Eq. Diferenciais Livro

Eq. Diferenciais Livro

(Parte 1 de 7)

Equac oes Diferenciais e Equac oes de Diferencas

Jaime E. Villate

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Dezembro de 2001 versao 1.5, 2003/0912 (actualizados os links) versoes anteriores: 1.4, 2001/12/07 (inclui problemas propostos) 1.3, 2001/12/07 (corrige varias gralhas) 1.2, 1999/09/15 (inclui mais capıtulos) 1.1, 1999/09/09 (versao inicial)

Equac oes Diferenciais e Equac oes de Diferencas Copyright 2001, 2003 Jaime E. Villate Faculdade de Engenharia Rua Dr. Roberto Frias, s/n 4200 - 465 Porto PORTUGAL Tel. (351) 2 508 1676 Fax (351) 2 508 1449 E-mail: villate@gnu.org

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Conteudo

Lista de Figuras v Lista de Tabelas vii Prefacio ix

1.1 Definic oes1
1.2 Equacoes de primeira ordem2
1.3 Existencia e unicidade da solucao2
1.4 Problemas3
2.1 Equacoes de variaveis separaveis7
2.2 Equac oes lineares8
2.3 Equac oes exactas9
2.3.1 Equacoes homogeneas10
2.4 Equacao de Bernoulli12
2.5 Equacao de Riccati13
2.6 Problemas14

2 Equacoes diferenciais de primeira ordem 7

3.1 Crescimento demografico15
3.1.1 Modelo de Malthus15
3.1.2 Modelo logıstico15
3.2 Decaimento radioactivo16
3.3 Trajectorias ortogonais17
3.4 Problemas de aquecimento e arrefecimento19
3.5 Cinetica quımica19
3.6 Problemas20

3 Aplicacoes das equacoes diferenciais de primeira ordem 15

4.1 Existencia e unicidade da solucao23
4.2 Solucao geral das equacoes lineares23
4.3 Equacoes lineares homogeneas24
4.5 Solucao geral das equacoes lineares homogeneas25
4.6 Metodo de d’Alembert25
4.7 Equacoes lineares homogeneas de coeficientes constantes26
4.7.1 Raızes reais diferentes26
4.7.2 Raızes reais iguais27
4.7.3 Raızes complexas27
4.8 Equacao de Euler28
4.8.1 Raızes reais diferentes28
4.8.2 Raızes reais iguais28
4.8.3 Raızes complexas29
4.9 Problemas29

i CONTE UDO

5.1 Metodo dos coeficientes indeterminados31
5.1.1 Func oes exponenciais31
5.1.2 Polinomios32
5.1.3 Funcoes seno ou co-seno32
5.1.4 Excluindo solucoes da equacao homogenea3
5.1.5 Produtos de polinomios, exponenciais e seno ou co-seno3
5.2 Principio de sobreposicao34
5.3 Metodo de variacao de parametros35
5.4 Equacoes lineares de ordem superior37
5.5 Problemas38
6.1 Equac oes de diferencas41
6.2 Solucoes das equacoes de diferencas41
6.3 Equacoes de diferencas lineares42
6.3.1 Independencia linear entre sucessoes43
6.4 Equacoes de diferencas lineares com coeficientes constantes43
6.4.1 Raızes reais diferentes43
6.4.2 Raızes reais repetidas4
6.4.3 Raızes complexas4
6.5 Equacoes de diferencas incompletas45
6.6 Equacoes redutıveis a equacoes de coeficientes constantes45
6.7 Resolucao de equacoes nao-lineares usando a funcao Gama46
6.8 Problemas48

6 Equacoes de diferencas, lineares, homogeneas 41

7.1 Series de Potencias51
7.1.1 Serie de Taylor51
7.1.2 Algumas series de McClaurin importantes52
7.2 Metodo das series52
7.3 Equacao de Airy53
7.4 Metodo de Frobenius5
7.5 Solucao em series em pontos singulares58
7.6 Problemas61

CONTE UDO i

8.1 Definicao da transformada de Laplace63
8.1.1 Condicoes de existencia da transformada de Laplace63
8.2 Propriedades da transformada de Laplace64
8.2.1 Linearidade64
8.2.2 Derivada da Transformada64
8.2.3 Transformada da Derivada64
8.2.4 Deslocamento em s64
8.3 Transformadas de Funcoes Elementares65
8.4 Calculo de transformadas inversas6
8.5 Resolucao de equacoes diferenciais por meio da transformada de Laplace6
8.6 Equacoes diferenciais lineares com coeficientes nao-constantes67
8.7 Equacoes diferenciais lineares com entrada descontınua67
8.8 Deslocamento no domınio do tempo68
8.9 Impulso unitario69
8.10 Convolucao73
8.1 Resolucao de equacoes integro-diferenciais75
8.12 Problemas75

8 Transformadas de Laplace 63

9.1 Transformada Z79
9.2 Propriedades da transformada Z80
9.2.1 Linearidade da transformada Z80
9.2.2 Derivada da transformada Z80
9.2.3 Transformada da sucecao deslocada81
9.2.4 Transformadas das sucessoes de senos e co-senos81
9.3 Resolucao de equacoes de diferencas lineares, nao-homogeneas83
9.4 Problemas85

9 Equacoes de diferencas, lineares, nao-homogeneas 79

10.1 Definicao87
10.2 Sistemas de equacoes lineares8
10.3 Metodo de eliminacao89
10.4 Metodo matricial90
10.4.1 Vectores e valores proprios91
10.4.2 Solucoes fundamentais92
10.4.3 Valores proprios complexos94
10.5 Vectores proprios generalizados95
10.6 Sistemas lineares nao-homogeneos, de coeficientes constantes96

iv CONTE UDO

1.1 Introducao101
1.1.1 Equacao de transferencia de calor101
1.1.2 Equacao de onda101
1.1.3 Equacao de Laplace101
1.2 Resolucao de equacoes simples102
1.3 Metodo da transformada de Laplace102
1.4 Transformadas de Fourier103
1.4.1 Produto escalar entre funcoes103
1.4.2 Serie seno de Fourier103
1.4.3 Serie co-seno de Fourier104
1.5 Resolucao de EDPs usando transformadas de Fourier105
1.5.1 Propriedade operacional105
1.6 Problemas108

1 Equacoes de derivadas parciais 101

Respostas aos problemas 1 Bibliografia 121

3.1 Decaimento exponencial de uma substancia radioactiva17
3.2 Famılia de cırculos com centro na origem e trajectorias ortogonais18
8.1 Fluxo de medicamento, f, para dentro do sangue do paciente72

vi LISTA DE FIGURAS vi LISTA DE FIGURAS

8.1 Propriedades da transformada de Laplace71

viii LISTA DE TABELAS viii LISTA DE TABELAS

Prefacio

Estes apontamentos foram escritos como texto de apoio a disciplina de Analise Matematica I do Departamento de Engenharia Quımica da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, nos anos academicos 1997/1998 e 1998/1999. Sao fruto da experiencia docente adquirida entre 1993 e ate 1997, quando leccionei as aulas teorico-praticas da disciplina regida pelo Prof. Mario Rui Costa a quem agradeco muito o apoio que me deu durante esse perıodo. Muitos dos problemas incluidos no fim de cada capıtulo faziam parte das folhas de problemas propostos pelo Prof. Mario Rui Costa; outros foram adaptados do livro An Introduction to Differential Equations and Their Applications, S.J. Farlow, McGraw-Hill, 1994 A maior parte do conteudo destes apontamentos encontra-se em qualquer livro de introducao as equacoes diferenciais. No entanto, a apresentacao das equacoes de diferencas como ferramenta para resolver as formulas de recorrencia que aparecem no metodo das series, nao costuma ser usada nos livros de equacoes diferenciais. Assim, o capıtulo sobre equacoes de diferencas lineares inclui algumas seccoes para as quais e difıcil encontrar bibliografia. A antiga pagina Web da disciplina leccionada entre 1997 e 1999, encontra-se ainda disponıvel em: http://quark.fe.up.pt/deqwww/amiii/ x Prefacio x Prefacio

Capıtulo 1 Introducao

Uma equacao diferencial e qualquer relacao entre uma funcao e as suas derivadas. Existem dois tipos de equacoes diferenciais.

e a equacao e uma relacao entre u, as variaveis independentes x, z, t,e as derivadas par-

Exemplo 1.1 Mostre que as funcoes sao solucoes da equacao diferencial

Resolucao: por simples substituicao da funcao e as suas derivadas ve-se facilmente que cada uma das funcoes dada e solucao:

Exemplo 1.2 Demonstre que a relacao

2 Introducao

1.2 Equacoes de primeira ordem

As equacoes diferenciais ordinarias de primeira ordem sao da forma F(x,y,y′) = 0, mas geralmente por meio de simples manipulacao algebrica conseguem-se re-escrever na forma de uma ou mais equacoes dy

A chamada forma inversa da equacao anterior e

Qualquer solucao implıcita de uma das duas equacoes e solucao da outra, e se a inversa de uma solucao explıcita y(x) da primeira equacao existir, sera solucao (x(y)) da equacao inversa. A equacao pode ser tambem escrita na chamada forma diferencial

Existem em geral muitas solucoes de uma equacao diferencial de primeira ordem. Dado um valor inicial y(x0) = y0, e possıvel calcular a derivada y′ no ponto x0 (igual a f(x0,y0) segundo a equacao diferencial), e geralmente e possıvel encontrar uma curva (curva integral) que passe pelo ponto (x0,y0) e com derivada igual a f(x,y) em cada ponto. O problema de valores iniciais:

consiste em encontrar a curva integral (ou curvas integrais) que passa pelo ponto (x0,y0).

1.3 Existencia e unicidade da solucao

As condicoes suficientes para a existencia de uma solucao unica de uma equacao diferencial de primeira ordem sao definidas pelo teorema de Picard:

1.4 Problemas 3

Teorema 1 (Picard) Considere o problema de valor inicial

se a funcao f e a derivada parcial de f em funcao de y sao contınuas numa vizinhanca do ponto

O intervalo onde existe a solucao unica pode ser maior ou menor que o intervalo onde a funcao f e a sua derivada parcial ∂f/∂y sao contınuas (o teorema nao permite determinar o tamanho do intervalo). As condicoes do teorema de Picard sao condicoes suficientes, mas nao necessarias para a existencia de solucao unica. Quando f ou a sua derivada parcial ∂f/∂y nao sejam contınuas, o teorema nao nos permite concluir nada: provavelmente existe solucao unica a pesar das duas condicoes nao se verificarem.

Exemplo 1.3 Demonstre que a relacao onde c e uma constante positiva, e solucao implıcita da equacao

que pode concluir a partir do teorema de Picard? Resolucao:

a funcao f = −x/y e a sua derivada parcial ∂f/∂y = x/y2 sao contınuas em quaisquer pontos fora do eixo dos x. A solucao implıcita dada conduz as solucoes unicas:

no intervalo −c < x < c. O teorema de Picard nada permite concluir nos pontos y = 0, mas segundo o resultado obtido acima vemos que em cada ponto y = 0 existem duas solucoes, y1 e y2.

1.4 Problemas

Em cada equacao diferencial identifique as variaveis independentes e dependentes. Demonstre em cada caso que a funcao y ou u na coluna da direita e solucao da equacao, onde a e c sao constantes.

4 Introducao

−x dy

Demonstre que a relacao dada define uma solucao implıcita da equacao diferencial.

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