Baixe A Teoria dos Limites e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! A Teoria dos Limites, tópico introdutório e fundamental da Matemática Superior, será vista aqui, de uma forma simplificada, sem aprofundamentos, até porque, o nosso objetivo nesta página, é abordar os tópicos ao nível do segundo grau, voltado essencialmente para os exames vestibulares. Portanto, o que veremos a seguir, será uma introdução à Teoria dos Limites, dando ênfase principalmente ao cálculo de limites de funções, com base nas propriedades pertinentes. O estudo teórico e avançado, vocês verão na Universidade, no devido tempo. Outro aspecto importante a ser comentado, é que este capítulo de LIMITES abordará o estritamente necessário para o estudo do próximo tópico: DERIVADAS. O matemático francês - Augustin Louis CAUCHY - 1789/1857 , foi, entre outros, um grande estudioso da TEORIA DOS LIMITES. Antes dele, Isaac NEWTON - inglês - 1642 /1727 e Gottfried Wilhelm LEIBNIZ - alemão - 1646 /1716 , já haviam desenvolvido o Cálculo Infinitesimal. DEFINIÇÃO Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor x0, se para cada número positivo ε , por menor que seja, existe em correspondência um número positivo δ , tal que para | x - x0 | < δ , se tenha |f(x) - L | < ε , para todo x ≠ x0 . Indicamos que L é o limite de uma função f( x ) quando x tende a x0 , através da simbologia abaixo: lim f(x) = L x→ x0 Para revisar MÓDULO e FUNÇÕES, clique AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu BROWSER. Exercício: Prove, usando a definição de limite vista acima, que: lim (x + 5) = 8 x→ 3 Temos no caso: f(x) = x + 5 x0 = 3 L = 8. Com efeito, deveremos provar que dado um ε > 0 arbitrário, deveremos encontrar um δ > 0, tal que, para |x - 3| < δ , se tenha |(x + 5) - 8| < ε . Ora, |(x + 5) - 8| < ε é equivalente a | x - 3 | < ε . Portanto, a desigualdade |x - 3| < δ , é verificada, e neste caso δ = ε . Concluímos então que 8 é o limite da função para x tendendo a 3 ( x → 3) . O cálculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, é extremamente laborioso e de relativa complexidade. Assim é que, apresentaremos as propriedades básicas, sem demonstrá-las e, na seqüência, as utilizaremos para o cálculo de limites de funções. Antes, porém, valem as seguintes observações preliminares: a) é conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando x → x0 , não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x0 , pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queiramos do ponto x0 , porém não coincidente com x0, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto x0 . Para exemplificar, consideremos o cálculo do limite da função abaixo, para x → 3. Observe que para x = 3, a função não é definida. Entretanto, lembrando que x2 - 9 = (x + 3) (x - 3), substituindo e simplificando, a função fica igual a f(x) = x + 3, cujo limite para x → 3 é igual a 6, obtido pela substituição direta de x por 3. b) o limite de uma função y = f(x), quando x → x0, pode inclusive, não existir, mesmo a função estando definida neste ponto x0 , ou seja , existindo f(x0). c) ocorrerão casos nos quais a função f(x) não está definida no ponto x0, porém existirá o limite de f(x) quando x → x0 . d) nos casos em que a função f(x) estiver definida no ponto x0 , e existir o limite da função f(x) para x → x0 e este limite coincidir com o valor da função no ponto x0, diremos que a função f(x) é CONTÍNUA no ponto x0 . e) já vimos a definição do limite de uma função f(x) quando x tende a x0 , ou x → x0 . Se x tende para x0 , para valores imediatamente inferiores a x0 , dizemos que temos um limite à esquerda da função. Se x tende para x0 , para valores imediatamente superiores a x0 , dizemos que temos um limite à direita da função. Pode-se demonstrar que se esses limites à direita e à esquerda forem iguais, então este será o limite da função quando x → x0 . Propriedades operatórias dos limite. P1 - o limite de um soma de funções, é igual à soma dos limites de cada função. lim ( u + v + w + ... ) = lim u + lim v + lim w + ... P2 - o limite de um produto é igual ao produto dos limites. lim (u . v) = lim u . lim v P3 - o limite de um quociente de funções, é igual ao quociente dos limites. lim (u / v) = lim u / lim v , se lim v ≠ 0. P4 - sendo k uma constante e f uma função, lim k . f = k . lim f Observações: No cálculo de limites, serão consideradas as igualdades simbólicas, a seguir, envolvendo os símbolos de mais infinito ( + ∞ ) e menos infinito ( - ∞ ), que representam quantidades de módulo infinitamente grande. É conveniente salientar que, o infinitamente grande, não é um número e, sim , uma tendência de uma variável, ou seja: a variável aumenta ou diminui, sem limite. a) lim (2 senx - cos2x + cotgx) .....x→ π /2 Resp: 3 b) lim (5 - 1/x + 3/x2) .....x→ ∞ Resp: 5 c) lim (4x3 - 2x2 + 1) / (3x3 - 5) .....x→ ∞ Sugestão: divida numerador e denominador por x3. Resp: 4/3 d) lim (senx / tgx) .....x→ 0 Resp: 1 e) lim (sen4x) / x .....x→ 0 Resp: 4 f) lim [(1 + 1/x)x + 3 ....x→ ∞ Resp: e g) lim [(1 + x)m - 1] / mx .....x→ 0 Resp: 1 Paulo Marques - Feira de Santana - BA , 30/12/1999. Calcular o limite seguinte: Solução: Observe que substituindo x por 4, obteremos a indeterminação 0/0. Temos que “levantar”esta indeterminação, usando certos critérios algébricos. Multipliquemos numerador e denominador pelos fatores racionalizantes do denominador e do numerador . Teremos então: Simplificando, obteremos: Observando que (2x-8)/(x-4) = 2(x-4)/(x-4) = 2, para x ≠ 4, vem: Comentários adicionais: 1 – Lembre que o fator racionalizante de (√a - √b) é (√a + √b). 2 – 0/0 é um símbolo de indeterminação; neste problema, obtemos o valor 2√2/3 para o limite da função dada; outros problemas levarão a outros valores, daí, a designação de indeterminação . O problema proposto a seguir, é um exemplo disto. Calcule o seguinte limite: Nota: observe que substituindo x por zero (conforme indicado no limite), obteremos a indeterminação 0/0. Resposta: 5/4 = 1,25. Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 25/08/2000. Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 Reveja o capítulo introdutório de LIMITES, clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu BROWSER. Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais. Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x0 para x0 + Δ x0 : Se você não entendeu porque o quociente acima é igual à tg α , revise TRIGONOMETRIA, clicando AQUI. Para RETORNAR, clique em VOLTAR no seu BROWSER. Define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0, como sendo o limite da razão incremental acima, quando Δ x0 tende a zero, e é representada por f ' (x0) , ou seja: Nota: a derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y ' ou dy/dx. Observe que quando Δ x0 → 0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura., definindo a reta r , que forma um ângulo β com o eixo horizontal (eixo das abcissas), e, neste caso, o ângulo SPQ = α .tende ao valor do ângulo β . Ora, quando Δ x0 → 0 , já vimos que o quociente Δ y0 / Δ x0 representa a derivada da função y = f(x) no ponto x0. Mas, o quociente Δ y0 / Δ x0 representa , como sabemos da Trigonometria, a tangente do ângulo SPQ = α , onde P é o vértice do ângulo. Quando Δ x0 → 0 , o ângulo SPQ = α , tende ao ângulo β . Assim, não é difícil concluir que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0 , é igual numericamente à tangente do ângulo β . Esta conclusão será muito utilizada no futuro. Podemos escrever então: f '(x0) = tgβ Guarde então a seguinte conclusão importante: A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x = x0. Estou falando há muito tempo em DERIVADAS, e ainda não calculei nenhuma! Vamos lá! Existem fórmulas para o cálculo das derivadas das funções - as quais serão mostradas no decorrer deste curso - mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma função simples, usando a definição. Isto servirá como um ótimo exercício introdutório, que auxiliará no entendimento pleno da definição acima. Calcule a derivada da função y = x2 , no ponto x = 10. Temos neste caso: y = f(x) = x2 f(x + Δ x) = (x + Δ x)2 = x2 + 2x.Δ x + (Δ x)2 f(x + Δ x) - f(x) = x2 + 2x.Δ x + (Δ x)2 - x2 = 2x.Δ x + (Δ x)2 Δ y = f(x + Δ x) - f(x) = x2 + 2x.Δ x + (Δ x)2 - x2 = 2x.Δ x + (Δ x)2 Portanto, Observe que colocamos na expressão acima, Δ x em evidencia e, simplificamos o resultado obtido. Portanto a derivada da função y = x2 é igual a y ' = 2x . Logo, a derivada da função y = x2, no ponto x = 10 , será igual a : y ' (10) = 2.10 = 20. Qual a interpretação geométrica do resultado acima? Ora, a derivada da função y = x2 , no ponto de abcissa x = 10 , sendo igual a 20, significa que a tangente trigonométrica da reta tangente à curva y = x2 , no ponto x = 10 , será também igual a 20 , conforme teoria vista acima. Ora, sendo β o ângulo formado por esta reta tangente com o eixo dos x , β será um ângulo tal que tg β = 20. Consultando uma tábua trigonométrica OU através de uma calculadora científica, concluímos que β ≈ 87º 8' 15" . Então, isto significa que a reta tangente à curva de equação y = x2 , no ponto de abcissa x = 10, forma com o eixo dos x um ângulo igual aproximadamente a β ≈ 87º 8' 15" . Também já sabemos da Geometria Analítica que o valor da tg β é igual ao coeficiente angular m da reta r , ou seja: m = tg β . Como já sabemos da Analítica que a equação da reta r, é y - y0 = m(x - x0) , vem imediatamente que a equação da reta tangente procurada será então dada por: y - y0 = f '(x0) (x - x0) Exemplo: Qual a equação da reta tangente à curva representativa da função y = f(x) = 4x3 + 3x2 + x + 5, no ponto de abcissa x = 0 ? Ora, f '(x) = 12x2 + 6x + 1. Portanto, a derivada no ponto de abcissa x = 0, será: f '(0) = 12.02 + 6.0 + 1 = 1 Logo, f ' (0) = 1. Portanto, para achar a equação da reta tangente no ponto de abcissa x = 0, basta agora, determinar o valor correspondente de y da função, para x = 0. Teremos: x = 0 ⇒ y = f(0) = 4.03 + 3.02 + 6.0 + 5 = 5 Então, o ponto de tangência é o ponto P(0, 5). Daí, vem finalmente que: y - 5 = 1 . (x - 0) ∴ y - 5 = x ∴ y = x + 5 . Resposta: a equação da reta tangente à curva y = 4x3 + 3x2 + 6x + 5 , no ponto P(0,5) , é y = x + 5. Agora resolva este: Determinar a equação da reta tangente à curva representativa da função y = x3 , no ponto P de abcissa x = 2. Resposta: y = 12x - 16. Aguardem a publicação da aula seguinte. ASSUNTOS RECOMENDADOS PARA REVISÃO: Funções Trigonometria PAULO MARQUES, Feira de Santana, 28 de Janeiro de 2000. Nota: a resolução desta questão requer noções de derivadas Uma lâmpada de um poste de iluminação pública está situada a uma altura de 6m. Se uma pessoa de 1,80m de altura, posicionada embaixo da lâmpada, caminhar afastando-se da lâmpada a uma velocidade de 5m/s, com qual velocidade se desloca a extremidade de sua sombra projetada na rua? SOLUÇÃO: Considere a figura a seguir: Supondo que a pessoa partiu do ponto O a uma velocidade de 5m/s, depois de t segundos, ela terá percorrido a distância d = 5.t e estará no ponto B. Como a luz se propaga em linha reta, a ponta da sombra da pessoa, estará no ponto S. Seja y esta distância. Pela semelhança dos triângulos BAS e OLS, poderemos escrever: Substituindo os valores, vem: Daí, fica: 6(y – 5t) = 1,80.y 6y – 30t = 1,80y 6y – 1,80y = 30t 4,20y = 30t y = (30/4,20)t Portanto, y = 7,14t Ora, a velocidade v do ponto S será a derivada dy/dt, ou seja: Como y = 7,14t, vem imediatamente que: Portanto, a velocidade do ponto extremo da sombra é igual a 7,14 m/s. Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 27.05.2001. NOTA: a resolução desta questão requer noções de derivadas Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de raio da base r = 5m e altura h = 10m. No tempo t = 0, o tanque começa a ser enchido com água, que entra no tanque com uma vazão de 25 m3/h. Com qual velocidade o nível da água sobe? Depois de quanto tempo o tanque estará cheio? SOLUÇÃO: Veja a figura abaixo: Já sabemos que o volume de um cilindro reto de raio da base R e altura h é dado pela fórmula V = π.R2.h Sendo x o nível da água no tanque, é óbvio que poderemos escrever: V = π.52.x = 25.π.x (1) A vazão de 25 m3/h é justamente a derivada dV/dt. Derivando a expressão (1) em relação a x, vem imediatamente: dV/dx = 25π Derivando a expressão (1) em relação a t, vem: Ora, a velocidade v com que o nível da água sobe é, exatamente dx/dt. Substituindo os valores conhecidos, vem finalmente: 25 = 25π .v, de onde tiramos v = 1/π m/h ou aproximadamente, v = 0,318 m/h. Portanto, o nível da água sobe à uma razão de 0,318 metros por hora. O tempo que levará para encher o tanque será então: T = 10m / 0,318 m/h = 31,4h = 31h + 0,4h = 31h + 0,4.60min T = 31 horas e 24 minutos. Paulo Marques – Feira de Santana – 27 de maio de 2001. A solução do problema a seguir, depende de noções de Cálculo Integral, tópico de Matemática Superior a ser visto na Universidade. Determine a área da rosácea de 8 pétalas. SOLUÇÃO: A equação polar da rosácea de 8 folhas é r = a.cos4θ. Observe que para θ = 0, cos4θ = a. Para θ = π/8, cos4θ = cos 4π/8 = cos π/2 = 0. Pela figura, vê-se facilmente que basta calcular a área da meia pétala limitada entre 0 e π/8 radianos e multiplicar o resultado por 16 para obter a área total, uma vez que as 16 semi-pétalas formam a rosácea de 8 pétalas. Já sabemos do Cálculo Integral, que a área de um curva r = f(θ) dada em coordenadas polares,delimitada entre θ = a e θ = b é dada pela fórmula abaixo: Assim, substituindo os valores conhecidos, fica: Teremos: Já sabemos da Trigonometria que: