Método das forças (flexibilidade), Notas de estudo de Cultura

Baixe Método das forças (flexibilidade) e outras Notas de estudo em PDF para Cultura, somente na Docsity! Caṕıtulo 3 Método da Flexibilidade (ou das Forças) Neste caṕıtulo são desenvolvidos os conceitos referentes ao Método da Flexibilidade, tam- bém conhecido como Método das Forças, bem como a metodologia para a sua aplicação na resolução de estruturas estaticamente indeterminadas, solicitadas por carregamentos externos e também por ações indiretas. 3.1 As Bases do Método Para introduzir as bases do Método das Forças, é utilizado o exemplo descrito a seguir. Deseja-se calcular o momento fletor MA e a força FB que devem ser aplicados simulta- neamente ao carregamento indicado na Figura 3.1, de forma que a rotação em A, θA e o deslocamento vertical em B, δB, sejam nulos. F B M A q Figura 3.1: Exemplo introdutório ao Método da Flexibilidade. Este é tipicamente um problema inverso, isto é, um problema no qual se deseja determi- nar a causa que provoque um efeito final conhecido. Problemas deste tipo foram propostos no Caṕıtulo 2 e não apresentam dificuldade adicional. Para sua solução, primeiramente são escritas as equações que descrevem as condições a serem impostas: θA = 0 (3.1) δB = 0 (3.2) Com o aux́ılio da superposição dos efeitos, explicitada na Figura 3.2, os deslocamen- tos das equações (3.1) e (3.2) podem ser escritos em função dos deslocamentos de cada solicitação separadamente: 42 Cap. 3 - Método das Forças θqA + θ MA A + θ FB A = 0 (3.3) δqB + δ MA B + δ FB B = 0 (3.4) Nas equações (3.3) e (3.4) os superescritos indicam a causa dos deslocamentos. ql /82 M A FB −1 −L/4ΘΑ FB δΒ FB δΒ ΜΑ ΜΑ Α Θ Θ Α q δΒ q Deformação M A F B q q F B M A Carregamento Momentos Figura 3.2: Superposição dos efeitos. Mais uma vez, tirando proveito do comportamento linear da estrutura, pode-se escrever um deslocamento qualquer causado pela atuação de uma força de módulo x como x vezes o deslocamento provocado por uma força de módulo unitário, aplicada no mesmo ponto e com a mesma direção e sentido da força original. Mantendo a nomenclatura utilizada na Seção 2.6, onde se atribuiu dois ı́ndices a um deslocamento causado por uma força unitária, o primeiro indicando sua posição e o segundo a sua causa, pode-se então, reescrever as equações (3.3) e (3.4) em função de deslocamentos causados por forças unitárias como: θqA + θAA . MA + θAB . FB = 0 (3.5) δqB + δBA . MA + δBB . FB = 0 (3.6) Nas equações (3.5) e (3.6), os deslocamentos devidos ao carregamento externo e às cargas unitárias podem ser determinados, por exemplo, pelo método da carga unitária. Logo, uma vez determinados estes deslocamentos, as equações acima tomam a forma de Grau de Indeterminação Estática 45 A E D B C C E C E BA D g = 3 int MQ N N M Q g = 1 int F F FF Figura 3.5: Grau de hiperestaticidade interna. É bastante comum nas estruturas usuais que os dois tipos de indeterminação apareçam simultaneamente, neste caso, o grau de indeterminação será a soma dos graus de indeter- minação interna e externa (g = gext + gint). 46 Cap. 3 - Método das Forças 3.3 A Sistematização do Método Depois de determinado o grau de indeterminação estática da estrutura, N , é obtida uma estrutura isostática, chamada sistema principal, a partir da liberação de N vinculações. Correspondendo aos v́ınculos rompidos, são introduzidas forças ou esforços internos, os hiperestáticos, numerados de 1 a N . O deslocamento na direção do hiperestático i é representado genericamente por δi, independente de se tratar de deslocamentos lineares ou angulares, logo as equações de compatibilidade de deslocamentos podem ser escritas como: δ1 = 0 δ2 = 0 ... δN = 0 (3.7) Os deslocamentos δi indicados acima, são provenientes da superposição da atuação da solicitação externa e dos hiperestáticos, cujas magnitudes são representadas genericamente por Xi, independendo de os mesmos serem forças ou momentos. É utilizado, então, o prinćıpio da superposição dos efeitos, onde um efeito elástico qualquer, E, da estrutura hiperestática é representado como uma superposição dos efeitos da solicitação externa (identificada pelo ı́ndice 0) e dos hiperestáticos, atuando na estrutura auxiliar. Desta forma pode-se escrever: E = E0 + E1.X1 + E2.X2 + . . . + EN .XN (3.8) Na expressão (3.8) Ei representa o efeito elástico em questão provocado por uma força unitária na direção e sentido do hiperestático i; Xi a magnitude do referido hiperestático, e, portanto, Ei.Xi a contribuição do hiperestático i no calculo do efeito E. A equação (3.8) pode ser escrita de forma mais compacta como: E = E0 + N ∑ i=1 Ei.Xi (3.9) Analogamente à nomenclatura introduzida na Seção 2.6, o deslocamento na direção do hiperestático i, provocado pela aplicação do hiperestático j com módulo unitário é escrito como δij, logo δij.Xj representa a contribuição do hiperestático j no cálculo do deslocamento na direção i. O deslocamento provocado pela solicitação externa na direção i é representado como δi0. A notação adotada permite que as equações de compatibilidade sejam reescritas, su- perpondo os efeitos da solicitação externa e de todos os hiperestáticos, como: δ10 +δ11.X1 +δ12.X2+ . . . +δ1N .XN = 0 δ20 +δ21.X1 +δ22.X2+ . . . +δ2N .XN = 0 ... ... ... ... ... δN0 +δN1.X1 +δN2.X2+ . . . +δNN .XN = 0 (3.10) Uma vez determinados os deslocamentos δij a expressão acima caracteriza um sistema de N equações algébricas lineares e N incógnitas, as magnitudes dos hiperestáticos, que pode ser reescrito sob forma matricial como: A Sistematização do Método 47       δ11 δ12 . . . δ1N δ21 δ22 . . . δ2N ... ... . . . ... δN1 δN2 . . . δNN       .            X1 X2 ... XN            = −            δ10 δ20 ... δN0            (3.11) Ou de forma ainda mais condensada como: [ δ ] . {X} = −{δ0} (3.12) onde a matriz [ δ ] é chamada de matriz de flexibilidade e o vetor {δ0} é o vetor dos termos de carga. A resolução deste sistema de equações algébricas lineares, fornece a magnitude dos hiperestáticos e a partir de sua determinação podem ser obtidos esforços, ou qualquer outro efeito elástico, em qualquer ponto da estrutura, utilizando mais uma vez a expressão (3.8). 3.3.1 Determinação dos coeficientes de [ δ ] Os coeficientes δij da matriz de flexibilidade podem ser obtidos por diversos procedimentos, porém, ao longo deste texto é utilizado o método da carga unitária. Desta forma eles são calculados através da integração do produto dos diagramas resultantes da aplicação dos hiperestáticos Xi e Xj com valores unitários no sistema principal. δij = barras ∑ ( ∫ l NiNj EA ds + ∫ l MiMj EI ds + ∫ l χQiQj GA ds + ∫ l TiTj GJt ds ) (3.13) As mesmas considerações e simplificações feitas no Caṕıtulo anterior sobre o cálculo de deslocamentos são mais uma vez aplicadas. Tendo em vista o Teorema da Reciprocidade dos Deslocamentos, pode-se concluir que δij = δji, isto é, a matriz de flexibilidade é simétrica em relação a sua diagonal principal. Este fato permite que seja economizado grande esforço no cálculo de seus coeficientes. 3.3.2 Determinação dos coeficientes de {δ0} Quando se trata de solicitações por carregamentos externos, os coeficientes δi0 são também obtidos de acordo com a equação (3.13). Neste caso, é realizada a integração do produto dos diagramas resultantes da aplicação dos hiperestáticos Xi, com valor unitário, pelos diagramas resultantes da aplicação do carregamento externo, ambos no sistema principal. No caso de se tratar de ações indiretas, a única diferença é que os coeficientes δi0 passam a ser calculados com base nas expressões espećıficas já desenvolvidas, isto é: • Variação de temperatura (em barras de seção transversal constante): δi0 = α(ti − te) h AM i + αtcgAN i (3.14) • Recalques de apoio: δi0 = − ∑ Rkρk (3.15) • Deformação imposta (variação do comprimento): δi0 = ∆l . Ni (3.16) 50 Cap. 3 - Método das Forças −6 −12 43 −5 12 6 Q0 Q11/6 Q2 −1/6 1/8 1/4 −1/8 Q3





























































































































































































































                                                                                                                                                                                                                              Q 4 −2,6 4,11 −7,89 −11,51 5,40 12,49 Figura 3.9: Diagramas de esforços cortantes, no sistema principal e na estrutura original. Cálculo de deslocamentos 51 3.4 Cálculo de Deslocamentos Sendo uma aplicação do PTV, o método da carga unitária, desenvolvido no Caṕıtulo 2, não se limita a estruturas isostáticas, podendo também ser aplicado ao cálculo de desloca- mentos em estruturas hiperestáticas. Entretanto, a aplicação direta deste método a este tipo de estrutura levaria a resolução da estrutura hiperestática para dois carregamentos distintos, o que pode ser evitado com as simplificações decorrentes do desenvolvimento mostrado a seguir. 3.4.1 Carregamento Externo De acordo com a equação (2.11), para se calcular um deslocamento, ∆ em uma estrutura, devido a um carregamento externo aplicado, o primeiro passo é conhecer os diagramas na estrutura (agora hiperestática), referentes a aplicação do tal carregamento externo (M , N , Q e T ) e da carga unitária correspondente ao deslocamento em questão (M , N , Q e T ). Para simplificar as expressões do desenvolvimento que se segue, é tomada uma estrutura na qual os deslocamentos podem ser bem aproximados exclusivamente pelo cálculo da contribuição das deformações por flexão. Isto é, supõe-se que a expressão (2.11) se resume a: ∆ = barras ∑ ( ∫ l MM EI ds ) (3.20) A consideração de outras parcelas, caso sejam necessárias, se dá de maneira inteira- mente análoga ao procedimento que se segue. Primeiramente, utiliza-se a superposição de efeitos expressa na equação (3.8) para representar o diagrama M como: M = M 0 + X1.M1 + X2.M2 + . . . (3.21) Onde X i representa genericamente o valor do hiperestático i, devido a aplicação da carga unitária do EC correspondente ao deslocamento desejado, na estrutura hiperestática origi- nal; M 0 representa o diagrama de momentos fletores para a aplicação da carga unitária no sistema principal; e Mi, conforme nomenclatura já utilizada, representa o diagrama de momentos fletores devido a aplicação do hiperestático i, com valor unitário. Desta forma a equação (3.20) pode ser reescrita como: ∆ = barras ∑ ( ∫ l MM 0 EI ds + X1 ∫ l MM1 EI ds + X2 ∫ l MM2 EI ds + . . . ) (3.22) Pode-se ainda utilizar a superposição de efeitos para expandir o diagrama de momentos fletores M como: M = M0 + X1.M1 + X2.M2 + . . . (3.23) Substituindo a expressão (3.23), em todas as integrais do segundo membro da expressão (3.22) com excessão da primeira, obtém-se: 52 Cap. 3 - Método das Forças ∆ = barras ∑ [ ∫ l MM 0 EI ds +X1 ∫ l (M0 + X1.M1 + X2.M2 + . . .) M1 EI ds +X2 ∫ l (M0 + X1.M1 + X2.M2 + . . .) M2 EI ds + . . . ] (3.24) Pode-se, reescrever a equação (3.24), expandindo as expressões entre parênteses para obter: ∆ = barras ∑ [ ∫ l M . M0 EI ds +X1 ( ∫ l M0M1 EI ds + X1 ∫ l M1M1 EI ds + X2 ∫ l M2M1 EI ds + . . . ) +X2 ( ∫ l M0M2 EI ds + X1 ∫ l M1M2 EI ds + X2 ∫ l M2M2 EI ds + . . . ) + . . . ] (3.25) Utilizando a expressão (3.13), a equação (3.25) pode ser reescrita em função dos des- locamentos δij: ∆ = barras ∑ [ ∫ l MM 0 EI ds +X1 (δ10 + X1δ11 + X2δ12 + . . .) +X2 (δ20 + X1δ21 + X2δ22 + . . .) + . . . ] (3.26) Observando a expressão (3.11), pode-se perceber que termo entre parênteses que multi- plica o i-ésimo hiperestático, X i, na expressão (3.26), corresponde ao primeiro membro da i-ésima equação de compatibilidade. Como os hiperestáticos Xi devem ser tais que satis- façam estas equações de compatibilidade, conclui-se que, na equação (3.26), as expressões entre parênteses são nulas. Assim, a expressão (3.25) pode ser simplificada, obtendo-se: ∆ = barras ∑ ∫ l MM 0 EI ds (3.27) Se no desenvolvimento acima fossem considerados todos os termos da expressão (2.11) seria obtida a expressão: ∆ = barras ∑ ( ∫ l NN 0 EA ds + ∫ l MM 0 EI ds + ∫ l χQQ0 GA ds + ∫ l TT 0 GJt ds ) (3.28) Através de procedimento análogo ao desenvolvido para a obtenção da expressão (3.27), utilizando inicialmente a superposição dos efeitos para representar M e posteriormente para M obtém-se a expressão (3.29), mostrada a seguir. Cálculo de deslocamentos 55 Vale lembrar que poderia ter sido utilizado qualquer SP para o cálculo dos diagramas isostáticos, por exemplo poderia ter sido utilizado o diagrama mostrado na Figura 3.12 para a obtenção do deslocamento desejado como: A B F C D E Sistema Principal M 0 −10 −4 Figura 3.12: Diagrama do EC em um sistema principal alternativo. EIc.δ = barras ∑ ∫ l MM 0 EI ds = 1 6 .4 [10(2.2, 23 + 13, 54) + 4(2.13, 54 + 2, 23)] − 1 3 .4.9(10 + 4) + 1 6 .2.(−4) [2(−13.54) + 12.42] − 1 3 .2.4.6 = = 198, 16 − 168 + 19.55 − 16 = 33, 71 δ = 33, 71 EIc 3.4.2 Ações Indiretas O procedimento adotado para a obtenção da expressão (3.27) pode ser adotado, de maneira análoga, para a determinação de expressões similares para o cálculo de deslocamentos em estruturas hiperestáticas causados por ações indiretas. Desta forma podem ser obtidas as seguintes expressões: • Variação de temperatura: ∆ = α(ti − te) h AM + αtcgAN (3.31) = α(ti − te) h AM0 + αtcgAN0 + barras ∑ ( ∫ l NN 0 EA ds + ∫ l MM 0 EI ds + ∫ l χQQ0 GA ds + ∫ l TT 0 GJt ds ) (3.32) 56 Cap. 3 - Método das Forças • Recalques de apoio: ∆ = − ∑ Rkρk (3.33) = − ∑ Rk0ρk + barras ∑ ( ∫ l NN 0 EA ds + ∫ l MM 0 EI ds + ∫ l χQQ0 GA ds + ∫ l TT 0 GJt ds ) (3.34) 3.5 Verificação de Diagramas Na resolução de qualquer tipo de problema é conveniente dispor de procedimentos para verificação dos resultados alcançados. Especificamente em relação ao problema da edter- minação de diagramas de esforços internos em estruturas estaticamente indeterminadas o trabalho algébrico envolvido no processo é considerável, o que tona este procedimento suscept́ıvel a erros. Desta forma, desenvolve-se a seguir um procedimeto para esta veri- ficação. A idéia utilizada é a de faze-lo de maneira indireta, através do cálculo de deslcamentos. Calcula-se através da equação (3.27) um deslocamento conhecido a priori, usualmente nulo. Para tanto necessita-se integrar os diagramas em questão com os do EC isostático submetido ao carregamento unitário correspondente. Estes últimos, por serem diagramas de um SP, podem ser obtidos facilmente. Caso o deslocamento obtido seja diferente do conhecido, pode-se concluir que o dia- grama não está correto, por outro lado, caso o deslocamento coincida com o deslocamento esperado supõe-se que o diagrama está correto. O exemplo a seguir ilustra o que foi descrito acima. Exemplo Verificar o diagrama obtido para a viga cont́ınua do exemplo anterior. Usualmente se utiliza como deslocamento conhecido um deslocamento restringido por um dos apoios da estrutura. Desta forma pode-se verificar o diagrama da Figura 3.8, utilizando o sistema principal da Figura 3.12 e calculando o deslocamento vertical do ponto B. δB = 0 = ∫ MM 0 EI ds (3.35) Adotando o EC mostrado na Figura 3.13 obtem-se como diagrama M 0 o mostrado a seguir: A expressão 3.35 pode então ser escrita como: EIc.δB = 1 6 .4.6(2.2, 23 + 13, 54) − 1 3 .4.6.9 = 72 − 72 = 0 O que indica que o diagramama obtido inicialmente estaria correto. Entretanto, uma vez que a integração realizada se restringe ao trecho AB, qualquer que fosse o resultado obtido para o trecho BE o resultado para a integração acima seria o mesmo, isto é, Verificação de Diagramas 57 6m 4m 2m4m 4m M 0 −6 Sistema Principal P=1 Figura 3.13: Sistema principal para verificação de diagrama em estrutura estaticamente indeterminada. calculando o deslocamento vertical em B com o sistema principal acima proposto só se pode concluir que o diagrama entre A e B está correto. Uma vez que a escolha do SP é livre, poderia se ter escolhido o SP da figura abaixo que proporcionaria, com o cálculo do mesmo deslocamento uma verificação mais completa do diagrama em questão. M0 4 1,333 Sistema Principal P=1 Figura 3.14: EC no sistema principal para verificação de diagrama em estrutura estatica- mente indeterminada. Com este SP seria obtido: EIc.δB = − 1 6 .4.4(2, 23 + 2.13, 54) + 1 3 .4.4.9 −1 6 4. [4(2.13, 54 + 9, 62) + 1, 333(13, 54 + 2.9, 62)] + 1 3 4.24.(4 + 1, 333) −1 6 4.1, 333(2.9, 62 + 4) + 1 3 4.1, 333.4 = −78, 16 + 48 − 126, 99 + 170, 65 − 20, 65 + 7, 11 = −0.04 ≈ 0 O erro encontrado na avaliação do deslocamento acima se deve a aproximação na ob- tenção dos hiperestáticos. Caso se utilizasse um maior número de algarismos significativos 60 Cap. 3 - Método das Forças 3) Para a estrutura e car- regamento representados ao lado, determine o DMF. Dados: EI = 105KN.m2; K = 104KN/m; q1 = 2 q2 = 4KN/m; P1 = 2 P2 = 10KN P1 P2 q 1 q 2 5m 1m 2m 1m 1m K 4) Tendo em vista o quadro ao lado, de- termine: 1. o momento fletor em C; 2. a variação do comprimento que se deve impor a barra BD para que o momento fletor resultante em C se anule. Dados: EI = 2 EABD 4m 4m 6m 3m 1 KN/m 2 KN/m A B D E C 5) Sabendo que, para a estrutura mostrada ao lado, EI = √ 2EA = 2 . 104KN.m2, determine o diagrama de esforços normais , devido: 1. ao carregamento indicado; 2. ao encurtamento do tirante superior de 2cm. 4m 4m 5 KN/m 4m Exerćıcios Propostos 61 6) Ao lado da estrutura, representada abaixo, é mostrado um diagrama de momentos fletores. Pede-se verifica-lo, isto é, determinar se corresponde ao carregamento indicado na figura. 2KN/m 2KN/m 4m 4m EI 5EI/9 5EI/9 EI 3m 6m 28 28 9 9 8,5 8,5 7) Considerando a estrutura ao lado como uma viga engastada e apoiada em que se introduziu um reforço (barras BF , CF e DF ), determine: 1. os momentos fletores MA e MC para o carregamento indicado; 2. a variação percentual dos momentos indicados com a introdução do reforço; EIAE = 50.000KN.m 2 EACF = 25.000KN EABF = 10.000KN EADF = 10.000KN 2m 6m 2m6m 2KN/m D F A B C E 2,5m 8) Para a estrutura abaixo, determine: 1. o diagrama de momentos fletores para o carrega- mento indicado; 2. a variação de MC cal- culado no ı́tem anterior quando o apoio em D é substituido por um apoio elástico com Kh = 2.10 3KN/m e Kv = 8.10 3KN/m; 3. MB para um recalque vertical para baixo de 1cm do apoio A. 3KN/m 2KN/m2KN/m K B D C 3m 3m A 4m 3m Dado: EI = 5.104KN.m2 62 Cap. 3 - Método das Forças 9) Tendo em vista a estrutura abaixo, pede-se: 1. o momento fletor em B para o carregamento indicado; 2. o esforço normal na barra CE para um aumento de 1cm em seu comprimento; 3. a variação do comprimento que se deve impor a barra CE (explicitando se alon- gamento ou encurtamento) para reduzir em 40% o momento fletor obtido no ı́tem 1. 2KN.m 8m 8m10m 8m EA = 12.500 KN EI = 50.000 B C D E A 4m q= 6 KN/m q= 3 KN/m F G 8m 10) Para a grelha abaixo, com apoios em A, C, D e E, determine: 1. a posição e o valor do máximo momento fle- tor na barra DE, quando a estrutura está submetida ao seu peso próprio (4KN/m); 2. a reação vertical em D para uma variação de temperatura de −10oC nas fibras inferi- ores e de 10oC nas fibras superiores, sendo α = 10−5/oC e h = 20cm; 3. a variação percentual da reação calculada no ı́tem anterior, quando o apoio C é substituido por um apoio elástico (K = 103KN/m). 2KN.m 2KN.m 4m 1m 3m 2m 2m A B C D E EI = 10.000 GJ = 5.000