdução O conceito de limite de função é fundamental para a definição do conceito de derivada de uma função, uma das ferramentas do cálculo. O objetivo desta aula é dar uma definição de DERIVADAS usando o conceito de LIMITE. 2 Definições de Função Derivada • x )()x( 0 x ∆ −∆+ = →∆ xfxf Lim dx dy • )()( 0 h h xFhxF Lim dx dy −+ = → • x 0 x ∆ ∆ = →∆ y Lim dx dy 65 Calcule a derivada da função y = x2 usando a definição: x )()x( 0 x ∆ −∆+ = →∆ xfxf Lim dx dy y = f(x) = x2 f(x + ∆ x) = (x + ∆ x)2 = x2 + 2x.∆ x + (∆ x)2 f(x + ∆ x) - f(x) = x2 + 2x.∆ x + (∆ x)2 - x2 f(x + ∆ x) - f(x) = 2x.∆ x + (∆ x)2 ∆ y = f(x + ∆ x) - f(x) ∆ y = 2x.∆ x + (∆ x)2 ( ) x xxx2 x y 2 0 x 0 x ∆ ∆+∆⋅⋅ = ∆ ∆ = →∆→∆ LimLim dx dy ( ) x x xx2 0 x ∆ ∆⋅∆+⋅ = →∆ Lim dx dy ( ) x2xx2 0 x ⋅=∆+⋅= →∆ Lim dx dy 66 Atividade Prática 08 Exercício 01: Calcular a derivada de 3 )( xxF = usando a definição )()( 0 h h xFhxF Lim −+ → Resp.: 23 )( xxF ⋅=′ Exercício 02: Calcular a derivada de 5xx2x 2 −+⋅+= 3 Y usando a definição H ) Y( H) Y( xx Lim 0H −+ → . Resp.: 1x4x3 2 +⋅+⋅ 69 Exemplo 2: Calcule a derivada da função y = x2 no ponto x=4 usando a definição: )()( )( xox xofxf Limxo dx dy xox − − = → Atividade Prática 09 Exercício 01: Calcular a derivadas de 1x5x)x(F −⋅+⋅= 23 no ponto x =2 usando a definição )()( )( xox xoFxF LimxoF xox − − =′ → Resp.: 17 Exercício 02: Calcular a derivadas de 4x)x(F = no ponto x =2 usando a definição x )()x( )( 0 x ∆ −∆+ =′ →∆ xoFxoF LimxoF . Resp.: 32 Exercício 03: Calcular a derivadas de 5xx2x 2 −+⋅+= 3 Y no ponto x =2 usando a definição )()( )( xox xoFxF LimxoF xox − − =′ → . Resp.: 21. Exercício 04: Calcular a derivadas de 5xx2x 2 −+⋅+= 3 Y no ponto x =2 usando a definição x )()x( )( 0 x ∆ −∆+ =′ →∆ xoFxoF LimxoF .. Resp.: 21. 70 Aula 13 Limite de função: Limites no Infinito 1 Introdução Analisamos nesta aula o comportamento das funções para valores de x muito grandes e muito pequenos, tomando para x valores suficientemente elevados e elevados negativamente (x cresce ilimitadamente e x decresce ilimitadamente) . )F( xLim x ∞+→ . )F( xLim x ∞−→ 2 Propriedades • 0 n = ∞+→ x k Lim x • 0 n = ∞−→ x k Lim x 71 3 Propriedades dos limites Simbolicamente Resultado 01 ∞±∞± ∞± 02 ∞−∞ indeterminação 03 k +∞+ ∞+ 04 k +∞− ∞− 05 )()( +∞⋅+∞ ∞+ 06 )()( −∞⋅+∞ ∞− 07 k)( ⋅+∞ 0 se >∞+ k 08 k)( ⋅−∞ 0 se >∞− k 09 0⋅∞± açãoindetermin 10 ∞± k 0 11 ∞± ∞± açãoindetermin 12 0 0 açãoindetermin 74 Aula 14 Limite de função: Limites infinitos 1 Introdução Analisamos nesta aula o comportamento das funções que quando x está próximo de a ( ax → ), f(x) cresce ou decresce ilimitadamente, f(x) se torna tão grande ou tão pequeno ao tomarmos valores de x bastante próximos de a ( ∞+→ )x(f ou ∞−→ )x(f ) . +∞= +→ F(x) ax Lim . −∞= −→ )F( x xLim a . +∞= ∞+→ )F( xLim x . etc 2 Propriedades • +∞= +→ n 0 x k Lim x •    ∞− ∞+ = −→ ímpar én se par én se n 0 x k Lim x 75 3 Propriedades dos limites Simbolicamente Resultado 1 +0 k 0 se >∞+ k 2 + ∞ 0 ∞+ 3 −0 k 0 se >∞− k 4 − ∞ 0 ∞− 5 0 0 açãoindetermin Exemplo 1 Calcular       → 1 20 x Lim x Resp: ∞+ 76 Exemplo 2 a) Calcular 3 6xx 1xx Lim 2 2 2x −+ +⋅+ +→ Resp: ∞+ b) Calcular 3 6xx 1xx Lim 2 2 2x −+ +⋅+ −→ Resp: ∞− c) Calcular 3 6xx 1xx Lim 2 2 2x −+ +⋅+ → Resp: Não existe Atividade Prática 10 Exercício 01 Determinar 3x x Lim 3x −+→ Resp.: ∞+ Exercício 02 Determinar 3x x Lim 3x −−→ Resp.: ∞− Exercícios 03 Determinar 3x x Lim 3x −→ Resp: Não existe o limite 79 Atividade Prática 11 Exercício 01 Determinar ( ) ( )x x Lim 0x ⋅ ⋅ → 4 sen 3 sen Resp: 3/4 Exercício 02 Determinar ( )[ ] x1Ln Lim x/1 0 x + → Resp: 1 80 Aula 16 Limite de função: Continuidade 1 Introdução A função F(x) definida ou não, a existência ou não de )F( xLim ax → e a igualdade ou não de F(a) com )F( xLim ax → permitem avaliar o comportamento contínuo ou não da função F(x). F(a))F( = → xLim ax 2 Funções contínuas e descontínuas Exemplos de gráfico de funções contínuas. 81 Exemplo de gráfico de funções descontínuas. 84 Aula 17 Limite de função: Exercícios Complementares 1. Calcular 1e x2 Lim x0x − ⋅ → Resp.: 2. 2. Calcular xcotx )x2cos( xsen 5/ x g Lim − ⋅− →π Resp.: − 0,3727 (notação decimal, com 4 casas decimais) − 0,372653256 (notação normal) − 3,7 x 10−1 (notação científica com 2 dígitos significativos) 3. Calcular 1x5x 2x6x Lim 2 2 x −⋅−− −⋅+⋅ ∞→ 4 Resp.: − 4 4. Calcular 4x x Lim 2x − − −→ 2 1 Resp.: ∞− 85 Aula 18 Limite de função: Modelo de Prova 1. Valor 3 pontos: Calcular o limite: 18x92x7 3x4 30x22x4 3 x Lim +⋅−⋅+⋅ −⋅+⋅ −→ Resp.: 57 22 − 2. Valor 2 pontos: Calcular o limite: 4 2 −⋅ + → )xsenh(2 1x Lim 5 2 x Resp.: 42,0 (notação decimal, com 2 casas decimais) 3. Valor 3 pontos: Calcular a derivada de 12345 )( 32 −⋅+⋅+⋅−= xxxxF no ponto x = − 2 usando a definição )()( 00 0 h h xFhxF Lim −+ → Resp.: 54 4. Valor 2 pontos: O movimento de uma partícula é definido pela relação ( )22 2t6tS −⋅+= , onde S é expresso em metros e t em segundos. Determinar a aceleração da partícula quando t = 2 seg.