Baixe Transformada de Laplace e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná 11 TRANSFORMADA DE LAPLACE Data de impressão (versão): 9 de setembro de 2006, 20:37:27 documento composto com ETFX 2e usando LyX. A Transformada de Laplace! é um método de resolução de equações diferenciais e dos correspondentes problemas de valor inicial e de valor de contorno. Ela é importante para o Controle Automático porque os modelos matemáticos dos sistemas físicos que se deseja controlar são, em geral, descritos por equações diferenciais. A aplicação da Transformada de Laplace permite prever o que deve acontecer no futuro de um sistema o que é fundamental para o controle deste sistema. Em outras palavras, pode-se prever qual será a resposta de um sistema a uma entrada conhecida e isso é importante para: 1) elaborar uma entrada que leve o sistema a um determinado estado; e 2) simular o comportamento do sistema e verificar se a entrada elaborada surtiu o efeito desejado; 3) ter uma visão geral do comportamento do sistema. Existem duas Transformadas de Laplace: 1. A Transformada de Laplace Bilateral; 2. A Transformada de Laplace Unilateral. O maior interesse é pela Transformada de Laplace Unilateral que é largamente empregada no estudo de sistemas lineares invariantes no tempo e na resolução de equações diferenciais. O processo de resolução das equações diferenciais? consiste de três etapas principais: Eº etapa: Um problema “difícil” é transformado numa equação “simples” (equação subsidiária - algébrica), 2º etapa: — Resolve-se a equação subsidiária mediante manipulações puramente algébricas 3º etapa: A solução da equação subsidiária é transformada novamente para se obter a solução do problema dado. Desta maneira, a Transformada de Laplace reduz o problema de resolução de uma equação diferencial a um problema algébrico. A terceira etapa é facilitada pelas tabelas, cujo papel é análogo ao das tabelas de integrais na integração. (Estas tabelas também são úteis na primeira etapa.) Uma está incluída no fim do capítulo. O método é amplamente usado na Matemática aplicada à Engenharia, onde possui numerosas aplicações. É particular- mente útil nos problemas em que a força de propulsão (mecânica ou elétrica) tem descontinuidades: por exemplo, atua apenas durante um curto intervalo de tempo ou é periódica, mas não é simplesmente uma função senoidal ou co-senoidal. Outra vanta- sem é que ele resolve diretamente os problemas. Realmente, os problemas de valor inicial são resolvidos sem que se determine de início uma solução geral. De modo análogo, resolve-se as equações não-homogêneas sem necessidade de resolver primeiro a equação homogênea correspondente. Neste capítulo, a Transformada de Laplace é considerada sob ponto de vista prático, ilustrando sua utilização em pro- blemas importantes de engenharia. Portanto este capítulo é dedicado à aplicação da Transformada de Laplace às equações diferenciais ordinárias”. As equações diferenciais parciais também podem ser tratadas pela Transformada de Laplace. Função Gama A função gama de x denotada por T(x) é definida como: ro=/ eSrtdr parax>O. (1) ho Pode-se ainda calcular: era T(+1)= cetrlças[ rd ea du =x" dr O primeiro termo da última expressão à direita é nulo, a integral é T(x). Isso fornece a relação: T+) =D (2) 12 Como ro= [ea =; Pere Simon Laplace (1749-1827) 2 equações que modelam o comportamento de sistemas dinâmicos e por isso são importantes para o Controle Automático 3De uma única variável 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 1 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná conclui-se que: Ik+1) = Hº K=0,12 (13) A função gama é uma versão contínua do fatorial, isso é, ela existe para valores fracionários do argumento e para os valores inteiros ela é igual ao fatorial do valor precedente (T(k) = (k — 1). Note que a função gama é uma função de números reais: Naa r(G)-f, rê-tdr= fe (5) hp Ca h é Rc dr=2Adk dr onde a integral (14) Exemplo 1: calcular a função gama de 3,5 =7/2 usando o valor de T(0,5) junto com a equação (1.2): - vz —s OI DIS TIS 5 13 É IST =T = r(1+ 5 (13) A Figura 1.1 ilustra o comportamento da função gama. Observe, no gráfico, alguns pontos de interesse: T(1) = 0! =1,70) 2.F(4)=31=6e (0,5) = VT = 1,772453851 Ft) Figura 1.1: Função gama de x 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná 1.2 Transformada de Laplace Seja g(1) uma dada função definida para todos os valores positivos de 1. Multiplicando g(1) por e-*., onde e é uma constante, e integrando em relação a t de zero ao infinito. Então, se a integral resultante existe, ela será uma função de s, digamos G(s) c(s) F es ar A função G(s) é chamada a Transformada de Laplace da função original g(f) e será representada por .2 (g(1)). Assin ais =) [eme dr (15) A operação realizada sobre g(1) é chamada Transformada de Laplace. É comum incluir 0 zero no intervalo de integração, isso é, quando o limite à direita e à esquerda de zero são diferentes, usa-se o valor à esquerda para incluir os fatos que ocorrem quando 1 =, Além disso, a função original g(1) na equação (1.5) é chamada de Transformada Inversa ou, simplesmente, a inversa de G(s), e será representada por .Z -!(G(s) ); assim, escreve-se e)=2"U6(9) Noração Representa-se a função original por uma letra minúscula, de modo que G(s) designe a transformada de g(1), e Y(s) designe a transformada de y(1), etc Exemplo 2: seja g(1) = 1 quando > 0. Determinar G(s) L te) = 203- [eta assim, quando Re(s) > 0, Lo) A notação na primeira linha à direita é conveniente, mas se deve dizer uma palavra a respeito dela. O intervalo de integração em (1.5) é infinito. Uma integral deste tipo é chamada de integral imprópria e, por definição, é calculada de acordo com a regra: r eeljdr k ece(dr= eo Ja Daí, nossa notação significa esa - h ? Esta notação é usada em todo o texto. Note, ainda, que se Re(s) < O a integral não existe porque o Por outro lado, quando Re(s) > 0, tem-se a parte real de s positiva, como s = + j(9, pode-se escrever e) = (Re(s) > 0) ile tende a infinito, sr etjajr — g-6T prjar e e e (coswT — jsenoT) Se T tende a infinito, o valor do co-seno e do seno são indeterminados, mas limitados no intervalo [-1, 1), e e-S” =0, Então dizemos que a integral só converge para valores de s com parte real positiva (Re(s) > 0). Esta aparente desvantagem pode ser removida (veja a Seção 1.2.3), mas por hora ela deve ser levada em conta na deter jo da Transformada de Laplace de uma função. e Exemplo 3: seja g(1) =”, quando t > 0, onde a é uma constante, Então, a(g= [esetar f ela h ho consegiientemente, quando Re(s— a) > 0 ou Re(s) > Rea), LE) a TA constante e E à base dos logaritmos nemperinos ou natmis e vale aproximadamente 2,718281828459045235 360287471 352662497757247093. 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 3 1.2.1 Algumas Funções Importantes Função Degrau de Heavisideº ou Função Degrau Unitário A função degrau unitário é definida por: 1 se 120 u(o) es 0 se 1<0 Esta função apresenta uma descontinuidade em 1 = O, uma vez que o valor de u(?) se modifica instantaneamente de O para 1 quando 1 =0, como mostrado na Figura 1.2. É interessante observar que se pode criar outras funções tomando como base a função degrau unii u(1) u(t-a) u(t—a)-u(t—b) a a b Figura 1.2: Função Degrau de Heaviside ou Função Degrau Unitário Função Delta de Dirac” ou Função Impulso Unitário A função delta de Dirac é definida por: 5) = Oparar zo o f gd = 1 Observe que ela não é definida para £ = O. Muitos autores dizem que ela tende a infinito quando 1 — 0, definindo assim o limite de ô(1) quando £ — O. Embora isso não seja necessário já que não é usado para provar nenhuma propriedade da função, é conveniente para facilitar a visualização. Por isso, a função delta é representada como uma seta para cima em + = 0 com comprimento igual à uma unidade é uma reta sobre o eixo dos !f representando os valores onde 1 % Q para os quais a função delta é nula, como mostrado na Figura 1.3, a(1) sa) st-a)-31-b) Figura 1.3: Função Delta de Dirac ou Função Impulso Unitário Outra forma de definir a função delta de Dirac é através da integral do produto da função delta por uma outra função g(t): 51) = Oparar£o (16) =» fossa - 0) a que se justifica pelo fato da função delta não ser nula apenas na origem, assim apenas o valor que g(t) assume na origem é que influencia o valor da integral. A função delta pode ser vista como sendo a derivada da função degrau unitário: duo) a) =u()= 55 Note que em 1 = 0 a função u(f) apresenta uma descontinuidade onde a sua derivada não é definida: o limite à esquerda quando 10 vale zero enquanto o limite à direita quando + — O vale 1. Como houve um salto para cima a derivada deve tender a infinito emt = 0, Exatamente como a função delta de Dirac. SOliver Hesviside (1850-1925) “Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 4 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná pode ser obtido apenas pela análise dos valores de s que anulam o denominador (pólos) e numerador (zeros). Na Figura 1.6-c, pode-se notar que o gráfico apresenta picos nós pólos +j cai a zero em s = O porque este é o valor que anula o numerador da transformada. A fase, representada na Figura 1.6-d, é bastante complexa. =: Figura 1.6: Gráfico da Transformada de Laplace de cost: (a) parte real, (b) parte i iginária, (c) módulo, (d) fase (em radianos) de Se A Figura 1.7 traz uma representação alternativa: ao invés de desenhar um gráfico complicado e trabalhoso, representa-se apenas os pólos e zeros da função. A interpretação da fase é quase impossível de ser feita, porém, a interpretação do módulo é direta: a função tende a infinito (picos) nos pólos (marcados com x) tende a zero, ou seja, tende ao plano cúnos zeros (marcados com 6). A interpretação cabe a quem está lendo o gráfico; pode-se imaginar o que ocorre com a função nas proximidades dos pólos e zeros, Im(s) Figura 1.7: Gráfico mostrando os pólos e zeros da transformada de cost Está disponível gratuitamente na interner o sofiware £t 34 no endereço http: //wew.ft3d.cjb.net/. Esse sofiware foi desenvolvido na Universidade Federal Tecnológica do Paraná - UTFPR (antigo Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná - CEFET-PR) pelo aluno de mestrado Felipe Marcon para plotagem de gráficos de funções de transferências 3, Ele roda em Windows e pode ser usado para plotar grande parte das Transformadas de Laplace das funções em que se tem interesse prático. Infelizmente ele só plota o módulo da função em 3D, mas tem a vantagem de gerar um gráfico renderizado de alta qualidade e plotar os pólos e zeros bem como a resposta em fregiência. Há também a possibilidade de se usar o gnuplot para unção de trnsferência é 4 Transformada de Laplace da resposta ao impulso de um sistema quando a energia incial do sistema é nult. Também pode ser “entendida como sendo relação entre à Transformada de Laplace da saída e da entrada de um sistema linear e invariante no tempo. 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 9 gerar os gráficos, mas esse software, além de difícil de usar, produz resultados de pouca qualidade se comparados aos obtidos com o ft3d. O mesmo ocorre com os sofnvare matemáticos como octave, MatIab é MuPAD, 125 Deslocamento no Tempo Teorema 2 (Teorema do deslocamento no tempo) Se uma função g(t ) é deslocada no tempo de forma que o instante inicial (t =0) se torne 7, isso é g(t—1), então a sua Transformada de Laplace se tomará 2 (g(1-7)) = "2 (e(1)) =" G(s) desde que g(1) =O no intervalo (7,0) (ou (0, 1) se Zfor negativo) DEMONSTRAÇÃO. Por definição, 2 qa [eu-mera- Pets) u(i)e=! dr h ho já que a integral é calculada de zero à infinito, multiplicar o integrando por u(1) não altera o valor da integral, Mudando a variável 1=h +, tem-se: 2 (et) =L1e0))= ["e0) uti ejestria Se g(1) = Ono intervalo (=, 0) (ou (0, —<) se £ for negativo), pode-se dizer que g(1—*) u(t) = (1-7) u(t —7). Esta igualdade é ilustrada na Figura 1.8 para t > 0. Pode-se mostrar que o mesmo é verdade para < < 0. Realizando a mudança de variável, esta igualdade também significa que g(A) u(A +) = (A) u(Ã) (11) s(r) u(1) lt) ut) A alt= u(=) Ads NV Figura 1.8: Nulidade de g(1) no intervalo (*, 0) implica que g(1—*) u(t) =g(1—7) u(t—7) Dividindo o intervalo de integração, tem-se: Lelt-m)) “Lig(n) o , a f SA) u(A ear F e) u(Ae ad = já que u(3)=0 = et A condição do teorema 2 merece um comentário. Se g(t —7) ur) = g(t —7) u(t — 7) significa que g(1) é nula no intervalo (-5,0) ou (0, —) caso t seja negativo (logo —T é positivo). Na Figura 1.9, pode-se ver dois caso nos quais a função g(1) não é nula neste intervalo e, portanto o teorema 2 não é aplicável; a área que aparece hachurada na Figura 1.9-a e b vai alterar o valor da integral Ainda, se > O diz-se que a função g(! —7) está atrasada em relação à g(1) e que a função g(1 +) está adiantada porque ocorrem depois e antes de g(1), respectivamente. Se 7 <O a função g(t — 7) está adiantada em relação à g(1) pois isso é igual à g(1+7) com 1 >0. Exemplo 5: seja h(t) = cos(or — 9) u(t— 8 uma função co-seno nula se 1 < 9/0 e deslocada para o instante inicial p= 9/0, a Transformada de Laplace de h(1) é 2 ((1)) = 2 (cos(r — 9)) = “3.2 (eos(an)) = 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 10 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná E) e(r) e(n) MN ! 1N : A : ty gu") lt") DO A z (9 (9 Figura 1.9: Deslocamento no tempo: (a) atraso no tempo, não é possível aplicar o teorema 2; (b) adiantamento no tempo, não é possível aplicar o teorema 2; (c) atraso no tempo, é possível aplicar o teorema 2. 126 Convolução “Teorema 3 (Teorema da Convolução) A Transformada de Laplace da convolução! de duas funções no tempo é o produto das Transformadas de Laplace das duas funções, ou seja, se L(g(1)) = G(5) e L(h(1)) = H(S) então 2 (e(0) *h()) = L(e())-2(h(1)) = G(s) H(s) se g(1) = 0 para! < O e h(1) = 0 parar < 0, DEMONSTRAÇÃO. A convolução de duas funções no tempo denotada por g(1) +h(t) é definida como: to o “oem [Ceogna- ai = [Choye(r- ad Por definição, a Transformada de Laplace da convolução vale: Ste) = [eo he da h r (0) + h(t) u(t) e dr h r f “og 8) duo) e! dr pr f “Cage h Lu r f “Cu g(t 1) Ult) e aadt o poe ; , = [Ef uoge tea ug est ara e do [Ene (Ksu-m u(est a) di Dizer que g(1) = 0 se 1 < 0 é o mesmo que g(t—A )u(1) = g(t —) u(t —2) para À arbitrariamente grande (ver Figura 1.8 com 1= 05), Assim: = ddr te cma)= [Cugges (Pet ua met ar) aa Pode-se, então, substituir ! — À por e dt por dé já que À é constante para a integral mais interna o que leva à 210) -n)= [Due (Feu de) aa Como h(t) = O para 1 < 0, tem-se: eim) = [ua (fugas) ad ag uges de [Pnoge ax 218) 210) = a(s)H(s) la o dicionário Housaiss, convolução: ato ou efeito de errolar(-se) para dentro 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. u O Teorema da Convolução é fundamental para a análise de sistemas. Um sistema linear e invariante no tempo pode ser representado por um sinal chamado de resposta ao impulso. A resposta ao impulso de um sistema G é uma função do tempo (1) que é o sinal de saída do sistema quando é aplicado um impulso unitário (ou delta de Dirac) na entrada do sistema que está em repouso (com energia inicial nula). A Transformada de Laplace de g(f) é chamada de função de transferência. Assim: elo)= (50) Se o sistema for invariante no tempo a resposta ao impulso será G(ô(t—2)) = g(t — 7), ou seja, uma entrada de impulso deslocada no tempo de um valor t gera uma saída de resposta ao impulso deslocada do mesmo valor de tempo. Lembrado que, pela definição do impulso: Je xo) -/ (5-9 dr e supondo que a aplicação do sinal x(f) ao sistema G produz o sinal de saída y(1), tem-se: vo) = cao) o( f r «gar a) Se o sistema for linear, a integral do sinal de entrada produzirá a integral do sinal de saída. Ou seja, um sinal integrado é aplicado à entrada é equivalente a aplicar o sinal ao sistema e integrar a saída. Considerando x(7) d o peso do sinal 5(1— 7), tem-se: so= [eg opa(-0) dr Se o sistema for invariante no tempo: v)= [Exasa-ga= (0) +8(0) que é uma integral de convolução. Assim, a resposta de um sistema linear e invariante no tempo pode ser conhecida para qualquer sinal se for conhecida a resposta ao impulso. Usando a Transformada de Laplace, pode-se calcular a transformada da resposta Y(5) se for conhecida a transformada da entrada X (5) e a transformada da resposta ao impulso G(s) do sistema. Pode-se, então, aplicar a transformada inversa (ver Seção 1.3) para calcular y(f) sem que haja a necessidade de calcular uma integral de convolução. A grande vantagem é que a transformada da resposta ao impulso G(s) do sistema, que caracteriza completamente um sistema linear e invariante no tempo, pode ser obtida sem a necessidade da obtenção da resposta ao impulso no tempo e sem a necessidade da aplicação da Transforma de Laplace. Em outras palavras, um sistema pode ser modelado diretamente em s. Exemplo 6: suponha que a transformada da resposta ao impulso do sistema G seja G(s) sinal x(1) = cost que tem por transformada X (s) = 7. A transformada do sinal de 3 1 + sa(— + +D6+1 (= 1 ro)=x(a(s que é a transforma de (0) = 3e7! + 3sent — 3cost =3e! +3vBsen (1-5) e que foi obtida expandindo o produto X (5) G(s) em frações parciais e procurando cada termo na Tabela 1.1. Na Seção 1.3 este procedimento é sistematizado. Lembrando que Y(s) é um número complexo, é fácil determinar o seu gráfico levando em conta que o produto de dois números complexos é o produto dos módulos e a soma das fases como ilustrado na Figura 1.10. 12:7 Multiplicação por e” Teorema 4 (Teorema dual do deslocamento no tempo) Se uma função g(1) é multiplicada por um fatore*, então a Transformada de Laplace do produto será Z (g(1) E) = G(s— a) onde G(s) = 2 (g(1)) DEMONSTRAÇÃO. Por definição, 2 (emesy= [ e ererar= [ee eta h h Substituindo s —a = ten Lene) = fear 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 2 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná X(s) rs) PL PRI aan Figura 1.10: Uso do Teorema de Convolução para determinar o gráfico de transformada do sinal de saída de um sistema que é exatamente igual à Transformada de Laplace com É no lugar de 5, assim: Lee) = fanesa =G(6)=G(s-a) Ou seja, quando a função g(1)é multiplicada por ea transformada .Z (g(r) e”) é igual a transformada de g(1), isso é, G(s) = 2 [e(t) ) trocando s por s—a. Este teorema é de importância fundamental para o cálculo da Transforma Inversa de Laplace. Ele também é conhecido como propriedade do amortecimento porque mostra que, se a função g(1) for amortecida por um fator exponencial e-* com a> 0, a transformada desta função será deslocada para esquerda de a unidades, Exemplo 7: calcule a transformada de g(1) = cosha. Lembrando que coshx = 2 € tem-se: Lu Lat el) =1eoshor=5 (re 58 +5e Pelo teorema 4 e 1 é fácil perceber que se deve calcular a transformada de /2, que vale +, e então substituir s por s— €5+0) para cada um dos termos respectivamente. Assim: a Cro rr? aro? OP 2s+0) 2(s-0)(s+0)) 1 2(5— 280) er a Exemplo 8: calcule a transformada inversa de G(s) = +. Substituindo s— a. por S, tem-se que o Ss que, pela Tabela 1.1, corresponde a transformada de cos 6x. Contudo, pelo teorema 4, deve-se multiplicar a transformada inversa obtida da tabela por e“ onde a = 0. Logo, a transformada inversa procurada vale: s)=2"Ha())=“ cosa 1>0. 1.2.8 Existência das Transformadas de Laplace Teorema 5. (Teorema da Existência das Transformadas de Laplace) Seja g(t) uma função que é contínua em m intervalos sobre qualquer intervalo finito em + > O e sarisfaz e()| <Mer para qualquer 1 > 0 (1.8) e para cerias constantes y e M. Então, a Transformada de Laplace existe para todo Re(s) > Re(y) 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 13 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná DEMONSTRAÇÃO. Como g(t) é contínua em intervalos, e-“g(1) é integrável sobre qualquer intervalo finito sobre o eixo 1 e de (8), fes (o) as Pesmerd-u [Petar M a a a Isto completa a demonstração. As condições do Teorema 5 são suficientes para a maioria das aplicações, e é simples determinar se uma função satisfaz ou não a uma desigualdade da forma (1.8). Por exemplo, satisfazem a condição (1.8) 2Wl= Werana (Re(s) > Re(y) coshr<e P<nte(n=0,1,..) para qualquer 1>0 e qualquer função limitada em valor absoluto para todo £ > 0, tal como um seno ou um co-seno de uma variável real. Exemplo de função que não satisfaz a uma relação da forma (1.8) é a função é”, porque, por maiores que sejam escolhidos os números M evem(1.8) É Mer onde fy é um número suficientemente grande que depende de M e y. Note que as condições do Teorema 5 são suficientes ao invés de necessárias. Por exemplo, a função 1 / VT é infinita para 1 = 0 (contrariando as condições do Teorema 5), mas sua Transformada de Laplace existe. De fato, de acordo com a definição e tendo em vista que F(1/2) = VT, obtém-se para qualquer 1 Ltp=20"2) pesa = [e Se a Transformada de Laplace de uma função existe, ela é única. Reciprocamente, pode-se mostrar que se duas funções (ambas definidas no semi-eixo real positivo) têm a mesma transformada, tais funções não podem diferir entre si em um inter- valo de comprimento positivo (embora possam ser diferentes em vários pontos isolados). Como isto não tem importância nas aplicações, pode-se dizer que a inversa de uma transformada é essencialmente única. Em particular, se duas funções contínuas têm a mesma Transformada de Laplace, elas são completamente idênticas. Este fato é realmente importante na prática. Por quê? (Recorde a introdução ao capítulo), 129 Exercícios 1. Determinar as Transformadas de Laplace das seguintes funções. (a) 1+2 (e) acos2r (0) e senor (m) sen?ar,7 Dat (D 2coshár () sen(or+0) (1) e! cosh2r (2) adbrra? (9) cost, 15 (0) sen(ox —8) u(1 8/0) (4 + [a (1) cosh?3r, 16 (0) e”! cos “o “e st 0) «q o 2. Mostre que: (9 2(1e8p=7 (9 2 (e cosor O L(rery (a) 2 (e senor (Graf ro 3. Exprimindo as funções hiperbólicas em termos de funções exponenciais e aplicando o Teorema 4 mostrar que: “Dica: us a forma exponencial come da função co-seno: cosa = ILE tica: use a definição doco-seno hiperbólico: cosha = He” “Dica: use a forma exponencial complexa da função seno; sen = &—€ E 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. “4 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná O valor final de g(1) é dado por: dim) = Emp (9) onde G(s) é a Transformada de Laplace de g(1) DEMONSTRAÇÃO: usando o teorema 6 e a definição da Transformada de Laplace, tem-se que LO) = s21g(0) -2(0) k Merda = 5280) -2(0) Tomando o | te da ex pressão acima quando s — 0, tem-se: tm Pete dr=lim (s.2(g(0)) —s(0)) = lim 5.2 (g(1)) — (0) Contudo, e-* tende a um quando s —» 0, assim RO eSdi= fo di= FOR Cancelando g(0) nos dois lados da equação acima o teorema fica provado. me(t) — (0) = lis. Z(e(0)) — (0) Exemplo 14: determinar o valor inicial g(0) sabendo que G(s) Aplicando diretamente o teorema 9, tem-se e(0) Este resultado também poderia ser obtido se fosse observado que g(1) = cos 6 (veja fórmula 1.6 na tabela 1.1) Exemplo 15: determinar o valor inicial de u(r) que é descontínua em O. A transformada de u() é dada por: Zu) =+ Aplicando diretamente o teorema 9, tem-se lim u() o Note que, por definição, lim, q- u(t) = 0. Em outras palavras, u(?) não tem um valor inicial simples porque a função é descontínua em 1 =0. São então definidos dois valores iniciais: um à esquerda de zero e outro à direita. Neste caso, o teorema9 só calcula o valor inicial à direita Exemplo 16: determinar o valor final de g(1) sabendo que Aplicando diretamente o teorema 10, tem-se: time(o) Ganho de um Sistema Linear e Invariante no Tempo Na Seção 1.2.6 foi estabelecido que o sinal de saída de um sistema linear é invariante no tempo pode ser calculado conhecendo-se o sinal de entrada e a resposta (sinal de saída) do sistema ao impulso. A resposta ao impulso caracteriza complemente os sistemas lineares e invariantes no tempo. A determinação da saída envolve o cálculo de uma integral de convolução ou, pela aplicação do teorema 3, da Transformada de Laplace (direta e inversa). Assim, é possível determinar a transformada Y(s) do sinal de saída, conhecendo-se a transformada X(s) do sinal de entrada e a transformada G(s) da resposta ao impulso por: Y()= (9) X(9) O ganho de um sistema linear e invariante no tempo é definido como valor final da saída quando a entrada é um degrau unitário. Lembrando que a transformada do degrau unitário vale 1/s (que será usado como sinal de entrada, ou seja, X(s) = 1/5) e usando a letra k para denotar 0 ganho, pode-se calcular 0 ganho k por: sG(9)X(5) = lim G(9) k=limsv(s)= Este valor é fundamental para estabelecer o comportamento de um sistema em regime permanente, ou seja, um certo tempo após receber uma perturbação. Este espaço de tempo deve ser suficientemente grande para o sistema se estabilizar (entrar em regime), Sistemas de controle tendem a ter um ganho unitário para anular o chamado erro em regime permanente. 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 19 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Exemplo 17: determinar o ganho de um sistema cuja transformada da resposta ao impulso vale: o = rara onde (9, e É são constantes!”. Aplicando o limite acima E. |& mn — E = US 12E0,s TO; k= limG(s ta 8 12.12 Multipli Teorema 11 (Teorema Dual da Derivada de g(1)) cação e Divisão por 1 Se uma função g(1) é multiplicada por um fator 1, então a Transformada de Laplace do produto será 2 (tg(1)) = onde G(s) = 2 (g(1)) DEMONSTRAÇÃO. Usando definição da Transformada de Laplace, do(s) df a Sh anera- [Fe Exemplo 18: no exemplo 11 foi usado uma equação diferencial para calcular a Transformada de Laplace de r sent. Usando o Teorema 11 o mesmo resultado pode ser encontrado mais facilmente. Definindo g(1) = send, tem-se que fennera=2(e0) 2 te) = 66) Pelo Teorema 11: a(s) 2+07)0-0(25) 205 ds (Cro (2+0) Ltusenor) =2(1e(0)) +? Exemplo 19: calcule a Transformada Inversa de Laplace de G(s) = Derivando G(s) em relação à s, tem-se: Calculando a transformada inversa de SG através da Tabela 1.1, tem-se: (pets) que, pelo Teorema 11 e pela propriedade de unicidade da transformada, leva à: rue) — =telt) = am (e att) —cosx onirena 2u(t) +2c0sar Pro u(1)+2coswr e)=2"H6(9) — O Teorema 11 é considerado dual do Teorema 6 porque a derivação no tempo implica em multiplicar por s, já a derivação em s implica em multiplicar por 1. Da mesma forma o Teorema 6, o Teorema 11 também podem ser generalizado para derivadas múltiplas e para o caso da integral (divisão por 1) Teorema 12 (Teorema Dual da Derivada de Ordem n) Se uma função (1) é multiplicada por um fator !º, então a Transformada de Laplace do produto será Lt" g(1)) = (17º ESB onde G(5) = 2 en) DEMONSTRAÇÃO. Trivial usando indução. To, € chamado de Frequência natural e E de fator de amortecimento 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 20 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Exemplo 20: calcule a Transformada de Laplace de 1º sengy. Definindo g(1) = sen gy, tem-se que 2 (s())=6(9) e, portanto, aG(s) ds el d (+07) Gs) as (9 40%)" 12053 (52 40º)" 25 (6os (Pra) 2408! -240's (208) Pelo Teorema 12 com n ad G(s) = 6s LP sena) = 24º gt) = (15 Crer O uso do Teorema 12 tona o cálculo da transformada muito mais simples do que o método apresentado no exemplo 11 que, basicamente, consistem em derivar a equação para obter uma equação diferencial e, então, aplicar o Teorema 7. Teorema 13 (Teorema Dual Integração de g(1)) Se uma função g(t) é dividida por um fator 1, se e é parcialmente contínua e satisfaz a condição (1.8) e se 1 E existe, então a Transformada de Lupa do quociente será o (o 3 pr G(A Jah onde G(s) = pu , Leto) py DEMONSTRAÇÃO. Usando a definição de Transformada de Laplace na integral do teorema: Poma = (fee va) aa Elf ueraja- [ol era)a [so [ea O no fem (+; senor Exemplo 21: calcule a Transformada de Laplace de Definindo g(1) = sengy, tem-se que 2 (g(1)) =G(s) Pelo Teorema 13, dovctm onde foi usado o fato de que SECiant 1 dim E = lim 1 = É importante observar que as condições do Teorema 13 são atendidas: dx senor 1.213 Escalonamento O escalonamento permite mudar a escala de tempo ou de fregência. É muito conveniente na simulação de processos muito lentos ou muito rápidos. 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 2 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Teorema 14 Seo tempo no argumento de uma função g (1) é dividido por um a, então a Transformada de Laplace da função g (£) será Z (e (£)) =aG(as) onde G(s) = 2(g(1)). DEMONSTRAÇÃO. Por definição: Espera Mudando a variável para x = 1, logo = axe dt =adx. tlm = slgera = [amgemadica Peçgerra Substituindo o produto sa por $ e comparando com a definição da transformada: (O) = cfunera = aG(S)=aG(as) É interessante observar que o Teorema 14 funciona tanto para mudar a escala de tempo como de fregiiência porque: Lar as(a) Exemplo 22: uma fonte de tensão v;(t) alimenta um circuito LC série de forma que, pela Segunda Lei de Kirschhof”, vi(r) = LÉA | fgi(r)dr. Determine a relação entre a Transformada de Laplace de tensão v;(1) e da corrente? i(1) supondo que i('=0) =0 e sabendo que L = 54H e C = 470 pF. Primeiramente, aplica-se a Transformada de Laplace à equação usando os Teoremas 6 e 8 obtendo-se: L-G(as)) Vi(s) sCViís) vs) To) Vis) 47010-2. Ts) — 253810241 (L15) As constantes que aparecem na equação são muito pequenas porque os eventos no circuito em questão são muito rápidos. Faz mais sentido trabalhar com uma unidade de tempo pequena como, por exemplo, o microsegundo. Se o tempo, que é medido em segundos, for dividido por um milhão (a = 1000000) a relação acima de torna: VS) q 41010Pas Hs) 253810-1as) 41 18518,5185185 5 +39,401103 (16) onde s é medido em Mrad/s. Se a equação (1. 16) for usada para simular o comportamento do sistema usando um sofiware apropriado para simulação como, por exemplo, o Hat 1ab, é fundamental lembrar que escala de tempo está um microse- gundo mesmo que o sofivare traga as escalas em segundos. A principal aplicação do Teorema 14 é mudar o valor das constantes que aparecem em uma função de transferência. Se estas constantes forem muito grandes ou muito pequenas, como no caso das que aparecem na equação (1. 15), os sofiware de simulação não conseguirão simular o sistema a contento. Tem-se, então, duas possibilidade: ou o software ficará muito lento porque está simulando um sistema cuja evolução é lenta e, por isso, o resultado da simulação demorará horas para ser encontrado; ou sofiware perderá resolução não revelando detalhes das alterações rápidas nos sinais produzindo, assim, um resultado inexato e sem utilidade. Eta relação entre Transtormadas de Loplao tamada de função de transferência e é muito importante pera o estudo de Controle Automático Clássico. 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná 1.2.14 Resumo das Propriedades da Transformada de Laplace + Emr Ems 1 Linearidade ag(o) +bh(t) aG(s) +bH(s) , Convolução Multiplicação 2 to ei) en)= [Teona-Mar | G()H6) 3 Escalonamento í g (5) aG(as) Valor Inicial 4 e(r) lim sG(s) Valor Final 5 ES dim s (9) e Multiplicação por Deslocamento em s es G(s—a) , Deslocamento no tempo Multiplicação por E) es : Derivação no tempo Multicação por s de(r) 7 sG(s) —g(0) Multiplicação por r Derivação em s 9 186) dS(s) $ ds Integração no tempo Divisão por s 10 o G(s) f e(ndr Sto) ho s Divisão por 1 Integração em s " elo) oo o f G(ajar 1.215 Transformada de Laplace de Funções Pe: Teorema 15 (Transformada de funções periódicas) Se g(1) é una função periódica?! para t > O com período T, então g(t-+T) = g(1), oumesmo g(1-+nT) = g(1) para todo n natural. A Transformada de Laplace de g(1) pode ser calculada integrando sobre apenas um único período: Let) 1 Tr - 4 =, eijesar. f ee dr (AD DEMONSTRAÇÃO: por definição a Transformada de Laplace de g(1) vale: ç Deda famerars [E 31 emeram fo eras hr [o aesa nt imo Leto) 2! Quando se trata de Transformada Uni lateral de Laplace, a que está em voga, não importa o valor da função artes de zero; contudo, ela deve ser periódica depois de += O isso é, deve se repetir exatamente de tempos em tempos após o instante t = 0. 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 23 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Integrando um termo da somatória com a mudança de variável À nT, tem-se (nttjr r , r , , f sesa= [ (ANT) e SOM) a, ef, gh nT) ed em gear. hr h ho h Substituindo novamente 1 = À, - , , - Z10=D (em sera) -[ sújertar E et) Já que a integral não depende de n ela pôde ser retirada da somatória. Lembrando que a série geométrica? converge se |x| < 1. Substituindo «= ent Ferry [= [= se TRe(s) < 1. Disto se conclui que a transformada vale ' « Le) -[ ele! de PD (63) s para Re(s) < 1/T. Usando o teorema da extensão analítica, pode-se estender a região de convergência para qualquer valor de s diferente de zero porque o denominador da equação (1.17) é nulo apenas para s = 0. Exemplo 23: determinara Transformada de Laplace da senóide retificada (meia onda) que em um período pode ser representada por g(t): st) . . 2=, aplicando a equação (1.17), obtém-se: a: f sie dr senor se e()= o Como o período vale T 21860) = v = senqr du = ed Ae geométrica 5º come etem por soma —L- se j < 1 porque a soma dos 1 primeiros termos 5, vale: que se multiplicada por x fomece 2 SÊ eta que quando subtraída de S, leva à (as = toe so No limite, quando es Se | <1, então lim ax! = e à soma vale Ee ms 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. u Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná + cs) = Leto) em)=L-Ho(s) + Gs) =L(e()) s)=L-Ha(9)) 19 Ecosor u(r) 39 = =y (1=0,577215665) 1 La 20 - 1- cosgr) u(r) “0 e yu(o) s(s +07) r 1 1 o 2 2 (or —sengr) u(t) 41 nie =(1- cosa) u(s) » sE(senor - orcosor) ul) “ 1 -coshar) u(r) ' In(a) =In(a+s 3 —senoy u(r) 43 Ina) In(a+s) (a>0) Ei(ar) E s 1 z s 1 2 so (Senar +wrcosar) ur) 44 5 arcianm —senoy u(t) 20 2 o T 1a 1 arccotgs — arctant 3 (af? sat — cos; s dera TO si s ms 04) mp (cosat — cosbr) u(t) 45 T T Sit) * 1 1 Ô hauto “6 arciané sitar) 2 a os (senatcoshar —cosarsenhar) u(r = Si(ar > s 2 Sra senarsenhar u(t) 47 entar) 28 , (senhas — senat) (1) as eras) (40) Lu) 2 —& at — senai as a > Pe 5 s 29 sa (coshar — cosar) u(r) | Onde: 30 vsca-vs—b ms (e = ur) é a constante de Euler-Mascheroni?? definida como: ar u 1 es, “2 () Inn 0,577215664901 532 860606512090082402431 042 159335939923598 805767 = +— e 2 u TravsEb ( Si(x) é o seno integral definido como: 32 Jo(ar) u(r) + 4 sic) = [ Sa = [Psimerdo hp TT a aa “(1 +2ar) u(t) Ei(x) é a exponencial integral definida como: Fa ] ” E (a) tenta uto eqo= Jo(x) é a função de Bessel?* de primeira espécie de ordem zero definida como: 35 Jo(2v 3) ulr) e (iymem Joo)= Dm | - E Bomi 36 = cos2v Tr u(r) vm Yo(x) é a função de Bessel de segunda espécie de ordem zero ou função Neumann de segunda espécie de ordem zero 1 definida como: 37 —=senh2v Er u(r) 2 x É vai tola) = 5 [Hot (n5 +19) + 38 E (4>0) Lorenzo Mascheroni (1750-1800 “epiedich Bessel (1784-1846) 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 29 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 30 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná onde hm é definido por: esf(x) é a função erro definida como: cerf(x>es) = 1 Tx) é a função gama, as vezes chamada de função fatorial, definida como (ver Seção 1.1 na página 1): Vale, ainda, lembrar que: e & 2,718281828459045235360287471 352662497757247093699959 574966968 e m = 3,141592653589793238462643383279502884 197 169399375 105 820974945 1.3 Transformada Inversa de Laplace A Transformada Inversa de Laplace, ou Antitransformada de Laplace, pode ser definida como: 1 qa a v)= Les) =) Yíseras onde o símbolo fi. representa uma integral de linha calculada sobre o percurso C que, por sua vez, deve ser fechado e não pode conter singularidades, No entanto, o cálculo através desta fórmula é bastante complexo. Geralmente, o interesse recai em obter a transformada inversa de uma função Y(s), que originalmente foi expressa no tempo e posteriormente transformada para s onde foi modificada (um sinal do tempo modificado por um sistema gerando um novo sinal: o sinal de saída). Assim, na prática é usada uma forma altemativa de definir a Transformada Inversa de Laplace simplesmente como sendo a operação inversa da transformada: v)=2"r(s)) Se for possível obter, em uma tabela de Transformadas de Laplace, uma função de 1 que, uma vez transformada para s, seja igual a função a qual se deseja a transformada inversa, o trabalho é imediato. Evidentemente, a propriedade de linearidade? da Transformada de Laplace ajuda muito; através de um pequeno trabalho algébrico é fácil converter a função desejada para a forma que ela se apresenta na tabela. A maioria das funções do tempo r, quando transformadas para fregiência complexa s através da aplicação da Trans- formada de Laplace, se apresenta na forma de uma fração de dois polinômios (uma função racional). Além disso, a maioria dos sistemas são descritos por equações diferenciais que, quando Transformadas para s se tornam polinômios ou quocientes de polinômios. Por isso, nos casos que mais há interesse prático, pode-se escrever uma função de s como: G(s) Hs) Y(s) (1.19) onde G(s) e H(s) são ambos polinômios de s. Para calular transformada inversa com o uso de tabelas é necessário dividir (ou particionar) Y (s) em uma representação de tal forma que cada termo possua sua transformada inversa já tabelada. Uma técnica que se mostra muito útil é a “Decomposição em Frações Parciais” que consiste em transformar Y(s) em uma soma de funções, estas facilmente transformáveis. Usando as propriedades de linearidade e superposição fica fácil calcular a transformada inversa. Há apenas cinco casos de interesse, classificados pelas raízes do polinômio H(3), chamadas de pólos de Y(s) e representadas pela letra p. Como são apenas cinco casos, o trabalho de buscar na tabela pode ser feito a priori. Assim, não há a necessidade de repetir a busca para cada cálculo: obtém-se uma equação que já é função do tempo para cada um dos cinco casos. Desta forma, o trabalho de calcular a transformada inversa se resume em identificar o caso e calcular alguns parâmetros constantes para, então, substituí-los nas equações respectivas de cada caso. 131 Decomposição em Frações Pai A idéia básica consiste representar Y(s) como a soma de várias frações simples. Caso Y(s) seja uma função racional própria, isso é, caso o grau do numerador G(s) seja menor que o grau do denominador H (3), é possível representar Y(s) como uma soma de frações. Caso o grau do numerador G(s) seja maior ou igual ao grau do denominador H(s) será necessário dividir G(s) por Hs) para obter um polinômio (o resultado ou quociente da divisão) e uma fração de polinômios (o resto da divisão dividido pelo denominador). Esta fração será uma função racional própria e, portanto, poderá ser representada como a soma de várias frações. “F Que E na verdade um teorema e et iimamente Hgado com a propriedade da linearidade e superposição de sistemas, 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 31 Exemplo 24: SS +65! — 8536582 4+75+56 Hg = S+ = Sy4s-5+ S44s—s 4 3) 1s+4) St EE Primeiro, divide-se o numerador pelo denominador (divisão de polinômios); em seguida, fatora-se o denominador, e depois, expande-se a função racional (o resto da divisão dividido pelo denominador) em frações parciais. Nos casos práticos que interessam para Modelamento de Sistemas Dinâmicos, Processamento de Sinais e Controle Automático, o grau do numerador H(s) é sempre menor ou máximo igual ao grau do denominador G(s). Isso decorre do fato que os sistemas modelados são causais, isso é, obedecem a lei de causa e efeito que diz que o efeito nunca pode preceder a sua causa. Com efeito, o sistema modelado não pode se antecipar o valor da saída sem o conhecimento prévio da entrada. Quando o do numerador de Y(s) é maior que o denominador, não é possível determinar diretamente o valor de y(1), mas é possível determinar o valor de sua integral (pode ser a integral da integral de y(1) Exemplo 25: Y(6) = 69) Sq28- 15-12 = St6st-8$ 659475456 = Ss +29 1s— 12) É + 6s! 6592 +75+56 S 728 IIS I3s = SA6!-BS 652475456 DT SG+HNC-IGHI $B 14,1 5 1 36 38 as +) 1252653) "apra É fácil encontrar a transformada inversa de cada um dos termos do lado direito da equação acima na Tabela 1.1 na página 6. Jáo lado direito que vale Y(s)/$ não corresponde a transformada de y(t), mas pela aplicação do teorema 8 é fácil verificar que corresponde a integral da integral de y(t) no intervalo de O a infinito. Assim, usando as fórmulas 1, 3, 4 e 8 bem como a equação (1.14), obtém-se: f var ho bo que se for derivada duas vezes fornece o valor de y(t) o que é complicado por que implica na derivação da função delta de Dirac. Calculando as derivadas, têm-se: dfrioo Fr dO) BA 41 ksa - fooa= age dr 936 z df o Pô() 1336) 1,45, Soa = y()= SU ao de 36 dr 4º t3s “4 133 1 5 Stu) -i+qe+ 7 A seguir, o método apresentado é sistematizado. O primeiro passo é normalizar o denominador G(s) de Y(s) para aplicar o método dado. Assim, para calcular a transformada inversa de aT Y(s) Tera é necessário reescrever a equação de forma que O termo da mais alta ordem do denominador apareça com coeficiente unitário. Para isso, divide-se cada termo do numerador e do denominador por coeficiente do termo de mais alta ordem do denominador, no exemplo, 7? obtendo: v)= Caso E: Fator (s— p) não repetido. 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 32 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Neste caso um pólo particular p só aparece uma única vez em H(s); muito embora H(s) possa ter muitos pólos, desde que com valores diferentes deste pólo p específico. Pode-se escrever Y(s) como: (1.20) onde W(s) é o que sobra de Y (s) depois de retirado o fator (s — p). Neste caso, a Transformada Inversa de Laplace é: LH r(s)J= Ae" + 2 W(s)) (120 onde A é dado por uma das duas expressões: A = 0o)cp Ou (22) A = (1.23) onde Qp(s) é à função que resta após a remoção do fator (s — p) de H(s) em Y(s), isso é: s— p)G(s) o(s) = = 6 (124) Hs) ice inferior de O, evidencia o fato dele depender de um valor específico de p e se modificar quando se muda de um valor particular de p para outro (passando de um fator linear a outro). A equação (1.23) é conhecida como fórmula de Heaviside. Exemplo 26: determine a transformada inversa de O denominador possui três fatores lineares distintos (e portanto não repetidos), s, (s—2) e (5+3) correspondentes às raízes do denominador py = 0,p2=2 ps = —3. Assim, pelaequação (1.20): s+1 Ai As Yís —— =— — =" 5 +m3 eG(s)=s+1,H'(5) = 38º +25— 6, empregando (1.23) para cada um dos pólos, obtém-se: "HO Daí, de (1.21) decorre que a transformada inversa é: £LMr(s))= Caso HI: Fator (s — p)" repetido m vezes. Neste caso (9 GO) Mm > v(s)= HO) G-pr (1.25) ea transformada inversa é , qa Lys) =er (nat (1.26) onde as constantes 41, 42, ... , Am São dadas por: DO a, Am = Op(s) “= eo 2,1) (127) e.no caso, rg on(9) = tp o(a (128) HO) Note que é necessário derivar O,(s) em relação à s um número a menos de vezes que o fator relativo ao pólo p é repetido, ou seja, m- I vezes. 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 33 s casos Te II incluem tanto números p reais quanto complexos; entretanto, quando p é complexo são preferíveis outras fórmulas (casos TI, IV e V) por razões práticas (fica mais simples). Além disso, como as funções do tempo devem ser reais (Sinais reais) então o uso dos casos 1 e II, tão somente, leva à funções complexas do tempo quando os pólos p são complexos. Estas funções devem ser simplificas para se obter funções reais o que demanda um trabalho algébrico penoso. Exemplo 27: calcule a Transformada Inversa de Laplace de: que possui três pólos em 1. Portanto, há um único fator relativo ao pólo p = I repetido três vezes, assim, aplicando (1.25), a transformada inversa fica: As (42, A r(g)=5 + (s) T +5 Para determinar as constantes Ay e, Az e 43 nas frações parciais correspondentes ao pólo p equação (1.28): calcula-se Qp-1(5) pela Com m =3 na equação (1.27) tem-se: 43 = Op-1(8)| Com m =2 na equação (1.27) tem-se: dOp(s) Com m = 1 na equação (1.27) tem-se: Ar e Aplicando estes valores na equação (1.26) tem-se: Lo písj=e (apa T Exemplo 28: calcule a Transformada Inversa de Laplace de: que possui dois pólos em O devido à (52), um pólo em 3 devido à (s— 3), um pólo em 2 e outro em 1 ambos devidos à (5? -35+2). Portanto, há um único fator p = repetido, assim, aplicando (1 25), a transformada inversa fica: Primeiro, determinam-se as constantes A, é Ay nas frações parciais correspondentes ao pólo p = 0. Para isso, Qu(s) é calculado pela equação (1.28): SIS +13 +4s- 12º N(s) Oots CS -3542) — M() Com m =2 na equação (1.27) tem-se: =12 (32 Quís)l, Para determinar Ay faz-se k = 1 em =2 na equação (1.27) obtendo: s=0 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. E Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná 2. Empregando a Transformada de Laplace resolva os seguintes problemas de valor inicial: a) y-y=1, v(O)=1 0) y=3y+2y (6) 3" +2y —3y= 10senh2r, X(0)=0, y(0)=4 (d) "+ 4y=4(0082% — sen), YO) =1, (0) = +! -y+y+2=-2sendr, v(0)=1, (0) =0, Y(0)=—1 3. Mostre que 2 Er gaS-s o (rã) 2 ga o (re) Analise as equações (1.21), (1.26), (1.29), (1.31) e (1.33) e explique qual a condição necessária para que um sistema excitado por um sinal específico apresente oscilação na saída. (1) 4º! ( ) =cosharcosr 1 — senhas sent 2º 1 sr (coshar senat + senha cosar) Ja > O fato de um sistema apresentar na saída um sinal oscilatório está ligado diretamente ao sinal de entrada ou alguma característica do sistema pode gerar este sinal oscilatório mesmo que a entrada não seja oscilatória? a Um sistema é dito estável se, para uma entrada limitada (que não tende a infinito) ele apresentar uma saída limitada. Analise as equações (1.21), (1.26), (1.29), (1.31) e (1.33) e explique qual a condição necessária e suficiente para que um sistema excitado por um sinal limitado seja considerado estável. Determine os sinais de saída dos sistemas abaixo. Considere que quando aparecem mais de um componente do mesmo tipo no mesmo circuito todos têm valores iguais. c Pia R R ) vo) vil?) = Vsax senor ( vi) = Vrax sena ( vi(t) vi(t) isto) Iv] IA tl val c uia EL oO c wa) vide ido (1) R (9) R 1v 1A li ls - vio voto 4 O r 12 ( ol > ( vol 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 39 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná 13.4 Causalidade e Região de Convergência Na Seção 1.2.3 é usado o “Teorema da Extensão Analítica” para diminuir a importância da região de convergência da integral na existência da Transformada de Laplace. Contudo, a extensão da região de existência da Transformada de Laplace de uma função para além dos limites da região de convergência da integral, tem implicações sobre a causalidade da função. Isso tem relação direta com o uso da transformada unilateral porque os sistemas físicos sob análise são, via de regra, causais e a dinâmica do sistema é desprezada quando t < O (análise transitória). Apenas a energia inicial é considerada (problema do valor de contorno é valor inicial) Para compreender melhor esta relação, considere as duas funções g(1) e A(1) dadas por. é se 1>0 eli) = ( 0 se 1<0 no) = [º sz =! se 140 que podem ser escritas como: e) = Sur) mt) = E u(-1) e que são representadas abaixo. el) =etuti nto = era) Panos Região de Consegêcia de Hs) Ee() A transformada bilateral destas funções valem: a(= [Temerar= [Tee u(e dt pPetra Jo se Re(s— a) > 0 o que equivale à Re(s) > Re(a). Para h(1), tem-se: H(s) =[Dunera =[D e u-netd= Petra se Re(s— a) <O o que equivale à Re(s) < Re(a) As duas funções, notadamente diferentes, têm a mesma transformada bilateral, porém com regiões de convergência dife- rentes. Não é possível que duas funções diferentes tenham a mesma Transformada de Laplace e com regiões de convergência iguais. Nem mesmo é possível que as regiões de convergência tenham algum ponto comum se as funções forem diferentes. A união das duas regiões de convergência cobre quase todo o plano complexo (com exceção da reta s = Re(a) paralela ao eixo imaginário). Empregar o “Teorema da Extensão Analítica” implica em desprezar uma segunda solução, ou ainda mais soluções, para a transformada inversa de cada função. 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. “0 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Suponha, então, que seja necessário calcular a transformada inversa de +. Há duas respostas diferentes para cobrir todo o plano complexo (com exceção de uma região singular). Se — é a resposta ao impulso unitário de um sistema físico, as duas respostas aparecem antes e depois da aplicação do impulso, respectivamente. A primeira resposta, «” u(1), é nula para! < 0 e após a aplicação do impulso (aplicado em + = 0) ela é não-nula. Esta resposta respeita a lei de causa-efeito: o efeito surge após acausa. A segunda resposta, —e“ u(-1), não é nula para < O e não respeita a lei de causa-efeito: o efeito (saída) precede sua causa (o impulso aplicado em 1 = 0). Se o sistema for sabidamente causal, e os sistemas físicos realmente são causais, pode-se desprezar a segunda resposta o que equivale a estender a região de convergência de G(s) para todo o plano complexo. O uso da transformada unilateral também justifica esta simplificação porque a função transformada de volta para o tempo deve ser nula para < O e uma função não-causal (como h(f) do exemplo) não o é. Esta é a verdadeira gênese do “Teorema da Extensão Analítica”. 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 4 Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná 135 Exercí 1. Calcule a Transformada de Laplace das seguintes expressões: s retirados das provas (o) Pes (d) rcosh(4r) e da a, (a) 7oos(31) + d) 3 senh? (51) cos (. 2. Calcule a Transformada Inversa de Laplace das seguintes expressões: 282 +115+16 (5+3) (8 +65+10) =584+195+28 6-1) (+ (5-3) (9 k 7 9s +15 O TITE as) 3. Idem ao anterior: +98 305 +36 (S-6s +87 2 (a) — 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. (D sen(3-6)u(r—2) (8) sen(31-6) o) U 97 (m) (n) -—— [e 4005 — 800 O Frost Iso Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná Revisão de Transformada de Laplace — Universidade Tecnológica Federal do Paraná 136 Respostas dos exe s 15 2100) 4539951005 (e ) (s+67 (a) e! (cost — sent (b) 10 senre” (9) e” cre ) ar (D e! poosre” ( 7E +20 44 (m) (a) e! (cos(31) —1 (D) re! cet +r (0) 1H per (a) rsen(ra) er (D 22 pe sr (9 5(e34+1) ar 9 de setembro de 2006 —senre” e sen(31)) ar os retirados das provas 6 1$+69+54 +65 +25 oa : tds -16 ((s+37-16) 0 45! +2008º + 150 (h) 5 cosh(71) ( ) 1cos(151) (20cos(51) | sen(51)) e2 + I85e 205 (k) e” (cost — 3 sent) o (1) 287 pe pe! (m) 2 cosh(21) sen (21) +301 cos(24) — 15 sen(21) 32768 1444! sen(21) +208€º cos (21) — 84, o) 12cos(sn) ter =5 sen(51) (1) e (400 cos (4001) — 5 sen (4001)) () 38! E pet! (19) 4 ze! 1e% sen(21) o 7 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 43 Referências Bibliográficas [1] KREYsZIG, Erwin, Matemática superior, v 1, Rio de Janeiro : LTC, 1984. [2] SprEGEL, Murray R. Transformada de Laplace : resumo da teoria, 263 problemas resolvidos, 614 problemas propostos, São Paulo: McGraw-Hill, 1976. [3] SprEGEL, Murray R. Manual de fórmulas e tabelas matemáticas, São Paulo : McGraw-Hill, 1973. [4] BRIGHAM, E. Oran. The fast Fourie transform, Englewood Cliffs : Prentice-Hall, 1974. [5] HAvKIN, Simon; VEEN, Barry Van. Sinais e sistemas, Porto Alegre : Bookman, 2001 [6] SmirH, Steven W The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing, disponível em http: //ww .dspguide .com/, San Diego: California Technical Publishing, 1997. 9 de setembro de 2006 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 4