Integrais impróprias

Integrais impróprias

INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 

Definição 1: Se f(x) é contínua no intervalo (a, c], dizemos que a integral imprópria de f(x) em [a, c] converge e é igual ase este limite existe (e é finito), caso contrário dizemos que a integral de f(x) em [a, c] diverge.

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Observação: Se f(x) é contínua em [a,c] então a integral imprópria de f(x) neste intervalo coincide com a integral definida. Isto ocorre porque a função

Portanto faz sentido usarmos para integrais impróprias a mesma notação usada para integrais definidas.

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Exemplo1: Estude a convergência da integral

A funçãonão está definida em x = 1 (veja seu gráfico ao lado)

 

Logo,

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Definição 2: De modo análogo, se f(x) é continua no intervalo [a, c), dizemos que a integral imprópria de f(x) em [a, c] converge e é igual acaso este limite seja finito. Caso contrário dizemos que a integral imprópria de f(x) em [a, c] diverge.

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Exemplo 2: Verifique se existe um número k  R que represente a área da região do plano limitada pela curva y = 1/x , o eixo OY , o eixo OX e a reta x = -1.

A funçãoe não está definida em x = 0.

Temos ao lado uma representação gráfica da área.

O número k existe se, e somente se, a integral imprópria

Temos,

Portanto não existe k.

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Exemplo 3: Estude a convergência da integralA função x.ln|x | não está definida em x = 0 e é contínua em [-1, 0).

Temos,Usando integração por partes (na integral definida)

temos uma indeterminação do tipo "  .0 " e emtemos uma indeterminação do tipo  / .

Aplicando L´Hospital,

Portanto,

 

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Definição 3: Se f(x) é continua nos intervalos [a, c) e em (c, d] , dizemos que a integral imprópria de f(x) em [a, d] converge e é igual a soma das integrais imprópriascaso estas integrais sejam ambas convergentes . Caso contrário dizemos que a integral imprópria de f(x) em [a, d] diverge.

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Exemplo 4: Estude a convergência da integral

A funçãonão está definida em x = -1 e é contínua em [-2, -1) e em (-1, 0]

Tomemos as integrais impróprias

TemosCom a mudança de variável (na integral definida),x = -2  t = ln|-2 + 1| = ln(1) = 0x = b  t = ln| b + 1|

Como I1 diverge então I diverge

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