Baixe Apostila de Resistência dos Materiais (52 Páginas) e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Metalúrgica, somente na Docsity! RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1 INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 1.1 INTRODUÇÃO Um conceito da grandeza tensão pode ser encarado como uma extensão do conceito da grandeza pressão. Imaginemos o sistema de êmbolos apresentado abaixo: Utilizando-se os conceitos de física, pode-se dizer que a pressão P no interior do duto é constante e tem valor: onde F1 e F2 são as forças aplicadas nas extremidades e A1 e A2 são as áreas da seção transversal do duto onde são aplicadas F1 e F2, respectivamente. Os macacos hidráulicos são aplicações diretas da equação acima, pois com uma pequena força aplicada na extremidade 2 do sistema de êmbolos afim de se produzir uma força de magnitude considerável na extremidade 1, dependendo da razão entre as áreas A1 e A2. Algumas conclusões já podem ser obtidas analisando a grandeza pressão: • Sua unidade de medida será: unidade de força dividida por unidade de área. No Sistema Internacional de Unidades (SI): Pa (Pascal) = N/m2. Como 1 Pa representa uma pressão relativamente pequena 1 normalmente se utiliza prefixos do tipo kilo (103) ou mega (106). Exemplos: 10 MPa, 45 kPa, etc. • O módulo da pressão é o mesmo no interior do duto, mas a direção e sentido não.Pode-se dizer então que a pressão é uma grandeza vetorial. • A direção da força F2 gerada no sistema de êmbolo é sempre a mesma da pressão atuante na seção 2, e esta direção é sempre normal a superfície do êmbolo. Porque surgiu pressão no interior do duto? A resposta é simples: Sempre que se tenta movimentar uma massa de fluido e existem restrições ao deslocamento, surgem as pressões. Assim sendo, no caso do êmbolo da figura 1, se não existir resistência na seção 2, o fluido entraria em movimento acelerado e escoaria sem o surgimento de pressões internas. Em outras palavras, é preciso que haja confinamento (pressão positiva) ou aumento do volume dos dutos (pressão negativa). Um raciocínio análogo pode ser aplicado aos sólidos. Supondo que se exerça uma força F sobre um sólido qualquer conforme figura abaixo. Da mesma maneira que nos fluidos, têm-se duas possibilidades: ou o sólido entra em movimento ou, no caso onde existam restrições ao deslocamento (como no exemplo da figura 2), surgem o que nos PAGE 3 sólidos se denominam tensões. A grande diferença entre sólidos e fluidos pode ser observada na figura 1.3: Em ambos os casos na figura surgirão pressões (para o fluido) e tensões (para o sólido) quando se aplica a carga F1 (direção axial do tubo). Entretanto, quando se aplica a carga F2 (transversal ao tubo) pode-se verificar que o fluido não oferece a menor resistência ao corte ou cisalhamento, porém no sólido isso não acontece. Esta diferença motivou os pesquisadores a estudarem os sólidos e os fluidos em duas grandes áreas do conhecimento: Mecânica dos Sólidos e Mecânica dos Fluidos. Então, diferentemente dos líquidos, as tensões em um sólido podem ocorrer de duas formas: • Tensões normais: Estas tensões são resultados de um carregamento que provoca a aproximação ou o afastamento de moléculas que constituem o sólido. E o caso do carregamento F1 da figura 1.3. • Tensões cisalhantes ou tangenciais: Estas tensões são resultado de um carregamento que provoca um deslizamento relativo de moléculas que constituem o sólido. É o caso do carregamento F2 da figura 1.3. 1.2 EXERCÍCIOS 1.3 PRESSUPOSTOS E HIPÓTESES BÁSICAS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS A Resistência dos Materiais é uma ciência desenvolvida a partir de ensaios experimentais e de análises teóricas. Os ensaios ou testes experimentais, em laboratórios, visam determinar as características físicas dos materiais, tais como as propriedades de resistência e rigidez, usando corpos de prova de dimensões adequadas. As análises teóricas determinam o comportamento mecânico das peças em modelos matemáticos idealizados, que devem ter razoável correlação com a realidade. Algumas hipóteses e pressupostos são admitidos nestas deduções e são eles: 1.3.1 Continuidade Física A matéria apresenta uma estrutura continua, ou seja, são desconsiderados todos os vazios e porosidades. 1.3.2 Homogeneidade O material apresenta as mesmas características mecânicas, elasticidade e de resistência em todos os pontos. 1.3.3 Isotropia PAGE 3 5 ESFORÇOS INTERNOS 5.1 MOMENTOS 5.1.1 Momento Fletor ( Ma = F x d) Fig. 5.1.1 5.1.2 Momento Torsor Fig. 5.1.2 5.2 CISALHAMENTO (FORÇAS CONSTANTES) Fig. 5.2 6 TIPOS DE ESTRUTURAS 6.1 ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS N° de Eq. ≥ N° de incógnitas ∑ Fu = 0 ∑ Fv = 0 ∑ M = 0 6.2 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS N° de Eq. ≥ N° de incógnitas 7 TIPOS DE APOIO Entendemos como apoio qualquer estrutura que impeça o deslocamento. 7.1 PRIMEIRO GÊNERO ESTÁTICO PAGE 3 Só impede o deslocamento vertical Símbolo Fig. 7.1 7.2 SEGUNDO GÊNERO ESTÁTICO Impede o deslocamento vertical e horizontal, mas permite a rotação. Fig. 7.2 7.3 TERCEIRO GÊNERO ESTÁTICO Fixa totalmente a peça, impedindo o deslocamento horizontal, vertical e a rotação. Fig. 7.3 8 CÁLCULO DAS REAÇÕES 8.1 CONVENÇÕES Fig. 8.1 8.2 EXEMPLOS Exemplo 1 Fig. 8.2.1 PAGE 3 a) ∑ Fv = 0 RA + RB – 2 – 4 – 2 = 0 RA + RB = 8t 4 + RB = 8 RB = 4t b) ∑ MB = 0 RA x 6 – 2 x 5 – 4 x 3 – 2 x 1 = 0 6 RA - 10 – 12 – 2 = 0 RA = 24 6 RA = 4t Exemplo 2 Fig. 8.2.2 a) ∑ FV = 0 RA + RB – 2 – 4 – 4 = 0 RA + RB = 10 4,8 + RB = 10 RB = 5,20t b) ∑ MB = 0 RA x 5 – 2 x 4 – 4 x 3 – 4 x 1 = 0 5RA = 8 + 12 + 4 5RA = 24 RA = 4,80t Exemplo 3 Fig. 8.2.3 Sen 30° = 0,50 Cos 30° = 0,87 PAGE 3 Exemplo 8 Fig. 8.2.8 a) ∑ FV = 0 RA + RB – 4 – 2 – 4 – 2 - 4 = 0 RA + RB = 16t RB = 8t b) ∑ MB = 0 RA x 6 - 4 x 5 - 2 x 4 – 4 x 3 - 2 x 2 – 4 x 1= 0 6RA - 20 - 8 - 12 – 4 - 4 = 0 6RA = 48 RA = 48 6 RA = 8t Exemplo 9 Fig. 8.2.9 a) ∑ FV = 0 RA + RB = 2 + 6 + 2 + 12 RA + RB = 22t RB = 8,83t b) ∑ MB = 0 -2 x 7 + RA x 6 - 6 x 5,50 - 2 x 4 – 12 x 2 = 0 6RA = 14 + 33 + 8 + 24 6RA = 79 RA = 79 6 RA = 13,17t PAGE 3 Exemplo 10 Fig. 8.2.10 a) ∑ FV = 0 RA + RB = 24t RB = 11,40t b) ∑ MB = 0 RA x 5 – 2 x 6 – 6 x 4,5 – 2 x 4 – 6 x 2 + 2 x 1 – 2 x 3 = 0 5RA - 12 – 24 – 8 – 12 + 2 - 6 RA = 12,60t Exemplo 11 Fig. 8.2.11 a) ∑ FV = 0 RA + RB = 8t RB = 5,33t b) ∑ MB = 0 RA x 3 + 4 x 3 – 4 x 1 – 4 x 2 – 4 x 1 = 0 3RA = 8 RA = 2,67t Exemplo 12 PAGE 3 Fig. 8.2.12 a) ∑ FV = 0 b) ∑ FHA = 0 RA + RB – 4 – 2 – 2 = 0 HA + 2 = 4 RA + RB = 8t HB = 2t RB = 7,50t c) ∑ MB = 0 RA x 3 + 2 x 3 + 2 x 0,5 – 4 x 1,5 - 2 x 1 – 2 x 1 = 0 3RA + 6 + 1 – 13,50 - 2 - 2 = 0 RA = 3,50t 9 DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR Definição: É igual ao somatório de todos os momentos fletores, de um mesmo lado da seção. Convenções: Fig. 9.1 RA + RB = 2P // RA = 2P = P Fig. 9.2 2 MFs = P x l y = a . x ( Carga concentrada ) RA = P e RB = P Fig. 9.3 MFs = q . l x l - q . l x l = 2 2 2 4 PAGE 3 Traçar os D.M.F das estruturas Fig. 9.12 a) ∑ FH = 0 HA + 2 - 4 – 2 = 0 HA = 4t b) ∑ FV = 0 RA + RB = 3,48 + 6 + 4 - 4 RA + RB = 17,48t c) ∑ MB = 0 RA x 5 + 4 x 2 - 4 x 1 – 3,48 x 5 - 6 x 3,5 – 4 x 2 - 2 x 1 = 0 5RA + 8 – 4 – 17,40 – 21 – 8 - 2 = 0 5RA = 44,50 RA = 8,88t RB = 8,60t d) ∑ MB = 0 MFA = MFB = 0 MF1 = 4 x 2 – 4 x 1 MF1 = 4tm MF2 = MF3 = 4 x 4 – 4 x 3 – 2 x 2 = 16 – 12 – 4 = 0 MF4 = 8,88 x 3 + 4 x 4 – 4 x 3 – 2 x 2 – 3,48 x 3 MF4 = 7,20tm MF5 = MF6 = - 2 x 1 = -2tm Fig. 9.13 Fig. 9.14 10 DIAGRAMA DE ESFORÇO CONSTANTE (D. E. C.) PAGE 3 Força constante de uma secção Definição: É igual ao somatório de todas as forças perpendiculares à estrutura de um mesmo lado da secção. _ Convenções: Fig. 9.15 _ Diagrama: + - Fig. 9.16 a) ∑ FV = 0 RA + RB = 8t E = 0 FA D = 4t E = 4t FC1 D = 4 – 2 = 2t E = 4 – 2 = 2t FC2 D = 4 – 2 - 4 = -2t E = -2t FC3 D = – 2 - 2 = -4t E = -4t FCB D = – 4 + 4 = 0 MFA = MFB = 0 MF1 = MF3 = 4 x 1 = 4tm MF2 = 4 x 3 – 2 x 2 = 8tm Fig. 9.17 Fig. 9.18 PAGE 3 Fig. 9.19 Fig. 9.20 MFA = MFB = 0 MF1 = MF3 = 12tm MF2 = 14 tm E = 0 FCA D = 8t E = 8 – 4 = 4t FC1 D = 4 – 2 = 2t E = 2t FC2 D = 4 - 2 = 2t E = -2t FC3 D = – 2 - 2 = -4t E = - 4 – 4 = -8t FCB D = – 8 + 8 = 0 11 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1 1) Fig. 10.1 a) ∑ FV = 0 b) ∑ MB = 0 RA + RB = 2 + 4 + 2 RA x 6 – 2 x 5 – 4 x 3 – 2 x 1 = 0 PAGE 3 12 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 2 * Traçam os D.M.F e D.E.C 1) Fig. 11.1 a) ∑ FV = 0 RA + RB = 6 + 4 + 2 + 6 + 2 RA + RB = 20t RB = 11,67t b) ∑ MB = 0 RA x 6 – 6 x 5,5 – 4 x 3 – 2 x 2 - 6 x 0,5 + 2 x 1 = 0 6RA - 33 – 12 – 4 – 3 + 2 = 0 6RA = 50 RA = 50 = 8,33t 6 MF1 = MF5 = 0 MFA = - 2 x 0,5 = - 1tm MF2 = - 6 x 1,5 + 8,33 x 2 = 7,66tm MF3 = 8,33 x 3 – 6 x 2,5 = 9,99tm MF4 = - 2 x 3 + 1,67 x 2 – 6 x 1,5 = 8,34tm MFB = - 2 x 1 – 2 x 0,5 = - 3tm E = 0 FC1 D = 0 E = 0 – 2 = -2t FCA D = – 2 + 8,33 = 6,33t E = 6,33 – 4 = 2,33t FC2 D = 2,33t PAGE 3 E = 2,33t FC3 D = 2,33 - 4 = -1,67t E = - 1,67t FC4 D = – 1,67 - 2 = -3,67t E = 4 – 2 = 2t FC5 D = 2 - 2 = 0t Diagrama do momento fletor: Fig. 11.2 a) ∑ FV = 0 RA + RB = 2 + 6 + 2 + 2 + 6 + 2 RA + RB = 20t RB = 10,33t b) ∑ MB = 0 - 2 x 7 + RA x 6 – 6 x 5,5 – 2 x 4 – 2 x 1 - 6 x 0,5 + 2 x 1 = 0 - 14 + 6RA - 33 – 8 – 2 – 3 + 2 = 0 RA = 4,67t MF1 = MF5 = 0 MFB = MFA = - 2 x 0,5 – 2 x 1= - 3tm MF2 = - 6 x 1,5 + RA x 2 – 2 x 3 = - 9 + 9,67 x 2 – 6 – 4,34 tm MF3 = 9,67 x 4 – 6 x 3,5 – 2 x 2 – 2 x 5 = 38,68 – 21 – 4 – 2 x 5= 3,68 tm MF4 = - 2 x 6 + 9,67 x 5 – 6 x 4,5 – 2 x 3 – 2 x 0,5 = - 12 + 48,35 – 27 – 6 – 1 = 2,37 tm E = 0 FC1 D = 0 – 2t E = - 2 – 2 = -4t FCA D = – 4 + 9,67 = 5,67t PAGE 3 E = 5,67 – 4 = 1,67t FC2 D = 1,67 – 2 = - 0,33t E = - 0,33t FC3 D = - 0,33t E = 0,33 – 2 = - 2,33t FC4 D = – 2,33 - 2 = -4,33t E = - 4,33 – 2 = -6,33t FCB D = - 6,33 + 10,33 = 4t E = 4 – 2 = 2t FC5 D = 2 – 2 = 0 Diagrama do momento fletor: Fig. 11.3 a) ∑ FV = 0 RA + RB + 2 = 2 + 6 + 9 + 2 + 6 + 2 RA + RB = 25t RB = 13,07t b) ∑ MB = 0 - 2 x 8 + RA x 7 – 6 x 6,5 + 2 x 5 – 9 x 3,5 - 2 x 3 – 6 x 0,5 + 2 x 1 = 0 - 16 + 7RA – 39 + 10 – 31,5 – 6 – 3 + 2 = 0 RA = 11,93t c) MF1 = MF5 = 0 MFB = MFA = - 2 x 0,5 – 2 x 1= - 3tm PAGE 3 FCB D = - 10,36 + 14,36 = 4t E = 4 – 2 = 2t FC5 D = 2 – 2 = 0 D.E.C Fig. 11.6 a) ∑ FV = 0 RA + RB – 3,48 – 6 – 4 – 4 = 0 RA + RB = 17,48t b) ∑ FH = 0 HA + 2 – 2 – 4 = 0 HA = 4t c) ∑ MB = 0 RA x 5 + 4 x 1 – 3,48 x 5 – 6 x 3,5 - 4 x 2 - 2 x 1 = 0 5RA + 4 – 17,4 – 21 – 8 – 2 = 0 RA = 44,4 // RA = 8,88t 5 RB = 8,60t d) MFA = MB5 = 0 MF1 = 4 x 2 – 4 x 1 = 8 - 4 = 4tm MF2 = 4 x 4 – 4 x 3 – 2 x 2 = 16 – 12 – 4 = 0t MF2 = MF3 = 0 MF4 = 8,88 x 3 + 4 x 4 – 4 x 3 – 2 x 2 – 3,48 x 3 – 6 x 1,5 = 26,64 + 16 – 12 – 4 – 10,44 – 9 = 7,24 tm MF5 = - 2 x 1 = – 2 tm = MF6 PAGE 3 13 RESISTÊNCIA Fig. 12.1 a) RA + RB = 50 + 1000 + 100 RA + RB = 1150 kg b) ∑ MB = 0 - 50 x 5 + RA x 4 – 1000 x 2,5 - 100 x 1 = 0 -250 + 4RA – 2500 – 100 = 0 4RA = 2500 + 100 + 250 RA = 2850 // RA = 712,50 kg 4 RB = 437,50 kg c) MF1 = MFB = 0 MFA = - 50 x 1 – 200 x 0,5 = - 150 kg.m MF2 = 437,50 x 1 – 200 x 0,5 = 337,50 kg.m E = 0 FC1 D = - 50t E = - 50 – 200 = -250 kg FCA D = – 250 + 712,5 = 462,5 kg E = 462,5 - 600 = - 137,5 kg FC2 D = - 137,50 - 100 = - 237,5 kg E = - 237,5 – 200 = - 437,5 kg FCB D = - 437,5 + 437,5 = 0 PAGE 3 Fig. 12.2 Fig.12.3 FC5 = 0 - 50 + 712,5 – 200x = 0 x = 662,5 x = 3,31 m 200 MMÁX = MF5 = -50 x 3,31 + 712,5 x 2,31 – 665,5 = 387,25 kg.m * Centro de Gravidade de uma Figura Plana Fig. 12.4 * Centro de Gravidade de uma figura plana qualquer Então: x = ∑ si . xi y = ∑ si . yi sT sT Fig. 12.5 Exercícios: Calcular os C.G da figuras dadas: PAGE 3 15 EXERCÍCIOS GERAIS 1) Calcular a altura da secção para suportar as tensões máximas e iguais de tração e compressão com valor de 4,83 kg/cm2. Fig. 14 2) Calcular o momento fletor máximo da estação abaixo. Fig. 15 3) Traçar os D.M.F e D.E.C da estação abaixo. Fig. 16 4) Calcular os M.I em relação aos eixos: xCG e yCG da figura abaixo: Fig. 17 PAGE 3 ANOTAÇÕES GERAIS _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ PAGE 3 _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ BIBLIOGRAFIA Resistência dos Materiais – Jayme Ferreira da Silva Jr. Resistência dos Materiais – Timoshenko – volume 1 e 2 Resistência dos Materiais – Alerson Moreira da Rocha Notas de aula PAGE 3