Momentos de Inércia e Oscilações em Sistemas Rígidos, Resumos de Engenharia Civil

Baixe Momentos de Inércia e Oscilações em Sistemas Rígidos e outras Resumos em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! Resumo: FEP 2196 Humberto S. Shiromoto Sumário 1 Mecânica 4 1.1 Rotações e momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Cinemática do corpo ŕıgido . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Representação vetorial das rotações . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Dinâmica de corpos ŕıgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Momento de inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Relação entre torque e momento de inércia . . . . . . . 9 1.2.3 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4 Conservação do momento angular . . . . . . . . . . . . 10 1.2.5 Cálculo de momentos de inércia . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.6 Momento angular e velocidade angular . . . . . . . . . 11 1.3 Giroscópio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Forças inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 As transformações de Galileu . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2 Referencial acelerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.3 A força centŕıfuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.4 Forças de inércia num referencial girante . . . . . . . . 14 2 Movimento ondulatório 16 2.1 Oscilador harmônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Oscilações harmônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 Superposição de movimentos harmônicos simples . . . 18 2.2 Oscilações amortecidas e forçadas . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1 Amortecimento subcŕıtico (γ 2 < ω0) . . . . . . . . . . . 19 2.2.2 Amortecimento supercŕıtico (γ 2 > ω0) . . . . . . . . . . 19 2.2.3 Amortecimento cŕıtico (γ 2 = ω0) . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.4 Oscilações forçadas. Ressonância . . . . . . . . . . . . 20 2.2.5 Oscilações forçadas amortecidas . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 Caṕıtulo 1 Mecânica 1.1 Rotações e momento angular 1.1.1 Cinemática do corpo ŕıgido Definição 1.1.1 (Corpo ŕıgido). Um corpo é ŕıgido quando a distância entre duas part́ıculas quaisquer do corpo é invariável. Definição 1.1.2 (Graus de liberdade). Chamam-se graus de liberdade de um sistema os parâmetros que é preciso fixar para especificar a posição do sistema. 1.1.2 Representação vetorial das rotações Consideremos um corpo ŕıgido em rotação em torno de um eixo e uma secção transversal (perpendicular ao eixo de rotação) do corpo, que tomamos como plano xy de um sistema de coordenadas com origem O no eixo de rotação Oz (Fig. 11.7 - pág. 226). Definição 1.1.3 (Vetor deslocamento). Seja P um ponto da secção transver- sal, à distância r da origem, que sofre um deslocamento infinitesimal (tomado como a direção da tangente ao ćırculo da figura) PP ′ = δs com um ângulo de rotação infinitesimal δθ e seja OP = r o vetor posição de P . Definimos o vetor deslocamento δs como sendo o produto vetorial indicado pelo sinal × δs = δθ × r seu sentido e sua direção serão dados pela regra da mão direita. 4 CAPÍTULO 1. MECÂNICA 5 Definição 1.1.4 (Vetor velocidade angular). O vetor velocidade instantâ- nea de um ponto P do corpo ŕıgido em rotação, que tem um deslocamente infinitesimal δs durante um intervalo de tempo infinitesimal δt, é dado por v = lim δt→0 ( δs δt ) = lim δt→0 ( δθ δt ) × r = w × r (1.1) onde w = lim δt→0 ( δθ δt ) = dθ dt se chama vetor velocidade angular. A direção e o sentido de w serão dados pela regra da mão direita. 1.1.3 Torque Consideremos uma haste ŕıgida girando em torno de uma extremidade fixa O sob ação de uma força F aplicada no ponto P , à distância r do ponto O (fig. 11.13 - pág. 229). A força F faz um ângulo ϕ com a direção de OP = r. Numa rotação infinitesimal ∆θ, o ponto P sofre um deslocamento PP ′ que se confunde com a tangente ao ćırculo de centro O e raio r no ponto P , sendo portanto perpendicular à direção de r. A projeção F na direção do deslocamento é F = sin ϕ e a magnitude do deslocamento do ponto de aplicação é |PP ′| ≈ r∆θ. Conclúımos que • Somente a componente perpendicular da força é eficaz na produção da rotação; • A força é tanto mais eficaz na produção de rotação quanto maior for o braço de alavanca. Definição 1.1.5 (Torque). Chama-se torque τ da força F em relação ao ponto O a relação τ = r × F. (1.2) As dimensões de τ são as mesmas de trabalho (força × deslocamento) e a unidade SI de torque é N×m. 1.1.4 Momento angular Definição 1.1.6 (Momento angular). Da 2a lei de Newton temos que F = dp dt , na dinâmica de rotações F deve ser o torque τ = r×F , onde r = OP , disso temos que: r × F = r × dp dt = d dt (r × p)− dr dt × p CAPÍTULO 1. MECÂNICA 6 mas dr dt = v e portanto d dt (r × p)− (v ×mv)︸ ︷︷ ︸ =0 = d dt (r × p). segue que τ = dl dt (1.3) onde l = r × p é o que se chama momento angular da part́ıcula em relação ao ponto O. O sentido e direção do vetor seguem a regra da mão direita. A equação 1.3 pode ser considerada como a lei fundamental da dinâmica de rotações para uma part́ıcula: a taxa de variação com o tempo do momento angular de uma part́ıcula em relação a um ponto O é igual ao torque em relação ao ponto O que atua sobre essa part́ıcula. Lei da conservação do momento angular de uma part́ıcula τ = 0 ⇒ l = constante ou seja, se a resultante dos torques em relação a um dado ponto se anula, o momento angular do sistema em relação a esse ponto se conserva. Isto vale sempre na ausência de forças externas; neste caso, como o torque é nulo em relação a qualquer ponto do espaço, o momento angular em relação a qualquer ponto se anula. Esta é uma lei de conservação vetorial, ou seja, por um lado a conservação de L implica na conservação de seu módulo, direção e sentido; por outro lado, a lei se aplica separadamente a cada componente. Momento angular de um sistema de part́ıculas Consideremos um sistema formado por N part́ıculas, e seja mi a massa da part́ıcula i (i = 1, 2, . . . , N), de vetor de posição ri(t) e velocidade vi(t) em relação a uma dada origem O (Fig. 11.25 - pág. 235) no instante t. O momento angular total do sistema em relação a O é L = N∑ i=1 ri × pi = N∑ i=1 miri × vi Se r′i e v ′ i são o vetor posição e a velocidade da part́ıcula i em relação ao CM, obtemos L = L′ + R× P CAPÍTULO 1. MECÂNICA 9 1.2.2 Relação entre torque e momento de inércia Vamos tomar o eixo fixo OO′ como eixo dos z, com o origem num ponto O do mesmo (Fig. 12.1 - pág 248) e considerar um ponto P num plano O′x′y′ (secção transversal). O único grau de liberdade é descrito pelo ângulo ϕ do ponto P em torno de Oz, a velocidade v de rotação é perpendicular ao raio vetor O′P = ρ no plano O′x′y′. O momento angular em relação ao ponto O da figura é: l = m(z+ρ)×v = mz × v + mρ× z. Temos que z × v ⊥ z e que ρ × v ‖ z. Neste problema só nos interessa a componente do momento angular ao longo do eixo de rotação (lZ). Podemos, agora, aplicar a lei fundamental da dinâmica das rotações dLZ dt = d dt (Iω) = τ (ext) Z . Como I e ω não dependem da escolha do ponto O, o mesmo vale para τ (ext) Z , então temos que τ (ext) Z = Iα (1.6) onde α = ω̇ = ϕ̈ é a aceleração angular. A equação 1.6 é análoga à 2.a lei de Newton F = ma no movimento unidimensional. 1.2.3 Energia Energia cinética Um elemento de massa dm do corpo à distância ρ do eixo de rotação tem uma energia cinética de rotação 1 2 v2dm = 1 2 ρ2dmω2 de modo que a energia cinética de rotação total do corpo é: T = 1 2 ω2 ∫ ρ2dm = 1 2 Iω2 (1.7) Torema da energia cinética O trabalho realizado pelas forças aplicadas a um sistema de part́ıculas numa rotação infinitesimal ∆θ é ∆W = ∑ i Fi∆ri = ∑ i Fi(∆θ × ri) = ∑ i (ri × Fi)∆θ = τ∆θ onde τ é o torque resultante sobre o sistema e ∆θ = ∆ϕẑ de modo que o trabalho numa rotação finita de ϕ0 a ϕ1 é Wϕ0→ϕ1 = ∫ ϕ1 ϕ0 τZdϕ (1.8) CAPÍTULO 1. MECÂNICA 10 e temos que Wϕ0→ϕ1 = 1 2 Iω21 − 1 2 Iω20 = T1 − T0 (1.9) 1.2.4 Conservação do momento angular Para o caso particular de um sistema em rotação em torno de um eixo fixo aplica-se a lei de conservação do momento angular: τ (ext) Z = 0 ⇒ LZ = Iω = constante (1.10) , ou seja, se a resultate dos torques externos na direção do eixo se anula, o produto da velocidade angular pelo momento de inércia em relação ao eixo se conserva. Para um corpo ŕıgido, as distâncias ρ ao eixo permanecem constantes, de modo que I = constante e a 1.10 equivale a ω = constante, ou seja, conserva- ção da velocidade angular. Porém para um sistema não-ŕıgido, cujo momento de inércia em relação ao eixo pode variar durante a rotação, passando, de I0 para I1. Nesse caso, a velocidade angular também varia de ω0 para ω1 de tal forma que I0ω0 = I1ω1 (1.11) para a posição angular um sistema isolado pode alterar sua velocidade de rotação em torno de um eixo através puramente de forças internas, alterando o momento de inércia em relação ao eixo. 1.2.5 Cálculo de momentos de inércia Corpo Eixo de rotação Momento de inércia Anel circular delgado Em torno do centro I = MR2 Disco circular Em torno do centro I = 1 2 MR2 Barra delgada Em torno do centro I = 1 12 ML2 Barra delgada Em torno de uma extremidade I = 1 3 ML2 Esfera Em torno de um diâmetro I = 2 5 MR2 Cilindro Em torno de uma geratriz I = 3 2 MR2 Tabela 1.1: Momento de inércia para diferentes corpos. Teorema 1.1 (dos eixos paralelos - Steiner). O momento de inércia de um corpo qualquer em relação a um eixo é a soma do momento de inércia em relação a um eixo paralelo, passando pelo CM, com o produto da massa M CAPÍTULO 1. MECÂNICA 11 pelo quadrado da distância l entre os dois eixos I = ICM + Ml 2 (1.12) 1.2.6 Momento angular e velocidade angular As direções dos vetores momento angular e velocidade angular não precisam ser as mesmas e neste caso temos dl dt = τ = ω × l (1.13) Consideremos um corpo ŕıgido que tem um eixo de simetria, em rotação em torno do mesmo, neste caso são válidas as equações: 1.13 e L′ = ICMω. Definição 1.2.1 (Precessão). O movimento do vetor L descrevendo um cone ao redor do vetor de rotação ω é chamado de precessão e ele é descrito pela 1.13. 1.3 Giroscópio Definição 1.3.1 (Velocidade angular de precessão). Um torque τ ⊥ L não altera a magnitude do momento angular, altera, somente a sua direção. Isto significa que L gira, no intervalo infinitésimo de tempo ∆t, de um ângulo ∆ϕ, então ∆L = L∆ϕ = τ∆t e temos a velocidade angular de precessão dϕ dt = Ω = τ L = Mgl Iω (1.14) Quando o eixo gira do ângulo ∆ϕ, porém, o torque τ gira do mesmo ângulo, mantendo-se constante em magnitude. O torque τ será dado por τ = dL dt = Ω× L (1.15) No movimento de precessão, o CM do giroscópio descreve um MCU de velocidade angular Ω em torno da vertical que passa pela base de apoio. A força centŕıpeta correspondente como no exemplo do haltere é exercida pelo suporte, como força de reação provocada pelo desequiĺıbrio dinâmico do sistema. Por outro lado, a força de reação centŕıpeta está aplicada no ponto de apoio O, de modo que não contribui ao torque em relação a este ponto. CAPÍTULO 1. MECÂNICA 14 1.4.3 A força centŕıfuga Seja S ′ um referencial em rotação uniforme em relação à S com velocidade de rotação ω. Imaginemos S ′ uma plataforma girante. Consideremos um corpo de massa m preso ao centro da plataforma por um fio de comprimento r. Em S: a única força horizontal atuante é a tração T do fio que, de acordo com a segunda lei de newton, é a centŕıpeta T = −mω2rr̂, onde r̂ é o vetor unitário radial nesta direção; Em S ′: a massa está em equiĺıbrio, portanto, nela atua uma força de inércia Fin tal que T + Fin = 0 e comparando com a equação anterior: Fin = −ma = mω2rr̂ que é dirigida radialmente para fora. 1.4.4 Forças de inércia num referencial girante Consideremos o que acontece num referencial S ′ em rotação uniforme com velocidade angular ω com respeito a um referencial S, onde ω aponta para uma direção arbitrária. Tomemos um sistema de coordenadas com vetores unitários i, j, k nas direções dos eixos x, y, z em S e outro sistema i′, j′, k′ de mesma origem O em S ′. Devido à rotação, as direções desses vetores em S variam com o tempo, i′, j′, k′ giram com velocida angular ω, as velocidades das extremidades desses vetores são: di′ dt = ω × i′, dj ′ dt = ω × j′, dk ′ dt = ω × k′. Sejam x(t), y(t), z(t) as coordenadas cartesianas de uma part́ıcula em mo- vimento no referencial associado a S e x′(t), y′(t), z′(t) as suas coordenadas em S ′, logo para o vetor r(t) da part́ıcula temos: r(t) = xi + yj + zk = x′i′ + y′j′ + z′k′ = r′(t). Derivando em relação ao tempo, vem:[ dr dt ] S = [ dr dt ] S′ + ω × r, ou seja v = v′ + ω × r (1.22) para qualquer vetor r. CAPÍTULO 1. MECÂNICA 15 Para calcular a aceleração a derivamos em relação ao tempo ambos os membros da equação anterior:[ dv dt ] S = d dt [[ dr dt ] S′ + ω × r ] = [ dv dt ] S′ + ω × [ dr dt ] = [ dv dt ] S′ + ω × v. Para calcular o 1o termo, derivamos em relação ao tempo, em S ′, os dois membros da 1.22:[ dv dt ] S′ = [ dv′ dt ] S′ + ω × [ dr dt ] S′ = a′ + ω × v′. Finalmente, como r = r′: a = a′ + 2ω × v′ + ω(ω × r′). (1.23) Como a 2a lei de Newton F = ma, em S, transforma-se em ma′ = F +Fin em S ′, obtemos: Fin = −2mω × v′ −mω × (ω × r′) (1.24) como expressão geral das forças de inércia num referencial S ′, em rotação uniforme com velocidade angular ω com respeito a um referencial inercial. Onde o último termo é a expressão geral da força centŕıfuga: Fcentr. = −mω × (ω × r′) (1.25) e o primeiro termo dá a expressão geral da força de Coriolis: FCoriolis = −2mω × v′. (1.26) A força de Coriolis A força de Coriolis tem as seguintes caracteŕısticas: 1. É independente da posição da part́ıcula; 2. É perpendicular à direção da velocidade e tende a desviar o movimento para a direita em relação ao sentido de ω. Caṕıtulo 2 Movimento ondulatório 2.1 Oscilador harmônico Para pequenos desvios da posição de equiĺıbrio estável, o gráfico de F (x) é aproximadamente linear. Para −A ≤ x ≤ A temos: F (x) = −kx (2.1) e assim, temos que a energia potencial U(x) pode ser aproximada por U(x) = 1 2 kx2 (2.2) A equação de movimento correspondente é: mẍ = −kx, ou seja, ẍ + ω2x = 0 (2.3) onde ω = √ k m (2.4) e ẍ = d 2x dt2 . 2.1.1 Oscilações harmônicas Forma geral das oscilações livres do oscilador harmônico: x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) onde a e B são constantes ou equivalentemente x(t) = A cos(ωt + ϕ) (2.5) onde as constantes passam a ser A e ϕ. Relacionando as constantes temos: a = A cos(ϕ) e b = −A sin(ϕ). 16 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO ONDULATÓRIO 19 onde w20 = k/m e γ = ρ/m > 0. E assim temos a expressão horária da oscilação: x(t) = Ae− γ 2 t cos(ωt + ϕ) (2.14) onde ω = √ ω20 − γ2 4 (2.15) e A e ϕ são constantes arbitrárias. E também podemos escrever a equação horária anterior na forma x(t) = e− γ 2 [a cos(ωt) + b sin(ωt)]. E consideramos: ϕ = 0 (ω < ω0) (2.16) ϕ = −π (ω > ω0) (2.17) ϕ = −π 2 (ω = ω0). (2.18) 2.2.1 Amortecimento subcŕıtico (γ2 < ω0) A solução é dada pela 2.14. O gráfico está representado na fig. 4.1 - pág. 73, para ϕ = 0. Embora as oscilações não sejam mais periódicas, chamaremos de “peŕıodo” o intervalo T = 2π/ω. Energia A energia mecânica do oscilador no instante t é dada por E(t) = 1 2 mẋ2(t) + 1 2 kx2(t) 2.2.2 Amortecimento supercŕıtico (γ2 > ω0) x(t) = e− 1 2 t(aeβt + be−βt) (2.19) onde β = √ γ2 4 − ω20, a = x0 = x(0), b = 1 ω ( v0 + γ 2 x0 ) . (2.20) CAPÍTULO 2. MOVIMENTO ONDULATÓRIO 20 2.2.3 Amortecimento cŕıtico (γ2 = ω0) x(t) = e− γ 2 t(a + bt) (2.21) 2.2.4 Oscilações forçadas. Ressonância Seja F (t) = F0 cos(ωt) a força externa, de freqüência angular ω. A equação do movimento é mẍ + kx = F (t) = F0 cos(ωt) dividindo por m ambos os lados: ẍ + ω20x = F0 m cos(ωt). (2.22) Tomando a parte real de z(t) = F0 m(ω20 − ω2) eiωt temos x(t) = A cos(ωt + ϕ) (2.23) onde A = F0 m|ω20 − ω2| (2.24) Interpretação f́ısica Limite de baixas freqüências, ω << ω0: neste caso a aceleração associ- ada à 2.5, ẍ = −ω2x, é muito menor àquela associada à força res- tauradora, que corresponde ao termo ω20x na 2.22 de modo que temos aproximadamente x ≈ F0 mω20 cos(ωt); ω << ω0, (2.25) ou seja, o deslocamento é no mesmo sentido da força externa, que equilibra a força restauradora na 2.22 (−kx + F (t) ≈ 0). Limite de altas freqüências, ω >> ω0: neste caso, é a aceleração −ω20x associada à força restauradora que é despreźıvel de modo que temos aproximadamente CAPÍTULO 2. MOVIMENTO ONDULATÓRIO 21 x ≈ − F0 mω2 cos(ωt); ω >> ω0, (2.26) ou seja, o deslocamente está em oposição de fase com a força externa. Isto se explica por ser a aceleração fornecida quase totalmente pela força externa (kx é despreźıvel em confronto com o termo de inércia mẍ na 2.22) e a aceleração está em oposição de fase com o deslocamento no MHS. Comparando as equações anteriores, vemos que |x| é muito menor para ω >> ω0 que para ω << ω0, e x → 0 para ω →∞. Ressonância, ω → ω0: à medida que a freqüência ω da força externa se aproxima da freqüência ω0 das oscilações livres, a amplitude A da res- posta vai crescendo, e A →∞ para ω → ω0. Efeito das condições iniciais No limite da ressonância exata temos x(t) = F0 2mω0 t sin(ω0t); ω = ω0 (2.27) o efeito da ressonância é produzir um crescimento linear com o tempo da amplitude de oscilação. 2.2.5 Oscilações forçadas amortecidas Introduzindo uma força dissipativa proporcional à velocidade a equação 2.22 fica mẍ + ρẋ + kx = F (t) = F0 cos(ωt) dividindo por m temos: ẍ + γẋ + ω20x = F0 m cos(ωt) (2.28) γ = ρ m (2.29) ω20 = k m . (2.30) A solução estacionária é: CAPÍTULO 2. MOVIMENTO ONDULATÓRIO 24 v = λν = ω k (2.41) onde ν é a freqüência. De maneira análoga à freqüência podemos definir o número de onda: k = 2π λ (2.42) medido em rad/m. O argumento do cosseno na 2.40 ϕ(x, t) = kx− ωt + δ (2.43) chama-se fase da onda, e δ é a constante de fase. Medindo a fase em rad e λ em m. Convenção sobre ω ω > 0: a propagação da onda ocorre no sentido negativo do eixo x; ω < 0: a propagação da onda ocorre no sentido positivo do eixo x. Equação de ondas unidimensionais Para associar uma equação de movimento com a propagação da onda, vamos calcular a aceleração num dado ponto x. A velocidade e a aceleração se obtêm fixando x e derivando em relação ao tempo, o que corresponde a tomar derivadas parciais. No caso da corda, por exemplo, a velocidade com que o ponto x se desloca vesticalmente na direção y no instante t é velocidade = ∂ ∂t y(x, t) e a aceleração é aceleração = ∂2 ∂t2 y(x, t) Pela equação 2.39 y depende de t através da variável x′ = x−vt, de modo que as derivadas se calculam pela regra da cadeia e assim veremos que y(x, t) satisfaz a equação 1 v2 · ∂ 2y ∂t2 − ∂ 2y ∂x2 = 0 (2.44) que se chama equação de ondas unidimensional e é uma das equações funda- mentais da f́ısica. CAPÍTULO 2. MOVIMENTO ONDULATÓRIO 25 2.3.2 Equação das cordas vibrantes Equação do movimento Vamos considerar virações transversais de uma corda distendida. Tomaremos a posição de equiĺıbrio horizontal como direção Ox a porção à esquerda exerce sobre a porção direita uma força −T dirigida para a esquerda, e equilibrada pela força T com que a porção da direita atua sobre a da esquerda. Isto define a tensão T de equiĺıbrio, constante ao longo da corda, suposta uniforme. Seja µ a densidade linear de massa da corda: um elemento de compri- mento infinitésimo ∆x da corda possui, então, a massa ∆m = µ∆x de modo que obtemos: Força vertical sobre ∆x = T ∂2y ∂x2 (x, t)∆x. (2.45) De maneira análoga, obtemos a força que age sobre um ponto x da corda: F = ±T ∂y ∂x (x, t) (2.46) onde o sinal varia se T for para cima ou para baixo. Pela 2a lei de Newton a equação de movimento da corda é µ ∂2y ∂t2 = T ∂2y ∂x2 o que equivale à equação de ondas unidimensional, com v = √ T µ (2.47) 2.3.3 Intensidade de uma onda Vamos calcular a energia transmitida pela onda, por unidade de tempo, atra- vés de um ponto x qualquer da corda. Num instante t a porção da corda à esquerda de x atua sobre um elemento da corda no ponto x com uma força tranversal de forma que Fy = −T ∂y ∂x (x, t). A potência instantânea, que corresponde à energia transmitida através de x por unidade de tempo, é P (x, t) = −T ∂y ∂x ∂y ∂t (2.48) CAPÍTULO 2. MOVIMENTO ONDULATÓRIO 26 e para uma onda harmônica temos: P (x, t) = ωkTA2 sin2(kx− ωt + δ). (2.49) Em geral não interessa o valor instantâneo e sim a média sobre um peŕıodo que chamaremos de intensidade de onda I: I = P = 1 2 µvω2A2 = 1 2 ωkTA2 (2.50) 2.3.4 Interferência de ondas Consideremos ondas de mesma freqüência. Ondas no mesmo sentido Sejam { y1(x, t) = A1 cos(kx− ωt + δ1) y2(x, t) = A2 cos(kx− ωt + δ2) ondas que se propagam para a direita. Temos que y(x, t) = A cos(kx− ωt + δ) (2.51) A = √ A21 + A 2 2 + 2A1A2 cos δ12 (2.52) δ12 = δ2 − δ1 (2.53) δ = δ12 2 . (2.54) Ondas em sentidos opostos Sejam { y1(x, t) = A1 cos(kx− ωt + δ1) y2(x, t) = A2 cos(kx + ωt + δ2) ondas que se propagam em sentidos opostos. Temos que y(x, t) = 2A cos(kx) cos(ωt). (2.55) CAPÍTULO 3. RELATIVIDADE 29 A componente paralela se obtém projetando na direção de V . Seja V̂ o versor na direção de V : V̂ = V ||V || , logo: x‖ = (x · V̂ ) x⊥ = x− x‖. E assim para as tranformações de lorentz: x′‖ = γ(x‖ − V t) (3.12) x′⊥ = x⊥ (3.13) t′ = γ ( t− V · x c2 ) (3.14) 3.3 Efeitos cinemáticos das Transformações de Lorentz 3.3.1 A contração de Lorentz Definição 3.3.1 (Valor próprio). Chama-se valor próprio de uma grandeza f́ısica o valor dessa grandeza medido num referencial onde o objeto ao qual está associada encontra-se em repouso. Consideremos então uma barra em repouso ao longo do eixo O′x′ em S ′, com as extremidades nos pontos x′1 e x ′ 2. O comprimento próprio da barra é então l0 = x ′ 2 − x′1. Se x1(t) e x2(t) são os pontos de S que coindidem com as extremidades da barra no mesmo instante t em S, ou seja, simultaneamente em relação à S, o comprimento l em S é definido como l = x2(t)− x1(t) CAPÍTULO 3. RELATIVIDADE 30 como x1(t) e x2(t) são dadas pelas T.L., temos: l0 = x ′ 2 − x′1 = γ(x1 − V t)− γ(x2 − V t) = γ(x2 − x1) = l√ 1− β2 , logo l = l0 γ . (3.15) A contração é um efeito rećıproco: uma barra em repouso em S também aparece contráıda quando seu comprimento é medido em S ′, pois, de acordo com o prinćıpio da relatividade (V → −V ). 3.3.2 Dilatação dos intervalos de tempo Consideremos um relógio em repouso em S ′, na origem O′ das coordenadas. O tempos marcada por esse relógio é, portanto, o tempo próprio, e vamos representá-lo por τ . A coordenada tempo t em S obtém-se pelas T.L. inversa fazendo x′ = 0: t = γτ de forma que a relação entre os intervalos de tempo ∆τ em S ′ (tempo próprio do relógio em repouso) e os intervalos de tempo correspondentes em S, onde o relógio está em movimento é: ∆t = ∆τγ. (3.16) O efeito é rećıproco: um relógio em repouso em S marca intervalos de tempo maiores em S ′. O efeito é contrário. O efeito é contrário ao dos comprimentos, porém: o movimento contrai os comprimentos e dilata os tempos. Logo, conclúımos que o movimento faz com que γ seja sempre maior que 1. 3.4 A lei relativ́ıstica de composição de velo- cidades Consideremos uma part́ıcula em movimento arbitrário em relação a S ′, com x′ = x′(t′), y′ = y′(t′), z′ = z′(t′). CAPÍTULO 3. RELATIVIDADE 31 derivando com relação à t′ obtemos as velocidades instantâneas em S ′. Em S a part́ıcula tem componentes x = x(t), y = y(t), z = z(t) relacionadas com S pelas T.L. (tomamos x ‖ V ) e derivando com relação à t obtemos a velocidade instantânea em S. E assim obtemos: v′x = vx − V( 1− vxV c2 ) (3.17) v′y = √ 1− β2 vy( 1− vxV c2 ) (3.18) v′z = √ 1− β2 vz( 1− vxV c2 ) . (3.19) E através das T.L. inversa (V → −V ), temos: vx = v′x + V( 1 + v′xV c2 ) (3.20) vy = √ 1− β2 v′y( 1 + v′xV c2 ) (3.21) vz = √ 1− β2 v′z( 1 + v′xV c2 ) . (3.22) 3.4.1 Velocidade relativa Seja P uma part́ıcula que se move em relação a S com velocidade v e O′ outra part́ıcula que se move, em S, com velocidade V . Como definir a velocidade relativa? Definição 3.4.1 (Velocidade relativa). A definição da velocidade relativa de P em relação à O′ é: a velocidade v′ de P em relação a um referencial S ′ onde O′ está em repouso.