Algebra Linear II - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática

Baixe Algebra Linear II - Exercícios - Matemática e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! MAT 0222 Álgebra Linear II Lista 1 1. Seja Q( √ 2) = {a + b √ 2 ∈ R | a, b ∈ Q}. Prove que Q( √ 2) é um corpo. Prove também que Q( √ 2) é um Q-espaço vetorial. Exiba uma base desse espaço vetorial sobre Q. 2. Sejam L e K corpos tais que L ⊃ K. Mostre que L pode ser visto como um K-espaço vetorial. Isso é uma generalizaçâo de exerćıcio anterior. 3. Ache uma base de C sobre R. Ache também uma base de C2 sobre C e uma base de C2 sobre R. 4. Seja V um C-espaço vetorial de dimensão n e seja {v1, v2, ..., vn} uma base de V . Mostre que o conjunto {v1, v2, ..., vn} ∪ {iv1, iv2, ..., ivn} é uma base de V quando considerado como R-espaço vetorial. 5. Mostre que o conjunto {sen(x), cos(x)} ⊂ F(R, R) é L I . Mostre também que se c1, c2, ..., cn são n números reais distintos, então o conjunto {ec1x, ec2x, ..., ecnx} ⊂ F(R, R) é L I . 6. Mostre que os conjuntos {sen2(x), cos2(x)} e {1, cos(2x)} geram o mesmo subespaço de F(R, R). 7. Seja K ⊂ C. Mostre que se {u, v, w} é um subconjunto LI do espaço vetorial V sobre K então o conjunto {u + v, u + w, v + w} também é L I. Mostre que a hipótese de que K ⊂ C é essencial. 8. Encontre 3 vetore LD em R3, mas de modo que cada par deles seja LI. 9. Mostre que o conjunto {(2i, 1, 0), (2,−1, 1), (0, 1 + i, 1 − i)} é uma base de C3 e ache as coordenadas do vetor (1, 0, 1) em relação a essa base. 10. Seja W o subespaço de C3 gerado pelos vetores w1 = (1, 0, i) e w2 = (1 + i, 1,−1). (a) Mostre que {w1, w2} é uma base de W . (b) Mostre que os vetores v1 = (1, 1, 0) e v2 = (1, i, 1 + i) estão em W e formam outra base de W . (c) Quais são as coordenadas de w1 e w2 em relação à base {v1, v2}? docsity.com