Baixe Entenda o cálculo variacional e outras Notas de estudo em PDF para Cálculo Diferencial e Integral, somente na Docsity! UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 1 de 42 Entenda o Cálculo Variacional Prof. Henrique Mariano C. Amaral1 1 Professor Adjunto do Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual do Maranhão. UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 2 de 42 Índice ENTENDA O CÁLCULO VARIACIONAL............................................................................................1 ÍNDICE ......................................................................................................................................................2 1 - INTRODUÇÃO.......................................................................................................................................3 Exemplo .................................................................................................................................... 7 2 - MÉTODO VARIACIONAL EM PROBLEMAS COM FRONTEIRAS FIXAS .....................................................9 2.1 - Preliminares ...............................................................................................................................9 Exemplo ................................................................................................................................. 12 Exemplo ................................................................................................................................. 14 Exemplo: ................................................................................................................................ 15 2.2 - Problema Elementar do Cálculo Variacional ..........................................................................16 Exemplo ................................................................................................................................. 20 Exemplos ............................................................................................................................... 21 2.3 - Generalizações do Problema Elementar do Cálculo Variacional............................................23 Exemplo ................................................................................................................................. 26 Exemplos ............................................................................................................................... 29 2.4 - Funcionais que Dependem de Funções de Várias Variáveis Independentes............................31 3 - MÉTODOS DE APROXIMAÇÃO NOS PROBLEMAS VARIACIONAIS ........................................................36 3.1 - Considerações Gerais...............................................................................................................36 3.2 - Método de Rayleigh-Ritz...........................................................................................................36 Exemplos ............................................................................................................................... 38 Bibliografia.......................................................................................................................................42 UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 5 de 42 é necessário e suficiente que as funções f e g sejam apenas diferenciáveis por partes no intervalo considerado. Definição 8: Uma função ( )1 2 1, , , , , ,m m m nF x x x x x+ +… … é dita ser homogênea de grau n, nas variáveis 1, ,m m nx x+ +… se, para uma constante arbitrária h , tem-se: ( ) ( )1 2 1 1 2 1, , , , , , , , , , , ,nm m m n m m m nF x x x hx hx h F x x x x x+ + + +=… … … … (1.9) Qualquer função para a qual a expressão acima é válida satisfaz o teorema de Euler: )x,...,x,...,x,x(nF x Fx... x Fx nmm nm nm + + + =++ 21 1 1 ∂ ∂ ∂ ∂ (1.10) Definição 9: A condição necessária para um mínimo (ou máximo) de uma função ( )1 2, , , 0nF x x x =… em relação às variáveis { }1 2, , ,i nx x x x= … é que satisfaça às relações: ( )1 2, , , , 1,2, ,n kG x x x C k N= ∀ =… … (1.11) e 0, 1,2, , i F i n x ∂ = ∀ = ∂ … (1.12) onde kC são constantes e 1 n k k k F F Gλ+ = = +∑ . As constantes 1, , nλ λ… introduzidas como incógnitas e denominadas de multiplicadores de Lagrange, são calculadas juntamente com os valores de minimização (ou maximização) de , 1,2, ,ix i n∀ = … , por meio de um conjunto de equações formadas por (1.11) e (1.12). Definição 10: A integral de linha de uma função ( ), ,f x y z desde o ponto 1P ate o ponto 2P ao longo de uma curva C é definida por: UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 6 de 42 lim ( , , )nn CI S f x y z ds→∞= = ∫ (1.13) onde ( , , )n k k k kS F x y z S= ∆∑ sendo kS∆ o comprimento dos arcos da curva C entre os pontos ( )1 1 1, ,k k kx y z− = − e ( ), ,k k kx y z . A integral (1.13) pode também ser representada na forma: ∫ ∫ ∫ = = = Cz Cy Cx dzzyxfI dyzyxfI dxzzyxxfI ),,( ),,( ),,( (1.14) Introduz-se equações paramétricas ( ) ( ) ( ), ,x x t y y t z z t= = = , onde t cresce na direção do crescimento de s , pode-se calcular (3) pela integral definida 2 1 2 2 2[ ( ), ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) t t dx dy dzI f x t y t z t dt dt dt dt = + +∫ (1.15) com 1 2t t< . Um importante exemplo de integral de linha é 2 1 1 1( ) ( ) 2 2 t C t dy dxI xdy ydx x y dt dt dt = − = −∫ ∫ (1.16) feita no sentido anti-horário sobre uma curva fechada no plano xy . Neste caso o parâmetro t é escolhido de tal forma que no ponto ( ) ( ),x t y t⎡ ⎤⎣ ⎦ percorra a curva C no sentido anti-horário quando t cresce de 1t para 2t , A integral acima é igual a área contida em C . Definição 11: A mudança de variáveis ( ), ,x x u v w= , ( ), ,y y u v w= e ( ), ,z z u v w= no cálculo de integral tripla é feita por: UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 7 de 42 * ( , , )( , , ) ( , , ) ( , , ) x y zF x y z dxdydz f u v w dudvdw u v w ∂ ∂ Ω Ω =∫∫∫ ∫∫∫ (1.17) onde f é a função F expressa em termo de , ,u v w sendo *Ω é a região Ω descrita pelas variáveis , ,u v w e onde ( ) ( ), , , ,x y z u v w∂ ∂ é o Jacobiano. Definição 12: Se ( ),z z x y= é uma função continuamente diferenciável de x e y , a área de uma porção da superfície representada por esta função é dada por: 1 2 22 1 z zI dxdy x y ∂ ∂ ∂ ∂ Ω ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⎟⎜⎟⎜= + + ⎟⎟ ⎜⎜⎢ ⎥⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫ (1.18) onde a integração é realizada sobre um domínio Ω do plano xy sobre o qual é dada uma porção da superfície projetada. Teorema 1: (Teorema de Green no Plano). Seja Ω uma região fechada e limitada no plano xy cujo contorno ∂Ω consiste de finitas curvas bem suaves. Sejam ( ),f x y e ( ),g x y funções contínuas tendo derivadas parciais em relação a x e y contínuas em algum subdomínio contido em Ω . Então ( )∫∫∫ ΩΩ +=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∂∂ ∂ ∂ ∂ gdyfdxdxdy y f x g (1.19) a integral existe ao longo de todo o contorno ∂Ω de Ω , tal que Ω esteja à esquerda quando se avança na direção da integração, isto é, a integral de linha deve ser avaliada no sentido anti-horário. Exemplo Seja ( ),w x y uma função contínua com derivadas parciais de até segunda ordem contínuas em um domínio Ω do plano xy , do tipo indicado pelo teorema 1. Sejam, UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 10 de 42 ( ) ( ), , b a J f I f x dx= ∫ … (2.1) Definição 1: Denomina-se variação ou incremento fδ do argumento do funcional ( )J f , à diferença entre duas funções ( )1f x e ( )0f x , pertencentes a uma mesma classe de funções M , considerada para o funcional ( )J f : ( ) ( )1 0f f x f xδ = − (2.2) Para uma classe de funções de [ ],kC a b , isto é, k vezes diferenciáveis, obtém-se ( )( ) ( )k kf fδ δ= (2.3) Definição 2: Diz-se que as funções ( )1f x e ( )0f x definidas em um intervalo [ ],a b são próximas de ordem zero ou nulas se no intervalo de definição tem-se: ( ) ( )1 0 1f f x f xδ = − (2.4) De uma forma geral, diz-se que estas funções são próximas de ordem k, se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1k k f f x f x f f x f x f f x f x f f x f x δ δ δ δ = − ′ ′= − ′′ ′′= − = − e assim se ( )1f x e ( )0f x forem próxima de ordem k , elas são próximas de qualquer ordem j k≤ . Definição 3: Denomina-se distancia entre ( )0f x e ( )1f x ∈ [ ],C a b , com [ ],x a b∈ à métrica definida nesse espaço por: UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 11 de 42 ( ) ( ) ( )0 1 1 0, maxa x bf f f x f xρ < <= − (2.5) Generalizando, denomina-se distancia de n-ésima ordem entre ( )0f x e ( )1f x ∈ [ ],kC a b , com [ ],x a b∈ ao maior dos máximos das expressões do tipo: ( ) ( ) ( ) ( )1 0max , 1,2, , k k a x b f x f x k n < < − ∀ = … (2.6) ou ainda ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 00, max max k k n k n a x b f f f x f xρ < < < < ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ (2.7) Definição 4: Denomina-se ε-vizinhança de n-ésima ordem da função ( )0f x com [ ],x a b∈ ao conjunto { }if de funções cuja distancia de n-ésima ordem delas a ( )0f x sejam menores que ε: ( ) ( )( )0 1,n f x f xρ ε< (2.8) Se a ε-vizinhança é de ordem zero, diz que ela é uma ε-vizinhança forte de ( )0f x , enquanto a ε-vizinhanças de primeira ordem é chamada de ε-vizinhança fraca. Definição 5: Um funcional ( )J f definida em uma classe M de funções se chama contínua em ( )* *f f x= no sentido da proximidade de n-ésima ordem, se qualquer que seja o número 0ε> , existe um número 0δ> , tal que a desigualdade: ( ) ( )*J f J f ε− < (2.9) se cumpre para todas as funções admissíveis ( )f x , ou seja, para todas as funções de satisfazem as condições: UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 12 de 42 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * *n n f x f x f x f x δ δ − < − < (2.10) Em outras palavras, tem-se: ( ) ( )*J f J f ε− < sempre que: ( )*,n f fρ δ< (2.11) Exemplo Demonstrar que o funcional ∫ += 1 0 2 dx)yy()f(J ' considerado no espaço [ ]1 0,1C é contínuo na função ( )*f x x= no sentido da proximidade de primeira ordem. Solução: Seja 0ε> e demonstraremos que existe um número 0δ> tal que: ( ) ( )*J f J f ε− < (a) sempre que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * ' *' ' 1 1 f x f x f x x y x f x f x f x y δ δ − = − = − < ′− = − = − < (b) Assim ( ) 1 1 1 0 0 0 | ( ) ( ) 2 ' 2 2 ' 1J f J x y y x dx y x dx y dx− = + − − ≤ − + −∫ ∫ ∫ . Seja então 3δ ε= . Logo para todas as funções ( ) [ ]1 0,1f x C∈ tais que as condições (b) forem satisfeitas com 3δ ε= , a condição (a) também será satisfeita, isto é, UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 15 de 42 Solução: Qualquer que seja ( ) [ ]0,1y x ∈ tem-se 1 2 2 2 2 2 0 ( ) (0) ( ) ( 0 ) 0J J f J x y dx x dx y dx∆ = − = + − + = ≥∫ ∫ ∫ e além do mais, ( )0 0J y x∆ = ⇔ = . Definição 13: Diz-se que um funcional ( )J f alcança seu máximo relativo forte na função 0f se ( ) ( )0J f J f≤ em todas as funções admissíveis f pertencentes a uma ε- vizinhança de ordem nula da função 0f . Analogamente se define mínimo relativo forte de um funcional quando ( ) ( )0J f J f≥ . Definição 14: Diz-se que um funcional ( )J f alcança seu máximo relativo débil ou fraco na função 0f se ( ) ( )0J f J f≤ em todas as funções admissíveis f pertencentes a uma ε-vizinhança de primeira ordem da função 0f . Analogamente se define mínimo relativo débil ou fraco de um funcional quando ( ) ( )0J f J f≥ . Os máximos e mínimos (fortes e débeis ou fracos) de um funcional ( )J f se denominam extremos relativos. O extremo referente à totalidade das funções em que está definido o funcional é chamado extremo absoluto. Todo extremo absoluto é ao mesmo tempo extremo relativo forte e débil, porém nem todo extremo relativo será extremo absoluto. Exemplo: Seja o funcional ( ) ( )2 2 0 1J f y y dx π ′= −∫ , no espaço de funções ( ) [ ]1 0,y f x C π= ∈ , que satisfazem as condições ( ) ( )0 0y y π= = . UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 16 de 42 No segmento [ ]0,π do eixo dos x tem mínimo débil de ( )J f , isto é, ( ) ( )0J f J f≥ em uma ε-vizinhança de primeira ordem. De fato, tem-se 0J = se 0y = ; por outro lado, as funções pertencentes a ε-vizinhança de primeira ordem, se tem 1y′ < , de modo que o integrando é positivo para 0y ≠ e, por conseguinte, o funcional se anula somente se 0y = . Isto é, o funcional alcança mínimo débil na curva 0y = . Teorema 1: (Condição Necessária de Extremo de Funcional). Se o funcional diferenciável ( )J f alcança seu valor extremo em uma curva 0f f= , sendo 0f um ponto interior do campo de definição do funcional, então em 0f f= se tem: ( )0 0J fδ = (2.19) As funções para as quais 0Jδ = , denominam-se funções estacionárias. 2.2 - Problema Elementar do Cálculo Variacional Seja o funcional ( ) ( , , ) b x a J f I f f x dx= ∫ (2.20) onde [ ] [ ], ,x dff a b f a b dx ∈ ∧ = ∈ . O problema elementar do cálculo variacional consiste em achar a função que oferece extremo débil ao funcional (2.20) e que satisfaça as condições de contorno: ( ) ( ) a b f a f f b f = = (2.21) Seja ( )f x , por hipótese, a função solução do problema, e seja ( )h x outra função a qual difere de ( )f x de certa quantidade: ( ) ( )f x xδ εη= (2.22) UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 17 de 42 onde ( ) [ ]1 ,h x C a b∈ , ε é um parâmetro que varia continuamente, e ( )xη é uma função arbitrária que satisfaz as condições de contorno abaixo: ( ) ( ) 0a bη η= = (2.23) De (2.22) e da figura abaixo, tem-se: ( ) ( ) ( )h x f x xεη= + (2.24) Dessa forma, pode-se reescrever o funcional (2.20) para a função ( )h x , como: ( )( ) , , b x a J h I h h x dx= ∫ (2.25) onde de (2.24) vê-se x h fh x x x η ε ∂ ∂ ∂ = = + ∂ ∂ ∂ (2.26) Como o valor do funcional J varia continuamente com ε, pela fórmula de Taylor, pode-se desenvolver J , assim: ( ) ( ) 2 2 2 0 0 1 2! J JJ h J f ε ε ε ε ε ε= = ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ (2.27) ou na notação variacional UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 20 de 42 Esta condição é necessária para o extremo débil; mas como todo extremo forte é também ao mesmo tempo débil, qualquer condição para o extremo débil também será condição para o extremo forte. Exemplo Seja o funcional ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 0 2 1J f y xy dx y y′= − ∴ = ∧ =−∫ . A equação de Euler-Lagrange será: 0y x′′+ = . Resolvendo a equação diferencial (equação de Euler-Lagrange), tem-se: 3 6 xy xα β ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟=− + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ Usando-se as condições de contorno, encontra-se, 1 6 α = e 0β = . Por conseguinte, o extremo pode ser alcançado na função: ( )21 6 xy x ⎛ ⎞⎟⎜= −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ Teorema 2: Seja ( )f x solução da equação de Euler-Lagrange. Se a função ( ), , xI x f f tem derivadas parciais contínuas até segunda ordem inclusive, então à função ( )f f x= tem segunda derivada contínua em todos os pontos ( ),x y para os quais: 2 2 0 x I f ∂ ≠ ∂ Teorema 3: (Bernstein). Se na equação ( ), ,xx xf I x f f= (2.37) UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 21 de 42 as funções I e I f ∂ ∂ forem contínuas em todo ponto finito ( ),x f , para qualquer valor finito de xf e ainda exista uma constante k>0 e funções: ( ) ( ) , 0 , 0 x f x f α α β β = ≥ = ≥ (2.38) limitadas em qualquer porção finita do plano, tais que, 2 f x I I k f I fα β ∂ = > ∂ ≤ + (2.39) então, por dois pontos quaisquer do plano ( )1 1,x f e ( )2 2,x f de abscissas distintas 1 2x x≠ passa uma e somente uma curva integral ( )f xϕ= de (2.39). Exemplos 1. Demonstrar que por dois pontos quaisquer do plano de abscissas distintas passa uma única função extrema do funcional: ∫ −= dx)'y(e)y(J y 122 2 Solução: A equação de Euler para o funcional acima é: ( )22 1y y y′′ ′= + que está no formato (2.37) do Teorema de Bernstein, logo se pode aplicá-lo. De fato, tem-se: ( ) ( ) ( ) 2 2 , , 2 1 2 1 xx y f I x y y y y I I I y f y ′ ′= = + ∂ ∂ ′= = = + ∂ ∂ UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 22 de 42 Na expressão de yI , vê-se que qualquer que seja o valor de 2,y y′ ′ é positivo, logo 2yI k≥ = . Além disso, ( )2 22 1 2 2I y y y y y′ ′= + ≤ + . Comparando com a segunda expressão de (2.39) do Teorema de Bernstein, vê-se que: 2 0 2 0 y y α β = > = > e que também satisfaz a condição (2.38) do citado teorema; logo, por dois pontos quaisquer do plano xy , passa uma única função extremal de ( )J y . 2. Demonstrar que não existe extremo do funcional: ( )2 ' 2( ) 1I y y y dx= + +∫ que passe por dois pontos quaisquer do plano de abscissas distintas. Solução A equação de Euler para o funcional dado tem a forma: ( )3 222 1y y y′′ ′= + Analisando a expressão acima, vê-se que se pode aplicar o teorema de Bernstein, já que a expressão cumpre a condição (2.39) do referido teorema. A natureza das condições do teorema de Bernstein é de suficiência, isto é, se as condições não se cumprem se pode deduzir que não há extremo que passe por dois pontos quaisquer de abscissas distintas. Assim basta que se prove que por dois pontos quaisquer, de abscissas diferentes, não passa nenhuma função extremal do funcional dado. Assim, sejam dois pontos quaisquer, por exemplo, ( )0,0 e ( )1 2,2 . Reescrevendo a equação de Euler do funcional dado, fazendo ; dpy p y p dy ′ ′′= = . UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 25 de 42 2 2 0 x xx I d I d I f dx f dx f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟− + =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.46) que é uma equação diferencial de quarta ordem. Generalizando, para funcionais do tipo: ( ) ( )( ), , , , , b x xx n x a J f I f f f f x dx= ∫ … (2.47) para o qual assumir-se-á conhecidos em x a= e x b= a função f e as ( )1n − derivadas de f . Neste caso tem-se: ( ) ( ) ... 0 b x x n x x na I I IJ f f f dx f f f ∂ ∂ ∂ δ δ δ δ ∂ ∂ ∂ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= + + + =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ (2.48) ou ( ) 0 ( ) 0 b k n x k k x ka IJ f dx f ∂ δ δ ∂ = = ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ∑∫ (2.49) onde se deve integrar os diferentes termos por partes até que o integrando esteja multiplicado apenas por fδ . Um termo típico de integração por partes é: ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2) ( ) ( ) ( 1) 2 1 1 ( 3)2 1 ( 2) ( ) ... 1 1 bbb x j x j x j x j x j x ja a a b b j j x j j x j x aa b j j j x ja I I d If dx f f f f dx f d I d If f dx f dx f d I f dx dx f ∂ ∂ ∂ δ δ δ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ δ δ ∂ ∂ ∂ δ ∂ − − − − − − − − = − + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜⎟ ⎟⎜+ + + − +⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎜+ − ⎨ ⎬⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎟⎜⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ (2.50) ou numa forma mais compacta: UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 26 de 42 ( ) 1 ( ) ( 1) 0( ) ( ) ( ) ( 1) 1 b b bk jk j jk x j x j kk j kx j x j k x ja aa I d I d If dx f f dx f dx f dx f ∂ ∂ ∂ δ δ δ ∂ ∂ ∂ = − − − = − ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎟ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜= − + −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ∑∫ ∫ (2.51) A equação de Euler para funcionais deste tipo, tem então, a seguinte forma: ( ) ( ) ... ( 1) ... ( 1) 0 j n j n j n x x j x n I d I d I d I f dx f dx f dx f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜− + + − + + − =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.52) ou ainda 0 ( ) ( 1) 0 kk n k k k x k d I dx f ∂ ∂ = = ⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎜− =⎨ ⎬⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎟⎜⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭ ∑ (2.53) Exemplo Achar a função extrema do funcional ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 0 360 0 1 0 0 1 1 2.5J y x y y dx y y y y′′ ′ ′= − ∴ = = ∧ = ∧ =∫ . Solução: A equação de Euler para este problema tem a forma: 2 2 0 x xx I d I d IJ y dx y dx y δ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= − + =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ou seja ( ) ( ) 2 42 2 2360 2 360 2 0 dJ x y x y dx δ ′′= + − = − = donde ( )4 2180y x= , que integrando se tem: UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 27 de 42 6 3 2 1 2 y x x x xα β χ γ= + + + + Levando em consideração as condições de contorno, achamos: 3 2 3 1 0 α β χ γ = =− = = logo a função extrema procurada é: 6 3 2 1 3 3 2 2 y x x x x= + − + Seja agora considerar funcionais tendo diversas funções como variáveis dependentes, o que acontece com muitos problemas de engenharia. Considere o funcional: ( ) ( ), , , , , b x x a J f g I f g f g x dx= ∫ (2.54) com as seguintes condições de contorno: ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b f f a f f b g g a g g b = = = = (2.55) Sejam ( )xη e ( )xζ duas funções admissíveis que satisfaçam as condições de contorno acima e são tais que definem as seguintes funções: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h x f x x f f z x g x x g g εη δ εζ δ = + = + = + = + (2.56) UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 30 de 42 Aplicando as condições de contorno, tem-se: 2 2 2 11; 0; ; 1 1 e e e α β χ κ= = = =− − − de modo que o extremo pedido é: ( ) ( ) sinh 1 sinh 1 y x x z = − = 2. Achar os extremos do funcional ( ) ( )( ) ( )2 2 2 0 , 2 2J y x z x yx y y z dx π ′ ′= − + −∫ com as seguintes condições de contorno: ( ) ( ) ( ) ( )0 0; 1; 0 0; 1y y z zπ π= = = =− . Solução De forma semelhante ao que se fez no exemplo anterior, às equações de Euler são: 2 0 0 y y z z y ′′+ − = ′′+ = donde, eliminando a função z, se obtém: ( ) 2 0ivy y y′′+ + = que é uma equação diferencial ordinária de quarta ordem, cuja solução genérica tem a forma: ( ) ( ) ( ) ( )( )cos sin cos siny A x B x x C x D x= + + + Aplicando as condições de contorno ( ) ( ) 10 0; 1 0y y A Cπ π = = → = ∧ =− , de modo que: ( ) ( ) ( )sin sin cosxy B x Dx x x π = + − A função z se determina da condição 2z y y′′= + . Assim, UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 31 de 42 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1sin 2cos sin 2sin cosz B x D x x x x x x π ⎛ ⎞⎟⎜= + + + −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ Aplicando agora as condições de contorno ( ) ( )0 0; 1z z π= − , obtém-se: D = 0 e B = um número arbitrário qualquer. Assim: ( ) ( ) ( )( )1sin 2sin cosz B x x x x π ⎛ ⎞⎟⎜= + −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ Donde se conclui que os extremais do funcional dado são a família de curvas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) sin cos 1sin 2sin cos xy B x x z B x x x x π π ⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎟⎜= + −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ com B arbitrário. 2.4 - Funcionais que Dependem de Funções de Várias Variáveis Independentes Seja o funcional ( , , , , )x yJ I f f f x y dxdy Ω = ∫∫ (2.65) para o qual queremos analisar o extremo, e cujas condições de contorno na fronteira ∂Ω da região Ω são conhecidas. Seja ( ),x yη uma função admissível que satisfaça as condições de contorno e tenha derivadas contínuas até o grau desejado e que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , , x x x x x y y y y y h x y f x y x y f f h x y f x y x y f f h x y f x y x y f f εη δ εη δ εη δ = + = + = + = + = + = + UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 32 de 42 Assim 0 0dIJ d ε δ ε ε = ⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ (2.66) 0 0yx x y hI h I h IJ dxdy h h h ε ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ δ ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε Ω = ⎛ ⎞⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎟⎜ ⎪ ⎪ ⎟⎜= + + =⎨ ⎬ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫∫ (2.67) 0x y x y I I IJ f f f dxdy h h h ∂ ∂ ∂ δ ε δ δ δ ∂ ∂ ∂ Ω ⎛ ⎞⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎟⎜ ⎪ ⎪ ⎟⎜= + + =⎨ ⎬ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫∫ (2.68) Integrando o segundo e terceiro termos da expressão acima pelo Teorema de Green, obtém-se: x x x x y y y y I I I dyf dxdy fdxdy f ds f x f f ds I I I dyf dxdy fdxdy f ds f x f f ds ∂ ∂ ∂ ∂ δ δ δ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ δ δ δ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟=− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜=− +⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ (2.69) Levando-se estes resultados em Jδ , tem-se: . . . 0 x y x y I I I I dy I dxJ f dx dy f ds f x f y f f ds f ds ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ δ δ δ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Ω Ω ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎪ ⎪⎟⎪ ⎪⎜⎟ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎟ ⎜= − − + − =⎜⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭ ∫∫ ∫ (2.70) ou ainda, como fδ εη= satisfaz as condições de contorno em ∂Ω , a segunda integral da expressão acima é nula, logo a condição de estacionariedade é: . . 0 x y I I IJ f dx dy f x f y f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ δ δ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Ω ⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎟⎪ ⎪⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎜= − − =⎜⎨ ⎬⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎪ ⎪⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫∫ (2.71) Como a variação de fδ é arbitrária (a fδ se impõe apenas restrições de caráter geral sobre a continuidade e derivabilidade, anulação no contorno, etc.) e o primeiro fator da integral acima é contínuo, então do Lema Básico a função ( ),f x y que realiza extremo no funcional dado é: UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 35 de 42 onde E = módulo de elasticidade; h = espessura da placa; ν = coeficiente de Poisson; u e v os deslocamentos nas direções x e y . As equações de Euler-Ostrogradski para o funcional acima, representam as equações de equilíbrio para a placa em termos de x , y , e são as seguintes: xy xy2 1.v ( v 0 1 2xx yy Eh vu v u v ⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎟⎜⎢ ⎥+ + + =⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠− ⎣ ⎦ xy xy2 1v . (v 0 1 2xx yy Eh vv u u v ⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎟⎜⎢ ⎥+ + + =⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠− ⎣ ⎦ UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 36 de 42 3 - Métodos de Aproximação nos Problemas Variacionais 3.1 - Considerações Gerais 3.2 - Método de Rayleigh-Ritz A idéia deste método consiste em que ao achar o extremo de um funcional ( )J f se considera, no lugar do espaço das funções admissíveis, somente as funções que se pode representar como combinações lineares das funções admissíveis: ( ) ( ) 1 n n j j j f x a xϕ = =∑ (3.1) onde ja são constantes e o sistema { }jϕ , chamado de funções coordenadas, está formado por funções jϕ que são linearmente independentes e que constituem um sistema completo de funções no espaço considerado e que cada uma delas satisfaça exatamente as condições de contorno essenciais, por exemplo: ( ) ( ) 0, 1,2, ,j ja b j nϕ ϕ= = ∀ = … (3.2) Falando em termos gerais, quando se pede que as funções ( )f x sejam admissíveis, impõe-se às funções coordenadas ( )j xϕ certas condições como limitações quanto à derivabilidade e quanto à verificação das condições de contorno. Dessa forma, o funcional ( )J f se converte em uma função dos argumentos ja , isto é, ( ) ( )1 2, , ,n nJ f a a a=Φ … (3.3) UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 37 de 42 Determinam-se os valores de ja que oferecem extremos à função Φ resolvendo o seguinte sistema: 0, 1,2, , j j n a ⎛ ⎞∂Φ ⎟⎜ ⎟⎜ = ∀ =⎟⎜ ⎟⎟⎜∂⎝ ⎠ … (3.4) não-linear, como regra. A seqüência ( ){ }nf x assim encontrada converge para o mínimo de ( )J f , isto é, ( ) ( )lim minnn J f J f→∞ = (3.5) No entanto, da expressão anterior não se pode concluir que o ( ) ( )lim nn f x f x→∞ = . A seqüência minimizante pode não convergir para a função que realiza o extremo na classe de funções admissíveis. Podem-se indicar condições que garantam a existência do mínimo absoluto do funcional e que ele se alcança nas funções ( ){ }nf x . No caso do funcional, por exemplo, ( ) ( ) ( , , ) ( ) b a x ba f a f J f I f f x dx com f b f ⎧ =⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎩ ∫ (3.6) estas condições são: a função ( ), ,xI f f x é contínua em relação ao conjunto de seus argumentos para qualquer ( )( ),xf x f∧ ∈D , onde D é o domínio do problema; existem constantes 0; 1;pα β> > tais que ( ), , pxI f f x fα β≥ + a função ( ), ,xI f f x tem derivada parcial contínua x I f ∂ ∂ , e esta é uma função decrescente qualquer que seja ( ),x f ∈D . UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 40 de 42 0 ' I d I y dx y ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞⎟⎜− =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ Como 2 2I y y x∂ ∂ =− − , 2I y y′ ′∂ ∂ = e ( )2 2y x y′ ′′∂ ∂ = logo, formando a equação de Euler, tem-se: ( )2 2 0y x y′′− + − = ou seja 0y y x′′+ + = que é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem, cuja solução é: Seja y x=− uma solução particular; a solução geral da equação diferencial representativa da equação de Euler é: ( ) ( ) ( ) ( ) cos sin cos sin y x x y y x y x x x α β α β = + + ∴ =− = + − Usando as condições de contorno, obtém-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 cos 0 sin 0 0 1 0 cos 1 sin 1 cos 1 1 sin 1 0 cos 1 1 1 cos 1 sin 1 sin 1 1 0,84147 0,546 0,54030 y x x y x x x x x x α β α α β β β β = ⇒ + − = ⇒ = = ⇒ + − = − + = − − ⇒ =− = − = = Logo a solução geral é: ( ) ( ) ( ) ( )( ) cos 0,546 sin cos 0,546sin 1 y x x x x x y x x x = + − = + − UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 41 de 42 Mostra-se abaixo, um estudo comparativo entre as funções 1 2,y y e y (desenvolvido no software Mathcad): vê-se que no intervalo [ ]0,1 os valores das três funções são aproximados e que todas satisfazem as condições de contorno dadas: x 0 0.05, 1..:= y1 x( ) 5 18 − x x2−( )⋅:= y2 x( ) 10615 101393 x x2−( )⋅ 799 2473 x2 x3−( )⋅−:= y x( ) x cos x( ) 0.546 sin x( )⋅+ 1−( )⋅:= 0 0.2 0.4 0.6 0.80.1 0.05 0 0.05 0.1 y1 x( ) y2 x( ) y x( ) x UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO Centro de Ciências Tecnológicas Relatório Técnico Nº 2006/004 Prof. Henrique Mariano C. Amaral Página 42 de 42 Bibliografia 1. Assan, Aloísio E., Método dos Elementos Finitos. Ed. Unicamp. 2002. 2. Brenner, Susanne C. and Scott, L.R., The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Springer - Verlag. 1994. 3. Eriksson, K. et alli. Computational Differential Equations. Cambridge University Press. 1996. 4. Amaral, H.M.C., Métodos e Análise Numérica Aplicada à Engenharia. UEMA. 2006. (a ser publicado).