Baixe corrente alternada e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! 3 CIRCUITOS DE CORRENTEALTERNADA 3.1 INTRODUÇÃO O estudo de circuitos de corrente alternada (C.A.) é sobremodo importante dado que a grande maioria das instalações elétricas utiliza este tipo de circuitos. Inicia-se o desenvolvimento do estudo dos circuitos em C.A. pela definição de grandezas periódicas senoidais, que são as bases para tais estudos. Define-se, a seguir, a representação fasorial de grandezas senoidais, que facilita sobremodo sua manipulação. Mostra-se, através de um esquema ilustrativo de um gerador C.A , que a geração de uma f.e.m. senoidal é relativamente simples. Verifica-se que o conceito de potência elétrica em C.A. exige que sejam definidas outras grandezas auxiliares e mostra-se a relação existente entre potência em circuitos C.A. e C.C.. Apresentam-se então os circuitos elementares com excitação senoidal, isto é, um gerador C.A. alimentando uma resistência, uma indutância e uma capacitância, bem como a associação série destes elementos. Analisam-se então os procedimentos para a resolução de circuitos C.A. a partir da analogia com os métodos de resolução de circuitos C.C., vistos anteriormente. Dá-se destaque para o cálculo da queda de tensão e da potência para os circuitos monofásicos, em circuitos correntemente utilizados em instalações elétricas.. 3.2 GRANDEZAS ALTERNADAS SENOIDAIS 3.2.1 Definições Uma função senoidal, Figura. 3.1, é dada por: )tsen(Yy M α+ω= (3.1) ou ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ α+ π =α+π= t T 2senY)ft2(senYy MM (3.2) 34 3. CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA onde: YM = valor máximo da grandeza senoidal, medido numa unidade qualquer; y = valor da grandeza senoidal no instante t, medido na mesma unidade de que YM; T = período da grandeza senoidal, medido em segundos (s); f = 1/T = freqüência da grandeza senoidal medida em Hertz (Hz); t = instante genérico em que se quer determinar a grandeza senoidal expressa em segundos (s); α = fase inicial, ou simplesmente, fase da grandeza senoidal expressa em radianos (rad) -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 90 180 270 360 450 540 630 720 Figura 3.1 – Função senoidal O termo 2πf, que representa o número de radianos descritos na unidade de tempo, é designado por pulsação angular (rad/s) sendo, usualmente, representado pelo símbolo ω , isto é: T 2f2 π=π=ω ELETROTÉCNICA GERAL 37 Define-se o fasor que representa a grandeza senoidal y por: °α=α+α=+= |YsenjYcosYbjaY& (3.5) em que 2YY M= representa o valor eficaz da grandeza senoidal. Exemplo 3.1 Dada a grandeza senoidal ( ) )5236,0t377(sen100ti += , pede-se determinar o vetor girante e o fasor que a representa. Inicialmente determina-se o vetor que representa a grandeza no instante t = 0, isto é, um vetor cujo módulo vale 100 é cujo ângulo inicial vale 0,5236 rad = 30°. Suas componentes valem: 100 cos 30° = 86,60 100 sen 30° = 50,00 Então o vetor girante é dado por: t377 )t( e)00,50j60,86(I += r e o fasor que representa esta grandeza é: °=°+°= 30| 2 10030sen 2 100j30cos 2 100I& 3.2.3 Números Complexos A seguir serão lembradas algumas propriedades dos números complexos que serão úteis nas operações com o método simbólico. Sejam dois números complexos A1 e A2, que podem ser expressos na forma retangular por: 222111 jbaAejbaA +=+= ou,ainda, podem ser expressos na forma polar por: 38 3. CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA 222111 F|MAeF|MA == Lembra-se que para passar da forma retangular para a polar empregam-se as relações: 111111 2 11 1 2 1 2 11 FsenMbeFcosMaoub b tanFebaM ===+= − As operações básicas entre esses números são: - Soma ou Subtração: na forma retangular, basta respectivamente somar ou subtrair entre si as partes reais e as imaginárias, isto é: ( ) ( ) ( ) ( ) 442121214 332121213 jbabbjaaAAA jbabbjaaAAA +=−+−=−= +=+++=+= (3.6) - Multiplicação ou Divisão: na forma polar, basta respectivamente multiplicar ou dividir os módulos e somar ou subtrair os argumentos, isto é: 4421 2 1 2 1 4 332121213 F|MFF| M M A A A F|MFF|M.MA.AA =−== =+== (3.7) É importante ressaltar que F|M*A −= é o complexo conjugado de F|MA = Exemplo 3.2 Dados os números complexos: oo 45|20 e 30|10 − pede-se sua soma e sua diferença. Tem-se: 000,5j + 660,8=)30senj + 30cos(10 = 30|10C o1 = 142,14j142,14 =)45senj + 45cos(20 = 45|20C o2 −−= 85,21|566,24142,9j802,22CC o21 −=−=+ o 21 98,105|912,19142,19j482,5CC =+=− Exemplo 3.3 Dados os números complexos 3 + j 4 e -7 + j12, pede-se seu produto e seu quociente. ELETROTÉCNICA GERAL 39 Tem-se: 13,67|36,0C/C'C 39,173|45,69C.CC 26,120|89,13j127C 13,53|5j43C o 21 o 21 o 2 o 1 −== == =+−= =+= E na forma retangular, tem-se: 332,013,67cos36,0'sen'CC 140,013,67cos36,0'cos'C'C 994,739,173sen45,69senCC 988,6839,173cos45,69cosCC i r i r −=−=α= ==α= ==α= −==α= isto é 332,0j140,0'C 994,7j988,68C −= +−= 3.3 POTÊNCIA EM CIRCUITOS COM EXCITAÇÃO SENOIDAL Seja o caso de ter-se um gerador C.A., cuja tensão em seus terminais varia com lei senoidal, alimentando carga que absorve corrente variável senoidalmente e que esteja atrasada de ângulo ϕ em relação à tensão. Isto é, sejam: )t(senIi )t(senVv 1M 1M ϕ−θ+ω= θ+ω= a tensão e a corrente nos terminais do gerador. É claro que, em cada instante, a potência fornecida pelo gerador à carga, p, é dada pelo produto dos valores instantâneos da tensão e da corrente, isto é: )t(sen)t(senIVvip 11MM ϕ−θ+ωθ+ω== (3.8) Lembrando que: [ ])(cos)(cos 2 1 sensen β+α−β−α=βα 42 3. CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA )tsen( R V R )t(v)t(i M α+ω== Conclui-se que: a corrente que percorre a resistência está em fase com a tensão de alimentação e seu valor máximo é dado pela relação entre o valor máximo da tensão e o da resistência. Na notação simbólica tem-se, empregando valores eficazes, e supondo a tensão com fase nula: o0|VV =& resulta: 0|I0| R V R VI === & & Na Figura. 3.3 apresenta-se um circuito resistivo e o correspondente diagrama de fasores. A potência instantânea absorvida pela resistência é dada por: R )t(v)t(i)t(vR)t(i)t(p 2 2 === A potência ativa ou real é dada por: R/VRIVIP 22 === I RV V I a) Circuito b) Diagrama de fasores Figura 3.3 - Circuito resistivo e seu diagrama fasorial O fator de potência, ϕcos , é unitário, a potência reativa, Q é nula e a potência aparente coincide com a ativa. Verifica-se, pois, que todas as relações entre valores eficazes coincidem com os valores que seriam obtidos alimentando-se a resistência R com tensão contínua de valor V. A expressão da lei de Joule permite, portanto, que se interprete o valor eficaz de uma corrente como sendo: ELETROTÉCNICA GERAL 43 “O valor eficaz de uma corrente alternada é igual ao valor de uma corrente contínua que atravessando a mesma resistência produz igual quantidade de calor no mesmo intervalo de tempo”. Salienta-se que esta conclusão obtida para grandezas senoidais é válida para grandezas alternativas quaisquer. Exemplo 3.4 Aplica-se a uma resistência de 20Ω tensão senoidal de valor eficaz 100V e freqüência de 60 Hz. Pede-se: a) O valor eficaz da intensidade de corrente na resistência. b) A potência dissipada na resistência. c) O valor instantâneo da corrente e da tensão. Adotando-se tensão com fase inicial nula resulta: j01000|100j0V0|VV oo +==+== • j05 50 100 R V I +=== & & donde: A5II == & A potência dissipada na resistência vale W500520IRP 22 =×== . O valor instantâneo da corrente é dado por: tsenIi M ω= em que: A071,752I 2I V42,1411002V 2V seg/rad377602f2 M M =×== =×== ≅×π=π=ω logo: t377sen42,141vet377sen071,7i == 44 3. CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA 3.4.2 Indutância Pura Aplicando-se uma tensão senoidal de freqüência f e de valor eficaz V a uma bobina de indutância L e resistência ôhmica nula ter-se-á a circulação, pela indutância, de uma corrente de valor instantâneo i (t) que irá criar uma f.e.m. dada por: dt )t(di L)t(e −= V I L V I = V / ωL 90o a) Circuito b) Diagrama de fasores Figura 3.4 - Circuito indutivo com excitação senoidal Por outro lado, deverá ser: 0)t(e)t(v =+ isto é: dt )t(di L)t(e)t(v =−= . Sendo: tsenV)t(v M ω= , resulta, imediatamente: )2/t(sen L V )t(i M π−ω ω = (3.16) Esta equação mostra que a corrente numa indutância está atrasada de π/2 radianos (ou 90o) em relação à tensão aplicada e seu valor máximo é obtido dividindo-se o valor máximo da tensão por Lω que é designado por “reatância indutiva”, sendo representada por XL e tem a dimensão de uma resistência. No método simbólico, leva-se em conta a rotação de fase da corrente representando-se a indutância por uma “impedância” que é dada por um número complexo no qual a parte imaginária é a reatância da bobina. Isto é: LL X Vj jX VI && & −== sendo: ELETROTÉCNICA GERAL 47 C 1X C ω = é chamado de “reatância” do capacitor ou de reatância capacitiva. A unidade da reatância capacitiva também é “Ohm”. Na notação simbólica, a “impedância” de um capacitor será representada por um número complexo no qual a parte real será nula e a parte imaginária será –j XC. Isto é: CC X Vj jX VI && & = − = sendo: o0|VV =& resulta: 2/| X VI C π=& Assim, o fator de potência de um capacitor é dado por: 0 2 coscos =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π−=ϕ A potência ativa absorvida é nula enquanto que a aparente e a reativa coincidem em módulo e valem: 2 2 VC C I VI 2 senVIQ VIS ω−= ω −=−=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π−= = Exemplo 3.6 Determinar a intensidade de corrente num circuito formado por um capacitor de 10µF ligado a uma fonte de 120 V e 60 Hz. Ω= ×××π = π = − 26,265 1010602 1 Cf2 1X 6C A452,0jj 26,265 120 jX 120 Z V I C == − == & & 48 3. CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA 3.4.4 Circuito com Elementos em Série Dado o circuito da Figura. 3.6, constituído pela associação em série de uma indutância, uma capacidade e uma resistência, alimentado por uma tensão senoidal de valor eficaz V e freqüência f deseja-se calcular a corrente e as quedas de tensão nos três elementos. ϕ v CLi R vR vL vC I • V VL C− • • V R IR • • = V j L IL • • = ω V • V j I cC • • = − ϖ Figura 3.6 - Associação RLC série Estando os três elementos em série, a corrente que circula, evidentemente, será a mesma para os três, portanto, pode-se adotar: )j01(I0|II +==& A queda de tensão em cada um dos elementos será dada por: 2/|IX)jX(IV 2/|IXjXIV 0|IRRIV CCC LLL R π−=−= π== == && && && É claro que, em cada instante, a tensão aplicada deverá igualar a soma das quedas de tensão. Portanto, essa relação também deve valer para os fasores correspondentes: ELETROTÉCNICA GERAL 49 [ ])XX(jRIVVVV CLCLR −+=++= &&&&& Define-se o “operador impedância” ao número complexo que, multiplicado pelo fasor da corrente no ramo do circuito, fornece o fasor da tensão aplicada ao mesmo. A impedância do circuito, Z , ora analisado, é: )XX(jR I VZ CL −+== & & (3.19) Em particular, para os elementos individuais, isto é, uma resistência, uma indutância e uma capacidade, a impedância é dada por: 2/|XXj0Z 2/|XXj0Z 0|Rj0RZ CCC LLL R π−=−= π=+= =+= Passando-se a impedância Z para a forma trigonométrica (módulo Z e fase θ), ter-se-á: ϕ= ϕ− ==θ=θ+θ= |VI |I 0|V I V|Z)senj(cosZZ & & (3.20) Observa-se que o ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente, ϕ , coincide com o argumento da impedância, e o fator de potência pode ser avaliado por: Z R )XX(R Rcoscos 2 CL 2 = −+ =θ=ϕ (3.21) Para a construção do diagrama de fasores, Figura.3.6, supõe-se conhecida a intensidade de corrente; portanto, a queda de tensão na resistência será representada por um fasor em fase com a corrente e de módulo igual a IR. Na indutância, o será por um fasor em quadratura e adiantado sobre a corrente e de módulo fLI2IXL π= . Finalmente, no capacitor, a queda de tensão será dada por um fasor em quadratura e atrasado sobre a corrente e de módulo )Cf2(IIXC π= . A tensão aplicada será obtida somando-se vetorialmente os três fasores. Como CL V e V && estão em posição de fase, sua soma equivalerá à soma algébrica de seus módulos, isto é: ( ) jXXIVV CLCL −=− &&&