Números reais e funções Parte1, Notas de estudo de Matemática Aplicada

Baixe Números reais e funções Parte1 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática Aplicada, somente na Docsity! Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi 1 1. Números Reais e Funções Números Reais O sistema numérico real consiste em um conjunto de elementos chamados de números reais e duas operações denominadas adição (+) e multiplicação ( . ). O sistema numérico real pode ser inteiramente descrito por um conjunto de axiomas. Com esses axiomas podemos deduzir as propriedades dos números reais, das quais seguem as operações algébricas de adição, multiplicação, subtração e divisão, bem como os conceitos algébricos de resolução de equações, fatoração e assim por diante. Um número real é positivo, negativo ou zero e qualquer número real pode ser classificado como racional ou irracional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como uma razão de dois inteiros. Isto é, um número racional é da forma p/q, onde p e q são inteiros e q é diferente de zero. Os números racionais consistem em: i) Números Inteiros, positivos, negativos e zero: … -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … ii) Frações positivas e negativas, como: 2 9 81, , 3 5 77 − , … iii) Números decimais exatos, positivos e negativos,como: 236 3251 12,36 , 0,003251 e 0,5 100 1000000 2 = − = − = iv) Números decimais não-exatos, mas com repetição periódica, como: 1 610,333... e 0,549549549... 3 111 = − = − Os números reais que não são racionais são chamados de números irracionais. Esses são os decimais não-exatos que não apresentam repetição periódica. Como por exemplo: 3 1,732..., 3,14159... e 2,718281...eπ= = = Propriedades dos números Reais O conjunto dos números reais, representado por , admite duas operações, denominadas soma (+) e multiplicação (.). A partir dessas operações, as seguintes propriedades são válidas. i)Comutativa: e . .a b b a a b b a+ = + = ii)Associativa: ( ) ( ) e .( . ) ( . ).a b c a b c a b c a b c+ + = + + = iii) Distributiva: .( ) ( . ) ( . )a b c a b a c+ = + iv) Elemento Neutro: 0a a+ = v) Elemento Identidade: 1.a a= vi) Elemento Simétrico: ( ) 0a a+ − = vii) Elemento Recíproco: Todo número real c, diferente de 0, tem um recíproco, isto é, um número real denotado por 11 ou c c − que satisfaz: 11. =1 ou c. 1c c c − = . Ordenação dos Números Reais Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está à direita na reta numerada. Observe que a abertura dos sinais > e < fica voltada para o número maior. Por exemplo, 0 < 7 e (-7) < 0. As duas temperaturas -5°C e +5°C são igualmente distantes do ponto 0°C na escala de temperatura. Para expressarmos este fato, dizemos que ambas as temperaturas têm o mesmo valor absoluto. Mais precisamente, o valor absoluto de um número positivo é o próprio número enquanto o valor absoluto de um número negativo é o número oposto. Então, para o valor absoluto escrevemos: 5 5+ = e 5 5− = . O zero não tem valor nem positivo nem negativo, assim, definimos 0 0= . De modo mais claro, quanto maior a distância de 0 maior é o valor absoluto. Dessa forma, 5 2− > , enquanto ( 5) (2)− < . Módulo ou Valor Absoluto de um Número Real O módulo (valor absoluto) de um número real x, é definido como sendo o maior valor entre x e -x, e é indicado por x , isto é: { , }x max x x= − Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi 2 Por definição: 2x x= ou ainda por: , se 0 0, se 0 , se x<0 x x x x x >⎧ ⎪= =⎨ ⎪−⎩ , Rx∈ Sejam a e b dois números reais quaisquer. Dizemos que a é menor que b e escrevemos a b< , quando b a− é positivo. Geometricamente, isto significa que o número a está à esquerda do número b na reta numerada. Equivalentemente, dizemos que b é maior que a e escrevemos b a> . Neste sentido dizemos que o conjunto dos números reais é ordenado. O símbolo a b≤ , lê-se a é menor ou igual a b, (ou b a≥ , lê-se b é maior ou igual a a) significa que ou a < b ou a = b ( b a> ou b a= ). Se a, b e c são números reais, podemos demonstrar que: (i) Se a b< e b c< então a c< . (ii) Se a b< então a c b c+ < + . (iii) Se a b< e c d< então a c b d+ < + . (iv) Se a b< e 0c > então ac bc< . (v) Se a b< e 0c < então ac bc> . (vi) Se 0 a b< < então 1 1 b a < . Regras análogas valem para a relação maior que. Desigualdades Toda relação que usa os sinais > ou < é chamada uma desigualdade. A expressão 0 5x< < , com Rx∈ indica que x é um número real compreendido entre 0 e 5. Neste caso, 0 é uma cota inferior de x e 5 é uma cota superior. Para indicar que um número y é indiferentemente maior ou menor que x, mas não igual a x usamos y x≠ (y é diferente de x). Se uma variável puder assumir o valor de sua cota inferior a ou de sua cota superior b, escrevemos a y b≤ ≤ . Dizemos que “y é maior ou igual a a” e “y é menor ou igual a b. As desigualdades ocorrem geralmente em problemas de classificação. Intervalos Reais Comumente nos referimos a certos conjuntos numéricos chamados intervalos que correspondem, geometricamente, a segmentos de reta (ou semi- retas). Por exemplo, se a < b, o intervalo aberto, denotado por (a, b), é constituído por todos os números reais que estão entre a e b. As possíveis situações de intervalos reais são mostradas abaixo: a)Intervalo aberto: ( , )a b ou { R / }x a x b∈ < < a b b) Intervalo fechado: [ , ]a b ou { R / }x a x b∈ ≤ ≤ a b c) Intervalo aberto à esquerda: ( , ]a b ou { R / }x a x b∈ < ≤ a b d) Intervalo aberto à direita: [ , )a b ou { R / }x a x b∈ ≤ < a b e) Intervalo aberto: ( , )a ∞ ou { R / }x x a∈ > a f) Intervalo fechado: [ , )a ∞ ou { R / }x x a∈ ≥ a g) Intervalo aberto: ( , )b−∞ ou { R / }x x b∈ < b h) Intervalo fechado: ( , ]b−∞ ou { R / }x x b∈ ≤ b i) Intervalo aberto: ( , )−∞ ∞ ou R Note que o símbolo ∞ não representa um número: a notação ( , )a ∞ define o conjunto de todos os números maiores que A e o símbolo ∞ indica somente que o intervalo se prolonga indefinidamente, a partir de A, na direção positiva da reta numerada (para a direita do número A). Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi 5 Exercícios: Determine o domínio das seguintes funções: 10x3 x2=c)y 2x3 3x=f(x) b) 2x-4-=f(x) a) + − 10x 3x)x(g)e 5x)x(f)d 2 3 2 − + = −= Gráfico de Funções Definição: Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, f(x)) de um plano coordenado, onde x pertence ao domínio de f. Segundo a definição de função, a cada x do domínio é associado um único y como imagem. Portanto, toda reta paralela ao eixo y deverá interceptar o gráfico da função em no máximo um ponto. Determinação do Domínio e da Imagem de uma função por meio do Gráfico Considere a função representada pelo gráfico abaixo. Figura 4 Dado o gráfico de uma função f: Domínio é o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f, ou seja, ( ) (2,5]Dm f = . Conjunto Imagem é formado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f, isto é, Im( ) (1,6]f = . Crescimento e Decrescimento de Funções Função Crescente: Uma função f é crescente num intervalo ( )I Dm f⊂ se para quaisquer x1 e x2 de I, 1 2x x< implicar 1 2( ) ( )f x f x< . Função Decrescente: Uma função f é crescente num intervalo ( )I Dm f⊂ se para quaisquer x1 e x2 de I, 1 2x x< implicar 1 2( ) ( )f x f x> . Uma função pode ser estritamente crescente ou decrescente em todo seu domínio. Entretanto, é possível que ela seja crescente em um ou mais intervalos de seu domínio e crescente em outros. Exercícios E01: Analise se os seguintes gráficos representam ou não funções justificando sua resposta: a) b) c) d) E02: Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: a) b) c) d) y x y x y x y x 1 -1 3 3-3 y x y x -2 1 y x y x Domínio y 6 1 x 2 5 Conjunto imagem Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi 6 e) f) E03: Determine o domínio das seguintes funções 3x 7x)x(f)f )4x3x).(16(x=y e) 5x3 x2=d)y 8x6x 9x=y c) 2x 3x=f(x) b) 4x-6=f(x) a) 2 2 22 2 2 +− − = −−− +++ + + E04: Analise o gráfico abaixo e responda as seguintes questões: a) O domínio da função. b) A imagem da função. c) O valor de f(1). d) O intervalo em que a função é crescente. e) O intervalo em que a função é constante. f) O intervalo em que a função é decrescente. E05: Encontre o domínio das seguintes funções: 42x 3x)x(f)d 1x 3)x(f)c 2x)x(f)b 3x 1)x(f)a + + = − = −= − = 1x 2)x(f)h x37)x(f)g x8x)x(f)f 6xx x)x(f)e 2 3 4 2 2 4 +− =−= −= −+ = ( )( )3x2x 5)x(f)j 6x5x)x(f)i 2 +− =+−= 1x 3x)x(f)m x 36x2)x(f)l 3x 3 x 1)x(f)k − + = ++= − += E06: Dada a função f(x) = 2x-3, obtenha: a)f(3) b)f(-4) c)f(1/2) d)f(x+h) e)o valor de x, tal que f(x) = 49 f)o zero da função E07: Dada a função xx)x(f 2 −= , obtenha: a) f(a) b) f(a+h) c) f(a+h)-f(a) E08: Se 2x5x3)x(f 2 +−= , encontre: a)f(0) b)f(-2) c) )2(f d) )31(f + e)f( - x ) E09: Dada a função 10x4x)x(f 2 +−= , obtenha os valores de x cuja imagem seja 7. Respostas E01: São funções: letras a e c Não são funções: b e d pois alguns pontos do domínio possuem mais de uma imagem. E02: [ [ [ ] [ [ { } [ [ ] ] [ [ { } ] [+∞∪+∞− ==− ℜℜ +∞−ℜ +∞ℜ − ,01- :Im ,2:Domf) 2 y e 1- y :Im 3,3:Dome) :Im :Dom)d 2,- : Im 0:Dom)c 1,- :Im :Dom)b 1,3- :Im 3,3:Dom)a E03: 7x3u o 3x7)f ≤<−<≤− -1 - -2 3 1 -3 y x y x Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi 7 E07: a)f(3) = 3 b)f(-4)= -11 c)f(1/2)= -2 d)f(x+h) = 2x + 2h -3 e)26 f) 3x 2 = E08: 2 2 2 2 a)a a b)a 2ah h a h c)2ah h − + + − − + E09: a)f(0) = 2 b)f(-2)= 24 c) )2(f = 8 −5 2 d) )31(f + = 3 9+ e)f( - x ) = 23x 5x 2+ + E11: x = 1 e x = 3 Operações Algébricas com Funções Definições: Sejam ( )y f x= e ( )y g x= funções. i) Adição e Subtração de funções: ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x± = ± ii) Multiplicação de Funções: ( . )( ) ( ). ( )f g x f x g x= iii) Divisão de Funções: ( )( ) ( ) f f xx g g x ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , se ( ) 0g x ≠ . Para as funções f g+ , f g− e .f g , definimos o domínio como sendo a intersecção dos domínios de f e g; para a função f/g, definimos o domínio como sendo a intersecção dos domínios de f e g, excluídos os pontos onde ( ) 0g x = (para evitar a divisão por zero). Composição de Funções Definição: Dadas as funções f e g, a composição de f e g, denotada por f gο é a função definida por ( )( ) ( ( ))fog x f g x= . Por definição, o domínio de f gο consiste em todo x no domínio de g para o qual ( )g x está no domínio de f. Exemplo (ANTON, 2007, p. 29): Seja 2( ) 3f x x= + e ( )g x x= . Encontre ( )( )f g xο e ( )( )g f xο Exemplo (ANTON, 2007, p. 29): Encontre ( )( ) ( ( ( )))f g h x f g h xο ο = se ( )f x x= , 1( )g x x = e 3( )h x x= . Exemplo (ANTON, 2007, p. 30): Expresse 5( ) ( 4)h x x= − como uma composição de duas funções. Translações, Reflexões, Alongamentos e Compressões de Gráficos de funções Translação Vertical Sejam ( )y f x= e k∈ a transformação i) ( )f x k+ translada o gráfico em k unidades para cima, se k >0; ii) ( )f x k+ translada o gráfico k unidades para baixo, se k<0 Translação Horizontal Sejam ( )y f x= e Rh∈ a transformação i) ( )f x h+ translada o gráfico em h unidades para a esquerda, se h>0 ii) ( )f x h+ translada o gráfico em h unidades para a direita, se h<0 Veja representação gráfica das translações verticais e horizontais, respectivamente, na Figura 5. Figura 5 Reflexões Seja ( )y f x= uma função real. i) ( )f x− reflete o gráfico de f em relação ao eixo x. ii) ( )f x− reflete o gráfico de f em relação ao eixo y. Veja Figura 6 Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi 10 Figura 15 f) 4( ) 1f x x= − é uma função polinomial de grau 4, seu gráfico tem o aspecto apresentado na Figura 16. Figura 16 Funções Racionais Definição: Função racional é aquela definida como o quociente de duas funções polinomiais, isto é, ( )( ) ( ) p xf x q x = , onde ( )p x e ( )q x são polinômios e ( ) 0q x ≠ . O domínio da função racional é o conjunto dos números reais, excluindo aqueles x tais que ( ) 0q x ≠ . Exemplo: A função 1( ) 1 xf x x − = + é uma função racional de domínio ( ) R { 1}Dm f = − − e está representada graficamente na Figura 17: Figura 17 Exemplo: A função 2 1( ) xg x x + = é uma função racional com domínio ( ) R {0}Dm g = − O gráfico de g está representado na Figura 8. Figura 18 Funções Algébricas Definição: São funções que podem ser construídas com polinômios, aplicando-se um número finito de operações algébricas (adição, subtração, divisão e extração de raízes). Exemplos: 2 23( ) ( 2)f x x x= + , 2 5( ) 3f x x x = + . As funções que não são algébricas são ditas transcendentes. Função Inversa Definição: Se as funções f e g satisfazem as duas condições: ( ( ))g f x x= , para todo x do domínio de f ( ( ))f g x y= , para todo y do domínio de g Dizemos que f e g são funções inversas uma da outra, ou então, que f é uma inversa de g e g é uma inversa de f. Pode-se mostrar que se uma função f admite inversa, então essa inversa é única. Denotamos então a inversa de f por f -1. As seguintes relações entre domínio e imagem de funções inversas são verdadeiras: 1( ) Im( )Dm f f− = e 1Im( ) ( )f Dm f− = Teorema: Se uma equação ( )y f x= pode ser resolvida para x como uma função de y, digamos ( )x g y= , então f tem uma inversa, a qual é 1( ) ( )g y f y−= . Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi 11 Exemplo: Determine a inversa de 3( ) 3f x x= − . Resolução: Como ( )y f x= , trocamos x por y e y por x: 3 3x y= − Isolando y: 3 3y x= + e 3 3y x= + Portanto, 1 3( ) 3f x x− = + é a função inversa de 3( ) 3f x x= − . O próximo teorema estabelece a condição necessária e suficiente para a existência da função inversa: Teorema: Uma função f tem inversa se, e somente se, f é injetora. Observe que, uma função pode ser classificada em: a) Injetora se cada elemento do contra-domínio é imagem de, no máximo, um elemento do domínio; b) Sobrejetora se todo elemento do contra-domínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio; c) Bijetora ou isomorfismo se todo elemento do contra-domínio é imagem de exatamente um elemento do domínio. Teorema: (Teste da reta horizontal) Uma função f tem inversa se, e somente se, seu gráfico é cortado, no máximo, uma vez por qualquer reta horizontal. Teorema: Se f tiver inversa, então os gráficos de ( )y f x= e 1( )y f x−= são reflexões um do outro em relação à reta y x= . Figura 19 Exemplo: A função ℜ→∞+ ) ,0 [:f , definida por 2x)x(f = tem como inversa a função ℜ→∞+ ) ,0 [:g dada por x)x(g = . Conforme apresenta a Figura 20. Figura 20 Funções Exponenciais Vejamos algumas propriedades da potenciação, antes de definir função exponencial. Propriedades: Sejam ,a b∈ ,m n∈ . As seguintes expressões são válidas: P1: m n m na a a += P2: m m n n a a a −= P3: ( )m n mna a= P4: ( )n n nab a b= P5: , 0 n n n a a b b b ⎛ ⎞ = ≠⎜ ⎟ ⎝ ⎠ P6: 1 , 0n na aa − = ≠ Definição de Função Exponencial Definição: Chamamos função exponencial de base b, a função *:f +ℜ→ℜ , definida por: ( ) xf x b= ,com 0b > e 1b ≠ Exemplo: Algumas funções exponenciais: 1x3)x(f )c x 2 1)x(f )b x2)x(f )a += ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛== Características: Com relação ao gráfico da função ( ) xf x b= , afirmamos que: Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi 12 a) a curva que o representa está toda acima do eixo das abscissas, pois xy b= para todo x ℜ∈ ; b) corta o eixo das ordenadas no ponto (0,1) ; c) ( ) xf x b= é crescente para 1b > e decrescente para 0 1b< < . d) ( ) RDm f = e *Im( ) Rf += . A figura 21 ilustra três funções exponenciais decrescentes, no primeiro gráfico e três funções crescentes no segundo. 0 1b< < 1b > Figura 21 Exercício: Esboce o gráfico das funções abaixo, especifique se a função é crescente ou decrescente e dê o domínio e a imagem: x2)x(f)a = b) 1 2 1)x(f x +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= Exercícios: Esboce em um mesmo sistema de eixos os gráficos das funções abaixo: ,12)x(f x += x2)x(g = e ,12)x(h x −= Função Logarítmica Iniciamos por recordar a definição de logaritmo. Definição: O logaritmo log xb N x b N= ⇔ = , onde: é a base é o logaritmando é o logarítmo b N x ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Condição de Existência: 0, 0, 1N b b> > ≠ É imediato que: loglog 1 0; log 1; b Nb b b b N= = = Propriedades: Sejam *0, 1 e , Rb b a c +> ≠ ∈ , então: P1: log ( ) log logb b bac a c= + P2: log ( / ) log logb b ba c a c= − P3: log ( ) lognb ba n a= P4: 1log log ,mb ba a mm = ∈ P5: , 0 n n n a a b b b ⎛ ⎞ = ≠⎜ ⎟ ⎝ ⎠ P6: loglog log k b k aa b = ,para todo * , 1k k+∈ ≠ . P7: colog logb ba a= − , cologaritmo de a na base b . Exemplos: Utilizando a definição e as propriedades de logaritmo, calcule: 81log27 = 25 1log5 = 1log 3,0 = 008,0log25 = )24(log 3 22 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−− e 1ln5log1,0log 5 1100 = Definição de Função Logarítmica Definição: Chamamos função logarítmica de base b, a função ℜ→ℜ+ *:f que associa a cada número real x o número logb x , ou seja: ℜ→ℜ+ *:f ( ) logbf x x= , com 0, 0, 1x b b> > ≠ . Características: Com relação ao gráfico da função ( ) logbf x x= , afirmamos que: a) a curva que o representa está toda à direita do eixo das ordenadas, pois a função não está definida para 0x ≤ ; b) corta o eixo das abscissas no ponto (1,0) ; c) ( ) logbf x x= é crescente para 1b > e decrescente para 0 1b< < . d) *( ) RDm f += e Im( ) Rf = . A figura 22 ilustra três funções logarítmicas decrescentes, no primeiro gráfico e três funções crescentes no segundo. 0 1b< < 1b > Figura 22 Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi 15 O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento T. Exemplos de gráficos de funções periódicas são observadas nas Figuras ? e ?. Figura 25 Figura 26 As funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas. Funções Trigonométricas Função Seno Definição: Chamamos de função seno, a função ℜ→ℜ:f que, a cada número real x, associa o seno desse número. ( ) ( )f x sen x= O gráfico da função ( ) ( )f x sen x= , denomina-se senóide e encontra-se na Figura 27 O domínio da função seno é o conjunto dos reais e o conjunto imagem é o intervalo [ ]1, 1− . A função seno é periódica e seu período é 2 radπ , já que ( 2 ) ( )sen x sen xπ+ = . Em alguns intervalos a função é crescente e em outros é decrescente. Por exemplo, nos intervalos 2 0, ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ π e ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ π π 2, 2 3 a função é crescente. Já no intervalo ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ππ 2 3 , 2 ela é decrescente. Figura 27 Função Cosseno Definição: Chamamos de função cosseno, a função ℜ→ℜ:f que, a cada número real x, associa o cosseno desse número. ( ) cos( )f x x= O gráfico da função ( ) cos( )f x x= , denomina- se cossenóide e está representado na Figura 28 O domínio da função cosseno é o conjunto dos reais e o conjunto imagem é o intervalo [ ]1 ,1− . A função cosseno é periódica e seu período é 2 radπ , já que cos( 2 ) cos( )x xπ+ = . Em alguns intervalos a função cos( )x é crescente e em outros é decrescente. Por exemplo, no intervalo [0, π] a função é decrescente. Já no intervalo [π, 2π] ela é crescente. Figura 28 Exemplo: Construa o gráfico, da função ( ) 2 ( )f x sen x= − , indicando o domínio, imagem e o período. Resolução: Observe a Tabela 3 onde atribuímos valores para x e encontramos f(x). O gráfico desta função está apresentado na Figura 29, onde comparamos o comportamento da função ( ) 2 ( )f x sen x= − com a função ( ) ( )f x sen x= . Dom: ℜ , Im: [ ]2,2− e P = 2 radπ . Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi 16 Observe que a função ( ) 2 ( )f x sen x= − modifica sua amplitude em relação à função ( ) ( )f x sen x= . Tabela 3 x senx 2senx 0 0 0 2 π 1 −2 π 0 0 2 3π -1 2 π2 0 0 Figura 29 Exemplo: Construa o gráfico, da função ( ) 1 cos( )f x x= + , dando o domínio, imagem e o período. Resolução: Observe a Tabela 4 onde atribuímos valores para x e encontramos f(x). O gráfico desta função está apresentado na Figura 30, onde comparamos o comportamento da função ( ) 1 cos( )f x x= + com a função ( ) cos( )f x x= . Dm: ℜ , Im: [ ] 2 0, e P = 2 radπ . Tabela 4 x cos x 1+cos x 0 1 2 2 π 0 1 π −1 0 2 3π 0 1 π2 1 2 Figura 30 Observe que a função ( ) 1 cos( )f x x= + desloca-se em 1 unidade no eixo y em relação ao gráfico da função ( ) cos( )f x x= Exemplo: Construa o gráfico, da função ( ) 2 f x sen x π⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , dando o domínio, imagem e o período. De forma geral, considerando as funções: sen( )y a b mx n= + + e cos( )y a b mx n= + + Temos: Dm=ℜ , C.D=ℜ Im= [ ] ba ,ba +− , b> 0 e P = rad m 2 π Função Genérica da Corrente ( ) ( )i t A Bsen tω φ= + + , onde o ângulo de fase é ω φ =θ Exemplo: Dadas as funções abaixo, em cada caso pede-se: o gráfico; o domínio; a imagem; o valor máximo e mínimo da corrente; em que tempo teremos o valor máximo e em que tempo teremos o valor mínimo; e os valores do tempo que fazem com que a corrente seja nula. 1) ( ) 2,5sen(500 )i t tπ= com 0 4t ms≤ ≤ 2) ( ) 3sen(50 ) 2 i t t π= − com 0 25 t sπ≤ ≤ Outras Funções Trigonométricas Função Tangente A função tangente, designada por tg, é definida por ( )( ) cos( ) sen xtg x x = . O domínio é ( ) { / cos( ) 0}Dm tg x x= ∈ ≠ ou seja, Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi 17 ( ) { R / ,com R} 2 Dm tg x x K Kππ= ∈ ≠ + ∈ e a imagem é Im( ) { }tg x= ∈ Figura 31 Função Cotangente A função cotangente, designada por cotg, é definida por cos( )( ) ( ) xcotg x sen x = . O domínio é ( ) { R / ( ) 0}Dm cotg x sen x= ∈ ≠ ou seja, ( ) { R / ,com R}Dm cotg x x K Kπ= ∈ ≠ ∈ e a imagem é Im( ) { R}cotg x= ∈ Figura 32 Função Secante É definida por 1( ) cos( ) sec x x = , com (sec) { R / cos( ) 0}Dm x x= ∈ ≠ . Figura 33 Função Cossecante É definida por 1( ) ( ) cosec x sen x = , com (cos ) { R / ( ) 0}Dm ec x sen x= ∈ ≠ . Figura 37 Funções Trigonométricas Inversas Função Arco Seno A função seno não é invertível, visto que não é injetora; então consideremos uma restrição em a um intervalo convenientemente escolhido, de forma a obtermos uma função injetora. Seja f a restrição da função seno no intervalo , 2 2 I π π⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ . A função inversa de f é denominada de função arco seno e representada por: 1( ) ( )f x arcsen x− = . Assim, ( ) [ 1,1]Dm arcsen = − e Im( ) , 2 2 arcsen π π⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ . Por um processo análogo, definimos a função arco cosseno. Porém, é necessário observar que no intervalo escolhido na restrição f adotada para o seno, a função cosseno não é injetora. Dessa forma, seja g a restrição da função cosseno no intervalo [ ]0,I π= . A função inversa de g é denominada de função arco cosseno e representada por: 1( ) cos( )f x arc x− = . Figura 38: Funções arcsen e arccos, respectivamente. Com procedimento análogo ao usado para as função ( )y arcsen x= e arccos( )y x= , obtemos as demais funções trigonométricas inversas. Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi 20 3. LIMITES O conceito de limite de uma função f é uma das idéias fundamentais que distinguem o Cálculo da Álgebra e da Trigonometria. Suponha que um físico deseje obter quanto vale determinada medida, quando a pressão do ar é zero. Na verdade é impossível obter o vácuo perfeito. Então um procedimento a ser adotado é experimentalmente efetuar-se essas medidas com valores cada vez menores de pressão, se os valores desta medida tendem para um determinado número L, admite-se que no vácuo ela seria igual ao valor L. Se representarmos por x a pressão e a medida que quisermos for dada por f(x), então podemos representar esse resultado por: 0 lim ( ) x f x L → = . Esta é uma situação em que se aplica o conceito matemático de limites. Tal conceito é de fundamental importância para o desenvolvimento teórico de derivadas e integrais que possuem várias aplicações na física, eletricidade, mecânica, etc. Noção de Limite Inicialmente daremos uma definição informal de limites. Definição: Se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos quanto queiramos de L, desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a mas não iguais a a), então escrevemos lim ( ) x a f x L → = , que deve ser lido como “o limite de f(x) quando x tende a a é L”. Exemplo: Tomemos a função ( ) ( ) 2 9 ( ) 3 x f x x − = − . Suponha que estejamos interessados em saber de que valor se aproxima f(x) quando x se aproxima de 3. Façamos uma tabela e atribuamos a x valores menores que 3. x f(x) 2,5 5,5 2,8 5,8 2,9 5,9 2,99 5,99 2,999 5,999 2,9999 5,9999 ... ... Vemos que quanto mais x se aproxima de 3, mais o valor de f(x) se aproxima de 6. Note que nos aproximamos de x por valores menores do que 3. Tomemos agora valores próximos de três, mas maiores que 3. x f(x) 3,4 6,4 3,2 6,2 3,1 6,1 3,01 6,01 3,001 6,001 3,0001 6,0001 ... ... Note que, quanto mais x se aproxima de 3 por valores maiores do que 3, mais f(x) se aproxima de 6. Assim, parece que o limite da função quando x tende a 3 é 6. Matematicamente, representamos esta situação por 3 lim ( ) 6 x f x → = . Limites como os referidos acima são chamados limites laterais. Definição: Se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a (mas maiores do que a), então escrevemos lim ( ) x a f x L +→ = e se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a (mas menores do que a), então escrevemos lim ( ) x a f x L −→ = . Relação entre Limites Laterais e Bilaterais O limite bilateral de uma função f(x) existe em um ponto a se, e somente se, existirem os limites laterais naquele ponto e tiverem o mesmo valor, isto é: lim ( ) x a f x L → = se, e somente se, lim ( ) lim ( ) x a x a f x L f x − +→ → = = . Definição Formal de Limites Seja f(x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L, e escrevemos: lim ( ) x a f x L → = Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi 21 se para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que ( )f x L ε− < sempre que 0 x a δ< − < Dando a definição acima de uma forma que não contenha o símbolo de valor absoluto: i) 0 x a δ< − < equivale a a x aδ δ− < < + e x a≠ . ii) ( )f x L ε− < equivale a ( )L f x Lε ε− < < + Reformulando a definição de limites, teremos: lim ( ) x a f x L → = significa que, para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que se x está no intervalo aberto ( , )a aδ δ− + x a≠ , então f(x) está no intervalo aberto ( , )L Lε ε− + . A Figura 41 ilustra a definição. Figura 1 Figura 41 Exemplo: Usando a definição de limite, prove que: 1 lim(3 1) 2 x x → − = Para esta prova devemos mostrar que, 0, 0ε δ∀ > ∃ > , tal que: ε<−− 2)1x3( sempre que δ<−< 1x 0 . O exame da desigualdade envolvendo ε proporciona uma chave para escolha de δ. As seguintes desigualdades são equivalentes: (3 1) 2 (3 3 3( 1) 3. 1 1 3 x x x x x ε ε ε ε ε − − < − < − < − < − < A última desigualdade nos sugere a escolha do δ. Fazendo , 3 ε =δ vem que: (3 1) 2x ε− − < sempre que 0 1x δ< − < Portanto, 1 lim(3 1) 2 x x → − = . Exemplo: Usando a definição de limite, prove que: 2 4 lim 16 x x → = Devemos mostrar que, dado ε > 0, ∃ δ > 0, tal que: 2 16x ε− < sempre que 0 4x δ< − < Da desigualdade envolvendo ε, temos. 2 16 4 . 4 x x x ε ε − < ⇔ − + < ⇔ Necessitamos agora substituir 4x + por um valor constante.Neste caso, vamos supor: 0 < δ ≤ 1, e então, de 0 4x δ< − < , seguem as seguintes desigualdades equivalentes: 4 1 1 4 1 3 x 5 7 x 4 9 x x − < ⇔ − < − < ⇔ < < ⇔ < + < ⇔ Portanto, 4 9.x + < Escolhendo ,1, 9 min ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ε=δ temos que se 4x δ− < então 2 16 4 . 4 .9 .9 9 x x x εδ ε− = − + < ≤ = logo 2 4 lim 16 x x → = Observação: Se 1 lim ( )x a f x L→ = e 2 lim ( ) x a f x L → = então L1 = L2 (Unicidade do Limite) Exercícios: Nos exercícios E01 à E03, prove os limites. E01: ( ) 1073x lim 1 x =+− −→ ε = 0,5 E02: 2 1x 1x lim 2 1 x = − − → ε=0,75 Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi 22 E03: 3 1 x-2 1 lim 5x −= → ε = 0,25 Propriedades dos limites A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para encontrar muitos limites, sem utilizar a pesquisa do número δ conforme definição. P1. Sejam a e c números reais quaisquer, então lim x a c c → = isto é, o limite de uma constante é a própria constante. P2. Se a, b, m são números reais, então lim( ) x a mx b ma b → + = + Exemplo: 4 lim(3 5) 3.4 5 7 x x → − = − = P3. Se lim ( ) x a f x L → = e lim ( ) x a g x M → = então: a) lim [ ( ) ( )] x a f x g x L M → + = + b) lim [ ( ). ( )] . x a f x g x L M → = c) ( ) Llim = desde que M 0 ( ) Mx a f x g x→ ≠ d) [ ] lim ( ) ( p/ inteiro positivo n) n n x a f x L → = ∀ e) lim ( ) , desde que L 0 p/ n par nn x a f x L → = > f) [ ] lim ln ( ) ln. , desde que L 0 x a f x L → = > g) [ ] lim cos f(x) cos( ) x a L → = h) [ ] lim sen f(x) sen( ) x a L → = i) ( ) lim f x L x a e e → = Exemplo: Determine o seguinte limite: 2 2 lim ( 3 1) x x x → − + = 3 2 2 2 2 2 2 lim lim 3 lim 1 2 3.2 1 1 P x x x P x x → → → ⎯⎯→ − + ⎯⎯→ − + = − 2 2 lim ( 3 1) 1 x x x → − + = − Vemos neste exemplo que o valor de lim ( ) ( ) x a f x f a → = Isto na verdade ocorre para todos os polinômios. Enunciando então, formalmente, temos: Teorema: Se f é uma função polinomial, então lim ( ) ( ) x a f x f a → = Exemplo: Calcule 2 2 lim ( 5 1) x x x → − + 512.522 −=+−= Exemplo: Calcule 2 lim ( ) x f x → , onde 2 3 2 ( ) 2 x se x f x x se x ≤⎧ = ⎨ >⎩ Além deste, temos ainda outros teoremas que nos fornecem resultados úteis para o cálculo de limites. Teorema: Se f é uma função racional, e a pertence ao domínio, então lim ( ) ( ) x a q x q a → = Exemplo: Calcule 2 3 5 2 1lim 6 7x x x x→ − + − Resolução: 2 2 3 7 11 5 2 1 5.3 2.3 1lim 6 7 6.3 7 40 = 3 11 x x x x→ − + − + = − − = Exemplo: Calcular 3 2 5 lim 3 4 9 x x x → − + Resolução: 3 2 23 5 5 3 3 lim 3 4 9 lim3 4 9 = 75-20+9 = 64 4 x x x x x x → → − + = − + = Limites Indeterminados Em alguns casos não é possível calcular o valor do limite por simples substituição. Ao adotar tal procedimento nos deparamos com resultados do tipo 0 0 ou ∞ ∞ . Exemplo: Calcular o limite abaixo: 2 2 2 2lim ( 4)x x x x→ − − − Resolução: Seja f(x) = x2 - x - 2 e g(x) = x2 - 4. Então f(2) = 22- 2 - 2 = 0 e g(2) = 22 - 4 = 0