matéria da p1 de física 2

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(Parte 1 de 4)

Uso de coordenadas polares, cilındricas e esfericas na cinematica vetorial do ponto

Valmir A. Chitta 31 de julho de 2007

Movimento circular uniforme3
Equacao horaria do MCU4
Movimento circular nao-uniforme5
Aceleracoes6

Movimento circular 2

Coordenadas polares8
Utilidade9
Vetores coordenados polares10
Relacao entre vetores coordenados polares1
Velocidade12
Aceleracao (i)13
Aceleracao (i)14
Aceleracao (i)15
Aceleracao (iv)16
Aceleracao (v)17

Coordenadas polares 7

Movimento circular uniforme (i)19
Exemplo (1.i)20
Exemplo (1.i)21
Exemplo (1.i)2
Exemplo (2.i)23
Exemplo (2.i)24
Exemplo (2.i)25
Exemplo (2.i)26
Exemplo (2.iv)27

Exemplos 1 18

Coordenadas cilındricas29
Velocidade e aceleracao30

Coordenadas cilındricas 28

Coordenadas esfericas32
Vetores coordenados esfericos3
Relacao entre vetores coordenados esfericos (i)34

Coordenadas esfericas 31 1

Relacao entre vetores coordenados esfericos (i)36
Velocidade (i)37
Velocidade (i)38
Aceleracao (i)39
Aceleracao (i)40
Aceleracao (i)41
Aceleracao (i)42
Exemplo (1.i)4
Exemplo (1.i)45
Exemplo (1.i)46
Exemplo (1.iv)47
Exemplo (1.v)48
Exemplo (1.vi)49

Exemplo 2 43 2

Movimento circular 2 / 49

Movimento circular uniforme |~v| = v = constante - somente a direcao e o sentido variam r v θ x y S n Posicao ~r(t) - r o modulo e raio da orbita e θ a direcao e o sentido n S = rθ e o arco (θ em radianos)

FEP2196 - Fısica para Engenharia I V. A. Chitta – 3 / 49

Equacao horaria do MCU S(t) = S0 + vt mas S(t) = rθ(t)

ω - velocidade angular [ rad

v = dS dt ⇒ ω= dθ n Aceleracao radial (centrıpeta)

Sempre dirigida para o centro do movimento. FEP2196 - Fısica para Engenharia I V. A. Chitta – 4 / 49

Movimento circular nao-uniforme ~v varia em modulo e direcao

ri vi

∆θ rf r vi

Aceleracoes n Radial

Sempre apontando para o centro da trajetoria n Tangencial

dt = r dω dt = r d2θ α - aceleracao angular

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Coordenadas polares 7 / 49 Coordenadas polares

r θ y x y x = rcos(θ)

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Utilidade Equacao da circunferencia

Equacao da reta

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Vetores coordenados polares

r θ x

Relacao entre vetores coordenados polares

FEP2196 - Fısica para Engenharia I V. A. Chitta – 1 / 49

Velocidade

r θ x

Velocidade:

dt = dr dθ dθ dt = dr dt r + r dθ

dt θ

Velocidade radial: vr = dr dt

Velocidade transversal: vθ = rdθ dt

FEP2196 - Fısica para Engenharia I V. A. Chitta – 12 / 49

Aceleracao (i)

r θ x

Velocidade: ~v = ~vr +~vθ = dr dt r + rdθ dt θ

Aceleracao:

Aceleracao (i)

r θ x

Velocidade radial: ~vr = dr dt

Aceleracao devido a variacao da velocidade radial:

d~vr dt = d dt dr dt

d~vr dt = d dt dr dθ dθ dt d~vr dt dθ

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