Cálculo I

Cálculo I

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Cálculo I

Arnaldo Barbosa Lourenço

Clício Freire da Silva Genilce Ferreira Oliveira

Manaus 2007

Governador Eduardo Braga

Vice–Governador Omar Aziz

Reitora Marilene Corrêa da Silva Freitas

Vice–Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves

Pró–Reitor de Planejamento Osail de Souza Medeiros

Pró–Reitor de Administração Fares Franc Abinader Rodrigues

Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Rogélio Casado Marinho

Pró–Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves

Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa José Luiz de Souza Pio

Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings

Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos

NUPROM Núcleo de Produção de Material

Coordenador Geral João Batista Gomes

Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior

Revisão Técnico–gramatical João Batista Gomes

Lourenço, Arnaldo Barbosa.

L892cCálculo I / Arnaldo Barbosa Lourenço, Clício Freire da Silva,

Genilce Ferreira Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 2. Período)

125 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia.

1. Cálculo - Estudo e ensino. I. Silva, Clício Freire da. I. Oliveira, Genilce Ferreira. I. Série. IV. Título.

CDU (1997): 517.2/.3

Palavra do Reitor07
UNIDADE I– Função09
TEMA 01 –Função ou Aplicação1
UNIDADE I– Limites23
TEMA 02 –Limites – Definição e Limites Laterais25
TEMA 03 –Continuidade de uma Função28
TEMA 04 –Propriedades dos Limites30
TEMA 05 –Limites Infinitesimais3
TEMA 06 –Limites Trigonométricos36
TEMA 07 –Limites Exponenciais37
UNIDADE I– Derivada41
TEMA 08 –Derivada de uma Função, definição43
TEMA 09 –A Reta Tangente ao Gráfico de uma Função46
TEMA 10 –Regras de Derivação51
TEMA 1 –A Regra da Cadeia56
TEMA 12 –Estudo do Sinal de uma Função60
TEMA 13 –Taxa de Variação e regra de L’Hospital67
UNIDADE IV– Integrais71
TEMA 14 –Integrais Primitivas e Indefinidas73
TEMA 15 –Cálculo de Área79
TEMA 16 –Área entre Curva86
TEMA 17 –Mudança de Variável na Integral8
TEMA 18 –Integração por partes94
TEMA 19 –Integrais Trigonométricas98
TEMA 20 –Integrais de Funções Racionais102
Respostas de Exercícios1

SUMÁRIO Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

Arnaldo Barbosa Lourenço

Licenciado em Matemática - UFPA

Licenciado em Ciências Contábeis - UFAM Pós-graduado em Ensino da Matemática - UFAM

Clício Freire da Silva

Licenciado em Matemática – UFAM

Bacharel em Matemática – UFAM Pós–graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF

Genilce Ferreira Oliveira

Licenciada em Matemática – UFAM Especialista em Matemática – UFAM

UNIDADE I Função

TEMA 01

FUNÇÃO OU APLICAÇÃO 1.1. Definição, elementos

Entendemos por uma função f uma terna (A, B, a → b) onde A e b são dois conjuntos e a →b, uma regra que nos permite associar a cada elemento a de A um único b de B. O conjunto A é o domínio de f, e indica-se por Df, assim A = Df. O conjunto B é o contradomínio de f. O único b de B associado ao elemento a de A é indicado por f(a) (leia: f de a); diremos que f(a) é o valor que f assume em a ou que f(a) é o valor que f associa a a. Quando x percorre o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado imagem de f e que se indica por Imf:

Uma função de f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B).

Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f : A B, onde A e B são subconjuntos de IR. Até menção em contrário, só trataremos com funções de uma variável real a valores reais.

Seja f : A B uma função. O conjunto

Gf= {(x,f(x))|x∈A} denomina-se gráfico de f; assim, o gráfico de f é um subconjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode,então,ser pensadocomo o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) quando x percorre o domínio de f.

Observação– Por simplificação, deixaremos, muitas vezes,de explicitar o domínio e o contradomínio de uma função; quando tal ocorrer, ficará implícito que o contradomínio é IR e o domínio o “maior” subconjunto de IR para o qual faz sentido a regra em questão.

Dados os conjuntos M = {0, 1 ,2} e

Exemplo:

B={0, 1, 4, 5}, verificar se a relação binária R ={(x,y) Ax B/ y = x2} é uma função.

M = {0, 1 ,2}

Solução: N={0, 1, 4, 5} R ={(x,y) Mx N/ y = x2} x = 0 y = 02= 0 x = 1 y = 12= 1 x =2 y = 2= 4 No diagrama de flechas, temos que:

Observe que f(0) = 0, f(1) = 1 e f(2) = 4, então podemos afirmar que f é uma função ou aplicação, já que de cada elemento de M temos uma única correspondência com elementos de N.

Veja também que D(f) = {0,1,2}, CD(f)= {0,1,4,5} e Im(f) = {0,1,4}.

Gráficos de funções

Dizemos que uma relação binária R: A B é função ou aplicação no gráfico, quando toda reta vertical tocar em um único ponto no gráfico, para todo x ∈ A.

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