Baixe Apostila de Cálculo B ou 2 e outras Notas de estudo em PDF para Informática, somente na Docsity! PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA CÁLCULO B Material elaborado pelo Prof. Francisco Leal Moreira Revisado pelo Prof. Francisco Alberto Silveira 2007/1 SUMÁRIO ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.. INTEGRAÇÃO POR PARTES ............................................................. 1 1.1. RESPOSTAS .......................................................................................................................................... 1 2 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS .......................................................................................................................... 2 2.1. RESPOSTAS .......................................................................................................................................... 2 3. CÁLCULO SOMATÓRIO ............................................................................................................................ 3 3.1. NÚMERO DE PARCELAS DO SOMATÓRIO ..................................................................................... 3 3.2. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO .................................................................................................... 4 3.3. SOMATÓRIO DUPLO ........................................................................................................................... 6 3.4. RESPOSTAS .......................................................................................................................................... 7 4. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES ............................................................................................................................. 8 4.1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 8 4.2. SEQÜÊNCIAS INFINITAS ................................................................................................................... 8 4.3. LIMITE DE UMA SEQÜÊNCIA ........................................................................................................... 9 4.4. SÉRIES INFINITAS ............................................................................................................................... 9 4.5. SOMA DE UMA SÉRIE ....................................................................................................................... 11 4.6. SÉRIES GEOMÉTRICAS .................................................................................................................... 11 4.7. PROPRIEDADES DAS SÉRIES .......................................................................................................... 12 4.8. TESTE DA DIVERGÊNCIA ................................................................................................................ 13 4.9. TESTE DA INTEGRAL ....................................................................................................................... 13 4.10. SÉRIE-P............................................................................................................................................... 13 4.11. TESTE DA COMPARAÇÃO DO LIMITE ......................................................................................... 14 4.12. SÉRIES ALTERNADAS ..................................................................................................................... 14 4.13. TESTE DE LEIBNIZ ........................................................................................................................... 14 4.14. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA CONDICIONAL ....................................... 15 4.15. TESTE DA RAZÃO ............................................................................................................................ 15 4.16. SÉRIES DE POTÊNCIAS ................................................................................................................... 16 4.17. INTERVALO DE CONVERGÊNCIA ................................................................................................ 16 4.18. FUNÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES DE POTÊNCIAS .................................................................. 17 4.19. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS ....................................................... 18 4.20. SÉRIES DE TAYLOR ......................................................................................................................... 18 4.21. RESPOSTAS ....................................................................................................................................... 20 5. OS CONJUNTOS 2 ℜ E 3 ℜ ................................................................................................................ 21 5.1. O CONJUNTO 2 ℜ ........................................................................................................................... 21 5.2. O CONJUNTO 3 ℜ ........................................................................................................................... 21 6. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ....................................................................................................... 22 6.1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................... 22 6.2. CURVAS DE NÍVEL ........................................................................................................................... 23 6.3. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 24 7. DERIVADAS PARCIAIS ........................................................................................................................... 25 7.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS................................................ 25 7.2. DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM ........................................................................... 26 7.3. HESSIANO ........................................................................................................................................... 26 7.4. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 27 8. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS............................................................ 28 2 2. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS A integral imprópria de f sobre o intervalo ),a[ +∞ é definida por ∫∫ ∞→ ∞ = t ata dx)x(flimdx)x(f . Se o resultado é um número real, dizemos que a integral imprópria converge. Se o limite não existe ou é infinito, dizemos que a integral imprópria diverge. E1) Determine se cada integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, ache seu valor. 1) ∫ ∞ 1 3x dx 2) ∫ ∞ 1 x dx 3) ∫ ∞ 1 x dx 4) ∫ ∞ 0 x 2 dx e x 3 5) ∫ ∞ +0 3 2 dx 1x x 2.1. RESPOSTAS E1) 1) Converge, 1/2 2) Diverge 3) Diverge 4) Converge, 1/3 5) Diverge 3 3. CÁLCULO SOMATÓRIO Consideremos a seguinte soma indicada : 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 100 Podemos observar que cada parcela é um número par e portanto pode ser representada pela forma 2n, neste caso, com n variando de 0 a 50. Esta soma pode ser representada abreviadamente por: ∑ = 50 0n n.2 que se lê: “somatório de 2n com n variando de 0 a 50”. A letra ∑ que é o esse maiúsculo grego (sigma) é denominada sinal de somatório e é usada para indicar uma soma de várias parcelas. Seja {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto de n números reais, o símbolo ∑ = n 1i ia representa a sua soma, isto é, ∑ = n 1i ia = a1 + a2 + a3 + ... + an. Em ∑ = n 1i ia : a) A letra i é denominada índice do somatório e, em seu lugar, pode figurar qualquer outra letra. b) Os valores 1 e n, neste caso, são denominados, respectivamente, limites inferior e superior. E1)Desenvolva os seguintes somatórios: 1) ∑ = − 5 1x 2 )xx( 2) ∑ ∞ = − 2j j j.)1( 3) ∑ = 5 0n na!n E2)Escreva sob a forma de somatório as seguintes expressões: 1) 1 – 3 + 5 – 7 + ... 2) 5 24 4 6 3 2 2 1 1 ++++ 3) 11.9 10 ... 6.4 5 5.3 4 4.2 3 3.1 2 +++++ E3)Calcule o valor de: 1) ∑ = − 5 0n n !n.)1( 2) ∑∑ == −         5 0i 2 25 0i ii 3.1. NÚMERO DE PARCELAS DO SOMATÓRIO na1papa n pi ia ++++ = =∑ L , logo ∑ = n pi ia tem ( n – p + 1 ) parcelas E4)Destaque a parcela central e a décima parcela de ∑ = − 100 0n n n3.)1( . 4 3.2. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO 1. Somatório de uma constante Sejam ai = k , com i = p,...,n. k)1pn(kkkaaaak n1pp n pi i n pi +−=+++=+++== + == ∑∑ LL ∑ = +−= n pi k).1pn(k 2. Somatório do produto de uma constante por uma variável Sejam kai , com i = p,...,n. ∑∑ = ++ = =+++=+++= n pi in1ppn1pp n pi i ak)aaa(kkakakaka LL ∑∑ == = n pi i n pi i akka 3. Somatório de uma soma algébrica Sejam ai ± bi , com i = p,...,n. )bbb()aaa()ba()ba()ba()ba( n1ppn1ppnn1p1ppp n pi ii +++±+++=±++±+±=± ++++ = ∑ LLL ∑∑ == ±= n pi i n pi i ba ∑∑∑ === ±=± n pi i n pi i n pi ii ba)ba( 4. Separação do último termo n 1n pi i n pi i aaa +=∑∑ − == 5. Separação do primeiro termo ∑∑ += += = n 1pi iapa n pi ia 7 3.4. RESPOSTAS E1) 1) 0 + 2 + 6 + 12 + 20 2) 2 – 3 + 4 – 5 + ... 3) a0 + a1 + 2a2 + 6a3 + 24a4 + 120a5 E2) 1) ∑ ∞ = +− 0i i )1i2.()1( 2) ∑ = + 4 0i 1i !i 3) ∑ = + +9 1i )2i(i 1i E3) 1) –100 2)170 E4) a50 =150 e a10 = -27 E6) 1) –5 2) 90 3) –25 4) 40 5) 40 6) 151 7) 3 8) 10 E7) 1) –8 – 7 – 6 – 6 – 4 – 2 – 4 – 1 + 2 2) 16 + 25 + 25 + 36 + 36 + 49 + 49 + 64 3) 2 + 4 + 8 + 16 + 3 + 9 + 27 + 81 4) (y2 – x1) + (y3 – x1) + (y4 – x1) + (y2 – x2) + (y3 – x2) + (y4 – x2)+ (y2 – x3) + (y3 – x3) + (y4 – x3) E8)1) –12 2) 9x – 27 3) 8z2 4) 100 E9) 1) ∑∑ = = 3 2i 5 3j ji 2) ∑∑ = = 4 1i 5 4j j i E10) 1) )5n2(n 2 + 2) n2 (n + 1) 3) 2 )1n3(n 2 + 4) 6 )5n2)(1n(n −+ 8 4. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES 4.1. INTRODUÇÃO As séries infinitas podem ser usadas para obter valores funcionais. Podemos representar certas funções como séries infinitas cujos termos contêm potências de uma variável x. Substituindo x por um número real c e determinando a soma infinita resultante, obtemos o valor de f(c). Isto é, em essência, o que uma calculadora faz quando calcula valores de funções. A representação por séries infinitas, de sen x , ex e outras expressões nos permite abordar problemas que não podem ser resolvidos por métodos finitos, como por exemplo, a integral .dxe 2x ∫ − 4.2. SEQÜÊNCIAS INFINITAS Uma seqüência infinita é uma lista de números numa certa ordem. a1, a2, a3,...,an,... onde: a1 : 1 0 termo a2 : 2 0 termo .................. an: n-ésimo termo ou termo geral Notações: { a1, a2, a3,...,an,... } ou {an} Exemplos: a) Os termos da seqüência       +1n n são: ,... 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 Representação gráfica da seqüência : an 1 0,9 Observa-se que: se n cresce sem limites, an cresce aproximando-se de 1, isto é, =     = +∞→∞→ 1n n limlim n n n a 1 0,5 Neste caso, dizemos que a seqüência converge para 1. 0,1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 9 b)Os termos da seqüência { }∞=− 2n2n são: 0, 1, 2 , 3 , 2, 5 ,... Representação gráfica da seqüência : an 3 Observa-se que: se n cresce sem limites, an também cresce sem limites, isto é, 2 =−= ∞→∞→ 2na limlim n n n ∞ 1 Neste caso, dizemos que a seqüência diverge. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.3. LIMITE DE UMA SEQÜÊNCIA Dizemos que a seqüência {an} converge para um número real L, ou que tem por limite L quando .Lalim n n = ∞→ Se n n alim ∞→ não existe, dizemos que a seqüência {an} não converge(diverge). Outros exemplos de seqüências: a) an = 1n 1n + − é o termo geral da seqüência 0, ,... 5 3 , 4 2 , 3 1 b)A seqüência de Fibonacci é definida por a1 = 1, a2 = 1 e an+1 = an + an-1 , para n 2≥ Os termos da seqüência de Fibonacci são 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Esta seqüência tem importância especial na ciência da computação; o estado de um computador, a cada tique do seu relógio interno, depende do seu estado no tique anterior. c) A seqüência dos números primos: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...} 4.4. SÉRIES INFINITAS Se {an} é uma seqüência infinita, então uma expressão ...a...aaa n21 1n n ++++=∑ ∞ = é chamada série numérica infinita de termo geral an. 12 E1) Determine se a série é convergente ou divergente, se convergente encontre a soma. 1) ... 8 1 4 1 2 1 1 ++++ 2) ... 8 27 4 9 2 3 1 ++++ 3) ∑ − ∞ = + 1n 1n)1( E2) Determine a série infinita que tem a seguinte seqüência de somas parciais: 1){Sn} =       +1n n4 2){Sn} =       +1n3 n2 3){Sn} =         +1n n 2 4){Sn} = { }n2 E3) Expresse a dizima periódica 0,222... como uma fração comum. 4.7. PROPRIEDADES DAS SÉRIES a) Se ∑ ∞ =1n na converge e c é um número real, então ∑ ∞ =1n nca também converge e ∑ ∞ =1n nca = c ∑ ∞ =1n na . Exemplo: ∑ ∞ =1n n2 5 é convergente. Justifique. b) Se ∑ ∞ =1n na e ∑ ∞ =1n nb convergem , então ∑ ± ∞ =1n nn )ba( também converge e ∑ ± ∞ =1n nn )ba( = ∑ ∞ =1n na ± ∑ ∞ =1n nb . Exemplo: ) 3 1 2 1 ( 1n nn ∑ − ∞ = é convergente. Justifique. c) Se ∑ ∞ =1n na converge e ∑ ∞ =1n nb diverge, então ∑ ± ∞ =1n nn )ba( diverge. Exemplo: )2 3 1 ( 1n n n ∑ + ∞ = é divergente. Justifique. Observação: Se ∑ ∞ =1n na diverge e ∑ ∞ =1n nb diverge, então ∑ ± ∞ =1n nn )ba( pode convergir ou divergir. d) Se ∑ ∞ =1n na converge, então 0alim n n = ∞→ . Justificativa: Se ∑ ∞ =1n na converge, n n Slim ∞→ = S e 1n n Slim − ∞→ = S. Como Sn= a1 + a2 + ... an-1 + an , an = Sn – Sn-1. Logo, n n alim ∞→ = n n Slim ∞→ - 1n n Slim − ∞→ = S – S = 0 E4) Verifique se a série converge, em caso afirmativo, determine a sua soma: 1) ∑ ∞ =1n n2 1 2)∑ ∞ =1n 1 3) ∑ + ∞ =1n )1n(n 1 (série telescópica) Para muitas séries é difícil ou praticamente impossível encontrar uma fórmula simples para Sn . Em tais casos, são usados alguns testes que não nos fornecem a soma S da série; dizem-nos apenas se a soma existe. Isto é suficiente na maioria das aplicações porque, sabendo que a soma existe, podemos aproximar o seu valor com um grau arbitrário de precisão, bastando somar um número suficiente de termos da série. 13 4.8. TESTE DA DIVERGÊNCIA Se 0alim n n ≠ ∞→ , então a série infinita ∑ ∞ =1n na diverge. Observação: O 0alim n n = ∞→ não garante a convergência da série. E5) Prove que as séries seguintes são divergentes: 1) ∑ +∞ =1n 2 2 n 1n 2) ∑ − ∞ = + 1n 1n)1.(2 3) ... 1n2 n ... 7 3 5 2 3 1 + + ++++ 4.9. TESTE DA INTEGRAL Sejam ∑ ∞ =1n na uma série de termos positivos e f uma função continua, tal que f(n) = an , para todo n. Então ∑ ∞ =1n na converge ⇔ ∫ ∞ 1 dx)x(f converge. E6) Determine se a série dada é convergente ou divergente. 1) ∑ ∞ =1n n 1 2) ∑ ∞ =1n 2n 1 3) ∑ ∞ =1n n 1 4) ∑ ∞ = − 1n ne 5) ∑ ∞ =1n nlnn 1 6) ∑ ∞ = − 1n nne 4.10. SÉRIE-P Uma série do tipo ∑ ∞ =1n pn 1 é denominada série- p e, converge se p >1 e diverge se p ≤ 1. Justificativa: Para p = 1, a série-p torna-se∑ ∞ =1n n 1 , e é chamada série harmônica. Diverge(exercícioE6, 1) Se p ≠ 1, )1b(lim p1 1 1p x limdxxlim x dx p1 b b 1 1p b1 b 1 p bp − − =         +− == − ∞→ +− ∞→ ∞ − ∞→∫ ∫ Para p > 1, p1 1 )1 b 1 (lim p1 1 )1b(lim p1 1 1pb p1 b − =− − =− − −∞→ − ∞→ . Logo a série p converge. Para 0 < p < 1, ∞=− − − ∞→ )1b(lim p1 1 p1 b . Logo a série p diverge. Para p< 0, ∞=== − ∞→∞→∞→ p npn n n nlim n 1 limalim . Logo, a série p diverge. Para p = 0, a série-p torna-se ∑ ∞ =1n 1 que é uma série divergente. Portanto, a série-p é convergente somente quando p > 1. 14 4.11. TESTE DA COMPARAÇÃO DO LIMITE Sejam ∑ ∞ =1n na e ∑ ∞ =1n nb séries de termos positivos. Se ,cb a lim n n n = ∞→ onde c é um número positivo, então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem. E7) Determine se a série dada é convergente ou divergente. 1) ∑ ∞ = +1n n31 1 2) ∑ ∞ = +1n 2 2n 1 3) ∑ ∞ = − 1n 1n2 2 4) ∑ ∞ = ++1n 24 2nn 1 5) ∑ ∞ = +1n 2 1n n 6) ∑ ∞ = + 1n 3n 1n 4.12. SÉRIES ALTERNADAS Uma série alternada é uma série da forma ∑ −∑ − ∞ = ∞ = + 1n n n 1n n 1n a)1(oua)1( com an > 0. 4.13. TESTE DE LEIBNIZ Seja uma série alternada. Se an ≥ an+1 e 0alim n n = ∞→ , então a série converge. E8) Determine se as séries alternadas convergem ou divergem. 1) ∑ − ∞ = + 1n 1n)1( 2) ∑ −∞ =1n n n )1( 3) 3n4 n2 )1( 1n 1n − ∑ − ∞ = − 4) )1n(n 2n )1( 1n n + + ∑ − ∞ = 5) 3n4 n2 )1( 2 1n 1n − ∑ − ∞ = − O conceito a seguir permite que utilizemos testes para séries de termos positivos para determinar a convergência de outros tipos de séries. 17 4.18. FUNÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES DE POTÊNCIAS Uma série de potências de x pode ser encarada como uma função de variável x, f(x) =∑ ∞ = − 0n n n )cx(b , onde o domínio de f é o conjunto dos valores de x que tornam a série convergente. Cálculos numéricos utilizando série de potências são a base para a construção de calculadoras. Cálculos algébricos, diferenciação e integração podem ser realizados com o uso de séries. O mesmo acontece com as funções trigonométricas, trigonométricas inversas, logarítmicas e hiperbólicas. E12) Ache uma função f representada pela série de potências 1 + x + x2 + x3 + ... + xn + ... E13) Considere o exercício E12 e calcule o valor aproximado de f(1/10) a) usando os dois primeiros termos da série. b) usando os três primeiros termos da série. c) usando os quatro primeiros termos da série. d) usando os cinco primeiros termos da série. E14) Calcule o valor de f(1/10) usando a lei. E15) Comparando os valores encontrados em E13 e E14, o que se pode concluir ? E16) Considere o exercício E12 e calcule o valor aproximado de f(2) a) usando os dois primeiros termos da série. b) usando os três primeiros termos da série. c) usando os quatro primeiros termos da série. E17) Calcule o valor de f(2) usando a lei. E18) Comparando os valores encontrados em E16 e E17, o que se pode concluir ? E19) Considere o exercício E12 e obtenha uma representação em série de potências para 1)g1(x) = x1 1 + 2) g2(x) = x1 1 − − 3) g3(x) = 2x1 1 − 18 4.19. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS Se f(x) = ∑ ∞ = − 0n n n )cx(b está definida no intervalo (c – R , c + R) para algum R > 0, então: a)f é derivável e f ’(x) =∑ ∞ = −− 1n 1n n )cx(nb =∑ ∞ = + −+ 0n n 1n )cx(b)1n( , para todo x ∈ (c – R , c + R). b)f é integrável e ∫ x 0 dt)t(f =∑ ∞ = + + − 0n 1n n 1n )cx(b , para todo x ∈ (c – R , c + R). E20) Seja f(x) = x1 1 − = ∑ ∞ =0n nx , determine: 1) f ’(x) e a série que representa f ’(x) 2) ∫ dx)x(f e a série que representa ∫ dx)x(f 3) ∫ 2/1 0 dx)x(f e a série que representa ∫ 2/1 0 dx)x(f 4.20. SÉRIES DE TAYLOR Se f é uma função que admite uma representação em séries de potências f(x) = ∑ ∞ = − 0n n n )cx(b , quem são os bn ? f(x) = b0 + b1(x-c) + b2(x-c) 2 + b3(x-c) 3 + b4(x-c) 4 + ... + bn(x-c) n + ...⇒ f(c) = b0 f ’(x) = b1 + 2b2(x-c) + 3b3(x-c) 2 + 4b4(x-c) 3 + ... + nbn(x-c) n-1 + ... ⇒ f ’(c) = b1 = 1!b1 e b1 = !1 )c('f f ’’(x) = 2b2 + 3.2b3(x-c) + 4.3b4(x-c) 2 + ... + n(n-1)bn(x-c) n-2 + ... ⇒ f ’’(c) = 2b2 = 2!b2 e b2 = !2 )c(''f f ’’’(x) = 3.2b3 + 4.3.2b4(x-c) + ... + n(n-1)(n-2)bn(x-c) n-3 + ... ⇒ f ’’’(c) = 3.2b3= 3!b3 e b3 = !3 )c('''f f (IV)(x) = 4.3.2b4 + ... + n(n-1)(n-2)(n-3)bn(x-c) n-4 + ... ⇒ f (IV)(c) = 4.3.2b4 = 4!b4 e b4 = !4 )c(f )IV( M M M Logo b0 = f(c) e bn = !n )c(f )n( para n ≥ 1 e portanto f(x) = f(c) + ∑ − ∞ =1n n )n( )cx( !n )c(f que é denominada série de Taylor para f de centro em c, para todo x pertencente ao intervalo de convergência. 19 Se c = 0, a série de Taylor assume a forma f(x) = f(0) + f ’(0)x + 2x 2! (0)''f + 3x 3! (0)'''f + ... + n )n( x !n )0(f + ... que é denominada série de Maclaurin para f. E21) Encontre a série de Taylor de centro em c = 1 para: 1) f(x) = ln x 2) f(x) = ex 3) f(x) = x 1 E22) No exercício anterior, para que valores de x a série encontrada representa a função f ? E23) Encontre a série de Taylor de centro em c = 0 para: 1) f(x) = ln(1+ x) 2) f(x) = ex 3) f(x) = 2xe 4) f(x) = e-2x 5) f(x) = sen x 6) f(x) = sen 2x 7) f(x) = cos x 8) f(x) = 1x 1 − 22 6. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 6.1. INTRODUÇÃO Quando dizemos que a medida do volume de um paralelepípedo retângulo depende das medidas das suas dimensões, queremos dizer que: conhecidas as medidas das arestas a, b e c, podemos determinar o seu volume V, através da expressão V = abc. A equação V = abc define V como função de a, b e c, pois dados os valores das variáveis independentes a, b e c, existe em correspondência um único valor para a variável dependente V. Uma relação deste tipo é denominada de função de três variáveis. Uma função de n variáveis é uma relação que a cada n-upla ordenada de números reais (x1,x2,...,xn) faz corresponder um único número real. E1) Seja a função dada f(x,y) = x2 + y2 (duas variáveis). Encontre: a) f(1,2) b) f(0,0) c) f(-3,-4) d) Dom f e) Im f O gráfico de f é uma superfície do 3ℜ (parabolóide abaixo). z Observação: As funções de três ou mais variáveis não podem ser representadas graficamente. 0 y x E2) Seja a função dada por f(x,y,z) = 222 zyx ++ . Determine: 1) f(0,0,0) 2) f(-1,-1,1) 3) f(1,2,3) 4) Dom f 5) Im f E3) Seja a função dada por f(x,y) = xy x3 − . Determine: 1) f(1,0) 2) f(3,-7) 3) f(1,-1) 4) Dom f 5) a representação gráfica do Dom f E4) Seja f(x,y) = yx 1 2 − . Determine: 1) f(1,0) 2) f(3,-7) 3) f(1,-1) 4) Dom f 5) a representação gráfica do Dom f 23 E5) Represente graficamente os domínios das seguintes funções : 1) f(x,y)= 1yx −+ 2) 1yx2 1 )y,x(f +− = 3) f(x,y)= ln (x2- y + 1) 4) f(x,y) = 1x xln − 6.2. CURVAS DE NÍVEL Ck = { }k)y,x(f/)y,x( 2 =ℜ∈ Seja a função dada por z= x2 + y2 . As curvas de nível para z = 0 , z =1 , z = 2 e z = 4 são : z=0 ⇒ x2 + y2 = 0 (x = y = 0 ) z=1 ⇒ x2 + y2 = 1 (circunferência de centro C(0,0) e raio 1 ) z=2 ⇒ x2 + y2 = 2 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2 ) z=4 ⇒ x2 + y2 = 4 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2 ) Mapa de curvas de nível y 2 z =4 2 z = 2 1 Observação: As curvas de nível nunca z = 1 se interceptam. z=0 -2 - 2 -1 00 1 2 2 x -1 - 2 -2 Gráfico da Função (parabolóide) z y x 24 E6) Esboce as curvas de nível das funções: 1) z = y - x2 para z = 0, z =1 e z =2 2) z = y – x para z = 0, z =2 e z =4 3) z = y – ln x para z = 0, z =1 e z =2 E7) Seja a função dada por z = 22 yx4 −− 1) Faça as curvas de nível para z = 0, z = 1 e z = 2 2) Represente graficamente a função 6.3. RESPOSTAS E1) 1) 5 2) 0 3) 25 4) 2ℜ 5) ),0[ +∞ E2) 1) 0 2) 3 3) 14 4) 3ℜ 5) ),0[ +∞ E3) 1) –3 2) – 10 9 3) 2 3 − 4) }xy/)y,x{( 2 ≠ℜ∈ E4) 1) 1 2) 4 1 3) 2 2 4) }xy/)y,x{( 22 <ℜ∈ E5) 1) }1xy/)y,x{( 2 +−≥ℜ∈ 2) }1x2y/)y,x{( 2 +≠ℜ∈ 3) }1xy/)y,x{( 22 +<ℜ∈ 4) }1xe0x/)y,x{( 2 ≠>ℜ∈ 27 E5) Calcule o Hessiano da função dada por: 1)f (x,y) = x3 – y3 + 2xy – 1 no ponto (2,-1) 2) f(x,y) = x2y3 + 2xy – 4x + 3y – 5 no ponto (-1,-1) 7.4. RESPOSTAS E1) 1) 8xy – 15x2y2 + 2 ; 4x2 – 10x3y – 1 2) y ; y2 x 3) x 1 ; y 2 4) 1yx x 22 −+ ; 1yx y 22 −+ 5) 2 2 )y2x3( y4 − − ; 2 2 )y2x3( x6 − 6) 22 2 )y4x( y8xy6x2 + ++− ; 22 2 )y4x( x8x3 + −− 7)exy(2xy – y2 + 2) ; exy(2x2 – xy – 1) 8) 4xysen 2y ; 2x2(sen 2y + 2ycos 2y) 9) 2cos(1-xy) + 2xysen(1-xy) ; 2x2sen(1-xy) 10) y x 1 2 +− ; x y2 1 2 + E2) 1) 4 2) 4 3) -3 E3) 1) )}0,0{(2 −ℜ 2) 125 3 − 3) 125 996 E4) 125 996 E4) 1) 2y ; -2x ; 2x – 2y 2) 0 ; 0 ; 1 3) 2x 1 − ; 2y 1 − ; 0 4) 2xy4ey − ; )1xy2(xe2 2xy 2 −− ; )yxy(e2 3xy 2 −− 5) 3x y4 ; 0 ; 2x 2 − 6) 6xy2 ; 2x3 ; 6x2y 7) 0 ; xe-y ; -e-y 8) 0 ; -4xsen 2y ; 2cos 2y 9) –2sen(x2-y) – 4x2cos(x2 – y) ; -cos(x2 – y) ; 2xcos(x2 – y) 10) 2y ; 0 ; 2x E5) 1) 68 2) -4 28 8. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de máximo relativo ou local de f, se existir uma bola aberta de centro em (xo,yo) e raio r tal que, para todo ponto P(x,y) do domínio situado no interior dessa bola, tenhamos f(x,y) ≤ f(xo,yo). O número f(xo,yo) recebe o nome de máximo relativo ou local de f. Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de mínimo relativo ou local de f, se existir uma bola aberta de centro em (xo,yo) e raio r tal que, para todo ponto P(x,y) do domínio situado no interior dessa bola, tenhamos f(x,y) ≥ f(xo,yo). O número f(xo,yo) recebe o nome de mínimo relativo ou local de f. z (a,b) é ponto de máximo relativo de f (c,d) é ponto de mínimo relativo de f d b y a c x Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de máximo absoluto ou global de f, se para todo ponto P(x,y) do domínio, tivermos f(x,y) ≤ f(xo,yo). O número f(xo,yo) recebe o nome de máximo absoluto ou global de f. Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de mínimo absoluto ou global de f, se para todo ponto P(x,y) do domínio, tivermos f(x,y) ≥ f(xo,yo). O número f(xo,yo) recebe o nome de mínimo absoluto ou global de f. 29 8.1. PONTO CRÍTICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS Seja z = f(x,y) uma função definida num conjunto aberto D 2ℜ⊂ . Um ponto (xo,yo)∈D é um ponto de f se as derivadas parciais fx(xo,yo) e fy(xo,yo) são nulas(extremos suaves) ou não existem(extremos bruscos). Geometricamente, são pontos do gráfico da função onde o plano tangente é horizontal ou não existe. E1) Encontre os pontos críticos das funções: 1) f(x,y) = x2 + y2 2) f(x,y) = x3 + y3 – 3x2 –3y 3)f(x,y) = 4x – 2y + 4 4)f(x,y) = 22 yx + 8.2. CRITÉRIO PARA CARACTERIZAÇÃO DE PONTOS EXTREMANTES TESTE DO HESSIANO Seja z = f(x,y) uma função continua, com derivadas parciais até segunda ordem continuas e (xo,yo) um ponto crítico de f. a)Se H(xo,yo) > 0 e fxx(xo,yo) > 0 então (xo,yo) é ponto de mínimo relativo de f. b) Se H(xo,yo) > 0 e fxx(xo,yo) < 0 então (xo,yo) é ponto de máximo relativo de f. c) Se H(xo,yo) < 0 então (xo,yo) não e ponto extremante, é ponto de sela. d) Se H(xo,yo) = 0, nada se pode afirmar. E2) Determine e caracterize os pontos extremantes das funções: 1)f(x,y) = 3x4 + 8x3 - 18x2 + 6y2 + 12y – 4 2) f(x,y) = x2 + y2 – 2x + 1 3) f(x,y) = x3 + 3xy + y2 – 2 4) f(x,y) = 8x3 - 3x2 + y2 + 2xy + 2 5) f(x,y) = 3x2 + y2 – xy + 5 6) f(x,y) = x3 + y2 – 6xy + 6 7) f(x,y) = x3 + 2y2 – 3x – 4y – 8