Análise dinâmica de Estruturas - Apostilas - Engenharia Area Civil Part1, Notas de estudo de Engenharia Civil

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ANÁLISE DINÂMICA DE ESTRUTURAS UTILIZAÇÃO INTEGRADA DE MODELOS DE IDENTIFICAÇÃO MODAL E MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS Lisboa, 2008 Paulo Mendes Sérgio Oliveira iii CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO......................................................................................................................... 1 1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS .................................................................................................................................................... 1 CAPÍTULO 2 – COMPORTAMENTO DINÂMICO DE MODELOS ESTRUTURAIS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE.................................................................................................................................................... 5 2.1 INTRODUÇÃO....................................................................................................................................................................... 5 2.2 EXCITAÇÃO DETERMINÍSTICA ............................................................................................................................................ 7 2.2.1 EQUAÇÃO DO MOVIMENTO PARA ESTRUTURAS DISCRETIZADAS ........................................................................................ 7 2.2.2 FORMULAÇÃO MODAL ....................................................................................................................................................... 9 2.2.2.1 Determinação de frequências e modos de vibração de sistemas sem amortecimento .................................................... 9 2.2.2.2 Determinação de frequências e modos de vibração considerando amortecimento proporcional ................................. 12 2.2.2.3 Funções de resposta em frequência.............................................................................................................................. 13 2.3 EXCITAÇÃO ESTOCÁSTICA................................................................................................................................................ 16 2.3.1 CONCEITOS DE ESTATÍSTICA E DE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS.......................................................................................... 17 2.3.2 FUNÇÕES DE DENSIDADE ESPECTRAL DA RESPOSTA......................................................................................................... 20 2.4 CONCLUSÕES..................................................................................................................................................................... 23 CAPÍTULO 3 – IDENTIFICAÇÃO MODAL ESTOCÁSTICA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA ............................. 25 3.1 INTRODUÇÃO..................................................................................................................................................................... 25 3.2 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE A ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA........................................................................... 27 3.3 MATRIZ DAS FUNÇÕES DE DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DA RESPOSTA ............................................................ 34 3.4 MÉTODO BÁSICO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA .............................................................................................................. 43 3.4.1 IDENTIFICAÇÃO DE FREQUÊNCIAS NATURAIS. ESPECTRO NORMALIZADO MÉDIO ............................................................. 44 3.4.2 FUNÇÕES DE COERÊNCIA ................................................................................................................................................. 46 3.4.3 IDENTIFICAÇÃO DAS CONFIGURAÇÕES MODAIS................................................................................................................ 48 3.4.4 ESTIMATIVAS DOS COEFICIENTES DE AMORTECIMENTOS MODAIS.................................................................................... 51 3.5 MÉTODO DE DECOMPOSIÇÃO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA........................................................................................... 54 3.5.1 DECOMPOSIÇÃO EM VALORES SINGULARES ..................................................................................................................... 55 3.5.2 VERSÃO BASE (FDD)....................................................................................................................................................... 55 3.5.3 VERSÃO MELHORADA (EFDD) ........................................................................................................................................ 58 3.6 APLICAÇÃO DOS MÉTODOS ANTERIORES A RESULTADOS EXPERIMENTAIS .................................................................... 64 3.6.1 DESCRIÇÃO DO MODELO FÍSICO E DO ENSAIO DE VIBRAÇÃO AMBIENTAL......................................................................... 65 3.6.2 EXEMPLO DE APLICAÇÃO EXPERIMENTAL........................................................................................................................ 66 3.7 APLICAÇÃO DOS MÉTODOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA A PARTIR DAS FUNÇÕES DE DECREMENTO ALEATÓRIO...... 75 3.7.1 CONCLUSÕES ................................................................................................................................................................... 87 CAPÍTULO 4 – ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE ESTRUTURAS CONTÍNUAS........................ 89 4.1 INTRODUÇÃO..................................................................................................................................................................... 89 4.2 SISTEMAS ESTRUTURAIS COM MASSA E RIGIDEZ DISTRIBUÍDAS...................................................................................... 90 4.2.1 SOLUÇÃO PARA SISTEMAS COM MASSA E RIGIDEZ DISTRIBUÍDA ...................................................................................... 90 4.3 MODELOS NUMÉRICOS PARA ANÁLISE DE ESTRUTURAS CONTÍNUAS .............................................................................. 94 4.3.1 UTILIZAÇÃO DE MODELOS NUMÉRICOS NA ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE BARRAGENS DE BETÃO........... 95 4.3.2 EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA ESTRUTURAL................................................................................................. 96 4.3.3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS .................................................................................................................................. 98 4.4 INTERACÇÃO ESTRUTURA-FLUIDO. PAREDE EM CONSOLA............................................................................................ 101 iv 4.4.1 SOLUÇÃO OBTIDA COM BASE NA FORMULAÇÃO DOS OSCILADORES CONTÍNUOS ............................................................ 102 4.4.2 MODELOS PLANOS DE ELEMENTOS FINITOS.................................................................................................................... 104 4.4.3 IDENTIFICAÇÃO MODAL ESTOCÁSTICA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA DE ESTRUTURAS CONTÍNUAS ............................... 108 4.4.4 CASO DE ESTUDO ........................................................................................................................................................... 120 4.5 CONCLUSÕES ................................................................................................................................................................... 133 CAPÍTULO 5 ...............................................................................................................................................135 5.1 SÍNTESE DO TRABALHO ................................................................................................................................................... 135 ANEXO A ...................................................................................................................................................139 A.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................................. 139 A.2 SÉRIES TEMPORAIS DE DADOS. AMOSTRAGEM.............................................................................................................. 140 A.3 ANÁLISE ESPECTRAL. FUNDAMENTOS ........................................................................................................................... 141 A.3.1 DA SERIE DE FOURIER A TRANSFORMADA DE FOURIER ................................................................................................. 142 A.3.2 APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER A SÉRIES TEMPORAIS ............................................................. 144 A.3.3 ERROS ........................................................................................................................................................................... 145 A.4 FILTRAGEM DE SINAIS .................................................................................................................................................... 151 A.4.1.1 Tipos básicos de filtros.............................................................................................................................................. 152 A.5 DECIMAÇÃO.................................................................................................................................................................... 154 A.6 ZOOM .............................................................................................................................................................................. 155 A.7 CONCLUSÕES .................................................................................................................................................................. 155 ANEXO B....................................................................................................................................................157 B.1 INTRODUÇÃO................................................................................................................................................................... 157 B.1.1 FUNÇÕES DE DECREMENTO ALEATÓRIO......................................................................................................................... 158 B.1.2 CONDIÇÕES INICIAIS...................................................................................................................................................... 158 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO SUMÁRIO: As crescentes preocupações da sociedade com as questões de segurança têm-se reflectido, ao nível da engenharia de estruturas, na revisão da regulamentação de segurança, nomeadamente no que concerne ao comportamento das estruturas sob acções dinâmicas, e em particular, sob acções sísmicas. Os novos avanços ao nível da regulamentação têm sido conseguidos com base num maior conhecimento do comportamento estrutural, resultante dos recentes desenvolvimentos ao nível das tecnologias que permitem a observação do comportamento dinâmico de estruturas reais (e de modelos físicos), ao nível das metodologias de identificação modal e ao nível dos modelos computacionais para simulação e interpretação do comportamento dinâmico. Neste sentido, a observação do comportamento dinâmico de estruturas e o desenvolvimento de modelos numéricos para análise e interpretação do seu comportamento, são objecto de abordagem neste trabalho. Assim, neste capítulo introdutório refere-se a motivação e os principais objectivos do trabalho. 1.1 Considerações gerais A análise do comportamento dinâmico de estruturas de engenharia civil deve ser efectuada recorrendo a resultados experimentais obtidos em ensaios de vibrações e a modelos numéricos computacionais. Normalmente, a utilização de modelos numéricos está associada à concepção e projecto de novas estruturas ou então a actividades relacionadas com o acompanhamento e/ou a avaliação de segurança de estruturas existentes que apresentem um risco potencial significativo, como é o caso das pontes e das grandes barragens (ver Figura 1.1). O recurso à realização de ensaios de vibrações está usualmente associado aos designados ensaios de recepção, realizados após a construção das estruturas e antes da sua entrada em serviço, para avaliar as condições de segurança iniciais, bem como a ensaios periódicos ao longo da vida útil das estruturas, enquadrados nas actividades de observação do seu comportamento dinâmico. Recentemente, têm-se verificado importantes desenvolvimentos, quer ao nível da modelação numérica, quer ao nível da tecnologia utilizada para a realização de ensaios de vibrações, os quais estão alicerçados nas crescentes capacidades computacionais e nos mais recentes desenvolvimentos tecnológicos verificados ao nível dos equipamentos utilizados para medir a resposta dinâmica das estruturas (sistemas de aquisição de dados, condicionadores de sinal, sensores, etc.). O recurso a modelos numéricos na concepção, projecto e controlo de segurança de estruturas é essencial, nomeadamente sempre que se recorre à utilização de novos materiais, novas formas estruturais e/ou novas metodologias de observação. Figura 1.1 Barragem da Aguieira. Capítulo 1: Introdução 4 CAPÍTULO 2 COMPORTAMENTO DINÂMICO DE MODELOS ESTRUTURAIS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE SUMÁRIO: O estudo do comportamento dinâmico de modelos estruturais com um ou vários graus de liberdade, é essencial para a introdução de alguns dos fundamentos da dinâmica de estruturas, essenciais para o desenvolvimento de estudos mais avançados. Pelo que, a introdução deste capítulo visa introduzir alguns desses fundamentos, essenciais para os conceitos que são apresentados nos capítulos seguintes, os quais estão associados ao estudo da resposta de modelos estruturais com vários graus de liberdade, no domínio da frequência, a partir de excitações conhecidas, designadas por determinísticas, bem como, a partir de excitações desconhecidas, designadas por estocásticas. 2.1 Introdução A análise e caracterização do comportamento dinâmico de estruturas baseia-se num conjunto de fundamentos, que usualmente são descritos em aplicações a modelos estruturais com um e/ou vários graus de liberdade [Clough e Penzien, 1993; Chopra, 2000]. Neste capítulo apresentam-se estes fundamentos, realçando em particular, alguns conceitos essenciais para o desenvolvimento de métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência (capítulo 3). Os métodos de identificação modal estocástica têm por objectivo a identificação das principais características dinâmicas das estruturas, a partir de dados sobre a sua resposta (em geral obtidos experimentalmente), sob as acções dinâmicas que normalmente as solicitam, as quais apresentam em geral uma variação temporal de natureza aleatória, podendo ser caracterizadas através de conceitos probabilísticos, como mais à frente se verá. Todavia, em primeiro lugar apresentam-se os conceitos clássicos, associados ao estudo da resposta das estruturas a partir de excitações conhecidas, designadas por determinísticas. Para além de uma adequada idealização das acções actuantes é igualmente importante a consideração de um modelo matemático capaz de descrever de uma forma suficientemente aproximada o funcionamento estrutural, o qual deverá permitir a obtenção de relações matemáticas entre as características essenciais da excitação e da resposta estrutural resultante. Estes modelos matemáticos, utilizados para caracterizar o comportamento dinâmico das estruturas, podem recorrer a diferentes formulações, nomeadamente, formulações no domínio do tempo e no domínio da frequência, em coordenadas estruturais ou coordenadas modais. Genericamente, e independentemente do tipo de excitação, o processo relativo à caracterização do comportamento dinâmico de estruturas (ver Figura 2.1), baseia-se no estabelecimento de um modelo matemático e de relações excitação-resposta, bem Capítulo 2: Comportamento dinâmico de modelos estruturais com vários graus de liberdade 6 como a adopção de um modelo espacial discreto ou contínuo que represente aproximadamente as propriedades geométricas e físicas das estruturas, usualmente expressas através das matrizes de massa, rigidez e amortecimento, bem como a aplicação das leis da Mecânica, resultando daí um sistema de equações diferenciais caracterizador do movimento estrutural, a partir do qual é possível obter relações excitação-resposta, quer numa óptica determinística, quer numa óptica estocástica. Propriedades estruturais: massa - m rigidez - k amortecimento - c t Acção harmónica (conhecida / desconhecida) 0 p (t) t0 p (t) t0 p (t) t0 p (t) t0 p (t) p τ Acção sísmica (desconhecida) Acção do tipo ruído ambiente (desconhecida) Acção do vento (desconhecida) Acção impulsiva (conhecida / desconhecida) Resposta estrutural u (t) t Caracteríticas modais: frequências naturais - f i configurações modais - φ i amortecimentos modais - ξ i m.u(t)+c.u(t)+k.u(t)=p(t) .. . p (t) = - m.u (t).. b u (t) - aceleração da base de fundação.. b Figura 2.1 Esquema representativo da caracterização do comportamento dinâmico de estruturas. Neste capítulo, o estudo do comportamento dinâmico de estruturas é efectuado, assumindo simplificadamente a hipótese de comportamento elástico linear e que as características estruturais são invariantes no tempo. Nos modelos matemáticos utilizados para estudar o comportamento dinâmico de estruturas com vários graus de liberdade, as propriedades estruturais são usualmente representadas por intermédio de matrizes, que resultam de uma prévia discretização, normalmente efectuada recorrendo a elementos finitos, como se verá no capítulo 4. As propriedades estruturais são relacionadas com as forças externas, através do estabelecimento de equações diferenciais de equilíbrio. Tendo em conta o tipo de excitação, é efectuada a apresentação dos diversos conceitos, recorrendo a um exemplo de aplicação que também será utilizado no capítulo 3, o qual se refere ao modelo plano da estrutura de um modelo físico de um edifício de 3 pisos (ver Figura 2.2). u (t)1 2 3 u (t) u (t) Figura 2.2 Exemplo de um oscilador com 3 graus de liberdade. Modelo plano da estrutura de um modelo físico um edifício de 3 pisos. 2.2 Excitação determinística 9 20 0 m m 20 0 m m 20 0 m m 200 mm 20 0 m m placa ( aço ) placa ( aço ) placa ( aço ) 15 m m Pilares : (alumínio) 3 mm x 18 mm 1 x x2 u (t)1 2 3 u (t) u (t) p (t)1 p (t)2 p (t)3 k/2 k/2 k/2 k/2 k/2 k/2 m m m (a) (b) Figura 2.3 Modelo físico da estrutura do edifício de 3 pisos: (a) perspectiva do modelo; (b) idealização estrutural plana. 2.2.2 Formulação modal A formulação modal permite transformar o sistema de equações diferenciais anterior, num conjunto de equações diferenciais independentes (ou desacopladas). A operação de desacoplar, consiste em expressar o vector dos deslocamentos numa combinação linear de vectores independentes, designados por modos de vibração, os quais são combinados linearmente através das designadas coordenadas modais. 2.2.2.1 Determinação de frequências e modos de vibração de sistemas sem amortecimento Os fundamentos da formulação modal desenvolvem-se a partir do caso teórico de estruturas sem amortecimento e sem forças externas aplicadas, com base no qual se determinam os seus valores e vectores próprios, os quais correspondem respectivamente às suas frequências próprias e modos de vibração. Considerando a equação do movimento para a situação de vibração livre sem amortecimento, ou seja ( ) ( )m u t k u t 0⋅ + ⋅ = a equação anterior também pode ser representada na forma seguinte ( ) ( )2m u t k u t 0− ⋅ ω ⋅ + ⋅ = ou ( )2k m u t 0⎡ ⎤− ⋅ ω ⋅ =⎣ ⎦ que corresponde a um sistema algébrico cuja solução é genericamente dada por ( ) 12u t k m 0−⎡ ⎤= − ⋅ ω ⋅⎣ ⎦ ou, tendo em conta que a inversa de uma matriz é a correspondente matriz adjunta a dividir pelo seu determinante, ( ) ( ) 2 2 Adj k m u t 0 k m − ⋅ ω = ⋅ − ⋅ ω Com este resultado conclui-se que a solução ( )u t será a solução trivial (nula) sempre Capítulo 2: Comportamento dinâmico de modelos estruturais com vários graus de liberdade 10 que o determinante (em denominador) for não nulo. Assim para obtermos as soluções não nulas que nos interessam o determinante 2k m− ⋅ ω deverá ser nulo. Neste caso, a solução ( )u t será não nula, mas indeterminada. Assim, conclui-se que a equação diferencial apenas poderá ter uma solução não nula se o determinante em denominador for nulo 2k m 0− ⋅ ω = Desta forma, verifica-se que as soluções da equação anterior são da forma ( ) ( )*u t u t= Φ ⋅ em que Φ corresponde à designada matriz modal, que contém em cada coluna os modos de vibração da estrutura (vectores próprios reais do sistema, correspondentes às soluções não triviais) enquanto que ( )*u t corresponde às denominadas coordenadas modais (que são funções do tempo). Matematicamente os conceitos de massa modal e de rigidez modal surgem quando, na equação diferencial em análise, se introduz a forma ( ) ( )*u t u t= Φ ⋅ ficando ( ) ( )m u t k u t 0⋅Φ ⋅ + ⋅ Φ ⋅ = a qual pode ser facilmente resolvida se multiplicarmos ambos os membros por TΦ já que, em resultado desta multiplicação, obtemos o seguinte sistema de três equações diferenciais desacopladas ( ) ( )T * T *m u t k u t 0Φ ⋅ ⋅ Φ ⋅ + Φ ⋅ ⋅ Φ ⋅ = pois as matrizes T mΦ ⋅ ⋅ Φ e T kΦ ⋅ ⋅ Φ são matrizes diagonais, usualmente designadas como a matriz das massas modais e a matriz da rigidez modal * T * im m m ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= Φ ⋅ ⋅ Φ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ * T *ik k k ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= Φ ⋅ ⋅ Φ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ i⎡ ⎤Φ = ϕ⎣ ⎦ em que mi e ki são, respectivamente a massa modal e a rigidez modal correspondentes ao modo de vibração i, verificando-se a seguinte relação i i i k m ω = Assim, a equação diferencial anterior pode escrever-se na forma ( ) ( )* * * *i i i im u t k u t 0⋅ + ⋅ = Importa referir que os vectores próprios são sempre determinados a menos de um factor de escala, podendo-se, por conveniência para a resolução da equação do movimento, normalizá-los relativamente à matriz de massa, de modo a que se verifiquem as relações: 2.2 Excitação determinística 11 T m mm IΦ ⋅ ⋅ Φ = T 2 m mkΦ ⋅ ⋅ Φ = Ω em que mΦ é a matriz que tem como colunas os vectores próprios miϕ normalizados relativamente à matriz de massa, que podem ser determinados através de i mi im ϕ ϕ = enquanto, I é a matriz identidade e 2Ω é a matriz espectral. Finalmente, refere-se ainda que, a resposta dinâmica de uma estrutura, dada pela expressão ( ) ( )*u t u t= Φ ⋅ também pode ser escrita na forma ( ) ( ) N * i i i 1 u t u t = = ϕ ⋅∑ em que N corresponde ao número de graus de liberdade considerado. Exemplo 2.2 Determinação das frequências próprias e dos modos de vibração do modelo plano do edifício de 3 pisos, desprezando o efeito do amortecimento. Tendo em conta as matrizes de rigidez e de massa anteriormente apresentadas, apresentam-se agora, os valores próprios, frequências próprias, matriz modal e matriz modal normalizada, os quais se obtiveram a partir da utilização de rotinas de cálculo desenvolvidas em MatLab (Math Works, 2000): Valores próprios[(rad/s)2] Frequências angulares naturais [rad/s] Frequências naturais [Hz] 2 i 825 6479 13529 ω = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ i 28.72 28.72 0 0 80.49 0 80.49 0 116.31 0 0 116.31 ω = Ω = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ i 4.57 f 12.81 18.51 = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Matriz modal (vectores próprios) 0.3296 0.2643 0.1467 0.2643 0.1467 0.3296 0.1467 0.3296 0.2643 − − Φ = − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Na figura seguinte apresentam-se as configurações modais, aplicando um valor de escala, considerado adequado, aos valores obtidos para a matriz modal previamente apresentada. -0.1 0 0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1º MODO - 4.572Hz -0.1 0 0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 2º MODO - 12.81Hz -0.1 0 0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 3º MODO - 18.51Hz Figura 2.4 Modelo físico da estrutura de um edifício de 3 pisos: (a) perspectiva do modelo; (b) idealização estrutural plana. Capítulo 2: Comportamento dinâmico de modelos estruturais com vários graus de liberdade 14 ( ) ( ) ( ) N i di i i 1 U H P = ω = ϕ ⋅ ω ⋅ ω∑ Exemplo 2.4 Edifício de 3 pisos. Matriz das funções de resposta em frequência. Tendo em conta os parâmetros previamente calculados e apresentados, determinaram-se as funções de resposta em frequências (FRF), programando as expressões das FRF (matriz H previamente apresentada) em rotinas de MatLab . Atendendo ao facto de estas funções serem complexas, são necessárias duas funções para as definir completamente, assim, apresenta-se na Figura 2.5, uma matriz que contém as amplitudes daquelas funções, em função da frequência (em Hz), enquanto que na Figura 2.6, se apresenta a matriz das fases. É de salientar que, para calcular as FRF utilizaram-se os coeficientes de amortecimento modais apresentados no exemplo anterior, determinados com base na hipótese de amortecimento proporcional. A m pl itu de [( m /s 2 ) /H z] A m pl itu de [m /k N ] A m pl itu de [m /k N ] 0 5 10 15 20 25 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 H[1,1] 0 5 10 15 20 25 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 H[1,2] 0 5 10 15 20 25 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 H[1,3] 0 5 10 15 20 25 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 H[2,1] 0 5 10 15 20 25 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 H[2,2] 0 5 10 15 20 25 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 H[2,3] 0 5 10 15 20 25 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 H[3,1] 0 5 10 15 20 25 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 H[3,2] 0 5 10 15 20 25 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 H[3,3] f [Hz] f [Hz] f [Hz] Figura 2.5 Matriz das amplitudes das FRFs. Analisando a figura anterior, verifica-se claramente que em qualquer um dos espectros de amplitude, surgem 3 picos para as frequências naturais do modelo estrutural. Na Figura 2.6, apresentam-se também sob a forma de matriz, a variação da fase em função da frequência, para os vários elementos das funções de resposta em frequência, tendo em conta os valores de amortecimento no exemplo 2.3. 2.2 Excitação determinística 15 Fa se [º ] Fa se [º ] Fa se [º ] 0 5 10 15 20 25 -180 -90 0 90 180 H[1,1] 0 5 10 15 20 25 -180 -90 0 90 180 H[1,2] 0 5 10 15 20 25 -180 -90 0 90 180 H[1,3] 0 5 10 15 20 25 -180 -90 0 90 180 H[2,1] 0 5 10 15 20 25 -180 -90 0 90 180 H[2,2] 0 5 10 15 20 25 -180 -90 0 90 180 H[2,3] 0 5 10 15 20 25 -180 -90 0 90 180 H[3,1] 0 5 10 15 20 25 -180 -90 0 90 180 H[3,2] 0 5 10 15 20 25 -180 -90 0 90 180 H[3,3] f [Hz] f [Hz] f [Hz] Figura 2.6 Matriz das fases das FRFs. Todavia a informação contida nas duas anteriores figuras, pode ser resumida numa única, tal como se apresenta na Figura 2.7, com a vantagem de permitir uma análise e interpretação física dos resultados obtidos, mais imediata. Analisando a Figura 2.7, verifica-se claramente que sempre que existe um pico ou um vale aguçado (pico invertido), ocorre uma mudança de fase! E que nos vales não aguçados ocorre de - 180 para 180 ou vice-versa. Capítulo 2: Comportamento dinâmico de modelos estruturais com vários graus de liberdade 16 A m pl itu de [m /k N ] Fase [º] A m pl itu de [m /k N ] Fase [º] A m pl itu de [m /k N ] 0 5 10 15 20 25 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 H[1,1] 0 5 10 15 20 25 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 H[1,2] 0 5 10 15 20 25 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 H[1,3] 0 5 10 15 20 25 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 H[2,1] 0 5 10 15 20 25 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 H[2,2] 0 5 10 15 20 25 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 H[2,3] 0 5 10 15 20 25 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 H[3,1] 0 5 10 15 20 25 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 H[3,2] 0 5 10 15 20 25 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 H[3,3] -180 -90 0 90 180 -180 -90 0 90 180 -180 -90 0 90 180 -180 -90 0 90 180 -180 -90 0 90 180 -180 -90 0 90 180 -180 -90 0 90 180 -180 -90 0 90 180 -180 -90 0 90 180 Fase [º] f [Hz] f [Hz] f [Hz] Figura 2.7 Matriz completa das FRFs. 2.3 Excitação estocástica A designação de excitação estocástica, encontra-se associada a acções dinâmicas desconhecidas, cuja variação temporal é de natureza aleatória, isto é, quando não é possível prever o seu comportamento futuro. Nestas circunstâncias, a caracterização do comportamento dinâmico de estruturas só pode ser alcançada através da adopção de conceitos probabilísticos, como aliás já foi mencionado anteriormente. Atendendo ao facto de a excitação ser desconhecida, o processo referente à caracterização do comportamento dinâmico, baseia-se na consideração de hipóteses simplificativas sobre as características estatísticas da excitação, procurando-se o estabelecimento da relação destas, com as características estatísticas da resposta (conhecidas) e com as propriedades dinâmicas das estruturas, as quais interessa avaliar. Assim, este tipo de processo baseia-se na análise e interpretação da resposta das estruturas, e está especialmente vocacionado para a vertente experimental. Nesta secção introduzem-se alguns conceitos básicos de estatística e processos estocásticos, os quais visam a introdução e o estudo da representação analítica das funções de 2.3 Excitação estocástica 19 aleatórias independentes, cada uma com diferentes distribuições individuais, tende para uma distribuição normal. Ao admitir-se que o processo estocástico é estacionário e ergódico, a função de auto- correlação apenas contempla uma única realização k e um desfasamento temporal τ, podendo ser determinada simplesmente através da seguinte expressão: ( ) ( ) ( ) T xx k k0T 1R lim x t x t dt T→∞ τ = ⋅ + τ∫ As funções de auto-correlação associadas a processos estocásticos estacionários de média nula, são funções simétricas com um máximo na origem, cuja ordenada é igual à variância do processo. Aplicando a transformada de Fourier à função de auto-correlação obtém-se uma nova função que se designa por função de densidade espectral de potência ou auto- espectro, definida no domínio da frequência. ( ) ( ) ixx xxS R e d +∞ − ⋅ω⋅τ −∞ ω = τ ⋅ τ∫ De notar que também é possível determinar a função de auto- correlação aplicando a inversa da transformada de Fourier à função de densidade espectral de potência: ( ) ( ) ixx xx 1R S e d 2 +∞ ⋅ω⋅τ −∞ τ = ω ⋅ ω π ∫ Os auto-espectros são funções reais que quantificam a distribuição do conteúdo energético de um sinal (série temporal) em frequência. Para sinais de média nula, a área do gráfico que representa o conteúdo energético total do sinal é igual ao valor da sua variância. Nesta fase importa definir o conceito de ruído branco. Trata-se de um tipo de sinal que é caracterizado por ser idealmente aleatório e no limite pode-se afirmar que, contém a contribuição, com conteúdo energético significativo, de todas as frequências. Nestas circunstâncias a área das funções de densidade espectral será infinita, enquanto que a função de auto-correlação apresentará uma ordenada com valor infinito na origem, que deriva do facto da variância ser infinita, apresentando ordenadas nulas em todas as restantes abcissas, pelo facto do sinal ser idealmente aleatório. Em termos práticos, a obtenção de uma variância infinita não é realista, pelo que é usual considerar-se um ruído branco de banda limitada, isto é, um processo estocástico que é caracterizado por um auto-espectro com intensidade constante dentro de um determinado intervalo de frequências, tal como se apresenta na Figura 2.9. x(t) t τ R(τ) σ 0 ω S(ω) S 0 ω 2 ω 1 − ω 1 − ω 2 0 Figura 2.9 Exemplo de um sinal representativo de um processo de banda larga, com função de auto- correlação e função de densidade espectral de potência. Para a aplicação de métodos de identificação modal estocástica, é usual assumir que a excitação tem as propriedades de um ruído branco: espectro de potência constante e função de auto-correlação com ordenada na origem igual à variância do processo e valor nulo em todas as restantes abcissas. Os conceitos referidos anteriormente podem ser generalizados, por exemplo ao considerarem-se dois processos estocásticos (xi(t) e xj(t)), é possível introduzir os conceitos de função de correlação cruzada e função de densidade espectral de potência cruzada (ou espectro cruzado), dadas pelas seguintes expressões: ( ) ( ) ( ) T ij i j0T 1R lim x t x t dt T→∞ τ = ⋅ + τ∫ ( ) ( ) iij ijS R e d ∞ − ⋅ω⋅τ −∞ ω = τ ⋅ τ∫ No âmbito da identificação modal estocástica, as funções de densidade espectral de Capítulo 2: Comportamento dinâmico de modelos estruturais com vários graus de liberdade 20 potência são determinadas a partir de séries temporais, podendo-se nessas circunstâncias aplicar a seguinte expressão: ( ) ( ) ( )*N T,r i T,r j ij T r 1N x t x t1S lim N T→∞ =→∞ ⎡ ⎤⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ω = ∑ F F em que ( )T,r ix t⎡ ⎤⎣ ⎦F , representa a transformada de Fourier da realização r, do processo estocástico xi(t), no intervalo [0, T]. Salienta-se o facto de a expressão anterior também ser adequada para determinar auto-espectros, fazendo xi = xj. Analisando a expressão anterior, facilmente se verifica que os auto-espectros são funções reais, enquanto que os espectros cruzados são funções complexas. Refere-se ainda que, é usual agrupar em vectores os processos estocásticos. Nestas circunstâncias é usual definir uma matriz das funções de correlação (ou matriz de correlação), que contém nos elementos da diagonal principal as funções de auto- correlação e fora dessa diagonal as funções de correlação cruzada. De forma idêntica é usual definir uma matriz das funções de densidade espectral (ou matriz espectral) que contém na sua diagonal principal os auto-espectros e os espectros cruzados fora dessa diagonal. Os auto-espectros são funções reais pois resultam da multiplicação de números complexos pelos seus complexos conjugados. 2.3.2 Funções de densidade espectral da resposta As funções de densidade espectral da resposta para estruturas com vários graus de liberdade podem-se definir com base na seguinte expressão: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*Tu pS H S Hω = ω ⋅ ω ⋅ ω na expressão anterior H(ω) representa a matriz das funções de resposta em frequência, Su(ω) é a matriz a matriz das funções de densidade espectral da resposta da estrutura, enquanto que Sp(ω) é a matriz a matriz das funções de densidade espectral da excitação. Assumindo que a excitação que actua os diferentes graus de liberdade tem características semelhantes às de um ruído branco, então a matriz dos espectros da excitação é constante e depende da matriz das correlações (Rp), pelo que a matriz dos espectros da resposta passa a depender exclusivamente da matriz de funções de resposta em frequência e de uma matriz constante: ( ) ( ) ( ) ( )*Tu pS H R Hω = ω ⋅ ⋅ ω Admitindo que a excitação é do tipo ruído branco e assumindo que as excitações que actuam cada um dos graus de liberdade são estatisticamente independentes entre si, então as correlações cruzadas são nulas sendo a matriz Rp uma matriz diagonal. Nestas circunstâncias pode-se obter uma expressão que fornece a contribuição de cada modo genérico, para qualquer elemento da matriz das funções de densidade espectral da resposta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N m k n ki i i i i p rry m,n 2 2 2 2 k 1 i i i i i i S R 2 j 2 j= ϕ ⋅ ϕ ϕ ⋅ ϕ ω = ⋅ ⋅ ω − ω + ⋅ ⋅ ξ ⋅ ω⋅ ω ω − ω + ⋅ ⋅ ξ ⋅ ω⋅ ω∑ A expressão anterior, é muito interessante pois permite obter individualmente a função de densidade espectral de cada modo de vibração, a partir das quais é possível ( ) ( ) ( ) ( )N m ni i m,n 2 2 i 1 i i i H 2 j= ϕ ⋅ ϕ ω = ω − ω + ⋅ ⋅ ξ ⋅ ω ⋅ ω ∑ 2.3 Excitação estocástica 21 obter as características modais das estruturas. Exemplo 2.5 Matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração para a estrutura do modelo físico do edifício de 3 pisos. Para o exemplo em análise, determinou-se a matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração, considerando para matriz das funções de densidade espectral da excitação a matriz identidade. Desta forma, admite-se que as fontes de excitação que ocorrem nos diferentes graus de liberdade são independentes entre si, sendo ruídos brancos. Na Figura 2.10, apresenta-se a matriz das amplitudes das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração. De notar que apenas se apresentam as funções para valores de frequência positivos, pelo que tomam a designação de Gy. D en si da de E sp ec tra l d e Po tê nc ia [( m /s 2 ) 2 /H z] Fase [º] D en si da de E sp ec tra l d e Po tê nc ia [( m /s 2 ) 2 /H z] Fase [º] D en si da de E sp ec tra l d e Po tê nc ia [( m /s 2 ) 2 /H z] 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 Gy[1,1] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 Gy[1,2] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 Gy[1,3] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 Gy[2,1] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 Gy[2,2] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 Gy[2,3] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 Gy[3,1] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 Gy[3,2] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 Gy[3,3] 0 90 180 Fase [º] f [Hz] f [Hz] f [Hz] Figura 2.10 Matriz completa das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do edifício de 3 pisos. Comparando a Figura 2.10, com a Figura 2.7, verificam-se algumas semelhanças, a mais evidente e mais interessante relaciona-se com o facto de se confirmar que os picos que surgem na matriz das FRFs também ocorrerem na matriz dos espectros. Este aspecto é fundamental, pois é com base nele que se utilizam as funções de densidade espectral de potência nos métodos de identificação modal estocástica, no domínio da frequência, para se estimarem as características modais das estruturas. É de salientar o facto de os elementos correspondentes à fase serem nulos na diagonal principal, o que se deve ao relacionamento de um grau de liberdade com ele mesmo. De notar que a arrumação das amplitudes e das fases num mesmo gráfico, facilita a interpretação de resultados. Nomeadamente, permite verificar um aspecto curioso, o qual está relacionada com o facto de se verificar que a mudança de fase está associada a vales com picos invertidos, ao passo que nos vales em que não ocorrem mudanças de fase os vales não afundam na forma de picos invertidos. Capítulo 2: Comportamento dinâmico de modelos estruturais com vários graus de liberdade 24 amortecimentos modais e os modos de vibração. Utilizando as FRF é possível conhecer a resposta dinâmica de uma estrutura num determinado ponto, em função da gama de frequências em análise, para uma acção harmónica aplicada num qualquer ponto da estrutura. Por fim, introduziram-se alguns conceitos de estatística essenciais para definir os designados processos estocásticos. Verificou-se que a definição deste tipo de processos é importante quando se está perante excitações de natureza aleatória. Nestas circunstâncias é possível avaliar a resposta dinâmica das estruturas, em frequência, recorrendo à utilização das designadas funções de densidade espectral de potência da resposta. Atendendo ao facto de estas funções serem complexas e se poder estabelecer uma relação com as FRF, verificou-se que é também possível avaliar os parâmetros modais das estruturas, recorrendo às funções de densidade espectral de potência das resposta. CAPÍTULO 3 IDENTIFICAÇÃO MODAL ESTOCÁSTICA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA SUMÁRIO: A identificação modal estocástica é um dos domínios da dinâmica de estruturas que mais se tem desenvolvido nos últimos tempos. Permite a identificação das características dinâmicas das estruturas a partir de dados experimentais, utilizando um conjunto de ferramentas matemáticas suportadas por robustas rotinas computacionais. Neste capítulo descrevem-se os principais aspectos a ter em conta na utilização e implementação de técnicas de identificação modal estocástica no domínio da frequência, para identificar o comportamento dinâmico observado em estruturas de engenharia. 3.1 Introdução No capítulo anterior abordaram-se alguns dos fundamentos referentes às formulações matemáticas mais utilizadas para descrever o comportamento dinâmico de estruturas de engenharia civil. Neste capítulo são descritos métodos que, baseados nas formulações anteriores, permitem identificar os parâmetros modais das estruturas a partir de dados experimentais obtidos em ensaios de vibrações. A possibilidade de obter experimentalmente informação sobre as características dinâmicas das estruturas de engenharia civil é uma área com interesse evidente, nomeadamente pelo facto de essa informação permitir a validação dos modelos utilizados para avaliar o seu comportamento relativamente às acções que lhe induzem uma resposta dinâmica, tais como os sismos, vento, tráfego rodoviário, ferroviário ou pedonal. O interesse da aplicação destes métodos estende-se também à própria caracterização global do estado das estruturas, uma vez que as propriedades dinâmicas estão directamente relacionadas com a evolução desse estado, pelo que, a observação e monitorização das estruturas para avaliar experimentalmente as suas características dinâmicas é uma ferramenta atractiva para estudar fenómenos de deterioração evolutiva. Figura 3.1 Modelo físico da estrutura de um edifício de 3 pisos. A identificação experimental dos parâmetros modais das estruturas pode ser efectuada recorrendo a duas vias distintas: − relacionando a resposta estrutural medida com a correspondente excitação induzida artificialmente, também medida (Ensaios de Vibração Forçada); − ou analisando simplesmente a resposta da estrutura, tendo em consideração um conjunto de hipóteses relativas à natureza da excitação ambiental (Ensaios de Vibração Ambiental). A segunda via apresenta-se como mais interessante, pois permite a utilização deste tipo de ensaios em contínuo ao longo do tempo, sem introduzir restrições ao normal Capítulo 3: Identificação modal estocástica no domínio da frequência 26 funcionamento das estruturas. Por outro lado, e atendendo ao grande porte das estruturas de engenharia civil, evita o recurso a equipamento de excitação pesado, ao qual estão associados elevados custos. Para o caso de estruturas muito rígidas em que a amplitude da resposta medida é muito baixa poderá ser necessário recorrer ao uso de transdutores de grande sensibilidade, ou mesmo de vibradores para excitar convenientemente as estruturas, sendo neste último caso necessário recorrer à primeira via. Neste capítulo descrevem-se alguns métodos de identificação modal no domínio da frequência que se baseiam somente na análise da resposta medida. Tendo em conta o facto de nos ensaios de vibração ambiental, não existir controlo sobre as forças de excitação, nem existir a possibilidade de as conhecer ou medir, para efeitos de identificação modal, é necessário assumir uma hipótese quanto às suas características: − as forças de excitação são consideradas como uma realização de um processo estocástico gaussiano de tipo ruído branco com média nula; É precisamente devido à assunção desta hipótese que surge a designação identificação modal estocástica, que advém do facto de a fonte de excitação, de origem ambiental resultar da contribuição simultânea de várias fontes: vento, tráfego sobre as estruturas (pontes e alguma barragens) ou nas imediações (edifícios), funcionamento de máquinas instaladas na estrutura ou na vizinhança. Todavia, esta é uma simplificação necessária para o desenvolvimento teórico dos métodos, pois na realidade o conteúdo energético da acção distribui-se por uma banda larga de frequências, não sendo no entanto perfeitamente uniforme. Estruturas sujeitas a excitações com frequências predominantes, como acontece por exemplo nas barragens devido ao funcionamento das turbinas, têm de ser analisadas com especial cuidado. Importa referir que a generalidade dos métodos de identificação que se baseiam na análise da resposta da estrutura são adaptações de métodos de identificação tradicionais, isto é, de métodos que realizam a identificação dos parâmetros modais da estrutura através de relações entre a excitação e a resposta. Uma descrição detalhada destes métodos pode ser encontrada em [Maia e Silva, 1997]. Um processo estocástico é denominado Gaussiano, quando a evolução temporal do conjunto das variáreis que o integram, possuem conjuntamente uma função de densidade de probabilidade Gaussiana (também denominada normal). Os métodos que se descrevem neste capítulo, desenvolvem-se no domínio da frequência, e baseiam-se em estimativas espectrais da resposta da estrutura, medidas em vários pontos, existem no entanto outros métodos que são desenvolvidos no domínio do tempo, utilizando como base as séries temporais da resposta da estrutura ou então as suas correlações, no entanto, neste capítulo serão exclusivamente abordados os do primeiro tipo. Em primeiro lugar apresentam-se alguns conceitos básicos sobre a análise no domínio da frequência, associados ao conceito de série de Fourier, descrevendo-se posteriormente o processo utilizado para obter as funções de densidade espectral de potência da resposta das estruturas. Com base nestas estimativas espectrais descrevem-se os métodos que se têm mostrado como mais promissores; o método básico no domínio da frequência (BFD), também conhecido por método da selecção de picos e o método de decomposição no domínio da frequência (FDD). Descreve-se ainda uma versão melhorada do último método referido (EFDD), bem como a aplicação destes métodos após a aplicação das funções de decremento aleatório (RD-BFD, RD-FDD e RD-EFDD). A descrição destes métodos será acompanhada por aplicações desenvolvidas em MATLAB, nas quais se utilizam como exemplo, respostas simuladas para o edifício de 3 pisos apresentado no capítulo anterior. No final do capítulo é apresentada uma aplicação com dados reais obtidos em modelo físico. 3.2 Conceitos básicos sobre a análise no domínio da frequência 29 também é sempre nulo, excepto no caso da onda 1, o que permite determinar b1, de forma análoga à utilizada na determinação de a1. Assim conclui-se que deverá ser ( ) T 1 1 1 0 2b 2 u(t) sen t u(t) sen( t)dt T = ⋅ ⋅ ω ⋅ = ⋅ ω ⋅∫T Aplicando este raciocínio às subsequentes ondas conclui-se facilmente que todos os coeficientes an e bn podem ser determinados através de expressões análogas às anteriores. Fourier concluiu assim que a determinação dos coeficientes das várias ondas da “sua série”, se resume sempre a um simples problema de determinação de valores médios! Em síntese pode-se então concluir que a aproximação em série de Fourier de uma função u(t) , num dado intervalo T, de comprimento T, pode ser representada (na forma trigonométrica) através da seguinte série (somatório de infinitas ondas) ( ) ( )( )te teT n n n n n 1 n 1 u (t) c onda n c a cos t b sen t ∞ ∞ = = = + = + ⋅ ω ⋅ + ⋅ ω ⋅∑ ∑ , n nω = ⋅ ∆ω cujos coeficientes são obtidos através das seguintes médias T te 0 1c u(t) u(t)dt T = = ∫T ( ) T n n n 0 2a 2 u(t) cos t u(t) cos( t)dt T = ⋅ ⋅ ω ⋅ = ⋅ ω ⋅∫T , n 1, 2, 3, ...= ( ) T n n n 0 2b 2 u(t) sen t u(t) sen( t)dt T = ⋅ ⋅ ω ⋅ = ⋅ ω ⋅∫T , n 1, 2, 3, ...= Figura 3.4 Decomposição em “ondas”. Do domínio do tempo para o domínio da frequência. Capítulo 3: Identificação modal estocástica no domínio da frequência 30 A Figura 3.4, constitui uma boa representação esquemática do conceito associado às séries de Fourier, isto é, mostra como uma dada função definida no domínio do tempo, Tu (t) , pode ser definida no domínio da frequência recorrendo (sempre) a duas funções, as quais agrupam os coeficientes n na a( )= ω e n nb b( )= ω das várias ondas, previamente descritos. Todavia, a representação gráfica das funções no domínio da frequência também pode ser efectuada, de forma perfeitamente equivalente à anterior, recorrendo aos conceitos de amplitude 2 2n n n nA a b A( )= + = ω e de fase n n n narctg(b a ) ( )φ = = φ ω das várias ondas constituintes da função. É de salientar que, nos gráficos descritos no domínio da frequência, na Figura 3.4, quanto maior for o comprimento T do intervalo em que se pretende aproximar a função Tu (t) , menor será ∆ω, ou seja, menos espaçadas serão as várias ondas no domínio da frequência. A qualquer gráfico representado no domínio da frequência é usual atribuir-lhe a designação de espectro, neste caso o gráfico das amplitudes das várias ondas, é denominado por Espectro de Amplitudes, enquanto que por sua vez o gráfico representativo da fase das várias ondas é designado por Espectro de Fases. Importa salientar que, o desenvolvimento do conceito de série de Fourier deu origem ao conceito de transformada discreta de Fourier (TDF). Tal como a série de Fourier, também TDF utiliza os coeficientes a e b, os quais são agrupados num número complexo, uma vez que esta é uma forma prática de guardar dois valores, num só número (complexo)! No limite, quando T → ∞ então 0∆ω → o que significa que para se aproximar funções definidas em domínio infinitos tem-se que recorrer a uma “série” de infinitas ondas, de frequências infinitesimalmente próxi- mas, ou seja em vez de uma série de Fourier tem-se que introduzir o conceito de integral de Fourier. Tal como no capítulo anterior, volta-se agora a introduzir o já referido modelo plano da estrutura de um modelo físico de um edifício de 3 pisos. Nesta fase utilizam-se um conjunto de resultados gerados numericamente, pelo que no Exemplo 3.1 começa-se por indicar as principais hipóteses assumidas no desenvolvimento do modelo numérico, bem como a identificação das frequências naturais a partir de cada um dos registos obtidos, aplicando conceitos básicos sobre a análise no domínio da frequência, com base no conceito de série de Fourier. Exemplo 3.1 Edifício de 3 pisos. Análise do edifício apresentado na Figura 3.1, segundo a direcção mais flexível. O edifício é constituído por três pisos suportados por quatro pilares. Os pisos são materializados por chapas de aço, enquanto que os pilares são lâminas de alumínio, como se mostra na Figura 3.5. Nesta fase, apenas se efectua uma análise plana do modelo, considerando-se para o efeito a direcção mais flexível do pórtico, podendo neste caso representar-se, simplificadamente, como se mostra na Figura 3.6 (a). Atendo a estas condições utilizaram-se as seguintes matrizes de massa e rigidez: [ ] 5 0 0 M 0 5 0 kg 0 0 5 = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 20833.33 20833.33 0 K 20833.33 41666.67 20833.33 N / m 0 20833.33 41666.67 − = − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Utilizou-se igualmente uma matriz de amortecimento, obtida através das anteriores com base na formulação de amortecimento Rayleigh, dada pela expressão C M K= α ⋅ + β ⋅ , em que 0.05α = e 0.0001β = . 20 0 m m 20 0 m m 20 0 m m 200 mm 20 0 m m placa ( aço ) placa ( aço ) placa ( aço ) 15 m m Pilares : (alumínio) 3 mm x 18 mm Figura 3.5 Perspectiva do modelo. Tendo em conta as propriedades anteriores utilizou-se um modelo numérico que permite efectuar cálculos dinâmicos no domínio do tempo, utilizando a fórmula resursiva do método de Iwan [Tedesco et al., 1999], com base no qual se geraram amostras de 1800 segundos (30 minutos), utilizando um intervalo no tempo, entre pontos observados, de 0.02s (frequência de amostragem de 50 Hz). Na Figura 3.6 (b), apresentam-se amostras de 20s dos registos gerados. 3.2 Conceitos básicos sobre a análise no domínio da frequência 31 u (t)1 2 3 u (t) u (t) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 u 1 (m /s 2 ) t(s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 u 2 (m /s 2 ) t(s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 u 3 (m /s 2 ) t(s) (a) (b) Figura 3.6 (a) Representação plana do modelo; (b) amostras dos registos de aceleração longitudinal recolhidos nos 3 pisos do modelo. A partir dos registos gerados para os 3 pisos do pórtico, e utilizando uma rotina desenvolvida em MatLab, seleccionaram-se amostras com um comprimento de 60s, as quais se decompuseram em ondas, aplicando o conceito associado às séries de Fourier. Tendo em conta que o comprimento das amostras é de T = 60s, então o espaçamento entre “ondas” é ∆ω = (2 × π) / 60 ≈ 0.10472 rad/s. Aplicando o conceito de média avaliaram-se os valores de a e de b para cada frequência n nω = ⋅∆ω utilizando as expressões: ( )n na( 2 u(t) cos t)ω = ⋅ ⋅ ω ⋅ T e ( )n nb( 2 u(t) sen t)ω = ⋅ ⋅ ω ⋅ T . Na Figura 3.7, apresentam-se os espectros de amplitudes obtidos após a análise de cada um dos registos, indicando-se para as “ondas” de maior amplitude, o seu número, a frequência, os valores de a e de b e o valor da sua amplitude. A m pl itu de [m /s 2 ] A m pl itu de [m /s 2 ] A m pl itu de [m /s 2 ] 0 5 10 15 20 25 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 A [1] onda274 f=4.57Hz a=0.060851 b=0.017101 A=0.063209ms-2 onda769 f=12.82Hz a=-0.024201 b=0.0090652 A=0.025843ms-2 onda1110 f=18.5Hz a=0.0035959 b=0.0027568 A=0.0045311ms-2 Piso superior 0 5 10 15 20 25 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 A [2] onda274 f=4.57Hz a=0.048787 b=0.013753 A=0.050688ms-2 onda769 f=12.82Hz a=0.013431 b=-0.0051014 A=0.014367ms-2 onda1110 f=18.5Hz a=-0.0080733 b=-0.0065943 A=0.010424ms-2 Piso intermédio 0 5 10 15 20 25 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 A [3] onda274 f=4.57Hz a=0.027064 b=0.0076339 A=0.02812ms-2 onda769 f=12.82Hz a=0.030465 b=-0.011496 A=0.032562ms-2 onda1110 f=18.5Hz a=0.0066016 b=0.0051113 A=0.008349ms-2 Piso inferior f [Hz] Figura 3.7 Espectros de amplitudes obtidos com o conceito de série de Fourier, para cada um dos registos. Capítulo 3: Identificação modal estocástica no domínio da frequência 34 3.3 Matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta Na avaliação experimental do comportamento dinâmico de estruturas, com base na medição da resposta em vários pontos das estruturas, é usual organizar a informação experimental, já convertida para o domínio da frequência, na já mencionada matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta. Esta matriz contém na sua diagonal principal os designados auto-espectros da resposta medida no grau de liberdade i, enquanto que nos elementos fora da diagonal principal, ij, encontram-se os designados espectros cruzados, os quais relacionam a resposta medida no grau de liberdade i com a resposta medida no grau de liberdade j. Quando a medição da resposta, é efectuada em simultâneo em todos os pontos que se pretende instrumentar, a matriz das funções de densidade espectral é quadrada, sendo a sua dimensão igual ao número de pontos instrumentados. Todavia, na maioria das aplicações, é necessário instrumentar um elevado número de graus de liberdade para caracterizar adequadamente o seu comportamento dinâmico, pelo que nesses casos é necessário recorrer à utilização de muitos sensores, o que nem sempre é possível. Nestas circunstâncias é usual realizar o ensaio em várias fases (“setup”), nas quais as medições da resposta da estrutura são efectuadas de uma forma sequencial recorrendo a diferentes disposições de sensores. Utilizando esta técnica de ensaio, é necessário garantir que, as medições, efectuadas nas diferentes fases, sejam relacionáveis, pelo que alguns graus de liberdade têm de ser medidos em todas as fases, os quais se designam por graus de liberdade de referência. Nas situações em que os ensaios são realizados por fases, não é possível obter a matriz das funções de densidade espectral quadrada, é apenas possível estimar uma matriz rectangular, em que a dimensão de um dos lados da matriz é dada pelo número total de graus de liberdade l, enquanto que a dimensão do outro lado é dada pelo número de graus de liberdade de referência r. Como já se referiu anteriormente, a medição da resposta estrutural é efectuada em vários pontos, com o objectivo de se estabelecerem comparações entre as séries temporais observadas nesses pontos. Essas comparações são asseguradas de uma forma automática através da matriz das funções de densidade espectral da resposta, uma vez que nesta matriz, se estabelece uma relação baseada no produto do conjugado da transformada de Fourier, de um qualquer ponto observado i, pela transformada de Fourier com esse ponto e outro qualquer ponto j. Todavia importa salientar que o estabelecimento destas relações tem origem na matriz de correlação, de cuja transformada de Fourier se obtém precisamente a matriz das funções de densidade espectral da resposta, como exemplifica na Figura 3.10, para o caso particular da estrutura do modelo físico do edifício de 3 pisos. Como se verificou no Capítulo 2 a auto-correlação e a correlação cruzada permitem o estabelecimento de medidas de correlação ao longo do tempo entre as séries temporais. Matriz das funções de correlação ( ) 11 12 13 T 21 22 23 31 32 33 R R R R R R R R R R ⎡ ⎤ ⎢ ⎥τ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Matriz das funções de densidade espectral ( ) 11 12 13 T n 21 22 23 31 32 33 S S S S S S S S S S ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ω = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ x (t)1 t x (t)2 t x (t)3 t T T T ( ) ( )T n TS Rω = τ⎡ ⎤⎣ ⎦F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 1 * * T n 2 1 2 3 * 3 1S ω T n T n n n n n n n X X X X X X X X ⎡ ⎤ω ⎢ ⎥= ⋅ ω ⋅ ω = ω ⋅ ω ω ω⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω⎣ ⎦ Figura 3.10 Esquema exemplificativo da relação entre as séries temporais observadas, a matriz das funções de correlação e a matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta. 3.3 Matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta 35 Introduz-se agora o processo referente à obtenção das funções de densidade espectral de potência da resposta, no qual, é necessário recorrer a algumas noções de processamento digital e análise espectral, as quais são introduzidas sempre que se justifique (todavia os conceitos mais relevantes encontram-se compilados no Anexo A). Neste domínio são unanimemente consideradas como referências de base os trabalhos de [Bendat e Piersol; 1993, 2000], aos quais se podem juntar duas referências escritas em português: [Carvalhal et al., 1989] e [Caetano, 1992]. No capítulo 2 já se introduziram os conceitos associados às funções de densidade espectral de potência, nomeadamente os de auto-espectro e espectro cruzado, retomam-se agora esses conceitos e aplicando-os às séries temporais observadas ( ) ( )i jx t e x t⎡ ⎤⎣ ⎦ , os quais, como já se referiu, são organizados na matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta, podendo-se utilizar a seguinte expressão geral: ( ) ( ) ( ) * n n ij nS , i, j 1,2,...,NPI e n 0,1,2,...,N 1T ω ⋅ ω ω = = = −i j X X Atendendo ao facto de as séries temporais observadas terem uma duração finita e de apenas se medir o seu valor em instantes temporais afastados de t∆ , pois o sinal adquirido encontra-se discretizado, apenas é possível obter estimativas dos espectros, as quais são obtidas com base no produto do conjugado da transformada discreta de Fourier ( )nω*jX , no grau de liberdade i, pela transformada discreta de Fourier ( )nωjX , no grau de liberdade j. Ainda relativamente à expressão anterior T N t= ⋅ ∆ , em que N é o número total de pontos adquiridos por amostra. Tendo em conta as propriedades de simetria e anti-simetria das funções de densidade espectral e uma vez que é mais cómodo trabalhar apenas com frequências positivas (Caetano, 1992), é usual representar só a parte positiva das estimativas das funções de densidade espectral, à qual está normalmente associada a letra (G), (“one-sided spectral density functions” [Bendat e Piersol, 2000]). Comparativamente com o exposto no Capítulo 2, a transformada (contínua) de Fourier dá lugar à transformada discreta de Fourier (TDF). Por sua vez a DFT pode ser calculada de uma forma eficiente, através do algoritmo da transformada rápida de Fourier. Resolução em frequência na transformada discreta de Fourier é igual ao inverso da duração total dos sinais: [ ]2 2 rad s T N t π π ∆ω = ⋅ ∆ = [ ]1 1f Hz T N t ∆ = ⋅ ∆ = Ao aplicar directamente a expressão anterior, verifica-se que a estimativa espectral resultante tem uma elevada variância, essencialmente pelo facto de o seu cálculo se basear numa só série temporal discretizada com duração finita. No entanto, é possível atenuar essa variância, dividindo a série temporal em segmentos mais curtos e efectuando posteriormente a média das estimativas espectrais simples dos segmentos, obtendo-se assim uma estimativa alisada (“smoothed”) da função de densidade espectral, em que nd, corresponde ao número total de segmentos utilizados: ( ) ( ) ( ) dn n n ij m m 1d d m 1S , i, j 1,2,...,NPI e n 0,1,2,...,N 1 n T= ⎡ ⎤ω ⋅ ω ω = = = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ * i jX X Na expressão anterior Td, corresponde ao comprimento associado a cada segmento, à imagem do que sucedia no caso anterior, na Figura 3.12, mostra-se uma amostra de comprimento total T, na qual se mostra a selecção de dois segmentos de comprimento Td, com uma sobreposição de 2/3. x (t) t T T Td d Figura 3.11 Representação de uma amostra de comprimento T, com dois segmentos de comprimento Td, sobrepostos a 2/3. Todavia, a adopção de segmentos tem como consequência um agravamento dos erros por escorregamento (“leakage”), isto é, quanto mais curtos são os segmentos maior é o efeito deste tipo de erros. Uma forma usualmente utilizada para conseguir uma bom número de segmentos com um comprimento razoável, baseia-se na adopção de alguma sobreposição (“overlapping”) entre eles. O erro por escorregamento, devido ao tempo de observação limitado, e também associado à existência de descontinuidades do sinal periodizado, pode ser atenuado Capítulo 3: Identificação modal estocástica no domínio da frequência 36 através da aplicação de janelas de dados a cada um dos segmentos. No anexo A refere-se que, para séries temporais provenientes de ensaios de vibração ambiental é usual aplicar janelas de Hanning, pelo que a estimativa espectral pode agora ser escrita na forma ( ) ( ) ( ) dn n n ij n N 1 2m 1d d k k 0 m 1S , i, j 1,2,...,NPI e n 0,1,2,...,N 1 n T w − = = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ω ⋅ ω ⎢ ⎥ω = ⋅ = = − ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑ * i jX X É importante referir que, a utilização de janelas de dados de Hanning associada a uma sobreposição de segmentos de 2/3, é a que optimiza o aproveitamento da informação contida nas séries temporais; no entanto, é também muito comum utilizar-se uma sobreposição de 1/2. O procedimento utilizado para estimar as funções de densidade espectral com base em séries temporais divididas em segmentos, aplicação de uma janela de dados a cada segmento, cálculo da FFT de cada segmento e posterior realização de médias é conhecido como procedimento de [Welch, 1967]. Em [Bendat e Piersol, 1993] e [Bendat e Piersol, 2000] são descritos este e outros métodos utilizados para estimar as funções de densidade espectral. Volta agora a introduzir-se o modelo físico do edifício de 3 pisos, para ilustrar os conceitos que vão sendo descritos. Exemplo 3.3 Matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do modelo de um edifício de três pisos. Na Figura 3.6 (b), apresentam-se 3 amostras de 20 s de registos de aceleração longitudinal, obtidos ao nível dos pisos, como se mostra na Figura 3.6 (a). Estes registos têm uma comprimento total de 30 minutos (1800 s) e foram gerados com uma frequência de amostragem de 50 Hz, utilizando uma rotina desenvolvida em MatLab, que efectua cálculos dinâmicos no domínio do tempo, no processo de geração foram igualmente geradas 3 acções do tipo aleatório ao nível de cada um dos pisos, com a finalidade de simular acções do tipo ruído branco, por forma a respeitar alguns dos pressupostos apresentados previamente. A partir dos 3 registos de aceleração, procedeu-se à avaliação das funções de densidade espectral, considerando 3 situações distintas, que tendo em conta a já referida frequência de amostragem de 50 Hz e um comprimento total de 30 minutos, respeitaram as seguintes condições: − Caso 1 – 1 amostra representada por 90000 pontos, a qual corresponde à totalidade dos 30 minutos; − Caso 2 – 261 amostras independentes (nd = 261) de 1024 valores cada, representando 20.48 s, utilizando uma sobreposição de 2/3; − Caso 3 – 261 amostras independentes (nd = 261) de 1024 valores cada, representando 20.48 s, utilizando uma sobreposição de 2/3 e a aplicação de uma janela de Hanning a cada amostra para reduzir os efeitos de escorregamento; Passa-se então à apresentação das funções de densidade espectral obtidas para cada situação, salientando-se os aspectos mais relevantes relacionados com cada opção. É importante salientar desde já que, as funções de densidade espectral são representadas, neste caso, recorrendo a duas funções, a amplitude e a fase. Neste trabalho a sua representação far-se-á através de representações do tipo matricial, isto é, recorrendo às designadas matrizes das funções de densidade espectral. 3.3 Matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta 39 D en si da de E sp ec tra l d e Po tê nc ia [( m /s 2 ) 2 /H z] D en si da de E sp ec tra l d e Po tê nc ia [( m /s 2 ) 2 /H z] D en si da de E sp ec tra l d e Po tê nc ia [( m /s 2 ) 2 /H z] 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 G[1,1] 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 G[1,2] 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 G[1,3] 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 G[2,1] 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 G[2,2] 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 G[2,3] 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 G[3,1] 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 G[3,2] 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 G[3,3] f [Hz] f [Hz] f [Hz] Figura 3.14 Estimativa das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do edifício de 3 pisos. Matriz das amplitudes considerando a média de 261 amostras independentes. Analisando a Figura 3.14 e comparando-a com a Figura 3.12, verifica-se que existe uma clara diminuição da rugosidade dos espectros, bem como uma diminuição da amplitude dos picos de ressonância. A menor rugosidade no espectro permite uma melhor clarificação do andamento do conteúdo espectral, enquanto que a diminuição da amplitude dos picos será atenuada através da aplicação de janelas de Hanninng, como se verá no caso 3. Na Figura 3.15, apresentam-se as duas formas de representar a diferença de fase entre pontos instrumentados, as quais podem ser comparadas com as apresentadas na Figura 3.13, de onde se salienta que, com menor rugosidade existe uma melhoria substancial na representação da diferença de fase, avaliando-se facilmente as gamas de frequência que estão em fase e as que estão em oposição de fase, para os vários pontos instrumentados. Neste caso em particular, e uma vez que se está a utilizar registos de aceleração gerados numericamente, verifica-se que as suas características são muito semelhantes às apresentadas na Figura 2.8 do Capítulo 2, as quais com se viu eram obtidas analiticamente. Capítulo 3: Identificação modal estocástica no domínio da frequência 40 Fa se [º ] Fa se [º ] Fa se [º ] Fa se [º ] Fa se [º ] Fa se [º ] 0 5 10 15 20 25 -200 0 200 Gy[1,1] 0 5 10 15 20 25 0 100 200 Gy[1,1] 0 5 10 15 20 25 -200 0 200 Gy[1,2] 0 5 10 15 20 25 0 100 200 Gy[1,2] 0 5 10 15 20 25 -200 0 200 Gy[1,3] 0 5 10 15 20 25 0 100 200 Gy[1,3] 0 5 10 15 20 25 -200 0 200 Gy[2,1] 0 5 10 15 20 25 0 100 200 Gy[2,1] 0 5 10 15 20 25 -200 0 200 Gy[2,2] 0 5 10 15 20 25 0 100 200 Gy[2,2] 0 5 10 15 20 25 -200 0 200 Gy[2,3] 0 5 10 15 20 25 0 100 200 Gy[2,3] 0 5 10 15 20 25 -200 0 200 Gy[3,1] 0 5 10 15 20 25 0 100 200 Gy[3,1] 0 5 10 15 20 25 -200 0 200 Gy[3,2] 0 5 10 15 20 25 0 100 200 Gy[3,2] 0 5 10 15 20 25 -200 0 200 Gy[3,3] 0 5 10 15 20 25 0 100 200 Gy[3,3] f [Hz] f [Hz] f [Hz] Figura 3.15 Estimativa das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do edifício de 3 pisos. Matriz das fases considerando a média de 261 amostras independentes. Como as funções de densidade espectral são sempre representáveis por duas funções, a amplitude e a fase, é lógico que se compacte essa dupla informação num único gráfico, tal como se mostra na Figura 3.16, por forma a facilitar a tarefa de análise da informação contida nos dois gráficos. É ainda de salientar que utilização de um único gráfico permite visualizar alguns detalhes que antes não eram imediatos. Nomeadamente, como já se referiu no exemplo 2.5 do Capítulo 2, que a mudança de fase está associada a vales com picos invertidos, ao passo que nos vales em que não ocorrem mudanças de fase os vales não afundam na forma de picos invertidos. Na Figura 3.16, apresenta-se a preto a amplitude e a cinza a fase. 3.3 Matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta 41 D en si da de E sp ec tra l d e Po tê nc ia [( m /s 2 ) 2 /H z] Fase [º] D en si da de E sp ec tra l d e Po tê nc ia [( m /s 2 ) 2 /H z] Fase [º] D en si da de E sp ec tra l d e Po tê nc ia [( m /s 2 ) 2 /H z] 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 Gy[1,1] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 Gy[1,2] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 Gy[1,3] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 Gy[2,1] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 Gy[2,2] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 Gy[2,3] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 Gy[3,1] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 Gy[3,2] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -5 10 0 Gy[3,3] 0 90 180 Fase [º] f [Hz] f [Hz] f [Hz] Figura 3.16 Estimativa das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do edifício de 3 pisos. Matriz completa contendo as amplitudes e as fases, considerando a média de 261 amostras independentes. Caso 3 - consideração de 261 amostras independentes (nd = 261) de 1024 valores cada, representando 20.48 s, utilizando uma sobreposição de 2/3 e a aplicação de uma janela de Hanning a cada amostra para reduzir os efeitos de escorregamento: Este último caso, difere do anterior, pelo facto de a cada uma das amostras independentes se aplicar uma janela de dados de Hanning. A aplicação deste tipo de janela de dados tem como objectivo reduzir os efeitos de escorregamento (ou leakage), pelo facto de se estar a aplicar o algoritmo da FFT a amostras pequenas, sendo que a sua aplicação permite obter espectros de amplitudes nos quais os picos ficam ligeiramente mais “aguçados” ou salientes e os vales entre picos mais profundos, melhorando desta forma o conteúdo em frequência dos resultados obtidos. Na Figura 3.17, apresenta-se no formato compacto a matriz completa das estimativas das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração, a qual será utilizada como elemento de base para aplicação dos vários métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência, que se descrevem nas secções seguintes. Capítulo 3: Identificação modal estocástica no domínio da frequência 44 e no Swiss Federal Laboratory of Materials Testing and Research (EMPA). Recentemente foram elaborados dois trabalhos em Portugal, em que se descrevem este e outros métodos de identificação modal estocástica [Rodrigues, 2004 e Magalhães, 2004]. Em termos gerais, os fundamentos do BFD assentam na hipótese das acções ambiente serem assumidas como um processo estocástico gaussiano de ruído branco com média nula. Nestas condições as funções de densidade espectral da resposta, apresentam uma concentração energética sob a forma de picos, nas suas frequências naturais de vibração (para ser mais preciso, em valores muito próximos, tendo em conta o amortecimento das estruturas). Para estruturas que apresentem modos de vibração com frequências bem separadas, a sua resposta é essencialmente condicionada pela contribuição dos modos ressonantes. Esta hipótese está na base dos designados métodos de 1 GL, pelo que, assumindo a sua validade, é possível simular o comportamento dinâmico de uma estrutura na vizinhança das suas frequências de ressonância através de osciladores de 1 GL, com base na frequência ωk e no coeficiente de amortecimento modal ξk, do modo ressonante. Atendendo ao parágrafo anterior, as frequência naturais ωk, encontram-se reflectidas nas frequências que estão associadas aos picos nas funções de densidade espectral, enquanto que os coeficientes de amortecimento ξk, se reflectem na largura dos picos de ressonância das mesmas funções de densidade espectral. Já as configurações φk, dependem da relação entre as funções de densidade espectral, tendo por referência um determinado grau de liberdade. De seguida indicam-se e justificam-se os principais procedimentos utilizados pelo BFD na avaliação das características dinâmicas de estruturas. Este processo será acompanhado por aplicações do exemplo do pórtico plano, utilizando rotinas desenvolvidas em MatLab. 3.4.1 Identificação de frequências naturais. Espectro normalizado médio Conforme já se referiu anteriormente, a caracterização experimental do comportamento dinâmico de uma estrutura, requer a medição da sua resposta, em vários graus de liberdade. A análise isolada de apenas um espectro de potência é insuficiente para identificar todas as frequências de ressonância da estrutura, pois o grau de liberdade a que se refere pode estar situado sobre um nodo de um ou mais modos de vibração e portanto, não possibilita a identificação das frequências associadas a esses modos. Pelo que é essencial efectuar a análise espectral de todos os auto-espectros e espectros cruzados obtidos. Todavia esta é uma operação que se pode tornar extremamente trabalhosa, dependendo, evidentemente, do números de graus de liberdade instrumentados. Uma forma de compactar toda esta informação, é conseguida recorrendo à utilização de espectros normalizados médios – ANPSD [Felber, 1993]. Estes espectros são determinados a partir dos auto-espectros dos registos, através do processo que se descreve em seguida: i) Normalização dos auto-espectros (NPSD), dividindo as estimativas dos auto- espectros ( ) i ix x n G ω pela soma das suas N ordenadas: ( ) ( ) ( ) ii n i n N ii n n 1 S NPSD S = ω ω = ω∑ ii) Cálculo da média dos auto-espectros normalizados (ANPSD), correspondentes a todos os pontos instrumentados: 3.4 Método básico no domínio da frequência 45 ( ) ( ) GLn n i n i 1GL 1ANPSD NPSD n = ω = ⋅ ω∑ Na equação anterior, nGL é o número de graus de liberdade utilizados. A determinação do ANPSD, é uma forma expedita de sintetizar a informação contida nos vários auto-espectros, calculados a partir dos registos obtidos nos diferentes graus de liberdade. Uma vez que resulta da média de todos os auto-espectros, o ANPSD evidencia os picos de ressonância que se verificam em todos os auto-espectros e suaviza os picos que apenas surgem num auto-espectro. Este processo ajuda a simplificar a tarefa de identificação das frequências naturais, bastando apenas analisar os picos contidos no ANPSD, os quais devem corresponder a modos globais de vibração da estrutura. Todavia, é necessário confirmá-lo tendo em conta a informação disponibilizada através do cálculo das funções de coerência entre registos de resposta obtidos nos diferentes pontos instrumentados e as configurações modais correspondentes a essas frequências. Estes aspectos serão abordados nas duas secções seguintes. Exemplo 3.4 Identificação das frequências naturais a partir do espectro normalizado médio. Retomando o exemplo plano do edifício de 3 pisos, apresentam-se os 3 auto-espectros normalizados (NPSD) na Figura 3.18 e o correspondente espectro de potência normalizado médio (ANPSD) na Figura 3.19, calculados a partir das séries temporais geradas, considerando uma excitação do tipo ruído branco. Tendo em conta que o “ensaio” é único, isto é, realiza-se numa única fase, então nestas circunstâncias não é muito importante efectuar a normalização dos espectros. D en si da de E sp ec tra l d e Po tê nc ia [( m /s 2 )/ H z] 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -8 10 -6 10 -4 10 -2 10 0 Gy[1,1] 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -8 10 -6 10 -4 10 -2 10 0 Gy[2,2] 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -8 10 -6 10 -4 10 -2 10 0 Gy[3,3] f [Hz] f [Hz] f [Hz] Figura 3.18 Auto-espectros normalizados. Na Figura 3.19, indicam-se no ANPSD, os valores das frequências identificadas nos três picos de ressonância esperados. De notar que, os valores identificados dependem da precisão em frequência, que neste caso, uma vez que se utilizou uma frequência de amostragem de 50 Hz (∆t = 0.02s) e amostras com um comprimento de 1024 pontos, então ∆f = 1/(1024×0.02) = 0.0488 Hz. Capítulo 3: Identificação modal estocástica no domínio da frequência 46 D en si da de E sp ec tra l d e Po tê nc ia [( m /s 2 )/ H z] 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -8 10 -6 10 -4 10 -2 10 0 ANPSD 4.59 12.79 18.55 f [Hz] Figura 3.19 Espectro normalizado médio, considerando janelas com 1024 pontos, isto é com 20.48s. Tendo em conta a precisão em frequência, verifica-se que os desvios apresentados em relação aos valores teóricos encontram-se abrangidos pelo valor de ∆f = 0.0488 Hz. Uma forma de obter uma melhor precisão em frequência consiste em aumentar o comprimento das amostras utilizadas. Considerando-se amostras com 2048 pontos obter-se-á uma precisão em frequência de ∆f = 0.0244 Hz, obtendo- se desta forma valores mais próximos dos teóricos, como se pode verificar na Figura 3.20. É de salientar que, ao se aumentar o número de pontos das amostras, a rugosidade do espectro também aumenta. D en si da de E sp ec tra l d e Po tê nc ia [( m /s 2 )2 /H z] 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -8 10 -6 10 -4 10 -2 10 0 ANPSD 4.57 12.82 18.55 f [Hz] Figura 3.20 Espectro normalizado médio, considerando janelas com 2048 pontos, isto é com 40.96s. 3.4.2 Funções de coerência Um aspecto de extrema importância, na utilização dos métodos de identificação modal estocástica, refere-se à capacidade em distinguir entre os picos identificados nas funções de densidade espectral, aqueles que correspondem efectivamente a modos de vibração das estruturas. No método BFD, essa distinção pode ser efectuada recorrendo à utilização das designadas funções de coerência, as quais estabelecem uma medida de correlação entre os vários sinais medidos. A correlação entre os sinais da resposta observados, fornece indicações úteis sobre o grau de linearidade entre eles, podendo igualmente ser utilizada para avaliar o nível de ruído das medições efectuadas. 3.4 Método básico no domínio da frequência 49 (encontra-se fora de fase). Avaliação dos modos de vibração a partir de uma coluna da matriz das densidades espectrais de potência da resposta O quociente entre os elementos de uma coluna das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração e um dado elemento, tomado como referência, generalizado no intervalo [0, fN], tem usualmente a designação de função de transferência, ou FRF de transmissibilidade entre o ponto j e o ponto ref: ( ) ( ) j,ref j,ref ref ,ref S T S ω = ω As configurações modais avaliadas, resultam da relação entre as respostas observadas em diferentes graus de liberdade das estruturas, pelo que os modos identificados por esta via devem ser designados por modos de deformação operacionais, pois não resultam do ajuste de um modelo matemático representativo do comportamento dinâmico da estrutura. Os modos de vibração obtidos, não coincidem exactamente com os modos de vibração teóricos, eles representam a configuração que a estrutura assume quando excitada por um harmónico puro. Quando existem modos de vibração com frequências naturais próximas, os modos de deformação operacionais, identificados na vizinhança dessas frequências, são uma combinação dos modos de vibração respectivos. Exemplo 3.6 Utilização das FRF de transmissibilidade, na avaliação das configurações modais. Neste exemplo, apresenta-se o processo referente à avaliação das configurações modais do edifício de 3 pisos, a partir da aplicação do conceito de FRF de transmissibilidade e tendo por base a matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração, apresentada na Figura 3.17. É de salientar que neste caso, os picos de ressonância se encontram bem espaçados em frequência, pelo que a avaliação das configurações modais se resume à análise das FRF de transmissibilidade para os valores de frequência onde ocorrem picos de ressonância, obtendo-se nestas circunstâncias os modos de vibração experimentais. Tendo em atenção, como aliás já se referiu anteriormente, que estes modos representam a configuração deformada quando a estrutura é excitada por um harmónico puro, neste caso originário de um ruído branco, o qual é considerado como um sinal que abrange todas as frequências numa determinada gama de frequências (isto é uma gama de frequências que contém harmónicos puros para todas as suas frequências de interesse). Na Figura 3.22, apresenta-se uma matriz das FRF de transmissibilidade, tomando como referências, nas três colunas, os auto-espectros, pelo que as FRF de transmissibilidade apresentadas resultam do quociente entre cada um dos elementos da coluna e o elemento de referência. Como os espectros cruzados são funções complexas, as funções de transferência são representadas através da sua amplitude e fase (em graus). De notar que, os valores das amplitudes obtidas se referem a valores relativos entre os graus de liberdade instrumentados, pelo que é necessário normalizar estes valores quando se pretende desenhar a configuração modal. Um processo usual de normalização consiste em dividir todos os valores pelo maior obtido, ficando este unitário, aplicando em seguida um factor de escala que seja adequado ao factor de escala da representação da estrutura. Capítulo 3: Identificação modal estocástica no domínio da frequência 50 A m pl itu de Fase [º] A m pl itu de Fase [º] A m pl itu de 0 5 10 15 20 25 0 1 2 T[1,1] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 0 1 2 T[2,1] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 0 1 2 T[3,1] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 0 1 2 T[1,2] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 0 1 2 T[2,2] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 0 1 2 T[3,2] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 0 1 2 T[1,3] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 0 1 2 T[2,3] 0 90 180 0 5 10 15 20 25 0 1 2 T[3,3] 0 90 180 Fase [º] f [Hz] f [Hz] f [Hz] Figura 3.22 Estimativa das funções de transferência do edifício de 3 pisos. Nas tabelas seguintes avaliam-se as configurações modais, com base em cada uma das colunas da matriz das funções de transferência do edifício de 3 pisos, apresentada na Figura 3.22. Tabela 3.1 Avaliação das configurações modais com base na 1ª coluna da matriz das Funções de Transferência da Figura 3.22 1º modo [f = 4.59 Hz] 2º modo [f = 12.79 Hz] 3º modo [f = 18.55 Hz] | T | φ ( T ) [º] Φi,1 Φ (esc.) | T | φ ( T ) [º] Φi,2 Φ (esc.) | T | φ ( T ) [º] Φi,3 Φ (esc.) 1 0 1 0.0500 1 0 0.8022 0.0401 1 0 0.4479 0.0224 0.8018 0.0004 0.8018 0.0401 0.5548 179.8437 -0.4481 -0.0224 2.2324 179.8711 -1 -0.0500 0.4450 0.0020 0.4450 0.0223 1.2466 179.9566 -1 -0.0500 1.7783 0.0038 0.7966 0.0398 Tabela 3.2 Avaliação das configurações modais com base na 2ª coluna da matriz das Funções de Transferência da Figura 3.22 1º modo [f = 4.59 Hz] 2º modo [f = 12.79 Hz] 3º modo [f = 18.55 Hz] | T | φ ( T ) [º] Φi,1 Φ (esc.) | T | φ ( T ) [º] Φi,2 Φ (esc.) | T | φ ( T ) [º] Φi,3 Φ (esc.) 1.2471 0.0004 1 0.0500 1.8000 179.8437 -0.8018 -0.0401 0.4465 179.8711 -0.4465 0.0223 1 0 0.8018 0.0401 1 0 0.4455 0.0223 1 0 1 -0.0500 0.5550 0.0024 0.4450 0.0223 2.2449 0.1140 1 0.0500 0.7971 179.8715 -0.7971 0.0399 Tabela 3.3 Avaliação das configurações modais com base na 3ª coluna da matriz das Funções de Transferência da Figura 3.22 1º modo [f = 4.59 Hz] 2º modo [f = 12.79 Hz] 3º modo [f = 18.55 Hz] | T | φ ( T ) [º] Φi,1 Φ (esc.) | T | φ ( T ) [º] Φi,2 Φ (esc.) | T | φ ( T ) [º] Φi,3 Φ (esc.) 2.2470 0.0020 1 0.0500 0.8018 179.9566 -0.8018 -0.0401 0.5582 0.0038 0.4462 0.0223 1.8017 0.0024 0.8018 0.0401 0.4451 0.1140 0.4451 0.0223 1.2511 179.8715 -1 -0.0500 1 0 0.4450 0.0223 1 0 1 0.0500 1 0 0.7993 0.0400 3.4 Método básico no domínio da frequência 51 Analisando os resultados obtidos nas tabelas anteriores, apresenta-se a matriz modal com base nos resultados obtidos para a 1ª coluna da matriz das funções de transferência 1 0.8022 0.4479 0.8018 0.4481 1 0.4450 1 0.7966 Φ = − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ -0.1 0 0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1º modo - 4.59Hz -0.1 0 0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 2º modo - 12.79Hz -0.1 0 0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 3º modo - 18.55Hz Figura 3.23 Configurações modais avaliadas com base na 1ª coluna das Funções de Transferência da Figura 3.22. 3.4.4 Estimativas dos coeficientes de amortecimentos modais No âmbito do método BFD, podem-se estabelecer procedimentos conducentes à obtenção de estimativas dos coeficientes de amortecimentos modais, a partir dos auto- espectros. Nesta perspectiva, descreve-se, neste trabalho, a técnica do método da meia potência [Clough e Penzien, 1993; Rodrigues, 2004], no entanto alguns autores sugerem a utilização de uma outra técnica, conhecida por, método de ajuste dum espectro analítico correspondente à resposta em aceleração dum sistema de um grau de liberdade [Brownjohn et al., 1989; Littler, 1995; Delaunay et al., 1999; Rodrigues, 2004]. Em primeiro lugar importa referir que, para obter boas estimativas, para os coeficientes de amortecimento modais, é necessário garantir, tal como anteriormente, mas agora de uma forma ainda mais rigorosa que, as forças de excitação tenham densidade espectral aproximadamente constante e que os modos de vibração tenham frequências bem separadas e amortecimentos com valores baixos. Por exemplo na referência [Bendat e Piersol, 1993], são quantificadas algumas destas condições: i) As forças de excitação devem ter densidade espectral constante ou suficientemente uniforme na vizinhança da frequência de cada modo de vibração do sistema a identificar, Su (ω) ≈ constante, no intervalo [ωi−3Bi ≤ ω ≤ ωi+3Bi], em que Bi é a largura de meia potência do pico de ressonância correspondente ao modo de vibração com frequência ωi; ii) Os modos de vibração devem ter frequências bem separadas, ωi−ωi-1 > 2(Bi−Bi-1); iii) Os coeficientes de amortecimento devem ter valores pequenos, ξi < 5%; iv) A resolução em frequência deve ser bastante mais pequena do que a largura de meia potência dos picos de ressonância das estimativas das funções de densidade espectral, ∆ω < 0.2Bi.