Baixe Método da Regressão Linear Múltipla com o Modelo de Dano em Vigas e outras Notas de estudo em PDF para Cultura, somente na Docsity! O XXIV IBERIAN LATIN-AMERICAN CONGRESS ON COMPUTATIONAL Quo retoNo tem METHODS IN ENGINEERING uu U = < = U Geração de Superfícies de Interação pelo Método da Regressão Linear Múltipla com o Modelo de Dano em Vigas de Timoshenko 3D - Aspectos Teóricos. Pedro C.S. Vieira William T. M. Silva Universidade de Brasília, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, PECCIFT, UnB/DF, Brasil pevieiradunh.br, taylordund.br A. D. Hanganu Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería, Edificio C1, Campus Norte UPC, Gran Capitã, s/n, 08014, Barcelona - Espafia alexacimne.upc.es Resumo. Na literatura técnica, são encontradas dificuldades para obtenção de superfícies de interação em resultantes de tensões que abordem mais de três esforços seccionais, como por exemplo: momentos fletores, torçores, axiais e cortantes. Estes tipos de superficies apresen- tam simplificações importantes nas análises de plasticidade, evitando o processo de integração numérica das tensões nas seções transversais do elemento. Geralmente, as funções de escoa- mento f trabalham no espaço de tensões e dentro deste escopo, vê-se que a interação enire as tensões normal e tangencial pelo critério de Mises, aplicadas para os principais pontos de tensão numa seção metálica, é usualmente considerada como um limite para projetos elásti- cos de elementos resistentes. Expressões em tensões, que dependem dos esforços dados pela Resistência dos Materiais, permitem aplicações de condições limites de forma direta. Quando esta forma de critério é dada, a interação de surpeficies limites para trios de esforços aplicados resulta em planos, quádricas, surperficies mais complexas, ou uma mistura destas. Técnicas que usam formulações andliticas são mais ou menos complexas e dependem de características, como por exemplo: combinação de tensões ou de esforços seccionais, e o tipo de seção anal- isada. A formulação usada, neste trabalho, para a obtenção destas superfícies leva em conta a análise de elementos sólidos de viga de Timoshenko 3D, no qual, os esforços seccionais usados como base para gerar a superficie são retirados da seção mais plastificada de um elemento engastado livre. Assim, estes esforços são obtidos em função da combinação de diversos car- regamentos para a obtenção da superficie de interação entre eles. O modelo de regressão linear muiltipla permite o tratamento dos esforços resultantes de diversas análises para a geração da superficie que leva em conta a combinação de esforços tratada. Esta parte, aborda os aspectos teóricos da formulação. Keywords: Funções de Escoamento, Curvas de Interação, Vigas de Timoshenko 3D, Regressão Linear Múltipla, Esforços Seccionais. e e— vetor de deformações; e u'— vetor de deslocamentos em coordenadas locais do elemento finito de barra 3D, cor- respondente ao eixo da seção; e E-— vetor de deformações seccionais; e S— matriz geométrica de relação ponto-seção. Utilizando o princípio dos deslocamentos virtuais para escrever as equações de equilíbrio, o trabalho interno L;,, , na equação(3), correspondente a um campo de deformação virtual de toma a seguinte forma: u Lim = [ sefoav = [ serstoar = [ de” [/ Sadi] da Q) v v 0 A l l / deT6da = / deT Beda (4) o o Na relação (3), é visto o vetor de esforços seccionais & como o conjugado energético do vetor de deformações seccionais. A matriz S = S(y,z) varia nas duas direções da seção, sendo isto, de interesse para este trabalho porque permite fazer uma análise tridimensional do processo de plastificação: 100 0 2 —y [o a) ê = [tosa = [ 010 -7 0 0 Tety PA 4 4|001 y 0/0 Tati! = flo Taty Tate! 2 Taty EU Tate! zo yo Vas EN Qu Qu To Mp My (5) Onde o = Ce, sendo C o tensor constitutivo de rigidez local, cujo valor é: E 00 c=|0G0 (6) 0 0 G Empregando as relações da equação (2) junto com a equação (5) , obtem-se: ê= | STodA = | S7CedA = | sTCsedA = Og (1) A A A Baseando-se na equação (7), apresenta-se o valor da matriz constitutiva seccional C que telaciona as deformações e os esforços seccionais. E= / STCSdA (8) A A equação (8) é resolvida com a integração sobre uma quadrícula de suporte 3D. O processo de maneira detalhado é apresentado, a seguir: E 0 0 0 ZE -yE 0 q 0 -1G 0 0 Ao 0 [Re vG 0 0 | eli Cove vd [a ZE 0 0 0 Z22E —yzE -vE 0 0 0 -yz2E vy2E E, 0 0 0 ZE; yEi , , 0 Gi 0 -1G; 0 0 fue qe 0 0 G e: 0 0 14 = , A , 15 dy dz Bb db [o asatia da z E; 0 0 0 ZºE —yz Ei “VE 0 0 0 -vz E, vE; (9) As quadrículas do modelo 3D, (ver fig. 1), são retângulos com os lados paralelos aos eixos de inércia, as integrais duplas podem ser integradas de maneira independente, em função de cada variável. O elemento finito está definido por 3 nós com 6 graus de liberdade cada um (Hanganu, 1997). São empregadas as funções de forma e o vetor de deslocamentos nodais seguintes: vi wi 0, 0; Ou Wicma-=fa a; a) (10) Onde Ts é uma matriz identidade de fila (rank) 6, N' são as funções de forma e a; é o vetor de deslocamentos nodais. A matriz B' é apresentada a seguir: daN; da! q) Sendo que: B =( B, B, B; | A transformação do sistema local ao global de coordenadas é obtida através da matriz de transformação To, definida a seguir: a, = Ta;; To O |. re lom) cos (2,2) cos(x',y) cos(x',7) To = cos (y, 2) cos (y, v) cos (y, z) (12) cos (2,7) cos (2',y) cos (2',2) Onde: cos (x, 2) é o coseno do ângulo entre a direção local x' e a direção global x, e assim sucessivamente para os demais (Hanganu, 1997). As funções de forma empregadas na teoria 3D definem o campo contínuo elementar, in- terpolando os valores nodais. São utilizadas funções quadráticas lagrangianas correspondentes a um elemento de barra de três nós (ver fig. 2). Cada nó tem uma função de forma associada, de maneira que esta vale 1 no nó e O nos demais. Expressam-se como função de uma variável normalizada Ç, que varia de -1 a 1 (Hanganu, 1997). A seguir, são apresentados seus valores: Nú Na Na 1 E 1 $=1 é=+1 1 e 3 Figura 2: Representação das funções de forma vale) = 5e(6+1) (3) NG) =50(€-1)5 Na(g)= 1-0 As matrizes N, e B, são reapresentadas em função da matriz transformação 'T ( ver eg. 12): N.=NT; B-=BT (4) O vetor de deslocamentos seccionais da barra nos eixos locais u' e as deformações sec- cionais É são apresentados em função da matriz de forma N e de B, respectivamente: u =Na; ê-=Ba (15) A expressão desenvolvida para o vetor de forças internas elásticas F. é vista a seguir: Y=y ++ Bono + Bum E 21) Este é um modelo de regressão com várias variáveis, sendo que Y é a variável depen- dente ou resposta, e pode estar relacionada com k variáveis independentes ou regressores. Os parâmetros 3;, j — 0,1,--- ,k, se conhecem como coeficientes de regressão. Este modelo de- screve um hiperplano no espaço de dimensão k formado pelas variáveis de regressão (x;). O parâmetro 2, representa a variação esperada na reposta Y por unidade de variação em x; quando todos os demais regressores x; (i 4 j) se mantém constantes. Frequentemente estes modelos se empregam como funções de aproximação e se desconhece a verdadeira relação funcional entre Yez,xo,..., xp Sobre certos tipos de variáveis independentes o modelo de regressão linear constitue uma aproximação adequada (Montegomery et. all, 1998). Os modelos que tem uma estrutura mais complexa que a dada pela equação (21) com frequência, também, podem ser analisadas com as técnicas da regressão linear múltipla. Por exemplo, considerando um modelo polinomial cúbico com uma variável de regressão. Y=8+8B2+8,202+ 8,204 € (22) Tomando-se x, = x,x2 = «12,13 = 2º, então a equação (22) pode ser escrita da forma usual do modelo de regresão múltipla. Os modelos que incluem efeitos de interação, que é o caso deste trabalho, também podem ser analisados com os métodos da regressão linear múltipla. Uma interação entre duas variáveis pode ser representada como um produto entre variáveis, tal como Y=0 +82 + B,u2+ Byprzo+ € (23) Faz-se as seguintes modificações: «3 = xx, e 84 = 81, então a equação (23) pode ser escrita como Y=-9,+ Bm + Boro + Bazat E (24) que é um modelo de regressão linear múltipla. Note-se que, ainda que este seja um modelo de regressão linear, a forma da superfície gerada pelo modelo não é linear. Em geral, qualquer modelo de regressão que é linear nos parâmetros (3) é um modelo de regressão linear, sem importar a forma de superficie que este gera (Montegomery et. all, 1998). 4.1 Enfoque matricial para a regressão E mais conveniente expressar o modelo com operações matemáticas em forma matricial. Suponha-se que existem k variáveis de regressão e n observações (x, L;,...,Lik, Yi), À = 1,2,...,n, e que o modelo que relaciona os regressores com a resposta seja: Y=B+BzntBarp+ Brut Esi=1,2,...,n (25) Este modelo é um sistema de n equações que pode expressar-se em notação matricial como y=X8+e€ (26) onde: mn 1 wm to Tik y2 Lixa to e ta y= : x = : : : : 27) Ya 1 tm UM Tnk By e By €a B . [ee=. (28) Bk En Em geral, y é um vetor de observações de (n x 1), X é um tensor (matriz) de (n x p) dos níveis das variaveis independentes, 3 é um vetor de (p x 1) formado pelos coeficientes de regressão e € é um vetor (n x 1) dos erros aleatórios. o Deve-se encontrar o vetor dos estimadores dos mínimos quadrados, /3, que minimiza L=S ed=eTe=(y-X0)"(y-X9) (29) i=1 O estimador de minimos quadrados 2 é a solução para /3 nas equações oL 57º (30) Desevolvendo-se a equação (30) chega-se a: x'x8=X7y GD As equações (31) são as equações normais dos mínimos quadrados em forma matricial, e são identicas a forma escalar, como é apresentado a seguir: não 4 BO a 4 BD ado BO = Du i=1 i=1 i=1 i=1 Po SD aa +B Da, +B, SD sato ++ SD cat = SD cam i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 Bo õ Lip + 2 õ Lita + Bs õ Til d+ 2, õ 2 = õ LiYi (32) i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 Para resolverem as equacões normais, multiplicam-se ambos membros da equação (31) pela inversa de XX. Por conseguinte, o estimador de mínimos quadrados de 2 é: B=(x7x) 'x7y (33) Note-se que existem p — k + 1 equações normais e p — k + 1 incógnitas, ou seja, os valores de 26, 21,:-- 2x: Por outro lado, a matriz X7X não é singular, de modo que podem-se empregar os métodos de inversão de matrizes que existem na literatura. A forma matricial das equações normais de (32) é apresentada a seguir: a Dis Ta Mim di e Mim Lik Bo Data Data Dpatato o Da Tati By Dita Diatuta Ditato o Ditk Bu Do Yi Di tab (4) Da ty Pode-se observar que a matriz X”X é uma matriz simétrica de (p x p), e que X?y é um vetor coluna de (p x 1). Os elementos da matriz diagonal de X”X são as somas dos quadrados dos elementos nas colunas de X, enquanto que os elementos que estão fora da diagonal principal são as somas dos produtos cruzados dos elementos das colunas de X (Montegomery et. all, 1998). Os elementos de X”y são as somas dos produtos cruzados das colunas de X e as observações de y. O modelo de regressão ajustado tem a seguinte forma: u= 84 Begi=1,20e,n (35) j=1 A forma matricial do modelo é: 9=X8 (619) A diferença entre a observação y; e o valor ajustado j; é um resíduo, e; = y; — );. O vetor de resíduos de (n x 1) se denota como: e=y-3 67 4.2 Propriedades dos estimadores de mínimos quadrados O resíduo quadrático médio à? está dado pelo erro ou resíduo quadrático médio A hipótese para a prova de significância de qualquer coeficiente de regressão individual, por exemplo 3, é: Ho : 8,=0 H : 8,40 (48) A não é rejeição da opção Ho : 3; — 0, indica que o regressor x; pode ser eliminado do modelo. O estatístico de prova para esta hipótese é: (49) Onde C';; é o elemento da diagonal de (X7X) "que corresponde a B;, e o denominador da equação (49) é o erro normalizado do coeficiente de regressão /3,. A hipótese nula Ho : 2; = O é rejeitada se |to| > ts ,n-p. Isto é chamado de prova parcial o marginal porque o coeficiente de regressão /3 depende de todas as demais variáveis de regressão x; (i £ j) que estão no modelo (Montegomery et. all, 1998). 4.5 Coeficiente de determinação múltipla Para medir a adequação do modelo, podem ser empregadas várias técnicas. Dentre estas, se apresenta o coeficiente de determinação múltipla R2 definido como: = SSp Ss yy SSp PRê- S, yy =1 (50) R? é uma medida da magnitude da redução na variabilidade de y obtida mediante o em- prego das variáveis de regressão 71, x2,:--, 2; com 0 < R2< 1. Um valor grande de R? não indica necessáriamente que seja um bom modelo. A adição de uma variável ao modelo sempre aumenta o R2, sem importar se a variável é ou não estatisticamente significativa. Portanto, são necessárias análises conjuntas de outras informações para determinar a competência do modelo. A raiz quadrada positiva de Rê recebe o nome de coeficiente de correlação múltipla entre y e o conjunto de variáveis de regressão 71, 22, --- , xx, ou seja, R é uma medida da associação linear que existe entre y e x1, x2,:-- , x; (Montegomery et. all, 1998). Outro critério similar ao R2 é o coeficiente R2 ajustado que leva em conta o número de variáveis do modelo. Este coeficiente é definido como: 1-R?) (51) Reapresentado a equação (51) tem-se que: - 1 R-=i lo a-p não! ) o. 125! (58) n—p Syy -1 = 1-2>*(M$s) (52) yy Pode-se perceber que R2 pode diminuir a medida que p aumenta se a redução em E não é compensada pela perda de um grau de liberdade em n — p. O normal é que o experimentador selecione o modelo de regressão que tenha o valor máximo de R2. Entretanto, ao fazer isto é equivalente ao modelo que minimiza M Sg (ver 52) 5. CURVAS DE INTERAÇÃO A obtenção de curvas de interação em resultantes de tensões facilita a análise, de maneira que evita o processo de integração numérica. Para a obtenção das curvas de interação, em re- sultantes de tensões, foram utilizados os resultados dos esforços seccionais da análise numérica 3D, apresentada anteriormente. Dentro do processo, foram feitas várias combinações de car- 1egamentos de forma a ter um grupo de pontos para gerar a superficie proposta, ou seja, pontos que tenham alcançados a superficie de escoamento. Para um dado carregamento, obtem-se um ponto, como por exemplo o ponto 1, coordenadas (n1,m1) , na figura (4) . As coordenadas representadas são as combinações dos esforços adimensionalisados, como é visto a seguir na forma matricial: Figura 4: Pontos gerados para criar a função de escoamento (caso uniaxial). 1; +com j=1,2,.-- Um modelo que leva em conta combinações dos esforços seccionais independentes para pórticos espaciais é apresentado a seguir: 64) 4 a13 = (317) (; As observações de (54), apresentadas para a regressão linear múltipla (27), na forma ma- tricial são: Lan mo o Lo xm zo e to X=[.00 . (655) 1 zm UM o Ink Onde os termos x;; são os esforços seccionais adimensionalisados, (54), vistos anterior- mente. Os a; são as constantes que determinam o grau da função; ( N, Me M, M. , e Í Nu Meu Mu, Mou , são os esforços de cálculo e limite elasto-plástico, respectiva- mente. A seguir, tem-se um modelo de equação geral para as curvas de interação levando em conta os esforços seccionais independentes: 66) . + pr + N 1 M Lo] = (a (b) fe) Ls Le E! L+ ' td) (e) Figura 5: Tensão e deformação para o caso uniaxial. (a) deformação; (b) tensão; (c) resultantes de tensão; (d) deformação reversa; (e) deformação no plano dominante. f=rym-l=0,i=y2 (66) Pode-se ver que a função de escoamento da equação (66) é perfeitamente aplicada na re- gressão linear múltipla, ver equação (56). Alterando a função anterior para a deformação re- versa (Crisfield, 1990), obtem-se: f=n2-m;-1=0,i=y2 (67) Combinando-se as duas funções (66) e (67), chega-se a: f=n24+sm;-1=0 (68) iul A seguir, são vistas funções de aproximação para a equação (68), dadas por: f=r+amntmi-1=0 (69) 2 9. f=n +3smin+ qm; - 1=0 (70) comi=y,z Estas funções, apresentadas por Crisfield, são melhores para reservados critérios de escoa- mentos de seção cheia com rápidas análises aproximadas (Crisfield, 1990). Lubliner (Lubliner, 1990), também, apresenta para o caso de uma viga retangular com largura b e altura h, e chegam-se as seguintes equações: h2 M; oyo E — u] ,i=y,2; N = 20byw (1) Onde: o,= tensão última e yo= coordenada onde se anula o centro elástico. A seguir, apresenta-se a equação (71) na forma adimensional: 2 mi = L-m; n = (2 Yo =95 com x E, também, na forma explicita: m=1-nê (73) VÊ Onde: m; = comi=yz;en= Miu Interação momento fletor, força axial e torçor Uma barra com seção retangular com uma combinação de força axial, momento fletor e torçor apresenta a seguinte função de escoamento (Lubliner, 1990): my=v1- mi — (74) Reapresentando a equação anterior, chega-se a: mi +2m;n + tmb =1 (75) Interação de momentos fletores A função apresentada, a seguir, é para o caso de uma barra com seção retangular e foi definida por Lubliner da seguinte forma: 3 ma + qm, = Lo Sh (76) 3 m+>mê = 1,22>1 (17 4 & Mo. Esta parte enfoca a formulação teórica dos modelos usados no trabalho, sendo que os exemplos numéricos com os resultados e conclusões são apresentados na segunda parte, no trabalho: Geração de Superfícies de Interação pelo Método da Regressão Linear Múltipla com o Modelo de Dano em Vigas de Timoshenko 3D - Exemplos Numéricos. Referências Argytis, J., 1982, "An Excursion into Large Rotations", Comp. Methods Appl. Mech. Engrg., vol. 32, pp. 85-155. Atluri, S. N.,1983, "Alternate Stress and Conjugate Strain Measures and Mixed Variational For- mulations Involving Rigid Rotations, for Computational Analyses of Finitely Deformed Solids, with Application to Plates and Shells. Theory ", Computer. &Structures, vol.18(1), pp. 93-106. Chen, W. F.; Astuta, T., 1977, "Theory of Beam-Columns", Space Behaviour and Design, McGraw-Hill, New York, vol 2. Crisfield, M. A., 1990, "A Consistent Co-rotational Formulation for Non-linear, Three- dimensional, Beam-elements", Comp. Methods Appl. Mech. Engrg., vol. 81, pp. 131-150 Crivelli, L.A., 1991, "A Total-lagragian Beam Element for Analysis of Nonlinear Space Struc- tures”, PhD Tesis, CSSC, College of Engineering Umiversity of Colorado, Boulder, Col- orado.