Baixe Probabilidade e Estatística apostila 4 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia de Petróleo, somente na Docsity! UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – ESTATÍSTICA PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 1 IV - MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE) Muitas vezes o cálculo da média para um conjunto de valores não é suficiente para caracterizar uma distribuição ou conjunto de valores. Ex.: Uma empresa opera em três turnos e no final de cada semana, a produção apresentada foi a seguinte: Dias Turnos Segunda Terça Quarta Quinta Sexta I 150 150 150 150 150 II 70 130 150 180 220 III 15 67 117 251 300 Ex.: Suponha que se deseja comparar a performance de dois empregados com base na produção diária de uma peça: A = 70, 71, 69, 70, 70 B = 60, 80, 70, 62, 83 As medidas de dispersão proporcionam um conhecimento mais completo do fenômeno a ser ana- lisado, permitindo estabelecer comparações entre fenômenos de mesma natureza e mostrando até que ponto os valores se distribuem acima ou abaixo da tendência central. 1 - Variância É a média dos quadrados dos desvios.  Dados não tabulados: n XX i  2 2 )(  para dados populacionais 1 )( 2 2     n XX S i  para dados amostrais  Dados tabulados: n fiXX i  2 2 )(  para dados populacionais 1 )( 2 2     n fiXX S i  para dados amostrais UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – ESTATÍSTICA PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 2 1.1 - Propriedades da Variância 1ª - Somando ou subtraindo, um valor constante e arbitrário, a cada elemento de um conjunto de números, a variância não se altera. 2ª - Multiplicando ou dividindo, por um valor constante e arbitrário, cada elemento de um conjun- to de números, a variância fica multiplicada ou dividida pelo quadrado da constante. 2 - Desvio Padrão É a raiz quadrada da variância. 2   para dados populacionais 2SS   para dados amostrais 2.1 - Propriedades do Desvio Padrão 1ª - Somando ou subtraindo, um valor constante e arbitrário, a cada elemento de um conjunto de números, o desvio padrão não se altera. 2ª - Multiplicando ou dividindo, por um valor constante e arbitrário, cada elemento de um conjun- to de números, o desvio padrão fica multiplicada ou dividida pela constante. 3 - Coeficiente de Variação É a comparação, em percentual, entre o desvio padrão e a média. 100. X CV   para dados populacionais 100. X SCV   para dados amostrais EXERCÍCIOS 1) Dois estudantes obtiveram os seguintes resultados em 5 provas, realizadas ao longo do ano letivo: A = 40 - 50 - 60 -70 - 80 B = 20 - 40 - 60 - 80 - 100 Analisar a performance dos 2 alunos. 2) Um teste foi aplicado a dois grupos de 50 alunos e apresentou os seguintes resultados: Grupo Média das Notas Desvio Padrão das Notas A 6 2 B 6,2 1,5 Baseado no coeficiente de variação analise os resultados. UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – ESTATÍSTICA PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 5 15) A distribuição da renda semanal proveniente do aluguel de duzentas casas pertencentes a uma empresa imobiliária encontra-se na tabela abaixo: Renda Mensal No. de Casas 75 |— 125 12 125 |— 175 26 175 |— 225 45 225 |— 275 60 275 |— 325 37 325 |— 375 13 375 |— 425 7 Calcular o desvio padrão da renda mensal. 16) Seja a seguinte tabela de freqüências: Xi Fi 100 |— 200 2 200 |— 300 22 300 |— 400 52 400 |— 500 22 500 |— 600 2 Calcular o coeficiente de variação da distribuição. 17) Uma empresa tem duas filiais praticamente idênticas quanto às suas características funcio- nais. Um levantamento sobre os salários dos empregados dessas filiais resultou nos seguin- tes valores: Filial A: AX = 400 e SA = 20 Filial B: BX = 500 e SB = 25 Podemos afirmar, com base nesses resultados, que: a) em termos relativos, os salários das duas filiais não diferem quanto ao grau de dispersão; b) as dispersões dos salários, tanto a absoluta como a relativa, são iguais; c) a dispersão absoluta é igual à dispersão relativa em ambos os casos; d) a filial A apresentou menor dispersão relativa e absoluta; 18) Os preços para a população dos 15 modelos básicos de máquinas de café são apresentados a seguir (Consumer Report 1995 Buying Guide). MODELO PREÇO ($) MODELO PREÇO ($) MODELO PREÇO Mr. Coffe PR12A 27 Mr. Coffe PR16 25 Braun B 60 Krups 50 Mr. Coffe BL110 22 Proctor 42401 35 Proctor 42301 20 Braun 35 Krups B 40 B&D 901 22 Bunn 40 Melitta 30 B&D 900 20 West Bend 35 Betty Crocker 19 Calcule a variância e o desvio padrão para essa população. UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – ESTATÍSTICA PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 6 19) Um estudo sobre o número de horas extras (incluindo noites e finais de semana) no último ano, em uma grande empresa, forneceu as medidas dadas na tabela. Discuta esses valores. IDADE SEXO < 30 anos 30 a 45 anos ≥ 45 anos Homem: Média 400 350 280 Mediana 350 275 300 Desvio padrão 80 100 140 Mulher: Média 180 200 150 Mediana 200 220 140 Desvio padrão 80 90 70 GABARITO 1) XA = 60 ² A = 200  A = 14,14 XB = 60 ² B = 800  B = 28,28 Como as médias dos dois estudantes são iguais, a avaliação será feita pelo desvio padrão, pois as medidas são de mesmas características.  A <  B , logo, podemos considerar que a performance do estudante A foi mais homogênea, ou seja, mais regular que o estudante B. 2) CVA = 33% CVB = 24% As notas do Grupo B são mais homogêneas que de A. Individualmente, a média de A é representativa dos resultados do teste e a de B não. 3) Cordel Média Desvio Padrão Novo 139 15 Original 88 14 CVnovo = 11% CVoriginal = 16% Como as médias são muito distantes, usaremos o coeficiente de variação para a comparação. O cordel novo é mais regular que o original. 4) a) S² = 16 S = 4,00 b) S² = 34,57 S = 5,88 UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – ESTATÍSTICA PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 7 5) Turma Média das Notas Desvio Padrão das Notas A 5 2,5 B 4 2 CVA = 50% CVB = 50%  Resposta: e) a dispersão relativa da turma A é igual à turma B. 6) a) S = 3,76 b) CV = 35% 7) a) S² = 92,75 e S = 9,63 b) Como as médias dos dois índices são próximas (média de Pomona 48,33 e média de Anaheim 48,5), a avaliação será feita pelo desvio padrão, pois as medidas são de mesmas características. S Pomona < S Anaheim , logo, podemos considerar que a qualidade do ar em Pomona é mais homogênea, ou seja, mais regular que em Anaheim . 8) a) ² = 34 b)  = 5,82 c) CV = 18% A média é uma boa medida de representação da distribuição. 9) S² = 250 S = 15,81 10) a) S² = 0,04 b) S = 0,20 c) CV = 40% A média não é uma boa medida de representação da distribuição. 11) a) S² = 75,2 b) S = 8,67 c) CV = 5% A média é uma boa medida de representação da distribuição. 12) CV = 30% A média é uma boa medida de representação da distribuição. 13) S = 1,06 14)  = 11,51 15) S = 70,44 16) CV = 22% 17) Turma Média Desvio Padrão A 400 20 B 500 25 CVA = 5% CVB = 5% (a) Em termos relativos, os salários das duas filiais não diferem quanto ao grau de dispersão.