cinematica

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(Parte 1 de 11)

Departamento de Engenharia Mecânica

Mecânica Aplicada I Licenciatura em Engenharia Mecânica

Autor:

Joaquim Alexandre O. Carneiro (Dep. de Física, Universidade do Minho)

Colaboração de Francisco J. Queirós de Melo,Rui P.R.Cardoso, Ricardo Sousa e Robertt Valente

(Dep de Eng. Mecânica, Universidade de Aveiro)

Departamento de Engenharia MecânicaCinemática da partícula –1ª Parte

1.1 –Derivada de um vector em ordem a um escalar

Seja um vector Ar função de um escalar g :)(gAA r =

Define-se

gAg gAggAdg

)(gAr Notar que sendo

A uAuAuAA r

vem

dg udAudgdAdg udAudgdAdg udAudgdAdg pois osversorespodem depender de g !

Considere-se o caso particular em que o vector Ar é o vector posição r de um ponto P que se se desloca no espaço quando o tempo decorre e em que o escalar (g) é o tempo t.

Departamento de Engenharia Mecânica r urururr r

A sua derivada em ordem ao tempo chama-se velocidadedo ponto P:

dt udrudtdrdt udrudtdrdt udrudtdrdt rdt

Ao quociente tr∆

∆r chama-se velocidade média durante o intervalo de tempo ∆t.

1.2 –Representação intrínseca da velocidade e da aceleração

Vamos estudar um sistema de coordenadas a que se chama “intrinseco” pelo facto de ser definido a partir da própria trajectória. Notar que, assim sendo, osversoresirão depender não só da posição do ponto mas também da maneira como essa posição varia (trajectória).

r τr ηrb r yz O ητ r a) Versor da tangente )(τr ds rdrr=τÉ tangente, pois rdr o é;

Év ersor, pois 1=⇒= τr dsrd

Departamento de Engenharia Mecânica b) Versor da normal )(ηr dsdK τη r 1=

KCurvatura da linha no ponto considerado.

ds dR τη r =

RRaio de curvatura da linha no ponto considerado.

XPor definição é ds dKR

==1, pelo que o vector ηr acima definido tem módulo 1, i.é, éversor.

XVerifiquemos que éτηr⊥

dsddsddsddsdds d ds d cte

Notar que não foi o facto de o módulo ser 1 que foi relevante, mas sim o facto de o módulo ser constante!

“ Se um vector depende de um escalar mas tem módulo constante (i.é, se só a sua direcção varia) a sua derivada em relação ao escalar dá um vector que lheé perpendicular”.

τττ r r vdt sddt sdds rddt rdv v

A velocidade é um vector dirigido segundo a direcção tangente à trajectória.

Departamento de Engenharia Mecânica d) Aceleração )(ar

av R dv d d v dav v dt dt dt dt d d s v vcomo a a dt ds dt R R dva aceleração tangencial dt va aceleração normal ou centrípta R r r r r rr

À aceleração normal também pode chamar-secentríptaporque ela aponta para o centro de curvatura da trajectória.

O “centro de curvatura” por definição situa-se sobre a recta normal, a uma distância da curva, “para dentro”, igual ao raio de curvatura.

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@A componente tangencial da aceleração estáassociada (éigual, aliás) àvariação do módulo da velocidade isto é, àvariação da “rapidez”.

@A componente normal da aceleração estáassociada àvariação da direcção da velocidade:

dt dvan

Assim, as acelerações ( ⇒forças ) são necessárias não sópara fazer variar a rapidez de um movimento mas também necessárias para fazer variar a direcção da trajectória.

Casos particulares

adt vddt dvdt vdvdtddt vda teconsdirecçãocte

È claro que neste caso a trajectória é uma recta como se pode verificar

KRRv dt dvaécasoneste geralRvdt dva τ ητ r

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