Campos Magnéticos: Origem, Lei de Ampère e Equações Maxwell, Notas de aula de Engenharia Elétrica

Baixe Campos Magnéticos: Origem, Lei de Ampère e Equações Maxwell e outras Notas de aula em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Eletromagnetismo II - Notas de Aula Curitiba, Pr 2008 Tel: (41) 8419 5313 e-mail: bblipinski@gmail.com Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Capítulo 1 O Campo Magnético Estacionário Em 1823, Ampère sugeriu que o magnetismo natural era devido a pequenas correntes fechadas no interior da matéria. Atualmente, identificamos essas pequenas correntes com o movimento dos elétrons no interior dos átomos. Um elétron que gira ao redor do núcleo equivale a uma corrente que produz os mesmos efeitos magnéticos que um pequeno imã. Por outro lado, os elétrons giram sobre si mesmos produzindo efeitos magnéticos adicionais. Resumindo: a corrente que passa por um condutor produz um campo magnético a sua volta. Estudaremos aqui, a lei de relação entre a corrente que passa por um condutor (causa) e o campo magnético criado (efeito). O campo magnético ~H pode ser originado de duas maneiras: a. Por corrente elétrica; b. Por imã permanente (polo magnético). Podemos imaginar que em qualquer material existem muitos imãs de tamanho atômico. Na maioria dos casos, nestes pequenos imãs os dipolos mag- néticos estão orientados ao acaso e seus efeitos se cancelam. Entretanto, em certas substâncias, estes dipolos magnéticos estão orientados no mesmo sentido. Neste caso, os efeitos de cada dipolo magnético se somam, formando um imã natural. Lei de Biot Savart Até aqui nos preocupamos em tentar descrever as forças sobre as cargas e correntes que são postas em campos magnéticos produzidos externamente. Ao fazer isto, não consideramos que tipo de campo magnético é produzido por correntes ou pelas próprias cargas em movimento e assim, ainda não abordamos o problema de descrever e explicar os resultados das experiências de Oersted, o qual será discutido a seguir. Vamos ver, então, como se origina campo magnético através da corrente elétrica. O campo mag- nético ~H é um vetor, isto é, possui módulo, direção e sentido. 1 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário Dois condutores paralelos Como já foi visto, correntes geram campos magnéticos e, veremos que fluxos magnéticos exercem forças sobre cargas em movimento. Então dois condutores paralelos, com corrente experimentam uma dada for¸ca de atração ou repulsão, segundo os sentidos das correntes. Dois condutores paralelos conduzindo correntes no mesmo sentido. Pela regra da mão direita, observa-se que os campo magnéticos dos dois condutores se subtraem no espaço situado entre os condutores, e se soma fora dos condutores. Dois condutores paralelos conduzindo correntes em sentidos opostos. Pela regra da mão dire- ita, observa-se que os campo magnéticos dos dois condutores se somam no espaço situado entre os condutores, e se subtrai fora dos condutores. Considerando que não existam materiais ferromagnéticos nas proximidades, pode-se calcular o campo somando vetorialmente os campos criados por cada corrente. Exemplo 2: Dois fios retilíneos paralelos estão afastados de d = 40 cm, e são percorridos por correntes I1 = 100 A e I2 = 60 A, em sentidos opostos. Encontrar a distância x de um ponto P ao primeiro condutor, onde o campo magnético total seja nulo. Exemplo 3: Uma espira circular, de raio r, é percorrida pela corrente I . Obter a equação do campo magnético no centro da mesma. 4 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário Exemplo 4: Campo magnético de uma espira circular. Neste exemplo, calcularemos o valor do campo magnético em um ponto genérico P , situado no eixo de uma espira circular percorrida por uma corrente constante I , conforme esquema da figura abaixo. Exemplo 5: As bobinas de Helmholtz são duas bobinas circulares coaxiais, onde seus raiosR são iguais à distância d entre elas, isto é: R = d. Elas são muito conhecidas pelo fato de que o campo magnético é uniforme ao longo do seu eixo. Calcule a amplitude do campo ao longo do eixo das bobinas. Sugestão de estudo: Eletromagnetismo - Hayt & Buck, 6ª Edição: Capítulo 8, Seção 8.1. Resolver os exercícios E8.1 e E8.2, página 136. 5 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário Lei circuital de Ampère A lei de Ampère, que é uma das leis mais importantes do eletromagnetismo, é a conhecida regra da mão direita, expressa de uma forma matemática vetorial: a lei circuital de Ampère. Oersted descobriu que uma corrente elétrica produz um campo magnético, e que para o caso de um fio retilíneo, as linhas de campo são círculos em planos perpendiculares ao fio. O sentido do campo é dado pela regra da mão direita: com o polegar no sentido da corrente, os outros dedos dobrados apontam no sentido de ~H . A intensidade é dada pela distribuição de campo e fluxo magnético no sistema. Assim, a circulação do vetor ~H , em um percurso fechado, é igual à soma algébrica das correntes nela¸ dadas pelo percurso: ∮ ~H · d~L = I ⇒ ∫ ∫ ~J · d~S = I.(1.3) Com esta expressão matemática, a relação campo ~H e corrente é dada por uma integral de linha, que é calculada através de uma curva fechada chamada curva amperiana. A corrente I é a corrente líquida englobada pela curva e onde d~L é o caminho de integração, que escolhemos ao redor do fio. Cabe salientar que fora das leis de Biot-Savart ou Ampère não há nenhum meio analítico de deter- minar o campo ~H em função de ~J . Somente os métodos numéricos, relativamente modernos, podem determinar ~H em um bom número de casos, sem que tenhamos ainda meios de solucionar todos os problemas existentes. Exemplo 6: Campo magnético de um solenóide. Forma-se um campo magnético ao redor de uma bobina de fio de cobre, chamada solenóide, cujo comprimento é muito maior do que o seu raio, e consideraremos o solenóide infinito. Usando argumentos de simetria, mostre que os campos entre os fios e na parte externa do solenóide são nulos e que, no interior do solenóide o campo tem o sentido indicado pela regra da mão direita. 6 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário Ao longo da aresta 2− 3: ( ~H ·∆~L)2−3 = H2−3x (−∆x) = − ( H0x + 1 2 ∂Hx ∂y ∆y ) ∆x. Para a aresta 3− 4: ( ~H ·∆~L)3−4 = H3−4y (−∆y) = − ( H0y + 1 2 ∂Hy ∂x (−∆x) ) ∆y. Para a última aresta: ( ~H ·∆~L)4−1 = H4−1x (∆x) = ( H0x + 1 2 ∂Hx ∂y (−∆y) ) ∆x. Então: ∮ ~H ·∆~L = ( ∂Hy ∂x − ∂Hx ∂y ) ∆x∆y. Assumindo uma densidade de corrente genérica ~J , a corrente envolvida é ∆I = Jz∆x∆y: ∮ ~H ·∆~L = ( ∂Hy ∂x − ∂Hx ∂y ) ∆x∆y = Jz∆x∆y, ou: ∮ ~H ·∆~L ∆x∆y = ∂Hy ∂x − ∂Hx ∂y = Jz. A maior aproximação possível para esta expressão está no limite ∆x,∆y → 0: lim ∆x,∆y→0 ∮ ~H ·∆~L ∆x∆y = ∂Hy ∂x − ∂Hx ∂y = Jz. Se escolhermos um caminho fechado de forma que a corrente esteja na direção âx, temos: lim ∆y,∆z→0 ∮ ~H ·∆~L ∆y∆z = ∂Hz ∂y − ∂Hy ∂z = Jx, e para um camnho fechado de forma que a corrente esteja na direção ay: lim ∆z,∆x→0 ∮ ~H ·∆~L ∆z∆x = ∂Hx ∂z − ∂Hz ∂x = Jy. Como ~J = Jxâx + Jyây + Jzâz, temos a forma pontual da lei circuital de Ampère: ~J = ( ∂Hz ∂y − ∂Hy ∂z ) âx + ( ∂Hx ∂z − ∂Hz ∂x ) ây + ( ∂Hy ∂x − ∂Hx ∂y ) âz = rot ~H = ~∇× ~H. Acima está a terceira Equação de Maxwell: ~∇× ~H = ~J , aplicada acondições não variantes no tempo. 9 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário Em coordenadas cilíndricas: ~∇× ~H = ( 1 ρ ∂Hz ∂φ − ∂Hφ ∂z ) âρ + ( ∂Hρ ∂z − ∂Hz ∂ρ ) âφ + ( 1 ρ ∂(ρHφ) ∂ρ − 1 ρ ∂Hρ ∂φ ) âz . Em coordenadas esféricas: ~∇× ~H = 1 r sin θ ( ∂(Hφ sin θ) ∂θ − ∂Hθ ∂φ ) âr+ 1 r ( 1 sin θ ∂Hr ∂φ − ∂(rHφ) ∂r ) âθ+ 1 r ( ∂(rHθ) ∂r − ∂Hr ∂θ ) âφ . O significado físico da integral ∮ ~H · d~L = I é muito importante e justifica o fato desta dar origem a um rotacional. Esta integral é calculada sobre uma linha fechada, definindo uma circulação de “alguma coisa”, que vem a ser a corrente total que atravessa a área delimitada pela curva fechada. O rotacional gerado nos fornece os domínios de direções e sentidos do campo magnético gerado por esta corrente. Em analogia com o campo eletrostático, a integral de linha ∮ ~E · d~L é nula (como visto no semestre passado!), significando que não há circulação de campo elétrico em torno co caminho fechado de integração. Em outras palavras, nenhum trabalho é realizado ao se deslocar uma carga elétrica de um ponto a outro sobre este caminho fechado. Para o campo magnetostático, há trabalho realizado pois a circulação de campo magnético não é nula. Esta circulação dá origem a um fluxo de cargas, caracterizando uma corrente elétrica. Exemplo 9: Na região z > 0 do espaço há um campo magnético dado por ~H = 0, 2z2âx, sendo nulo, como na figura. Calcule a integral ∮ ~H · d~L ao longo do quadrado fechado de lado d, centrado em 0, 0, z1 no plano y = 0, onde z1 > 2d. 10 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário Teorema de Stokes A segunda Equação de Maxwell é a forma pontual da lei circuital de Ampère e define o campo magnetostático gerado a partir de uma densidade de corrente. É possível, através de argumentos simples, deduzir que o contrário também é verdadeiro: a variação de campo magnético gera uma densidade de corrente elétrica. Este é o princípio de funcionamento de um eletroimã, por exemplo. Considere uma superfície S dividida em elementos infinitesimais de área, ∆S. Aplicando a definição de rotacional a um destes elementos de área, temos: ∮ ~H · d~L∆S ∆S = (~∇× ~H)N ⇒ (~∇× ~H) · âN ,(1.4) na qual o índice N indica a componente de ~H normla à superfície, dada pela regra da mão direita. O caminho fechado d~L∆S indica o perímetro da área ∆S. Após simples manipulação: ∮ ~H · d~L∆S = (~∇× ~H) · âN∆S ⇒ (~∇× ~H) ·∆~S.(1.5) Como estamos interessados em determinar a circulação total de campo em torno do perímetro de ∆S, integramos em S: ∮ ~H · d~L∆S = ∫ S (~∇× ~H) · d~S,(1.6) com d~L sendo o perímetro de S. Esta última equação é conhecida como o Teorema de Stokes e é capaz de transformar um prob- lema envolvendo uma integral de linha em um problema de integração de superfície. Esta identidade é valida para qualquer campo vetorial. Exemplo 10: Considere a região superficial de uma esfera, delimitada por r = 4, 0 ≤ θ ≤ 0, 1π e 0 ≤ φ ≤ 0, 3π. Se o campo no local é dado por ~H = 6r sinφâr + 18r sin θ cosφâφ. Calcule os dois membros doTeorema de Stokes. 11 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário Spin e momento angular Rigorosamente, núcleos não apresentam spin, mas sim momento angular (exceção feita somente ao núcleo do isótopo 1 do hidrogênio, que é constituído de um único próton). Embora o spin possa ser considerado um momento angular, por terem ambos as mesmas unidades e serem tratados por um formalismo matemático e físico semelhante, nem sempre o oposto ocorre. O spin é intrínseco, ao passo que objetos compostos têm momento angular extrínseco. Contudo, motivos históricos e continuado costume levaram à esse abuso de linguagem, tolerado e talvez tolerável em textos não rigorosos. O conceito de spin surgiu da necessidade de se explicar os resultados até então impensados na experiência de Stern-Gerlach na década de 1920. Nessa experiência, um feixe colimado de átomos de prata, oriundos de um forno a alta temperatura, atravessavam um campo magnético altamente não- uniforme. Tal experimento era destinado a medir a distribuição dos momentos magnéticos, devidos principalmente aos elétrons. Como os átomos, na temperatura em que estavam emergindo do forno, estavam no seu estado fundamental 1S0, deveriam sofrer desvios nulos na presença do campo mag- nético não-uniforme. A distribuição esperada era da perda da coerência espacial do feixe durante o seu tempo de vôo, do forno de origem até o alvo. Tal não sucedeu, contudo. O resultado obtido foram duas manchas de depósito de prata sobre o alvo, indicando que o feixe se dividira em dois durante o percurso. Isso indicou que os átomos de prata do feixe ainda tinham um grau de liberdade de momento angular, mas que não era o momento angular orbital dos elétrons no átomo, mas sim um momento angular intrínseco destas partículas. A esse “momento angular in- trínseco” deu-se o nome de spin (significando giro em Português). Em 1924, Wolfgang Pauli postulou que os núcleos se comportariam como minúsculos imãs. Mais tarde, experimentos similares, porém mais sofisticados, aos do Stern-Gerlach determinaram momentos magnéticos nucleares de várias es- pécies. Considere uma espira de raio R percorrida por corrente I . Se R é pequeno em relação a x, podemos escrever H = I 2πR 2 4πx3 . Definindo a quantidade IπR2 como o momento de dipolo magnético, m, temos H = 2m 4πx3 . Através da analogia com o dipolo elétrico, podemos escrever as componentes normal e tangecial de ~H: HN = 2m cosα4πR3 e HT = m sinα 4πR3 . Dipolo e carga magnética Geralmente um imã minúsculo de microscópico para dimensões subatômicas, equivalente a um fluxo de carga elétrica ao redor de uma esfera. Elétrons que circulam ao redor de núcleos atômicos, de seus próprios eixos, e de núcleos atômicos carregados positivamente são todos dipolos magnéti- cos. A soma destes efeitos pode se cancelar, de forma que um determinado tipo de átomo pode não ser um dipolo magnético. Se eles não se cancelam completamente, o átomo é um dipolo magnético permanente, como são, por exemplo, os átomos de ferro. Muitos milhões de átomos de ferro, espon- 14 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário taneamente, se mantém no mesmo alinhamento para formar um domínio ferromagnético, constituindo também um dipolo magnético. As agulhas de bússolas magnéticas e imãs de barra são exemplos de dipolos magnéticos macroscópicos. Quando um dipolo magnético é considerado como uma corrente arredondada, a magnitude do momento de dipolo é proporcional a corrente, multiplicado pelo tamanho da área inclusa. A direção do momento de dipolo, que pode ser representado matematicamente como um vetor, é perpendic- ularmente afastada do lado da superfície que gira fluxo de carga positiva no sentido anti-horário. Considerando a volta da corrente como um imã minúsculo, este vetor corresponde à direção do polo sul ao polo norte. Quando estão livres para girar, os dipolos se alinham de forma que seus momentos apontem, predominantemente, na direção do campo magnético externo. Os momentos magnéticos do núcleo e do elétron são quantizados, o que significa que eles podem somente ser orientados no espaço em certos ângulos discretos em respeito à direção do campo externo. Momentos de dipolo magnéticos têm dimensões de corrente vezes a área ou energia dividido por densidade de fluxo magnético. No sistema metro-quilograma-segundo-ampère e SI, a unidade especí- fica para momento de dipolo é ampère vezes metro quadrado. Vetor magnetização Para os trabalhos práticos, lida-se com o vetor magnetização ~M que é um vetor representativo de todos os vetores ~m sobre um volume V . Cada corrente atômica é um pequeno circuito fechado de dimensões atômicas, e pode ser descrito como um dipolo magnético. Seja ~mi o momento magnético do átomo de índice i. Definiremos agora uma quantidade vetorial macroscópica, a magnetização ~M (momento de dipolo magnético por unidade de volume). Somaremos, vetorialmente sobre todos os momentos de dipolo num pequeno elemento de volume ∆V e dividiremos o resultado por ∆V : ~M = lim ∆V→0 1 ∆V ∑ i ~mi.(1.7) A unidade de ~M é A/m, a mesma unidade do campo magnético. Podemos admitir que a magne- tização seja uma função das coordenadas, como por exemplo ~M(x, y, z) no sistema cartesiano. Exemplo 11: A magnetização de saturação do ferro é 1, 7.106 A/m, e sua densidade é 7970 kg/m3. Sabendo que o número de Avogadro vale 6, 025.1026 kg− atomo, e a massa atômica relativa do ferro é 56, calcular o momento magnético de cada átomo de ferro, em Am2. 15 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário Indução e permeabilidade magnética Coloquemos uma barra de ferro desmagnetizada dentro de um campo magnético uniforme. Observa- se o surgimento de polos, imantando a barra de ferro. Esta imantação gera uma magnetização, que se soma ao campo magnético externo aplicado. O novo campo magnético resultante se denom- ina indução magnética, ou densidade de fluxo, ou simplesmente indução e se denota pelo símbolo ~B. Sua unidade no sistema internacional é o Tesla (T ). Para que ocorra a conservação da en- ergia, precisaremos de uma constante, que será denominada permeabilidade magnética no vácuo µ0 = 4π × 10−7 Tm/A. A indução magnética ~B é dada por: ~B = µo( ~H + ~M).(1.8) No caso do ferro e de outros materiais ferromagnéticos, a magnetização ~M é, frequentemente, muito maior que a intensidade magnética ~H por um fator de vários milhares ou até mais. A grandeza µo significa a medida do quanto o meio é deformável quando imerso em um campo magnético e é necessário na equação anterior para tornar as unidades compatíveis com o SI. A unidade no SI para ~B é o weber por metro quadrado, Wb/m2 (1Wb = 1V s), ou o tesla (T ), e a unidade do SI para ~H e ~M é o ampère por metro (A/m). A unidade cgs para ~B é o gauss (G) e 1 T = 104 G. No vácuo, temos que ~B = µ0 ~H , definido como a permeabilidade magnética do vácuo. Para qualquer outro material, podemos definir µ = B H , como sendo a permeabilidade magnética deste material. Ainda podemos definir a permeabilidade magnética relativa: µ = µ µ0 . utilizando a grandeza susceptibilidade magnética, podemos ainda escrever µ = µ0(1 + χ), e ~B = µ0(1 + χ ~H). Em analogia com a lei de Gauss, Ψ = ∮ ~E ·d~S = Q ε0 , a integral para o cmapo magnético também é válida. Porém, até os dias de hoje, não há qualquer comprovação da exixtência de uma fonte genérica de campo magnético, que seja análoga à carga elétrica. Esta “carga magnética” não existe de fato, pois as fontes de campo magnético são descritas pela presença de materiaia magnéticos ou magnetizados, que possuem características particulares e extensíveis. Então, ∮ ~B · d~S = 0. Aplicando o terorema da divergência, encontramos: ~∇ · ~B = 0.(1.9) 16 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário Potencial Escalar Magnético Pela lei de Ampère, temos ~∇× ~B = µ0 ~J . Se a densidade de corrente ~J é nula, temos: ~∇× ~B = 0. Esta última pode ser escrita como ~∇ × (~∇ · φ) = 0, na qual Φ é um campo escalar. Em outras palavras,podemos dizer sem perda de informação, que quando o rotacional de um campo vetorial é nulo, este campo pode ser escrito como o gradiente de um campo escalar. Assim, o campo magnético numa região em que ~J = 0 pode ser escreito como: ~B = −µ0∇ϕ,(1.19) na qual ϕ é dito potencial escalar magnético. Da lei de Gauss para o magnetismo, temos ~∇ · ~B = 0, temos: ~∇ · (−µ0∇ϕ) = 0 ⇒ ∇2ϕ = 0.(1.20) Exemplo 13: Sabendo que o campo magnético produzido por um dipolo magnético vale ~B(~r) = µ0 4π [ 3(~m·~r)~r r5 − ~m r3 ] , mostre que ϕ = ~m·~r 4πr3 representa o potencial escalar magnético para o dipolo magnético. Orientação de estudo: Eletromagnetismo - Hayt & Buck, 6ª Edição: Capítulo 8, Seções 8.6 e 8.7. Fazer uma leitura crítica e resolver os exercícios E8.8 e E8.9, da página 153. 19 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Capítulo 2 Forças Magnéticas, Materiais e Indutância Até agora, tratamos de problemas que só podiam ser resolvidos a partir do conhecimento da con- figuração da corrente elétrica que gera o campo magnético. Ou seja: se a distribuição de corrente é conhecida, podemos determinar ~H , ~B e ~A em cada ponto do espaço de campo magnético não-nulo. Uma outra forma de analisar o fenômeno magnetostático, é estudar as forças e os torques que o cmpo magnético exerce sobre cargas de prova. O primeiro passo, é definir a força magnética gerada por uma carga em movimento. Força sobre uma carga em movimento Lembrando um pouco de Eletromagnetismo I, a força que atua sobre uma carga elétrica esta- cionária vale ~F = q ~E. Quando colocamos esta carga em movimento, além da presença de campo elétrico, também detec- tamos a presença de um fluxo magnético (ou indução magnética), devido à presença de uma corrente elétrica. Neste enunciado, encontramos a explicação ao funcionamento dos motores elétricos, e en- tendemos a indução magnética. Quando uma carga elétrica q se desloca com velocidade ~v, ela gera um fluxo de campo elétrico e também, um fluxo de campo magnético, com indução magnética ~B e, sobre ela, atua uma força ~F , que depende do vetor indução magnética e do vetor campo elétrico, gerado pela própria carga que se move. Esta é a chamada força de Lorentz: ~F = q( ~E + ~v × ~B), sendo a força perpendicular ao plano ocupado por ~v e ~B. Analisando esta equação, também podemos ver facilmente que os campos elétrico e magnético, gerados por uma carga em movimento, são sempre perpendiculares entre si. Quando os vetores ~v e ~B são ortogonais, o módulo de ~F é dado por F = qvB. Lembrando um pouquinho da Física II, a velocidade dos portadores de carga (elétrons) é medida pela corrente elétrica I no condutor. A carga de elétrons num condutor, cuja área da seção 20 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 2: Forças Magnéticas, Materiais e Indutância reta é A e cujo comprimento é L, pode ser expressa como qv = IL. Então, temos que o módulo força que age sobre as cargas pode ser dada por: F = BIL. Ilustração: a) Uma carga pontual de 20 nC está parada em certa região do espaço. Determine a força que atua sobre ela quando está imersa numa região de campo elétrico ~E = −3̂i+ 4ĵ + 6k̂. b) A mesma carga de 20 nC é colocada em movimento com uma velocidade ~v = (3, 2̂i − 4ĵ + 1, 6k̂)× 105 m/s, devido à presença de um campo magnético ~B = 2̂i− 5ĵ + 3k̂. Determine a força que atua sobre ela devido a este campo magnético. c) Continuando na situação do item b: qual é a força total que atua sobre esta carga em movi- mento, devido ao conjunto dos campos elétrico e magnético presentes nesta região? 21 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 2: Forças Magnéticas, Materiais e Indutância Força que age sobre um fio que conduz corrente Partindo da força de Lorentz, ~F = q~v × ~B, para um fio condutor sobre o qual flui uma corrente I ao longo do seu comprimento, podemos escrever a força elementar que atua sobre cada um dos portadores: d~F = qvadL̂× ~B, na qual: |~v| = va = d~L dt . Existe, então, um número N de portadores de carga por unidade de volume. Para um elemento infinitesimal de volume, temos: dV = AdL, com A sendo a área da secção reta do fio. Então a densidade de portadores é: N = n V ⇒ n = NV ⇒ dn = NAdL . Assim, a força que age sobre todo o segmento dL do fio é dnd~F : d~F = NqAvad~L× ~B . Sendo ρ = Nq a densidade volumétrica de cargas, obtemos: d~F = ρAvad~L× ~B na qual: I = ρAva. Então: d~F = Id~L× ~B , que representa a força total sobre todos os portadores de carga em dL. Se dividirmos esta ex- pressão por dL, obtemos a força por unidade de comprimento: d~F dL = I d~L dL × ~B ⇒ d ~F dL = IdL̂× ~B . Ilustração: Um fio é percorrido por uma corrente I . Um pedaço do fio, de comprimento L está submetido a um campo magnético externo ~B uniforme, como mostra a figura. Determine a força magnética que age sobre o fio e a força magnética por unidade de comprimento. 24 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 2: Forças Magnéticas, Materiais e Indutância Força entre elementos diferenciais de corrente O campo magnético em um ponto P2 do espaço, devido a um elemento de corrente posicionado no ponto P1 é dado por: d ~H2 = I1 4πR212 d~L1 × âR12 , se substituirmos a força diferencial, que é dada por d~F2 = I2dL̂2 × ~B2, no ponto P2, temos: d(d~F2) = µ0 I1I2 4πR212 d~L2 × (d~L1 × âR12). Esta é a expressão que calcula o elemento de força infinitesimal entre dois elementos de corrente infinitesimais. Ilustração: Considere duas correntes, I1 = 3A, no sentido negativo do eixo y e I2 = 4A, no sentido negativo do eixo z. Determine a força entre pontos P1(5, 2, 1) e P2(1, 8, 5). 25 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 2: Forças Magnéticas, Materiais e Indutância Força e torque em circuito fechado A força de um dipolo magnético, chamado de momento de dipolo magnético, pode ser imaginado como uma medida da habilidade de um dipolo de se alinhar quando submetido a um campo magnético externo. Em um campo magnético uniforme, a magnitude do momento de dipolo é proporcional a soma de torque no dipolo, a qual ocorre quando o dipolo está em ângulos certos para o campo magnético. O momento de dipolo magnético, frequentemente chamado de momento magnético, pode ser definido como o máximo de quantia de torque causado por força magnética, nas proximidades de campo magnético no vácuo. Imagine uma espira, de uma volta, no plano z = 0, com largura W ao longo do eixo x e comprimento l ao longo do eixo y, imersa em uma região de indução magnética ~B, uniforme e orientado na direção do eixo x. A espira é percorrida pela corrente I no sentido horário. As únicas forças aparecem nos lados da espira, e têm módulo F = BIL. O torque relativo a cada “braço” é dado por: ~Γ = ~F × ~R ⇒ ~Γ = BILW sin γ, na qual, define-se m = ILW como o módulo do momento de dipolo magnético ~m = I ~S, na qual S é a área da espira. Então: ~Γ = ~m× ~B ⇒ ~Γ = I ~S × ~B. Para um circuito fechado qualquer, a forá fica melhor definida como ~F = −I ∮ ~B×d~L. Se ~B for uniforme,temos a integral ~F = −I ~B × ∮ d~L. Já sabemos do cálculo vetorial que esta última integral é nula. Então a força sobre o circuto fechado é nula. Porém, este não é o resultado final. A força sobre um elemento de corrente pode ser nula, mas se o campo não for uniforme, podem existir regiões do circuitos com diferentes densidades lineares e até mesmo volumétricas de corrente, garantindo que haja uma força não-nula sobre o circuito. Se tomarmos no circuito, dois elementos diferenciais de corrente, podemos verificar que, mesmo qua a força devido a cada um deles seja nula, o torque total é diferente de zero. O torque é dado por: ~Γ = ~R× ~F para cada elemento de corrente. O torque total, resultante dos dois elementos de corrente será: ~Γ = ~R1 × ~F1 + ~R2 × ~F2, como as forças são nulas, a sua soma também é nula, então: ~F1 + ~F2 = 0. Obtemos, então: ~Γ = ~R1 × ~F1 − ~R2 × ~F1 ⇒ ~Γ = (~R1 − ~R2)× ~F1 ⇒ ~Γ = ~R21 × ~F1. O vetor ~R21 liga o ponto de aplicação da força F2 ao ponto de aplicação da força F1, portanto, independe da origem dos vetores ~R1 e ~R2. Portanto, o torque independe da escolha de uma origem. O elemento diferencial de torque é dado por: d~Γ = d~m× ~B. 26 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 2: Forças Magnéticas, Materiais e Indutância Ht1 −Ht2 = K , com: ( ~Ht1 − ~Ht2) = âN12 × ~K . Para a componente tangencial de ~B, obtemos: Bt1 µ1 − Bt2 µ2 = K, e para a magnetização: Mt2 = χ2 χ1 Mt1 − χ2K. Ilustração: Suponha que µ1 = 4 µH/m, na região 1 com z > 0 e que µ2 = 7 µH/m na região 2 onde z < 0. Admita uma densidade de corrente linear na fronteira (z = 0) entre estes dois materiais, dada por ~K = 80̂i A/m. Se houver uma indução magnética na região de valor ~B1 = (2̂i− 3ĵ + k̂) mT , qual é o valor da indução magnética na região 2? 29 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 2: Forças Magnéticas, Materiais e Indutância Indutância e Indutância mútua Já vimos que o capacitor é um dispositivo apropriado para gerar um campo elétrico e que uma corrente elétrica cria um campo magnético. Em particular, calculamos o campo magnético de um solenóide. Este dispositivo está para o magnetismo, assim como o capacitor está para a eletricidade. Há uma completa analogia entre os dois dispositivos. Assim, correspondendo à capacitância de um capacitor, podemos definir a indutância (ou auto-indutância), L: L = NΦ I , sendo N o número de espiras do solenóide, Φ o fluxo de campo magnético total na bobina e I a corrente que passa pelo solenóide. Esta expressão é válida para meios magnéticos lineares, nos quais o fluxo de campo é proporcional à corrente. A unidade de indutância é o H = henry, equivalente a um weber-espira por ampère. Indutância em um cabo coaxial: Considere o cabo coaxial de raio interno a e raio externo b da figura abaixo, com o eixo principal ao longo do eixo z. 30 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 2: Forças Magnéticas, Materiais e Indutância Indutância em uma bobina toroidal de N espiras: Se considerarmos uma bobina toroidal, com um enrolamento de N espiras, cujas voltas têm uma separação da ordem da espessura do filamento, podemos obter a indutância utilizando o mesmo pro- cedimento acima: Bθ = µ0NI 2πρ , Φ = µ0NIS 2πρ0 , L = µ0N 2IS 2πρ0 , nas quais S é a área da secção reta do toróide. Porém, se a separação entre as espiras for grande em relação à espessura do filamento enrolado, cada espira terá a sua própria indutância agindo sobre as demais espiras e, a indutância total não poderá mais ser tomada como o produto da indutância de uma espira pelo raio médio das espiras, como feito acima. Neste caso, estamos diante do fenômeno de indutância mútua, onde cada espira age sobre a outra simultaneamente e devemos olhar a indutância de cada espira separadamente. A indutância total é dada pela soma discreta das indutâncias de cada espira: L = Φ1 + Φ2 + ...+ Φi I . É óbvio que esta conta não é trivial! Na maioria dos casos, é necessário recorrer a dados expe- rimentais e grandezas empíricas de caracterização do dispositivo, como os fatores de enrolamento e suas dimensões. Uma forma aproximada de calcular a indutância mútua de um dispositivos como estes, é partir das medidas de energia produzida pela corrente que flui pelos dispositivos: L = 2WH I2 , na qual WH é a energia magnética produzida pela corrente I que flui no filamento do dispositivo. A expressão de WH só poderá ser deduzida a partir das equações de Maxwell completas (com variação temporal), as quais viremos mais à frente. Por enquanto, vamos aceitar a sua forma como um comparativo com a, já deduzida, expressão para a energia elétrica armazenada em um capacitor: WE = 1 2 ∫ vol ~D · ~Edv ⇀ WH == 1 2 ∫ vol ~B · ~Hdv . Se lembrarmos que ~B = µ ~H , obtemos: WH = 1 2 ∫ vol µH2dv ou WH = 1 2 ∫ vol B2 µ dv . 31 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Capítulo 3 Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell Lei de Faraday Agora, vamos começar a falar sobre o que chamamos propriamente de Eletromagnetismo = Eletro + magnetismo ou seja, a interação entre os campos elétrico e magnético de um sistema. Um pouco de história sempre é bom para valorizarmos o trabalho dos cientistas pioneiros, que tanto contribuiram para a renovação tecnológica da qual disfrutamos hoje. No decorrer da vida, Michael Faraday (1791-1867) aprendeu a pesquisar num laboratório de química. Ele aprendeu igualmente a sobreviver aos insultos decorrentes da sua condição de encader- nador assalariado, aspirante à integração no mundo da alta sociedade que dominava a ciência. Na França daquela época foi confirmada, por Ampère e um colega, a espantosa notícia que a corrente elétrica que circula em um enrolamento espiral também se comportava como um ímã, atraindo pe- quenos pedaços de ferro. Por essa razão, sua descoberta foi batizada de eletroímã. No decorrer dos dois séculos anteriores, os filósofos naturalistas tinham descoberto várias semelhanças entre a eletri- cidade e o magnetismo. O francês Charles-Augustin Coulomb descobrira que ambas as forças tinham propriedades semelhantes, por diminuírem de intensidade com a distância, exatamente da mesma forma. O alemão Otto von Guericke descobrira que ambas as forças tinham duas faces, por serem capazes de atrair alguns objetos e de repelir outros. Desta feita, refletia Faraday incredulamente, Orsted, Ampère e Arago tinham chegado mais longe, revelando algo mais profundo sobre as duas forças. A sua espantosa descoberta levantava a possibili- dade de que a eletricidade e o magnetismo pudessem ser de alguma forma intermutáveis. No entanto, se a eletricidade podia se comportar como um ímã, faltava-se provar que o contrário também era verdadeiro: O magnetismo poderia se comportar como a eletricidade? Dito de outra forma: poderia um ímã produzir eletricidade? Subitamente, encontrar uma resposta para essa per- gunta tomou-se o Santo Gral da ciência do século XIX. Faraday observou que o magnetismo produzido pela corrente elétrica exercia sempre a mesma influência sobre uma bússola magnética: imaginando a bússola deitada sobre uma mesa e a corrente 34 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 3: Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell elétrica a fluir do chão em direção ao teto, a agulha da bússola girava sempre no sentido, inverso ao dos ponteiros do relógio, e nunca ao contrário. Não sabia o que isto significava, mas após ter apresentado o artigo sobre a história da eletricidade e do magnetismo aos Annals of Phylosophy, decidiu averiguar a questão. À medida que se concentrava, começou a esboçar-se uma imagem mental que explicava a experiência original de Orsted. Tal como uma corrente ascendente de ar se transforma por vezes num tornado, especulou se uma corrente ascendente de eletricidade podia produzir redemoinhos de magnetismo, provocando um ligeiro movimento a qualquer agulha magnética que se encontrasse nas proximidades. Faraday percebeu que esta imagem tinha mais de palpite do que de propriamente teoria, mas havia uma maneira de a testar: se a corrente elétrica produzia de fato um tornado magnético, então os seus ventos rotativos fariam girar continuamente quaisquer objetos magnéticos que se encontrassem nas proximidades, e não apenas de forma ligeira, como acontecia com a agulha magnética de Orsted. A questão era saber como fazer isso acontecer. Após semanas de experimentação, a resposta surgiu. Primeiro, ele pegou um ímã em forma de barra e alinhou-o com a vertical. Nessa posição, colocou-o num recipiente com mercúrio, de modo que o ímã passou a flutuar em pé, como uma pequena bóia. Em seguida colocou um fio condutor no centro do recipiente e fez passar através deste uma corrente elétrica em direção ao teto. Como resultado, algo notável aconteceu: o ímã-bóia começou a rodar em tomo do condutor, tal como se fosse arrastado por uma corrente invisível, no sentido anti-horário. Com esta simples experiência, Faraday matou dois coelhos com uma só cajadada. Confirmou a sua teoria do tornado magnético e no processo criou o primeiro motor elétrico do mundo. Futura- mente, os engenheiros encarregar-se-iam de aperfeiçoar a tosca engenhoca concebida por Faraday, criando motores elétricos que acabariam por bater em potência os motores de vapor que propulsion- avam a revolução industrial. Mesmo a um século de distância, com motores elétricos a serem pro- duzidos em todos os tamanhos e feitios, o princípio que os força a girar ainda é o do campo de forças magnéticas em forma de tornado, reconhecido pela primeira vez pelo prodígio da classe trabalhadora inglesa. A sua fama disparou, tal como sucedeu à altura das pilhas voltaicas: para obter eletricidade em quantidade suficiente para alimentar motores elétricos com potências significativas, os cientis- tas viram-se forçados a construir baterias de dimensões tais que ocupavam divisões inteiras. No laboratório, o despretensioso Faraday trabalhava agora mais arduamente do que nunca para encontrar a resposta a uma questão que o intrigava desde a descoberta do motor elétrico. Se a eletri- cidade podia produzir magnetismo, porque não seria o inverso verdadeiro? Porque o magnetismo não poderia produzir eletricidade? Muitos cientistas se puseram à mesma questão, mas não conseguiram encontrar uma resposta. Nem mesmo Orsted teve sucesso, apesar de ter trabalhado dia e noite para descobrir o complemento lógico da sua descoberta original. A 29 de Agosto de 1831, Faraday encon- trou o filão. Começou a enrolar um comprido fio metálico em torno de um segmento de um anel de ferro e em seguida, fez o mesmo em torno do outro segmento do anel. Se os fios metálicos fossem ligaduras, o braço circular do anel aparentaria possuir feridas em dois pontos opostos. Como sempre, o plano de ação de Faraday era bastante simples: faria passar uma corrente elétrica pela primeira ligadura de fio, produzindo um vento magnético que percorreria todo o anel. Se a dita tempestade 35 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 3: Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell magnética produzisse uma corrente elétrica na outra ligadura de fio, Faraday teria encontrado aquilo que todos procuravam: o magnetismo teria criado eletricidade. Se tal coisa acontecesse, antevia Faraday, provavelmente a corrente elétrica produzida seria ex- tremamente débil e por isso nunca havia sido detectada. Assim, ligou o segundo segmento a um amperímetro capaz de detectar o menor vestígio possível de corrente elétrica. Agora era tudo ou nada. Ao eletrificar o primeiro enrolamento através de uma pilha voltaica, olhou esperançoso para o amperímetro. O ponteiro moveu-se! “Oscilou e voltou à posição de repouso”, escreveu histérica e históricamente no registro. Durante uns momentos, Faraday olhou estupefato para o ponteiro. Voltaria ele a mover-se? Após alguns minutos de espera vã, desistiu. Todavia, ao desligar a pilha ficou surpreendido ao observar “mais uma vez uma perturbação no amperímetro”. Durante o resto da noite, Faraday continuou a ligar e a desligar o anel da pilha. A de cada vez que o fazia, o ponteiro do amperímetro movia-se em espasmos. Finalmente fez-se luz no seu espírito e nesse momento sentiu- se como o jovem que saltara de alegria numa véspera de Natal, quase vinte anos antes. A corrente elétrica no primeiro enrolamento produzia um tornado magnético que, por sua vez, produzia uma corrente elétrica no outro enrolamento. Mas isso acontecia apenas quando a intensidade do tornado aumentava ou diminuía. Estavam explicados os saltos do ponteiro: de cada vez que Faraday lig- ava/desligava a pilha, o tornado magnético surgia/desaparecia, produzindo o efeito. Entre esses dois momentos, desde que os ventos magnéticos se mantivessem estáveis ao longo do anel de ferro, nada acontecia. Durante os meses seguintes, Faraday passou em revista e refinou o equipamento, chegando sempre às mesmas conclusões que confirmavam a descoberta original. Em 1831, finalmente, Faraday - o prodígio da Royal Institution, então com 40 anos de idade, resumia a sua descoberta histórica numa única frase: “Sempre que uma força magnética aumenta ou diminui, produz eletricidade. Quanto mais de- pressa se dá esse aumento ou diminuição, mais eletricidade se produz.” Embora a eletricidade e o magnetismo se pudessem afirmar individualmente, na verdade estavam inexplicavelmente associados, surgindo sempre um onde quer que o outro estivesse presente. Seria por este motivo que a ciência acabaria por batizar esta bizarra relação de forças com um único epíteto híbrido: eletromagnetismo. Com esta nova forma de encarar a eletricidade e o magnetismo, Faraday e os seus sucessores concretizaram finalmente uma parte do antigo sonho científico da unificação das forças da natureza. O trabalho de unificação dos fenômenos elétricos e magnéticos ficou a cargo de James Clerk Maxwell, anos após a publicação dos trabalhos de Faraday, que obteve convergência total em quatro únicas equações, que levam o seu nome. Nas equações completas de Maxwell, leva-se em conta as variações temporais dos campos elétricos e magnéticos, estabelecendo a relação entre eles: “Um campo elétrico produz um campo magnético e um campo magnético variável produz um campo elétrico.” 36 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 3: Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell Correntes de deslocamento Agora vamos analisar o que acontece quando um campo elétrico varia no tempo. Partimos da lei circuital de Ampère, ∮ ~H · d~L = I , que afirma que a integral de linha de ~H sobre qualquer caminho fechado d~L corresponde à corrente elétrica que circula por este caminho. Lembre-se: o sentido da corrente é dado pela regra da mão direita. Aplicando o teorema de Stokes à integral acima, temos: ∮ ~H · d~L = ∫ S (~∇× ~H) · d~S = I = ∫ S ~J · d~S. Então: (~∇× ~H) = ~J . Além disso: aplicando o teorema da divergência a ∫ S ~J · d~S, temos: I = ∫ S ~J · d~S = ∫ V (~∇ · ~J) dv = −dQ dt , na qual a derivada de Q em relação a t representa a taxa de decaimento do fluxo de portadores de carga positiva (corrente convencional) para fora da superfície limitada por S, sendo Q a carga total envolvida pela superfície fechada, definida pela integral de volume. Ou seja: a densidade volumétrica de carga, ρv = dQ / dv, então: ∫ V (~∇ · ~J) dv = − d dt ∫ ρvdv, a qual, para superfícies constantes no tempo, fica simplesmente: ∫ V (~∇ · ~J) dv = − ∫ ∂ρv ∂t dv, e obtemos, então a Equação da Continuidade: ~∇ · ~J = −∂ρv ∂t . Se lembrarmos das aulas anteriores .... em uma delas tomamos o divergente do rotacional de ~H: ~∇ · (~∇× ~H) = ~∇ · ~J = 0. Se compararmos as duas últimas equações, percebemos que há algo de conflitante entre as duas. O caso em que ∂ρv / ∂v = 0 é uma limitação irreal. Portanto, há a necessidade de realizar uma correção para o caso dos campos variantes no tempo. Essa correção se faz adicionando um campo vetorial ~G à densidade de corrente ~J . Assim: ~∇× ~H = ~J + ~G, tomando o divergente desta: 39 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 3: Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell ~∇ · (~∇× ~H) = ~∇ · ~J + ~∇ · ~G = 0, sendo, necessariamente: ~∇ · ~G = ∂ρv ∂t . É importante lembrar que a primeira equação da eletrostática, a lei de Gauss, relaciona o vetor densidade de fluxo elétrico, ~D, à densidade volumétrica de carga, ρv: ∮ ε0 ~E · d~S = Q , ~∇ · ~D = ρv , ~D = ε0 ~E, de forma que podemos escrever: ~∇ · ~G = ∂ ∂t (~∇ · ~D) = ~∇ · ∂ ~D ∂t , Assim: ~G = ∂ ~D ∂t , e chegamos à relação final da lei circuital de Ampère na forma diferencial (ou pontual): ~∇× ~H = ~J + ∂ ~D ∂t . O último termo desta equação, ∂ ~D / ∂t, tem dimensão de densidade de corrente e foi denominado por Maxwell, de densidade de corrente de deslocamento, usualmente denotado por ~Jd e é consequên- cia de uma variação temporal da corrente de deslocamento, ~D. Então: ~∇× ~H = ~J + ~Jd . Devemos lembrar ainda que, a densidade de corrente, ~J , pode se referir a uma densidade de corrente de condução, ~J = σ ~E, consequência do movimento de cargas em uma região de densidade líquida nula de cargas, ou à densidade de corrente de convecção, ~J = ρvdv, que é resultado da variação da densidade de cargas no volume. Em um meio não-condutor (σ = 0), no qual nenhuma densidade volumétrica de cargas esteja presente, ~J = 0 e tem-se: ~∇× ~H = ∂ ~D ∂t e ~∇× ~E = ∂ ~B ∂t , nas quais pode-se observar a simetria entre os vetores ~E e ~H e entre os vetores ~D e ~B. 40 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 3: Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell Forma diferencial das Equações de Maxwell Agora já temos condições de tabelar as quatro equações de Maxwell, levando em conta as vari- ações temporais dos campos elétrico e magnético. A lei de Gauss, tanto para o campo elétrico quanto para o campo magnético, permanecem inalteradas pois nela, leva-se em conta somente as variações espaciais dos referidos campos. As equações abaixo são capazes de descrever quaisquer fenômenos eletromagnéticos. ~∇× ~E = −∂ ~B ∂t ⇒ Lei de Faraday ~∇× ~H = ~J + ∂ ~D ∂t ⇒ Lei de Ampère-Maxwell ~∇ · ~D = ρv ⇒ Lei de Gauss para a eletrostática ~∇ · ~B = 0 ⇒ Lei de Gauss para a magnetostática A segunda equação esconde a informação sobre a densidade volumétrica de carga, ρv, que pode ser uma fonte de linhas de fluxo elétrico, se ρV > 0 ou um sorvedouro de linhas de campo elétrico, se ρv < 0. Assim, não se pode mais dizer que todas as linhas de fluxo começam ou terminam em uma carga, pois a primeira equação mostra que ~D e ~E podem ter circulações se houver um campo magnético variante no tempo estiver presente. Portanto, as linhsa de fluxo elétrico podem formar espiras fechadas. A quarta equação de Maxwell mostra que o divergente de ~B é nulo, indicando a inexistência de cargas magnéticas isoladas: não existem monopolos magnéticos. Portanto, o fluxo magnético ~B é sempre encontrado em percursos fechados, nunca divergindo ou convergindo para uma fonte pontual, como é possível para o fluxo elétrico. O conjunto das quatro equações formam a base de toda a teoria eletromagnética. Elas são equações diferenciais parciais e relacionam os campos elétrico e magnético um com o outro e cada um com suas fontes: a densidade volumétrica de cargas, ρv e a densidade de corrente elétrica, ~J . As denominações dos quatro campos relacionados nas equações de Maxwell e suas unidades estão na tabela abaixo: ~D ⇒ Densidade de fluxo elétrico ou vetor deslocamento ⇒ C/m2 ~E ⇒ Intensidade de campo elétrico ⇒ V/m ~B ⇒ Densidade de fluxo magnético ou vetor indução magnética ⇒ Wb/m2 ~H ⇒ Intensidade de campo magnético ⇒ A/m Para chegarmos às quatro equações de Maxwell, utilizamos outras equações, as quais chamamos Equações Auxiliares ou Constitutivas, que relacionam o campo ~D com ~E e ~B com ~H: ~D = ε ~E e ~B = µ ~H , além destas, outras equações são relevantes: as equações que relacionam a densidade de corrente de condução, ~J à intensidade de campo elétrico, ~E e a que relaciona a densidade de corrente de convecção, ~J à densidade volumétrica de cargas, ρv: 41 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 3: Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell Re(reiφ) = r cos (ωt+ θ) e Im(reiφ) = r sin (ωt+ θ) . Podemos ilustrar a utilização de fasores com um exemplo simples: Considere que, a corrente senoidal dada por I1(t) = I0 cos(ωt+ θ) é igual à parte real da corrente I2(t) = I0eiφ = I0eiθeiωt. O termo complexo é dito fasor corrente, IS = I0eiθ. O subíndice S serve para indicar a forma fasorial de I(t). De maneira geral, uim fasor pode ser um escalar ou uma vetor. Se um vetor ~A(x, y, z, t) é um campo harmônico no tempo, a forma fasorial de ~A é ~AS(x, y, z) e a relação entre as duas grandezas fica dada por: ~A = Re( ~ASe iωt) . Por exemplo: Se ~A = A0 cos (ωt− βx)ây, podemos escrever o vetor ~A como: ~A = Re( ~ASe iωt) = Re[(A0e −iβxây)e iωt] , sendo A0e−iβxây a forma fasorial de ~A. A diferenciação de fasores é bem simles. Para o exemplo anterior, a derivada de ~A e relação ao tempo é: ∂ ~A ∂t = ∂ ∂t Re( ~ASe iωt) = Re(iω ~ASe iωt) , ou seja: para encontrar a derivada temporal de uma grandeza instantânea basta multiplicar sua forma fasorial por iω e a operação derivada fica equivalente à: ∂ ~A ∂t → iω ~AS , e a integração corresponde à: ∫ ~A∂t → ~AS iω . Observe atentamente a diferença entre a forma instantânea ~A(x, y, z, t) e a forma fasorial ~AS(x, y, t): a primeira é real e dependente do tempo, enquanto que a segunda é complexa e invariante no tempo. Aplicando o conceito de fasor às equações de Maxwell para campos variantes no tempo, ~E(x, y, z, t), ~D(x, y, z, t), ~B(x, y, z, t), ~J(x, y, z, t) e ρv(x, y, z, t), obtemos: 44 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 3: Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell ~∇ · ~DS = ρvs ⇒ ∮ ~DS · d~S = ∫ ρvSdv ⇒ Gauss - eletrostática ~∇ · ~BS = 0 ⇒ ∮ ~BS · d~S = 0 ⇒ Gauss - magnetostática ~∇× ~ES = −iω ~BS ⇒ ∮ ~ES · d~L = −iω ∫ ~BS · d~S ⇒ Faraday ~∇× ~HS = ~JS + iω ~DS ⇒ ∮ ~HS · d~L = ∫ ( ~JS + iω ~DS) · d~S ⇒ Ampère-Maxwell Ilustração: 1) Expresse o campo elétrico Ey = 100 cos(108t− 0, 5z + 30) V/m como um fasor. 45 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Capítulo 4 Onda Plana Uniforme Uma das principais aplicações das equações de Maxwell é o estudo da propagação de ondas eletromagnéticas (EM). A existência deste tipo de onda é prevista pelas equações de Maxwell e foi, inicialmente, estudada por Henrich Hertz, que após muitos cálculos e experimentos conseguiu gerar e detectar ondas de rádio. Ondas são um meio de transportar energia ou informação. Existem ondas mecânicas, de impacto e eletromagnéticas. Um exemplo de onda mecânica é o som. Este tipo de onda só se propaga em meios materiais. Uma onda de impacto (ou de choque) é uma onda sônica pulsada, de frequências acima da frequência audível e também precisa de meios materiais para se propagar. Um exemplo (aterrorizador, por sinal), são as ondas de choque provocadas por grandes explosões, como de uma bomba atômica. Ondas eletromagnéticas (EM) não necessitam de meios materiais para se propagarem, podendo se propagar no vácuo. O exemplo mais cotidiano de onda EM é a luz visível. Porém, existem muito mais ondas EM se espalhando pelo espaço e ao nosso redor, formando um imenso espectro de ondas eletromagnéticas: o espectro eletromagnético!. Cada onda EM é caracterizada pela sua frequência, ν e pelo seu comprimento de onda, λ. O módulo da velocidade, v, de qualquer onda EM num meio qualquer é dado por v = νλ e no vácuo (ou no ar) este valor é sempre o mesmo: c = 3.108 m/s, a velocidade da luz. Então: c = νλ, para qualquer onda que se propaga no vácuo. Assim, todas as ondas eletromagnéticas são “luzes”! Porém, a sensibilidade visual do ser humano só nos permite enxergar uma pequena faixa destas “luzes”, chamada de espectro visível. 46 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 4: Onda Plana Uniforme Na forma cartesiana: ∇2 ~E =  ∂2 ~Ex ∂x2 + ∂ 2 ~Ex ∂y2 + ∂ 2 ~Ex ∂z2 = µ0ε0 ∂2 ~E ∂t2 ∂2 ~Ey ∂x2 + ∂ 2 ~Ey ∂y2 + ∂ 2 ~Ey ∂z2 = µ0ε0 ∂2 ~E ∂t2 e ∂2 ~Ez ∂x2 + ∂ 2 ~Ez ∂y2 + ∂ 2 ~Ez ∂z2 = µ0ε0 ∂2 ~E ∂t2 ∇2 ~B =  ∂2 ~Bx ∂x2 + ∂ 2 ~Bx ∂y2 + ∂ 2 ~Bx ∂z2 = µ0ε0 ∂2 ~B ∂t2 ∂2 ~By ∂x2 + ∂ 2 ~By ∂y2 + ∂ 2 ~By ∂z2 = µ0ε0 ∂2 ~B ∂t2 . ∂2 ~Bz ∂x2 + ∂ 2 ~Bz ∂y2 + ∂ 2 ~Bz ∂z2 = µ0ε0 ∂2 ~B ∂t2 A quantidade µε tem o valor do inverso do quadrado da velocidade de propagação da onda no meio. Ou seja: v = 1 √ µε . No vácuo, a onda se propaga com a velocidade da luz, c: c2 = 1 µ0ε0 , então podemos escrever as equações de onda no vácuo como: 1 c2 ∂2 ~E ∂t2 −∇2 ~E = 0 e 1 c2 ∂2 ~B ∂t2 −∇2 ~B = 0 . Para simplificar o estudo do sistema de equações acima, restringiremos a um caso particular, cuja solução seja relativamente simples. Isto não invalidará os resultados obtidos pois suas soluções valem para qualquer caso. Vamos supor que é possível estabelecer campos elétricos e magnéticos que satisfaçam as condições: campo elétrico uniforme que tenha apenas uma componente na direção y e campo magnético uni- forme apontando na direção x, para uma onda EM que se propaga na direção z. Ou seja, E(y, t) e B(x, t), dependentes do tempo e de apenas uma coordenada espacial. Então, temos os campos: ~E =< 0, Ey, 0 > e ~B =< Bx, 0, 0 > . Substituindo esses campo nas equações, obtemos: ∂2Ey ∂z2 = 1 c2 ∂2Ey ∂t2 e ∂2Bx ∂z2 = 1 c2 ∂2Bx ∂t2 . O par de soluções sugeridas para este problema é: Ey = E0 sin (kz − ωt) eBx = B0 sin (kz − ωt). A partir destas soluções, podemos chegar numa conclusão muito interessante e importante: a con- clusão a que Maxwell chegou e que espantou toda a comunidade científica da época: qualquer onda EM no vácuo se propaga com a velocidade da luz!! 49 Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Universidade Tuiuti do Paraná Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 4: Onda Plana Uniforme Faça as contas junto com o professor e verifique a descoberta de Maxwell, que o permitiu unificar a óptica com o eletromagnetismo: 50