gabarito prova 2 2006

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(Parte 1 de 2)

FEP2196 - Fısica para Engenharia I Prova P2 - Gabarito

1. Uma plataforma de massa m esta presa a duas molas iguais de constante elastica k.

A plataforma pode oscilar sobre uma superfıcie horizontal sem atrito. Um bloco de massa M = 2m e colocado sobre a plataforma. O sistema “bloco + plataforma” oscila com frequencia angular ω.

k Mm k

(a) (0,5) Determine, em funcao de m e ω, o valor da constante k das molas. Equacao do movimento:

A frequencia do sistema e entao dada por:

Portanto:

(b) (1,0) Calcule, em termos da amplitude A, a forca horizontal maxima exercida no bloco de massa M durante o movimento.

A forca sobre o bloco de massa M sera maxima quando a aceleracao da plataforma for maxima:

aMAX = ω2A A forca maxima sobre o bloco sera:

(c) (1,0) Se o coeficiente de atrito estatico entre o bloco e a plataforma e µe, encontre o valor maximo da amplitude para o qual o bloco nao desliza sobre a plataforma durante a oscilacao.

Para que o bloco nao deslize a forca maxima sobre ele deve ser igual a forca de atrito estatico maxima, ou seja:

FMAX = feMAX

2mω2AMAX = µeMg = 2mµeg Portanto:

AMAX = µeg

2. O grafico de x(t), mostrado na figura abaixo, representa a equacao horaria de um oscilador criticamente amortecido, para um sistema composto de um corpo de massa m = 1,0 kg preso a uma mola de constante elastica k e imerso em um lıquido viscoso, de coeficiente de resistencia viscosa ρ.

(a) (0,5) Em que instante de tempo a velocidade do corpo sera nula, no intervalo de tempo mostrado no grafico? v(t) = 0 quando dxdt = 0. Atraves do grafico temos:

(b) (0,5) A equacao horaria x(t) pode ser escrita como x(t) = e−γ2t(a + bt) Determine os valores de a e b da equacao.

x(0) = a Portanto:

Como e−γ 2 nao pode ser nulo, temos que:

(c) (1,0) Determine a constante de decaimento γ e a constante elastica da mola k.

Para determinar γ e k e necessario calcular a derivada de x(t).

Como e−3γ 2 nao pode se anular, temos entao que:

Portanto:

(d) (0,5) Determine o valor da velocidade inicial do oscilador.

Velocidade inicial e dada por dxdt (0)

Portanto:

3. Um corpo de massa m desliza sobre um plano horizontal sem atrito sujeito a tres forcas: uma forca elastica resultante da acao de uma mola de constante elastica k, uma forca devido a resistencia viscosa do meio, caracterizada pela constante de resistencia viscosa ρ e uma forca externa periodica F(t) = F0 cos(Ωt), sendo Ω a frequencia externa.

(a) (0,5) Escreva a equacao diferencial que descreve o movimento do corpo e a sua solucao estacionaria.

Equacao diferencial do oscilador:

m d2x

Reescrevendo:

m cos(Ωt)

Solucao estacionaria:

onde

ϕ(Ω) = −arctan

Frequencia natural do sistema:

Fator de qualidade:

(c) (1,0) No regime estacionario, usando os valores do item anterior, determine o valor de Ω para o qual a amplitude do movimento e maxima.

A amplitude sera maxima quando dA dΩ = 0 e dai obtem-se ΩR.

Com os valores fornecidos no item (b) temos:

(d) (0,5) No regime estacionario, usando os valores do item (b), determine o valor da amplitude maxima.

A amplitude maxima ocorre para AMAX = A(ΩR):

o que da:

4. Uma corda uniforme, de 20 m de comprimento e massa de 2 kg, esta esticada sob uma tensao de 10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm e frequencia de 5 oscilacoes por segundo. O deslocamento inicial da extremidade e de 1,5 cm para cima.

(a) (1,0) Ache a velocidade de propagacao v e o comprimento de onda λ da onda progressiva gerada na corda.

A velocidade da onda na corda e dada por v = √

Tµ onde µ e a densidade linear de massa da corda.

10 kg/m

A velocidade sera entao:

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